Trong các kỳ thi THPT Quốc gia, học sinh giỏi cấp tỉnh, ngoài các câu hỏi liên quan trực tiếp đến hàm số ta thường thấy có những câu hỏi mà học sinh thường phải vận dụng tư duy hàm số như là một công cụ đắc lực để giải toán như: xét tính đơn điệu của hàm số, giải phương trình, bất phương trình ,tìm cực trị ,.....Các câu hỏi này cũng thường gây khó khăn cho cả thầy và trò trong các giờ lên lớp. Trong các giờ học các em thường bị động trong nghe giảng và rất lúng túng vận dụng vào việc giải toán. Nguyên nhân là do các em chưa hiểu được bản chất của vấn đề, chưa có kỹ năng và kinh nghiệm trong việc vận dụng ứng dụng của đạo hàm vào giải toán, các em luôn đặt ra câu hỏi:“Tại sao nghĩ và làm được như vậy?’’. Để trả lời được câu hỏi đó trong các giờ dạy, việc bồi dưỡng năng lực tư duy hàm số cho học sinh thông qua các bài toán là một điều rất cần thiết. Muốn làm tốt được điều đó người thầy không chỉ có phương pháp truyền thụ tốt mà còn phải có kiến thức vừa chuyên ,vừa sâu, dẫn dắt học sinh tìm hiểu một cách lôgic bản chất của toán học. Từ đó giúp các em có sự say mê trong việc học môn Toán môn học được coi là ông vua của các môn tự nhiên. Để toán học trở nên gần gũi và là sự yêu mến, hứng thú học hỏi, niềm say mê đối với các em học sinh .Với nguyện vọng giúp học sinh thay đổi tư duy về môn toán tôi tập trung khai thác ứng dụng của đạo hàm trong việc xét tính đơn điệu của hàm số .Vì vậy, tôi chọn đề tài “ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ” để phần nào giúp các em học sinh có cái nhìn hệ thống, phát triển tư duy, trí tuệ và cách học tích cực hơn đối với dạng toán này
BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ Tên chuyên đề: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ MỤC LỤC Mục lục…………………………………………………………………… Phần : Mở đầu…………………………………………………………… Phần : Nội dung………………………………………………………… A Kiến thức ……………………………………………………… B Kỹ ……………………………… C Bài tập áp dụng Bài tập nhận biết thông hiểu ……………………………………… Bài tập vận dụng vận dụng cao……………………………………… Bài tập tự luận………………………………………………………… D.Bài tập tự luyện tập……………………………………………………… Phần III Kết luận kiến nghị……………………………………………… Tài liệu tham khảo ………………………………………………………………… PHẦN 1: MỞ ĐẦU I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trang 6 9 11 18 23 22 39 Trong chương trình mơn Tốn bậc THPT, em học sinh học đạo hàm từ cuối học kỳ lớp 11, đại đa số em học xong kiến thức đạo hàm biết vận dụng cơng thức để giải tốn tính đạo hàm, khảo sát hàm số, cịn việc ứng dụng đạo hàm để khai thác giải tốn liên quan đến hàm số, phương trình , hệ phương trình lại tỏ lúng túng, bỡ ngỡ Trong kỳ thi THPT Quốc gia, học sinh giỏi cấp tỉnh, câu hỏi liên quan trực tiếp đến hàm số ta thường thấy có câu hỏi mà học sinh thường phải vận dụng tư hàm số công cụ đắc lực để giải tốn như: xét tính đơn điệu hàm số, giải phương trình, bất phương trình ,tìm cực trị , Các câu hỏi thường gây khó khăn cho thầy trò lên lớp Trong học em thường bị động nghe giảng lúng túng vận dụng vào việc giải toán Nguyên nhân em chưa hiểu chất vấn đề, chưa có kỹ kinh nghiệm việc vận dụng ứng dụng đạo hàm vào giải tốn, em ln đặt câu hỏi:“Tại nghĩ làm vậy?’’ Để trả lời câu hỏi dạy, việc bồi dưỡng lực tư hàm số cho học sinh thơng qua tốn điều cần thiết Muốn làm tốt điều người thầy khơng có phương pháp truyền thụ tốt mà cịn phải có kiến thức vừa chuyên ,vừa sâu, dẫn dắt học sinh tìm hiểu cách lơgic chất tốn học Từ giúp em có say mê việc học mơn Tốn - mơn học coi ông vua môn tự nhiên Để toán học trở nên gần gũi yêu mến, hứng thú học hỏi, niềm say mê em học sinh Với nguyện vọng giúp học sinh thay đổi tư mơn tốn tơi tập trung khai thác ứng dụng đạo hàm việc xét tính đơn điệu hàm số Vì vậy, tơi chọn đề tài “ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ” để phần giúp em học sinh có nhìn hệ thống, phát triển tư duy, trí tuệ cách học tích cực dạng tốn II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Trong số tốn tìm khoảng đồng biến, nghịch biến học sinh trung bình làm cịn số tốn có tính chất tư tốn vận dụng tìm giá m thoả mãn số yếu tố hay áp dụng tính đồng biến nghịch biến để giải phương trình , bất phương trình, hệ phương trình học sinh thường thụ động việc tiếp cận toán, khơng trọng đến chất chất tốn ấy, phần học sinh ngại tốn khó, phần giáo viên dạy chưa trọng khai thác hướng dẫn cho học sinh Nhằm giúp học sinh vận dụng tốt phương pháp, kỹ để giải tốn tính đơn điệu hàm số cách hiệu kết tốt sau nhiều năm giảng dạy dạng toán này, với kiến thức tích lũy học hỏi được, tơi mạnh dạn nêu đề tài ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ”để giúp học sinh giáo viên tham khảo để đạt kết cao học tập giảng dạy III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Trong đề tài đưa số nhiệm vụ sau đây: a) Nghiên cứu sở lý luận dạy học phát giải vấn đề b) Vận dụng quan điểm dạy học phát giải vấn đề vào dạy học chủ đề ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu hàm số IV ĐỐI TƯỢNG VÀ KHÁCH THỂ NGHIÊN CỨU -Đề tài triển khai thực tiễn cho em học sinh có lực học từ trung bình trở lên -Các tốn ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu hàm số ,trong chương trình Tốn THPT mà trọng tâm kì thi THPT Quốc gia V PHẠM VI NGHIÊN CỨU Các dạng tốn xét tính đơn điệu hàm số chương trình tốn phổ thơng, đặc biệt kỳ thi THPT Quốc gia, kỳ thi chọn HSG cấp tỉnh - Phân loại dạng toán thường gặp phương pháp giải dạng - Thời gian dạy cho học sinh: 10 tiết VI PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Phương pháp nghiên cứu dựa tài liệu Nghiên cứu tài liệu tâm lý học, giáo dục học, phương pháp môn với tài liệu có liên quan đến đề tài - Phương pháp điều tra quan sát - Phương pháp thực nghiệm sư phạm - Phương pháp thống kê