Tính đơn điệu của hàm số Định lý: (điều kiện cần) Định lý: (điều kiện đủ) Định lý mở rộng B. Cực tri của hàm số: Định lý: Định lý: (dấu hiệu thứ nhất) Định lý : (dấu hiệu thứ hai) Định lý Bài 1: Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + m (1) . Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị; đồng thời ba điểm cực trị đó tạo thành một tam giác có diện tích bằng 32 2
C HU Y Ê N Đ Ề KHẢ O S Á T HÀ M S Ố I ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TÓM TẮT GIÁO KHOA: A Tính đơn điệu hàm số Định lý: (điều kiện cần) Định lý: (điều kiện đủ) Định lý mở rộng B Cực tri hàm số: Định lý: Định lý: (dấu hiệu thứ nhất) Định lý : (dấu hiệu thứ hai) Định lý Bài 1: Cho hàm số y = x − 2mx + m (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị; đồng thời ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích 32 Bài 2: Cho hàm số y = − x3 + 3x + ( m − 1) x − 3m − (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số (1) cách gốc tọa độ O Bài 3: Cho hàm số y = x + ( m + 1) x + m + 4m x+2 (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số (1) với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông O (CTNC) mx + (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực đại, cực tiểu khoảng x (CTNC) cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm số đến tiệm cận xiên đồ thị m (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực trị điểm A, B Bài 5: Cho hàm số y = x + m + x−2 Bài 4: Cho hàm số y = cho đường thẳng AB qua gốc tọa độ (CTNC) Bài 6: Cho hàm số y = − x + + m (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực đại điểm A 2−x cho tiếp tuyến với đồ thị hàm số A cắt trục Oy B mà tam giác OBA vuông cân (CTNC) II.CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TIỆM CẬN CỦA LỚP HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ TĨM TẮT GIÁO KHOA: Bài 1: Tìm m cho đồ thị hàm số y = 2x + mx − m − có tiệm cận xiên tạo với hai trục tọa độ x+2 tam giác có diện tích (CTNC) Bài 2: Cho hàm số y = −3mx + ( 5m − 3) x + mx + (C) đường thẳng (d): y = mx − m + Xác định m biết (C) có điểm cực đại, cực tiểu tiệm cận xiên tạo với (d) góc có cơsin (CTNC) Bài 3: Cho hàm số y = 3x + m Tìm m cho đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang mx + tiệm cận với hai trụ tọa độ tạo thành hình chữ nhật có diện tích 12 Bài 4: Cho hàm số y = 2mx + ( 3m − 1) x + m + x +1 Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên tiệm cận xiện tiếp xúc với đường trịn tâm I(1;2), bán kính R = 2 (CTNC) 6x + (3m + 2)x + m − Bài 5: Cho hàm số y = Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên tiệm 3x + cận xiên tiếp xúc với đường cong (C): y = x3 − 2mx + 3x + m (CTNC) 2x + có đồ thị (C) M điểm tùy ý (C) Tiếp tiếp với (C) Bài 6: Cho hàm số y = x−2 M cắt tiệm cận ngang tiệm cận đứng A, B 1) Chứng minh M trung điểm AB 2) Chứng minh M di động (C) tiếp tuyến tạo với hai đường tiệm cận tam giác có diện tích khơng đổi 3) Chứng minh khơng có tiếp tuyến (C) qua giao điểm hai tiệm cận Bài 7: Cho hàm số y = x + 3x − có đồ thị (C) Chứng minh tích khoảng cách từ x−2 điểm M (C) đến hai tiệm cận (C) số Từ tìm tọa độ M cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ (CTNC) x2 − x + có đồ thị (C) Tìm điểm M ∈ (C) cho khoảng cách từ M tới Bài 8: Cho hàm số y = x −1 giao điểm I hai tiệm cận nhỏ (CTNC) II.TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG CONG a Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C):y = f(x) điểm M (x ; y ) ∈ (C) y (C): y=f(x) y0 M x0 Δ x Phương pháp: Phương trình tiếp tuyến với (C) M(x0;y0) có dạng: y - y0 = k ( x - x0 ) Trong : x0 : hoành độ tiếp điểm y0: tung độ tiếp điểm y0=f(x0) k : hệ số góc tiếp tuyến tính công thức : k =f'(x0) Áp dụng: Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x − x + điểm uốn `b Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước y (C): y=f(x) y0 M x0 Phương pháp: Ta tiến hành theo bước sau Δ x Bước 1: Gọi M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) tiếp điểm tiếp tuyến với (C) Bước 2: Tìm x0 cách giải phương trình : f ' ( x0 ) = k , từ suy y0 = f ( x0 ) =? Bước 3: Thay yếu tố tìm vào pt: y - y0 = k ( x - x0 ) ta pttt cần tìm Chú ý : Đối với dạng người ta cho hệ số góc k dạng gián tiếp : tiếp tuyến song song, tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng cho trước y y (C): y=f(x) Δ1 Δ2 (C): y=f(x) Δ k =a y = ax + b x k = −1 / a O x Δ : y = ax + b Khi ta cần phải sử dụng kiến thức sau: Định lý 1: Nếu đường thẳng ( Δ ) có phương trình dạng : y= ax+b hệ số góc ( Δ ) là: kΔ = a Định lý 2: Nếu đường thẳng ( Δ ) qua hai điểm A( x A ; y A ) vaø B(x B ; yB ) với x A ≠ x B hệ số góc ( Δ ) : kΔ = yB − y A xB − x A Định lý 3: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng (Δ1 ) (Δ ) Khi đó: Áp dụng: Δ1 // Δ ⇔ k Δ1 = k Δ2 Δ1 ⊥ Δ ⇔ k Δ1 k Δ = −1 Bài : Cho đường cong (C): y = x + x − x − Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = 4x+2 x2 + Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến x +1 vuông góc với đường thẳng ( Δ ) : y = −3 x Bài : Cho đường cong (C): y = c Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y=f(x) biết tiếp tuyến qua điểm A(xA;yA) y (C ) : y = f ( x) A( x A ; y A ) x O Δ : y − y A = k(x − xA ) ⇔ y = k(x − xA ) + y A Phương pháp: Ta tiến hành theo bước sau Bước 1: Viết phương trình đường thẳng ( Δ ) qua A có hệ số góc k công thức: y − y A = k ( x − x A ) ⇔ y = k ( x − x A ) + y A (*) Bước 2: Định k để ( Δ ) tiếp xúc với (C) Ta có: ⎧⎪f(x)=k(x-x A ) + y A Δ tiếp xúc (C) ⇔ hệ ⎨ ' có nghiệm (1) ⎪⎩f ( x ) = k Bước 3: Giải hệ (1) tìm k Thay k tìm vào (*) ta pttt cần tìm Áp dụng: Bài : Cho đường cong (C): y = x + 3x + Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(0;-1) Bài : Cho đường cong (C): y = 2x − x −2 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(-2;0) BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến Δ đồ thị (C) hàm số y = x − x + x điểm uốn chứng minh Δ tiếp tuyến (C) có hệ số góc nhỏ x2 + x −1 Bài 2: Cho đường cong (C): y = Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp x+2 tuyến vuông góc với đường thaúng ( Δ ) : y = x − x + 3x + Baøi 3: Cho haøm số y = x +1 (C).Tìm đồ thị (C) điểm mà tiếp tuyến x + x +1 Tìm điểm (C) mà tiếp tuyến với (C) Bài 4: Cho đường cong (C): y = x +1 vuông góc với đường thẳng (d ) : y = x vuông góc với tiệm cận xiên (C) Bài 5: x2 + x −1 (C).Tìm điểm đồ thị (C) mà tiếp tuyến x −1 Cho hàm số y = điểm với đồ thị (C) vuông góc với đường thẳng qua hai điểm cực đại, cực tiểu (C) (CTNC) Bài 6: Cho hàm số y = x + m (Cm) Goïi M điểm thuộc (Cm) có hoành độ x + Tìm m để tiếp tuyến (Cm) điểm M song song với đường thẳng 5x-y=0 Bài 7: Cho đường cong (C): y = x − 3x + Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua điểm M(2;-7) Bài 8: Cho hàm số y = x3 − 3x + m (1) Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) điểm có hồnh độ cắt trục tọa độ Ox, Oy điểm A, B cho diện tích cùa tam giác OAB 2x Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) hàm số, biết tiếp tuyến x +1 (C) M cắt trục Ox, Oy A, B tam giác OAB có diện tích x Bài 10: Cho hàm số y = (1) Viết phương trình tiếp tuyến d (C) cho d hai tiệm x −1 Bài 9: Cho hàm số y = cận (C) cắt tạo thành tam giác cân III.SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Bài toán tổng quát: ⎧(C1 ) : y = f(x) ⎩(C2 ) : y = g(x) Trong mp(Oxy) Haõy xét tương giao đồ thị hai hàm số : ⎨ y y M y2 y1 (C1 ) x O M2 (C2 ) (C1 ) M0 x x1 O x2 x O (C2 ) (C2 ) (C1) vaø (C2) điểm chung xúc y (C1 ) (C1) (C2) cắt (C1) (C2) tiếp Phương pháp chung: * Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số cho: f(x) = g(x) (1) * Khảo sát nghiệm số phương trình (1) Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm hai đồ thị (C1) (C2) Ghi nhớ: Số nghiệm pt (1) = số giao điểm hai đồ thị (C1) (C2) Chú ý : ⇔ (C1) (C2) điểm điểm chung * (1) vô nghiệm * (1) có n nghiệm ⇔ (C1) (C2) có n điểm chung Chú ý : * Nghiệm x0 phương trình (1) hoành độ điểm chung (C1) (C2) Khi tung độ điểm chung y0 = f(x0) y0 = g(x0) y y0 x x0 O Áp dụng: 2x − đường thẳng ( d ) : y = −3 x − x +1 x2 (C') : y = Bài 2: Tìm tọa độ giao điểm hai đường cong (C): y = x +1 x+3 Baøi 3: Cho hàm số y = Chứng minh với m, đường thẳng y = 2x + m cắt đồ x +1 Bài 1: Tìm tọa độ giao điểm đường cong (C): y = thị hàm số cho hai điểm phân biệt Baøi 4: Cho hàm số y = − 2x Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng y = mx + x −1 cắt đồ thị hàm số cho hai điểm phân biệt Baøi 5: Cho hàm số y = ( x − 1)( x + mx + m ) (1) Xác định m cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt Bài 6: Cho hàm số y = x + x + mx + m − (1) Xác định m cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt Bài 7: Cho hàm số y = x − ( 2m + 1) x + xm + m (1) Xác định m cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ dương Bài 8: Cho hàm số y = x − ( m + 1) x + ( 7m − ) x + − 6m (1) Xác định m cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ dương Bài 9: Cho hàm soá y = x − ( m + 1) x + m2 + 4m + x − 4m(m + 1) (1) ( ) Xác định m cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lớn Bài 10: Cho hàm số y = x − mx + m − (1) Xaùc định m cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt Bài 11: Cho hàm số y = x − (3m + 1) x + 3m (1) Xác định m cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt cho các hoành độ giao điểm lập thành cấp số cộng Bài 12: Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị (C) hàm số y = x − ( 3m + ) x2 + 3m bốn điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ x2 − Bài 13: Tìm giá trị m để đường thẳng y = −x + m cắt đồ thị hàm số y = hai x điểm phân biệt A,B cho AB = x2 + x − Bài 14: Tìm giá trị m để đường thẳng y = −2x + m cắt đồ thị hàm số y = hai x điểm phân biệt A,B cho trung điểm đoạn thẳng AB thuộc trục tung (CTNC) Bài 15: Tìm m để đường thẳng y = m ( x + 1) − cắt đồ thị (C) hàm số y = phân biệt A, B cho A, B đối xứng qua điểm M(1;1) Bài 16: Tìm m để đường thẳng y = −x + m cắt đồ thị (C) hàm số y = x +1 hai điểm x −1 2x + hai điểm phân x+2 biệt A, B cho độ dài đoạn AB ngắn Bài 17: Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) hàm số y = phân biệt A, B cho OA ⊥ OB x − mx + m − hai điểm x +1 b Điều kiện tiếp xúc đồ thị hai hàm số : Định lý : ⎧⎪ f(x) = g(x) có nghiệm ' ' ⎪⎩ f (x) = g (x) (C1) tiếp xúc với (C1) ⇔ hệ : ⎨ y (C ) M x O (C ) Δ Áp dụng: Bài 1: Cho ( P) : y = x − x − vaø (C ) : y = − x + 2x − Chứng minh (P) (C) tiếp xúc x −1 Bài 2: Tìm k để đường thẳng (d) : y = kx tiếp xúc với đường cong (C) : y = x3 + 3x + Bài 3: Tìm k để đường thẳng (d) : y = k ( x − ) − tiếp xúc với đường cong (C) : y = x3 − 3x + Bài 4: Tìm k để đường thẳng (d) : y = k ( x + 1) + tiếp xúc với đường cong (C) : y = Bài 5: Viết phương trình đường thẳng d qua A(0;-5) tiếp xúc với đường cong (C) : y = x2 − x − x +1 2x + x +1 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Cho hàm số y = x − x −1 (C) Gọi (d) đườngthẳng qua điểm M(0;-1) có hệ số góc k Tìm k để đường thẳng (d) cắt (C) ba điểm phân biệt Bài 2: Cho hàm số y = x − mx + m − (1) Xaùc định m cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt Bài 3: Cho hàm số y = x2 − 2x + x −2 (1) Tìm m để đường thẳng (d): y = mx+2-2m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt Bài 4: Cho hàm số y = x2 − x −1 (1) x +1 Tìm m để đường thẳng (d): y = m(x-3)+1 cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt Bài 5: Cho hàm số y = mx + ( m + 