Bài giảng toán học tổ hợp và cấu trúc rời rạc chương 4 đại cương về đồ thị

Chương ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐỒ THỊ lvluyen@hcmus.edu.vn http://www.math.hcmus.edu.vn/~luyen/cautrucroirac FB: fb.com/cautrucroirac CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Nội dung Giới thiệu Các khái niệm Biểu diễn đồ thị Đẳng cấu đồ thị Đường đi, chu trình CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giới thiệu Bài tốn Thành phố Kưnigsberg, Đức nằm sơng, có hai hịn đảo lớn nối với với đất liền bảy cầu Bài tốn đặt theo tuyến đường mà qua cầu lần quay lại điểm xuất phát hay khơng? CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Năm 1736, nhà tốn học Leonhard Euler chứng minh điều khơng thể CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tốn Có thể vẽ hình phong bì thư nét bút hay khơng? Nếu có nét vẽ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài toán Một đoàn kiểm tra chất lượng đường Để tiết kiệm thời gian, đoàn kiểm tra muốn qua đường lần Kiểm tra xem có cách khơng? CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài toán Một sinh viên muốn từ nhà đến trường phải nào? Cách ngắn nhất? CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Các khái niệm Định nghĩa Một đồ thị vô hướng (undirected graph) G=(V, E) định nghĩa bởi: • Tập hợp V ≠ ∅ gọi tập đỉnh (vertex) n = |V| gọi cấp đồ thị; • Tập hợp E tập cạnh (edge) đồ thị; Mỗi cạnh e∈E liên kết với cặp đỉnh {i, j}, không phân biệt thứ tự CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đỉnh kề Định nghĩa Trên đồ thị vô hướng, xét cạnh e liên kết với cặp đỉnh {i, j}:  Cạnh e kề với đỉnh i đỉnh j (hay đỉnh i đỉnh j kề với cạnh e); viết tắt e=ij  Đỉnh i đỉnh j gọi đỉnh kề (hay đỉnh i kề với đỉnh j ngược lại, đỉnh j kề với đỉnh i)  Hai cạnh nối cặp đỉnh gọi hai cạnh song song  Cạnh có hai đỉnh trùng gọi khuyên CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đỉnh kề Tập đỉnh kề với đỉnh v viết Γ(v) ={u ∈ V : (v, u ) ∈ E} Nhận xét Đồ thị G hoàn toàn xác định biết Γ(v), ∀v ∈ V nên đồ thị G định nghĩa sau: = G (V , Γ) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 10 Đường đi, chu trình Định nghĩa Cho G = (V, E) đồ thị vô hướng hai đỉnh u v Khi a) Đường (dây chuyền) có chiều dài k nối hai đỉnh u,v dãy đỉnh cạnh liên tiếp v0e1v1e2…vk-1ekvk cho: v0=u, vk = v e i=vi-1vi , i=1,2,…,k Đường đơn khơng có cạnh xuất q lần gọi sơ cấp khơng có đỉnh xuất lần b) Nếu u trùng với v đường chu trình Khái niệm chu trình đơn, sơ cấp tương tự khái niệm đường CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 53 Chu trình sơ cấp không?  a,e1,b,e2,c,e3,d,e4,b đường từ đỉnh a tới đỉnh b có chiều dài Vì đồ thị đơn, nên ta viết ngắn gọn là: (a,b,c,d,b)  Chu trình sơ cấp: (b,c,d,b) (b,f,e,b) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 54 Liên thông Định nghĩa Cho G = (V,E) đồ thị vô hướng Trên V ta định nghĩa quan hệ tương đương sau: u~v ⇔ u = v hay có đường từ u đến v a) Nếu u~v ta nói hai đỉnh u v liên thông với b) Mỗi lớp tương đương gọi thành phần liên thông G c) Nếu G có thành phần liên thơng G gọi liên thơng CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 55 Liên thơng Ví dụ Đồ thị sau liên thơng? a