CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC CÂU HỎI LIÊN QUAN

Tham khảo tài liệu ''chuyên đề khảo sát hàm số và các câu hỏi liên quan'', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

www.mathvn.com Khảo sát hàm số KHẢO SÁT H ÀM SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ Giải toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số cần tiến hành bước sau 1) Tìm tập xác định, xét tính chẵn, lẻ, tuần hoàn Nếu hàm số chẵn hay lẻ cần khảo sát x  0, với x < hàm số có tính đối xứng Nếu hàm tuần hồn cần xét chu kì 2) Tính y’, y” Xét dấu y’ để tìm khoảng đơn điệu Xét dấu y” để tìm khoảng lồi lõm, điểm uốn 3) Tìm điểm cực đại, cực tiểu, điểm uốn Tìm đường tiệm cận Xác định giao điểm đồ thị với trục 4) Lập bảng biến thiên 5) Vẽ đồ thị Vẽ đường tiệm cận (nếu có), rõ điểm đặc biệt (cực đại, cực tiểu, điểm uốn, giao điểm đồ thị với trục tọa độ) Chú ý hàm y = f(x) chẵn đồ thị nhận trục oy làm trục đối xứng, hàm y = f(x) lẻ đồ thị có tâm đối xứng gốc tọa độ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số a0 a) Hàm bậc hai : y = ax + bx + c   Ta có y  a  x  b 4ac  b  2a  4a Đồ thị đường parabol suy từ đồ thị hàm y = ax phép tịnh tiến song song theo véctơ r  b 4ac  b2  r   ,   2a 4a    b  b   b ,   , giảm   ,  Với a > 0, y  4ac  b đạt x  Hàm tăng   2a  2a  2a   4a b Với a < 0, max y  4ac  b , đạt x  Hàm tăng   ,  b / 2a , giảm   b / 2a,   2a 4a b) Hàm bậc ba: y = f(x) = ax + bx + cx + d  Tập xác định ( , + )  Ta có y’ = ax + 2bx + c, y” = ax + b Nếu a > a  ’y’ = b  ac + Với b  3ac < 0, y’ > với x, hàm ln đồng biến + Với b  3ac > 0, phương trình y’ = có hai nghiệm phân biệt x1 < x2 y’ >  x  [x1, x2] Hàm số tăng (giảm) (, x1) (x2, + ) (tương ứng, (x1, x2)) Điểm cực đại (cực tiểu) (x1, y(x1)) (tương ứng (x2, f(x2)) Nếu a < + Với b  3ac < 0, y’ < với x, hàm y nghịch biến + Với b  3ac > 0, tương tự ta có Hàm y ln nghịch biến (, x1) (x2, + ) y đồng biến (x1, x2) Điểm cực tiểu (cực đại) (x1, f(x1)) (tương ứng (x2, f(x2))  Điểm uốn: y” =  x =  b/3a, điểm uốn (b/3a, f(b/3a)) www.mathvn.com www.mathvn.com  Tâm đối xứng (b/3a, f(b/3a)) điểm uốn Khảo sát hàm số ax  b ,c  cx  d a bc  ad y  Ta có c c2 x  d c a  Nếu bc  ad = y  , x   d/c c c) Hàm phân thức: y   Nếu bc  ad  đồ thị hàm số suy từ đồ thị hàm số y bc  ad k với k  x c2 r phép tịnh tiến theo véctơ r =(d/c, a/c) Đồ thị có hai tiệm cận x =  d/c y = a/c d) Hàm phân thức: y  f  x   ax  bx  c , a  x d Ta có f(x) ax   b  ad  ad2  bd  c x d Tập xác định R\   d y'  a x  d  m  x  d 2 , m = ad  bd + c  Nếu m = y = ax + (b  ad), x   d  Nếu am < + Với a > 0, y’ > ( x  d), hàm đồng biến (, d), (d, +) + Với a < 0, y’ < (x  d), hàm nghịch biến ( , d), (d, +)  Nếu am > phương trình y’ = có hai nghiệm x1,2  d m m a + Nếu a > hàm tăng (, x1), (x2, +) giảm (x1,  d), (d, x2) điểm cực đại (cực tiểu) (x1, 2ax1 + b), (tương ứng, (x2, 2ax2 + b) + Nếu a < hàm tăng (x1,  d1), (d1, x2) giảm (, x1), (x2, +) Điểm cực tiểu (x1, 2ax1 + b) Điểm cực đại: (x2, 2ax2 + b) Ví dụ Cho hàm số y = f(x) = mx + 3mx  (m  1)x  a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m = b) Xác định m để hàm y = f(x) khơng có cực