1) x + x +1 (1) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành hai điểm phân biệt A, B cho AB = Baøi 6: Cho hàm số y = mx + x + m x −1 (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành t hai điểm phân biệt hai điểm có hoành độdương Bài 7: Cho hàm số y = x + mx − (1) x −1 Định m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt A, B cho OA ⊥ OB Bài 8: Cho hàm số y = − x + 3x − (1) 2( x − 1) Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm A,B cho AB=1 x − 2x + (C) đường thẳng (d): y = −x + m Xác định m để (d) cắt (C) x −1 hai điểm A B đối xứng qua đường thẳng y = x + Bài 9: Cho hàm số y = VI.BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ Cơ sở phương pháp: Xét phương trình f(x) = g(x) (1) Nghiệm x0 phương trình (1) hoành độ giao điểm (C1):y=f(x) (C2): y=g(x) y (C1 ) (C2 ) x x0 Dạng : Bằng đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình f(x) = m (*) Phương pháp: Bước 1: Xem (*) phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị: • (C ) : y = f ( x ) : (C) đồ thị cố định • (Δ) : y = m : (Δ) đường thẳng di động phương Ox cắt Oy M(0;m) Bước 2: Vẽ (C) ( Δ ) lên hệ trục tọa độ Bước 3: Biện luận theo m số giao điểm ( Δ ) (C) Từ suy số nghiệm phương trình (*) (C ) : y = f ( x ) y m2 x Minh hoïa: O m1 Δ (0; m ) y=m Dạng 2: Bằng đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình : f(x) = g(m) (* *) Phương pháp: Đặt k = g(m) Bước 1: Xem (**) phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị: • (C ) : y = f ( x ) : (C) đồ thi cố đinh • (Δ) : y = k : (Δ) đường thẳng di động phương Ox cắt Oy M(0;k) Bước 2: Vẽ (C) ( Δ ) lên hệ trục tọa độ Bước 3: Biện luận theo k số giao điểm ( Δ ) (C) Dự a vào hệ thức k=g(m) để suy m Từ kết luận số nghiệm phương trình (**) y K2 Minh họa: x O M1 Δ K y=k (0; k ) Áp dụng: Bài 1: 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x − x + 12 x − 2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x − x + 12 x − − m = 3) Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: x − x + 12 x = m Bài 2: 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = 2x − 4x 2) Với giá trị m, phương trình x x − = m có nghiệm phân biệt V.HỌ ĐƯỜNG CONG BÀI TOÁN TỔNG QUÁT: Cho họ đường cong (C m ) : y = f ( x, m) ( m tham số ) Biện luận theo m số đường cong họ (C m ) ñi qua ñieåm M ( x0 ; y ) cho trước PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Ta có : Họ đường cong (C m ) qua điểm M ( x0 ; y ) ⇔ y = f ( x , m) (1) Xem (1) laø phương trình theo ẩn m Tùy theo số nghiệm phương trình (1) ta suy số đường cong họ (Cm) qua M0 Cụ thể: • Nếu phương trình (1) có n nghiệm phân biệt có n đường cong họ (Cm) qua M0 • Nếu phương trình (1) vô nghiệm đường cong họ (Cm) không qua M0 • Nếu phương trình (1) nghiệm với m đường cong họ (Cm) qua M0 Trong trường hợp ta nói M0 điểm cố định họ đường cong (C m ) Áp dụng: m2 Bài 1: Gọi (Cm) đồ thị hàm số y = − x + m + − Tìm m để tiệm cận xiên (Cm) x+m qua điểm A(2;0) (CTNC) Bài 2: Cho hàm số y = x − 3mx + x + (1) Tìm m để điểm uốn đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y=x+1 Bài 3: Cho hàm số y = x − ( m + 1) x2 + m Chứng minh đồ thị hàm cho qua hai điểm cố định với giá trị m IV.ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CÓ MANG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TÓM TẮT GIÁO KHOA Phương pháp chung: Để vẽ đồ thị hàm số có mang dấu giá trị tuyệt đối ta thực sau: Bước 1: Xét dấu biểu thức chứa biến bên dấu giá trị tuyệt đối Bước 2: Sử dụng định nghóa giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối Phân tích hàm số cho thành phần chứa dấu giá trị tuyệt đối ( Dạng hàm số cho nhiều công thức) Bước 3: Vẽ đồ thị phần ghép lại( Vẽ chung hệ trục tọa độ) * Các kiến thức thường sử dụng: Định nghóa giá trị tuyệt đối : ⎧ A neáu A =⎨ ⎩− A neáu A≥0 A