toán học -Xử lí số liệu thu sau điều tra VII CẤU TRÚC CỦA BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ Phần I : Đặt vấn đề Phần II : Nội Dung Phần III: Kết luận Kiến nghị PHẦN 2: NỘI DUNG A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định K, với K khoảng đoạn + Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) K với x1 , x2 �K : x1 x2 � f ( x1 ) f ( x2 ) + Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) K với x1 , x2 �K : x1 x2 � f ( x1 ) f ( x2 ) Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y= f(x) có đạo hàm khoảng K + Nếu hàm số đồng biến khoảng K f '( x) �0, x �K + Nếu hàm số nghịch biến khoảng K f '( x) �0, x �K Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y= f(x) có đạo hàm khoảng K + Nếu f '( x) 0, x �K hàm số đồng biến khoảng K + Nếu f '( x) 0, x �K hàm số nghịch biến khoảng K + Nếu f '( x) 0, x �K hàm số khơng đổi tập K Chú ý : + Nếu K khoảng đoạn nửa khoảng phải bổ sung giả thiết “ Hàm số y=f(x ) liên tục đoạn nửa khoảng đó”.Chẳng hạn: a; b Nếu hàm số y=f(x) liên tục đoạn có đạo hàm f '( x) 0, x �K a; b a; b khoảng hàm số đồng biến đoạn + Nếu f '( x) �0, x �K ( f '( x) �0, x �K ) f '( x ) số hữu hạn điểm tập K hàm số đồng biến K (hoặc nghịch biến K) B KỸ NĂNG Lập bảng xét dấu biểu thức P(x) Bước 1: Tìm nghiệm biểu thức P(x) giá trị x làm cho biểu thức P(x) không xác định Bước 2: Sắp xếp giá trị x tìm theo thứ tự từ nhỏ đến lớn Bước 3: Sử dụng máy tính tìm dấu P(x) khoảng bảng xét dấu Xét tính đơn diệu hàm y=f(x) tập xác định Bước 1: Tim tập xác định D Bước 2: Tính đạo hàm y ' f '( x) Bước 3: Tìm nghiệm phương trình f '( x) giá trị x f '( x ) không xác định Bước 4: Lập bảng biến thiên Bước 5: Kết luận Tìm điều kiện tham số m để hàm số y=f(x) đồng biến, nghịch biến a; b cho trước a; b �K Cho hàm số y f ( x; m) có tập xác định K, khoảng + Hàm số nghịch biến a; b � y ' 0, x �(a; b) + Hàm số đồng biến a; b � y ' 0, x �(a; b) Chú ý : - Đối với hàm số đa thức : ۣ �y ' 0, x (a; b) + Hàm số nghịch biến a; b ۣ y ' 0, x ( a; b) + Hàm số đồng biến a; b ۳� - Đối với hàm phân thức y ax b cx d : a; b � y ' 0, x �(a; b) + Hàm số nghịch biến + Hàm số đồng biến a; b � y ' 0, x �(a; b) Nhắc lại số kiến thức liên quan : Cho tam thức f ( x) ax bx c(a �0) �a f ( x) �0, x �R � � � �0 a) �a f ( x) 0, x �R � � � b) �a f ( x) �0, x �R � � � �0 c) �a f ( x) 0, x �R � � � d) Chú ý : Nếu tìm tốn tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng : Bước 1: Đưa bất phương trình f '( x ) (hoặc f '( x) 0, x �(a; b) ) dạng g ( x) h(m) (hoặc g ( x) h( m), x �( a; b) ) a; b Bước 2: Lập bảng biến thiên hàm số g(x) khoảng Bước 3: Từ bảng biến thiên điều kiện thích hợp ta suy giá trị cần tìm tham số m a; b C BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài tập mức độ nhận biết thông hiểu Câu : Cho hàm số y x 1 x Khẳng định sau khẳng định A Hàm số nghịch