trị Giải a) với m = 1, y = x + 3x  Tập xác định R y’ = 3x + 6x, y’ =  x = x =  y’ = 3(x + 2) x >  x <  x > y’ <   < x < Vậy y tăng (giảm) thực ( ,  2) (0, +) (tương ứng (2, 0)) Hàm có điểm cực đại ( 2, 3) cực tiểu (0,  1) y” = 6x + 6, y” =  x =  1, y” đổi dấu qua x =  y = f(x) có điểm uốn (1, 1) www.mathvn.com www.mathvn.com Ta có bảng biến thiên X y’ + Y Đồ thị Khảo sát hàm số 2 0 1  + y -2 x -1 b) y’ = 3mx + 6mx  (m  1) Điều kiện cần đủ để y = f(x) khơng có cực phương trình f’ (x) = khơng có hai nghiệm phân biệt, nghĩa m   m    m     '  9m2  3m(m  1)    Ví dụ Cho hàm số y = x + mx  m a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = b) Khi đồ thị cắt trục hoành điểm phân biệt c) Xác định m cho x   y  Giải a) m =  y = x + 3x  Tập xác định R Chiều biến thiên y’ = 3x + 6x, y’ =  x = x =  y’ >  x <  x > Trên (,  2), (1, +) hàm đồng biến y’ <  x  (2, 0), y nghịch biến y” = 6x + 6, ta có điểm uốn (1, 1) Bảng biến thiên X 2 y’ +  Y 3 Đồ thị xem hình vẽ y -2 www.mathvn.com -1 x + www.mathvn.com Khảo sát hàm số -3 b) Đồ thị cắt trục hoành điểm phân biệt hàm số có cực đại cực tiểu ycđ yct < Thấy y’ = 3x + 2mx = x(3x + 2m) y’ =  x = x =  2m/3 Hàm có cực đại cực tiểu   2m/3   m  yc�.yct  y  0 y   2m/ 3  m  4m2  27   m  4m3  27m 0 27 3 Vậy đồ thị cắt trục hoành ba điểm phân biệt m  3 / c) y  x  1 với x 1  y  0  m 1 Với m 1, m  0, ta có  2m/ 1 Vậy, với m  [1, 1]\  0 để y  x  1 với x 1 điều kiện đủ  y   2m/ 3  4m3  m 27 (vì y (1) =  1, y(1) = 1, y (0) = m thuộc [1, 1]) Nhưng  4m3 4m2   ,  m  1   m 1 m 1 m = thỏa mãn  27 27    Kết luận m  [1, 1] Ví dụ Cho hàm số y = (m  2)x  mx + (1) a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m =  b) Chứng minh m  (0, 2) hàm khơng có cực đại cực tiểu c) Chứng minh đồ thị hàm số (1) qua ba điểm cố định Giải a) Tập xác định R y’ =  9x + =  x =  1/3 x = 1/3 Điểm cực đại (1/3, 16/9), cực tiểu (1/3, 20/9) y” =  18x =  x= 0, điểm uốn (0, 2) Bảng biến thiên X Y’ Y  1/3 16/9 + y 20/9 16/9 www.mathvn.com 1/3 20/9  www.mathvn.com Khảo sát hàm số -1 -1/3 1/3 x b) y’ = 3(m  2)x  m Khi m  (0, 2)  m / 3(m  2) < phương trình y’ = vô nghiệm 3 c) y = mx  2x  mx +  mx (x  1)  2(x  1)  y = Điểm cố định (xo, yo) phải thỏa mãn    x x2    xo  0,  o o    xo  1,   yo  xo   x 1  o   yo  yo  4,  yo  Đồ thị qua điểm cố định (0, 2), ( 1, 4), (1, 0) Ví dụ Cho hàm số y = f(x) = 2x  3(2m + 1)x + 6m (m + 1)x + (1) a) Tìm quĩ tích điểm uốn b) Tìm quĩ tích điểm cực đại c) Tìm quĩ tích trung điểm đoạn nối điểm cực đại cực tiểu đồ thị Giải a) y’ = 6x  6(2m + 1) x + 6m(m + 1) y” = 12x  6(2m + 1), y” =  x  2m   2m   2m    2m  ,f  Từ x  suy      y” đổi dấu x biến thiên qua (2m + 1)/2 Vậy điểm uốn U  2x  , thay vào phương trình y = f(x) ta thu y  2x3  x  Vậy quĩ tích đồ thị hàm 2 y 2x3  x   x m b) y’ = 6[x  (2m + 1)x + m (m + 1)], y’ =    x m m Đó hai nghiệm phân biệt rõ ràng y’(x) <  x  (m, m + 1) y’(x) >  x  (, m)  (m + 1, +) Vậy hàm ln có cực đại cực tiểu x = m x = m + tương ứng Điểm cực đại (m, f(m)) Khử m cách thay m = x, vào (1) ta y = 2x + 3x + Vậy đồ thị hàm y = 2x + 3x + quĩ tích điểm cực đại hàm số m thay đổi c) Trung điểm đoạn nối điểm cực đại cực tiểu điểm uốn, mà quĩ tích biết câu a) Ví dụ Cho hàm số y = f(x) = x  mx  (2m + 1)x + mx + a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với a = b) Tìm điểm trục tung cho qua kẻ ba tiếp tuyến với đồ thị y = f(x) với m = c) Xác định m cho phương trình f(x) = có hai nghiệm khác lớn Giải a) Với m = 0, hàm số có dạng y=x x +1 T.X.