b a b e e d d c c G2 G1 b a a b e d e c d c G3 CuuDuongThanCong.com f G4 https://fb.com/tailieudientucntt 56 Liên thông Ví dụ Cho đồ thị đơn vơ hướng G có đỉnh có đỉnh bậc Hỏi G có liên thơng khơng? Giải Đỉnh bậc nối với đỉnh cịn lại Do hai đỉnh có đường qua đỉnh bậc Suy G liên thơng Ví dụ Cho đồ thị vơ hướng G liên thơng mà đỉnh có bậc 10 Chứng minh xoá cạnh đồ thị thu cịn liên thông CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 57 Liên thông Giải Giả sử ta xóa cạnh uv Ta cần chứng minh có đường từ u đến v Ta dùng phản chứng Giả sử khơng có đường từ u đến v Khi ta có thành phần liên thơng G’ chứa u mà khơng chứa v Trong G’, u có bậc 9, đỉnh khác có bậc 10 Tổng bậc G’ số lẻ Vô lý CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 58 Liên thơng Ví dụ Xét đồ thị đơn vơ hướng G với đỉnh, có đỉnh bậc đỉnh bậc Chứng minh G liên thông Giải Giả sử G không liên thông Gọi G1, G2, …,Gk thành phần liên thơng G (k≥ 2) Vì G khơng có đỉnh cô lập nên thành phần liên thông phải có hai đỉnh Như thành phần liên thơng phải có đỉnh bậc Suy thành phần liên thơng phải có đỉnh Vậy G phải có 4k ≥ đỉnh Trái giả thiết CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 59 Liên thông Định nghĩa Cho G = (V,E) đồ thị vô hướng liên thông a) Đỉnh v gọi đỉnh khớp G – v không liên thông (G – v đồ thị G có cách xoá v cạnh kề với v) b) Cạnh e gọi cầu G – e không liên thông (G – e đồ thị G có cách xố cạnh e) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 60 Ví dụ Tìm đỉnh khớp cầu đồ thị sau Đáp án: Đỉnh khớp: w,s,v Cầu : ws, xv CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 61 Định nghĩa Cho G = (V,E) vô hướng liên thông, Kn, n>2 a) Số liên thông cạnh G, ký hiệu e(G) số cạnh mà xố G khơng cịn liên thơng b) Số liên thơng đỉnh G, ký hiệu v(G) số đỉnh mà xố G khơng cịn liên thơng CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 62 Ví dụ Tìm số liên thơng cạnh liên thông đỉnh đồ thị sau CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 63 Liên thông mạnh Định nghĩa Cho G =(V,E) đồ thị có hướng hai đỉnh u v Khi a) Đường có chiều dài k nối hai đỉnh u,v dãy đỉnh cạnh liên tiếp v0e1v1e2….vk-1ekvk cho: v0 = u, vk = v ei = vi-1vi , i = 1,2,,…,k b) Đường khơng có cạnh xuất q lần gọi đường đơn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 64 c) Đường khơng có đỉnh xuất q lần gọi đường sơ cấp d) Đường gọi mạch (chu trình) bắt đầu kết thúc đỉnh Ví dụ Đường có độ dài từ đỉnh tới đỉnh : (1,2,3,4,2) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 65 Liên thông mạnh Định nghĩa Cho đồ thị có hướng G = (V,E) Trên tập đỉnh V ta định nghĩa quan hệ tương đương sau: u~v ⇔ u = v hay có đường từ u đến v đường từ v đến u a) Nếu u~v ta nói hai đỉnh u v liên thông mạnh với b) Mỗi lớp tương đương gọi thành phần liên thông mạnh G c) Nếu G có thành phần liên thơng mạnh G gọi liên thơng mạnh CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 66 Ví dụ Đồ thị sau có liên thơng khơng? Nếu khơng xác định thành phần liên thông CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 67 ... 13 Các dạng đồ thị  Đồ thị rỗng: tập cạnh tập rỗng  Đồ thị đủ: đồ thị vô hướng, đơn, hai đỉnh có cạnh B A  Đồ thị đủ n đỉnh ký hiệu Kn