biến khoảng (�;1) �(1; �) B Hàm số đồng biến khoảng (�;1) �(1; �) C Hàm số nghịch biến khoảng (�;1) ; (1; �) D Hàm số đồng biến khoảng (�;1) ; (1; �) Lời giải : Đạo hàm : (�;1) ; (1; �) y' 2 0, x �1 (1 x) hàm số nghịch biến khoảng *Chú ý: Hàm số đơn điệu khoảng; đoạn, nửa khoảng tập hợp ( ký hiệu giao, hợp, hiệu hai tập hợp) Câu 2:Cho hàm số y x 3x 20 x Khẳng định sau đúng: A Hàm số nghịch biến R B Hàm số nghịch biến khoảng (�; 2) C Hàm số đồng biến khoảng (�; 2) hàm số nghịch biến khoảng (2; �) D Hàm số đồng biến R Lời giải : Hàm đa thức: y ' 3x x 20 0, x �R nên hàm số đồng biến R ( Học sinh vận dụng định lý dấu tam thức bậc hai để làm dạng toán này) Câu 3:Cho hàm số y x x x Khẳng định sau đúng: A Hàm số nghịch biến R B Hàm số nghịch biến khoảng (�;1) ; (1; �) C Hàm số đồng biến khoảng (�;1) hàm số nghịch biến khoảng (1; �) D Hàm số đồng biến R Lời giải: Hàm đa thức: y ' 3x x �0, x �R nên Hàm số nghịch biến R ( Học sinh vận dụng định lý dấu tam thức bậc hai để làm dạng toán này) Câu 4: Cho hàm số y x x x 15 Khẳng định sau khẳng định sai: A Hàm số nghịch biến (-3;1) B Hàm số đồng biến R C Hàm số đồng biến (-9; -5) D Hàm số đồng biến (5; �) x 1 � y ' 3x2 x � � x 3 � Lời giải: Hàm đa thức: Hàm số y ' 0, x �(3;1) nên hàm số nghịch biến (-3;1) Câu Với giá trị m hàm số y m x x 2x đồng biến R ? A m B m C Với giá trị m D Khơng có giá trị m Chọn: Đáp án D y m x x 2x , DR y ' x mx Để hàm số đồng biến R ۳� y ' 0, x R � �0 � m �0 (vô nghiệm) Vậy: khơng có giá trị m thỏa mãn u cầu tốn Nhận xét:Bài tốn tìm tham số để hàm số đồng biến khoảng, đoạn tức đạo hàm hàm số khơng âm đoạn, khoảng cho Ở tốn ln đồng biến R đạo hàm hàm số bậc ta để ý thấy , a c trái dấu suy đạo hàm khơng thể ln không âm suy không tồn m Câu Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = x3 - 3x2 + mx + đồng biến tập xác định A m > B m < C m �3 D m �3 Chọn đáp án D y ' = 3x2 - 6x + m Hàm số đồng biến tập xác định D=-�۳ ' 3m m 3 chọn D Câu 7.Cho hàm số f x có đạo hàm f ' x xác định, liên tục R có đồ thị hình vẽ bên Khẳng định sau đúng? f' x 1; � A Hàm số đồng biến �; 1 3; � B Hàm số đồng biến �; 1 C Hàm số nghịch biến D Hàm số đồng biến �; 1 � 3; � Lời giải đồ thị hàm số Chọn B Trên khoảng hoành Bài tập mức độ vận dụng vận dụng cao �; 1 f ' x 3; � nằm phía trục Câu 1: Có giá trị m nguyên để hàm số biến R A B y x mx mx m đồng C D 2 Lời giải : y ' x 2mx m để hàm số đồng biến R a 1 � � � 1 �m �1 � ' m m �0 y ' �0, x ��� x 2mx m �0, x �R � với m nguyên m = -1; m = 0; m = có giá trị m nguyên thoả mãn Câu 2: Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số biến khoảng xác định A m >3 B m �1 C m �1 10 y xm2 x nghịch D m 2;0 A Hàm số y f x đồng biến B Hàm số y f x nghịch biến �;3 C Hàm số y f x đồng biến D Hàm số y f x nghịch biến khoảng 0;� khoảng 3; 2 Câu 19: Cho đúng? y f x f� x x 1 x x 3 có đạo hàm Mệnh đề A Hàm số