Đ R y’ = 2x(2x  1), y’ =  x = x =  2/2 www.mathvn.com www.mathvn.com Khảo sát hàm số y” = 2(6x  1), y” =  x =  6/6   y” đổi dấu qua x =  6/6 nên hàm số có hai điểm uốn  6/6,31/36 , Bảng biến thiên X  2/2 Y’  Y +  6/6,31/36 2/2 +  4 y 3/4 - /2 /2 x b) f(x) hàm chẵn nên trục tung trục đối xứng Nên qua điểm trục tung kẻ ba tiếp tuyến với đồ thị phải có tiếp tuyến song song với trục hồnh Từ điểm cần tìm phải điểm M(0, 1) Ta kiểm tra điều Giả sử y = ax + tiếp tuyến khác qua a Khi phải có  x4  x2   ax  o o o   4xo  2xo  a xo hoành độ tiếp điểm   Giải hệ (đối với (xo, a)) ta có nghiệm (0, 0),  3/3, 4 3/9 Từ tiếp tuyến khác y =   y   3/9 x  Vậy điểm cần tìm M (0, 1) c) Phương trình x  mx  (2m + 1)x + mx + = (1) tương ứng với 1   m x     2m  1  (2) x  x2 1 Đặt t  x  t’(x) =  > 0, x > t(x) > t(1) = Bây (2) có dạng x x x2  t  mt  (2  1) = (3) Vậy để có hai nghiệm lớn 1, phương trình (3) phải có hai nghiệm dương Tức phải có    m2   1 2m     S / m/   p 1  2m     m2  8m     m   m  1/   m   5,1/ Ví dụ Cho hàm số y mx  x m (1) a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m = b) Với m hàm đồng biến, nghịch biến không đổi? www.mathvn.com www.mathvn.com c) Chứng minh m thay đổi đồ thị ln qua hai điểm cố định d) Tìm quĩ tích tâm đối xứng đồ thị Giải a) Với m = 2, y  Khảo sát hàm số 2x  2  x x Tập xác định R\  2 Đồ thị có hai tiệm cận x = y = y '   x  2  với  x  Vậy y giảm khoảng (, 2) (2, +) Các điểm đặc biệt x =  y = 1/2; y =  x = 1/2 Vậy đồ thị qua điểm (0, 1/2) (1/2, 0) Bảng biến thiên X y’   Y +  Đồ thị có tâm đối xứng giao điểm I hai tiệm cận y I 1/2 1/2 b) y '   m2  x m 2, x xm  Nếu  m > (  < m < 1) hàm đồng biến khoảng (, m) (m, +)  Nếu  m < ( m  [1, 1] hàm ln nghịch biến khoảng xác định  Nếu  m = ( m =  1) y khơng đổi m =  y  R\  1 m =   y   R\   1 c) Giả sử (xo, yo) điểm cố định Khi  xo  m  i m� im  xoyo   m xo  yo   v� www.mathvn.com www.mathvn.com Khảo sát hàm số  xo  yo  x 1, yo    o   xo  1, yo 1  xo 1  x  yo    o   xoyo  Vậy đồ thị qua hai điểm cố định (1, 1) (1, 1) d) Tâm đối xứng giao hai tiệm cận tức điểm (m, m) Khi m thay đổi điểm vạch đường thẳng y = x Ví dụ Cho hàm số y   m  1 x2  m2 x m a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = b) Chứng minh với m tiệm cận xiên đồ thị tiếp xúc với parabôn cố định Xác định parabôn c) Tìm tất điểm mà tiệm cận xiên không qua Giải a) Tập xác định R\  1 Với m = 1, y  2x    x  1  y' 2  x 1  x  1 , y’ =   x 1  x 2  2  ,          y’ >  x    ,1    2 ,1  y’ <  x     2     ,  2  , cực tiểu Điểm cực đại     Bảng biến thiên X y’ + 1 2   ,  2       1  || 4 2 2 + 4 2 Tiệm cận xiên y = 2(x + 1) Tiệm cận đứng x=1 b) Ta có tiệm cận xiên y = (m + 1)x + m + m y +2 I -1 www.mathvn.com x www.mathvn.com Khảo sát hàm số Giả sử tiệm cận xiên tiếp xúc parabôn cố định y = ax + bx + c, Khi phương trình a  2 ax + bx + c = (m + 1)x + m + m có nghiệm kép với m Ta phải có 2  = (b  m  1)  4a(c  m  m) = với m, hay 2 (4a + 1)m + 2(2a  b + 1)m + b  4ac  2b + = với m  4a      2a  b      b  4ac  2b    a  1/   b 1/  c  1/  Như parabơn cần tìm y  1 x  x  0 4 c) Giả sử (xo, yo) điểm mà tiệm cận khơng qua Từ phương trình yo = (m + 1)xo + m + m vô nghiệm, hay phương trình m + (xo + 1)m + xo  yo = vô nghiệm   = (xo + 1)  4(xo  yo) <  yo   1 xo  xo  4 Đó điểm nằm parabôn y  1 x  x 4 Ví dụ Cho hàm số y x2  3x   x  1 a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b) Tìm điểm đồ thị cho tổng khoảng cách từ đến tiệm cận nhỏ c) tìm điểm đồ thị cho tổng khoảng cách từ đến hai trục nhỏ d) Tìm điểm M, N hai nhánh đồ thị (mỗi điểm thuộc nhánh) cho độ dài đoạn MN nhỏ 1  Giải a) Ta có y   x   Tập xác định R\  1 2 x   1  y '   1 , y’ =  x = 1 x = 2 2 x        y’(x) < với  < x < < x < 3/2 điểm cực đại   1,    y’(x) > với x <  x > 3/2 điểm cực tiểu  3, www.mathvn.com 3  5  www.mathvn.com X 1 y’ + Y  Khảo sát hàm số ||   + 2 y 3/2 -1 x -5/2 -3 Tiệm cận xiên : y   x  2 ~ x  2y  = Tiệm cận đứng: x = x = 0, y = 3 b) Giả sử M(x, y) điểm thuộc đồ thị mà tổng khoảng cách d = d1 + d2 d1 (tương ứng d2) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng (tương ứng tiệm cận xiên) bé Ta có d1 = x  , d  d  x     x   x  2  x    12  22  x x Vậy d 2 x  x Dấu xảy x    45 x  x 1 1 mind   45 c) Điểm M(x, y) thuộc đồ thị x  y   x   Tổng khoảng cách từ M đến trục 2 x   f  x  x  x  2 , x    ,1   1,   x  1  i x   1,+   x   x   x   v�      x   x    v� i x    ,1   x   c1) Xét f(x) với x > 1 Ta có f '  x  1    2=  x  1 f’(x) =   x  1  www.mathvn.com 10 2  x  1 2 x1= , x 1  3 www.mathvn.com Khảo sát hàm số   f’(x) > 3   1   1  2 Vậy minf  x  1  x1 2   x 3 2   x   1 ,          3  f’(x) < x   1,1  c2) Xét f(x) với  x < Khi x 2 f  x    1, f '  x    0 x  x  1 Vậy f  x  f  0 3 0x1 c3) Xét f(x) với x < Khi 1  x  2    2 x  1 2 f '  x     x  1 , f ' x   x 1  2 f’(x) < x   f(x) > x   3 3  minf  x      1    Vậy x0 2 2 3  So sánh ta thấy minf  x   f  0 3 f  x   x  x1 d) Giả sử M(s, y(s)) N (t, y(t)) t < < s điểm thuộc đồ thị Khi 4 s  t  1 y  s  y  t    s  t  2  s  1  1 t   4 s  t  1 MN  s  t    s  t  4  s  1  1 t  4 s  t 4 s  t  16   s  t , Nhưng  s  1   t   s    t      2 1 16  MN  s  t2   s  t   4 s  t  64    s  t   8  s  t  2  64 8 Dấu đạt www.mathvn.com 11 www.mathvn.com  s  1 t  s  t 2 5    s  t   64   s t  4   s  t     so    / 1  5  to 1  45 Từ M(so, y(so)), N (to, y(to)) www.mathvn.com 12 Khảo sát hàm số ... điểm uốn Khảo sát hàm số ax  b ,c  cx  d a bc  ad y  Ta có c c2 x  d c a  Nếu bc  ad = y  , x   d/c c c) Hàm phân thức: y   Nếu bc  ad  đồ thị hàm số suy từ đồ thị hàm số y bc... m  [1, 1] Ví dụ Cho hàm số y = (m  2)x  mx + (1) a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m =  b) Chứng minh m  (0, 2) hàm khơng có cực đại cực tiểu c) Chứng minh đồ thị hàm số (1) qua ba điểm cố định... 0, hàm số có dạng y=x x +1 T.X.Đ R y’ = 2x(2x  1), y’ =  x = x =  2/2 www.mathvn.com www.mathvn.com Khảo sát hàm số y” = 2(6x  1), y” =  x =  6/6   y” đổi dấu qua x =  6/6 nên hàm số