nghịch biến khoảng 3; 1 1; � C Hàm số nghịch biến khoảng 3;1 B Hàm số đồng biến khoảng �; 3 1; � D Hàm số đồng biến khoảng 3;1 Câu 20: Hàm số f ( x) có đạo hàm R hàm số f '( x ) Biết đồ thị hàm số f '( x) cho hình vẽ Hàm số f ( x ) nghịch biến khoảng �1 � ;1 � �3 � � A Câu 21 Cho hàm số B 0; � y x mx 4m x C � 1� �; � � 3� � D �;0 với m tham số Có giá trị nguyên m để hàm số nghịch biến khoảng �; � B C A D Câu 22: Tìm m để hàm số y x 3mx 2m 1 đồng biến R A Khơng có giá trị m thỏa mãn B m �1 C m D Luôn thỏa mãn với m 26 III BÀI TẬP MỨC ĐỘ 3 Câu 22 Cho hàm số y ax bx cx d Hỏi hàm số ln đồng biến R nào? a b 0, c � � a 0; b 3ac �0 A � a b 0, c � � a 0; b 3ac �0 � a b 0, c � � a 0; b 3ac �0 B � abc0 � � a 0; b 3ac C � Câu 23 Có giá trị nguyên tham số m để hàm số đồng biến khoảng xác định? A B C Vô số D y D mx x m 1 2x 1 m x m đồng biến 0; � A Câu 24: Tìm m để hàm số 1 m� �m 2 B m �0 C D Câu 25: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y mx sin x đồng m �1 biến R A m B m �1 C D m �1 y Câu 26: Tìm giá trị m để hàm số �;1 ? A m � �;1 � 2; � m � 2; � Câu 27 B m � �;1 y x m2 x 3m đồng biến khoảng C m � 1; D Tìm tất giá trị m để hàm số y x 3x mx tăng khoảng 1; � A m �3 B m �3 C m �3 D m Câu 28: Hàm số y x x mx đồng biến 0;� giá trị m là? A m �12 B m �0 C m 12 D m �0 Câu 29: Gọi S tập hợp giá trị tham số m để hàm số 3 x mx 2mx 3m nghịch biến đoạn có độ dài Tính tổng tất phần tử S A B 1 C 8 D mx y x m nghịch biến Câu 30: Tìm tất giá trị m để hàm số y �;1 27 A 2 m 1 B 2 m C 2 �m �1 D 2 m �1 Câu 31: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số x m 1 x 4mx đồng biến đoạn 1; 4 1 m� m2 A B m �R C y D m �2 Câu 32: Tìm tất số thực tham số m cho hàm số �� 0; � � đồng biến khoảng � � 1 m0 m A m B m �1 C m � A B m � �;0 m � �;1 �; B 1; A nghịch biến R B mx m x nghịch biến y C 4014 B m �0 �m Câu 37 Tìm tất giá trị m để hàm số 28 D m � 2018; 2018 Câu 36 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số �� 0; � � � A m � biến D 2; � C Câu 35 Tìm số giá trị nguyên tham số y 2m 1 x 3m cos x cot x m cot x đồng C m � 1; � Câu 34: ) Tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số A y � 1� �; � � �là? � khoảng 2; 2s inx s inx m m �0 D Câu 33: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số � � �; � biến khoảng �4 � m � �;0 � 1; � y y để hàm số D 218 y cos x cos x m nghịch C m �2 D m �0 mx 16 x m đồng biến 0;10 A m � �; 10 � 4; � B m � �; � 4; � C m � �; 10 � 4; � m � �; 4 � 4; � y D m 1 x xm Câu 38 Có tất số nguyên m để hàm số đồng biến khoảng xác định nó? A B C D m Câu 39: Có giá trị nguyên tham số để hàm số y m 1 sin x 3cos x x nghịch biến R ? A Vô số B 10 C Câu 40: Tập hợp tất giá trị tham số m y x mx m x A �; 6 đồng biến khoảng 0; là: D để hàm số C �;3 B �;3 3;6 D Câu 41: Tìm tập hợp giá trị thực tham số m để hàm số y x mx đồng biến khoảng �; � A �; 1 B 1;1 D 1; � C �;1 Câu 42: Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số nghịch biến khoảng �;1 ? A 2 m �1 B 2 �m �1 2 m Câu 43: Có giá trị nguyên m y C 2 �m �2 mx xm D 2018; 2018 thuộc đoạn để hàm số � � cot x 2m cot x 2m �; � cot x m nghịch biến �4 � A 2019 2018 C D 2020 f x mx x m y Câu 44: Cho hàm số đạo hàm m �2 f� x với x � 1; D 2 �m �1 Tìm tất giá trị tham số m để A m �1 B 2 �m �1 , m �0 Câu 45: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số �� 0; � � khoảng � � A m �0 B B m �1 29 y C m 1 C 2sin x sin x m đồng biến D m IV BÀI TẬP MỨC ĐỘ Câu 46: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số �� 0; y sin x 3cos x m sin x đồng biến đoạn � � 2� � A m 3 B m �0 C m �3 D m � Câu 47: Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số y f x cho hình bên Hàm số y 2 f x x nghịch biến khoảng A 3; B 2; 1 Hướng dẫn 1; C 0; D Chọn C � � � Ta có y 2 f x x � y x f x x y� 2f� x x � y� � f � x x � f � x x � Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng y x cắt đồ thị y f x hai điểm có hoành độ nguyên liên tiếp x1 � � x2 � từ đồ thị ta thấy f� x x � miền x nên f x x miền x � 1 x 1; Vậy hàm số nghịch biến khoảng 30 Câu 48 Cho hàm số hình bên Hàm số g( x) = f ( x) A ( - �;- 2) y = f ( x) x2 có đạo hàm liên tục � Đồ thị hàm số y= f � ( x) đồng biến khoảng khoảng sau đây? B ( - 2;2) C ( 2;4) D ( 2;+�) Lời giải Chọn B Ta có g� � g� ( x) = f � ( x) - 2x �� ( x) = � f � ( x) = x � Số nghiệm phương trình g ( x) = số giao điểm � đồ thị hàm số y = f ( x) đường thẳng d : y = x (như hình vẽ bên dưới) Dựa vào đồ thị, suy � x =- � � g� x = � x=2 ( ) � � x=4 � Lập bảng biến thiên (hoặc ta thấy với � đường thẳng y = x nên g ( x) > ) x �( 2;2) �� � � đồ thị hàm số f ( x) nằm phía hàm số g( x) đồng biến ( - 2;2) Chọn B Câu 49 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục � Đồ thị hàm số y= f � ( x) hình bên Hỏi hàm số g( x) = f ( x) +( x +1) đồng biến khoảng khoảng sau? 31 A ( - 3;1) ( 3;+�) B ( 1;3) C ( - �;3) D Lời giải Ta Chọn B có g� � g� ( x) = f � ( x) + 2( x +1) �� ( x) = � f � ( x) =- x - � Số nghiệm phương trình g ( x) = số giao điểm � đồ thị hàm số y = f ( x) đường thẳng (như hình vẽ bên dưới) Dựa vào đồ thị, suy Yêu cầu đường thẳng d : y =- x - � x =- � � � g ( x) = � � x =1 � x �= � x � � � �< x < (vì phần đồ thị f '( x) nằm phía tốn y = - x - ) Đối chiếu đáp án ta thấy đáp án B thỏa mãn Chọn B Câu 50 Cho hàm số y = f ( x) Đồ thị hàm số y= f � ( x) hình bên g x = f 3- x ) Hàm số ( ) ( đồng biến khoảng khoảng sau? A ( - �;- 1) B ( - 1;2) C ( 2;3) D ( 4;7) Lời giải Chọn B Dựa vào đồ thị, suy � - 1< x < f� ( x) > � � � x>4 � 32 � x 3 � - 1< x - < � 2< x < g( x) = f ( x - 3) �� � g� �� ( x) = f � ( x - 3) > � � � � x - 3> x>7 � � hàm số g( x) đồng biến khoảng ( 3;4) , ( 7;+�) � g� ( x) =- f � ( 3- x) > � f � ( 3- x) < Với x < g( x) = f ( 3- x) �� �� � � � x > ( loa� i) 3- x