tài liệu luyện thi cao đẳng đại học chuyên đề khảo sát hàm số...
Chuyên đề KSHS – số toán liên quan Lê Hồng Thật PHẦNI:I:NHẮC NHẮCLẠI LẠIKIẾN KIẾNTHỨC THỨCCŨ CŨ PHẦN CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM *)Các quy tắc đạo hàm Quy tắc cộng: (u ± v)’ = u’ ± v’ Quy tắc nhân: (k.u)’ = k u’, k số (u.v)’ = u’v +uv’; (u.v.w)’= u’.v.w+ u.v’.w+ u.v.w’ u u'v − uv' Quy tắc chia: ÷' = v2 v Đạo hàm hàm số sơ cấp (C )’ = (x)’ =1 (x ) α , Đạo hàm hàm hợp ( u ) ' = α u α = α.xα−1; α ∈ R α −1 u'; α ∈ R −1 x ÷' = x2 ( x)' = x (sinx)’ = cosx (cosx)’ = - sinx = 1+tan2x (tanx)’ = cos x (cotx)’ = − = -(1+cot2x) sin x x x (e ) ' = e − u' u ÷' = u2 u' ( u)' = u (sinu)’ = u’.cosu (cosu)’ = -u’.sinu u' = u’(1+tan2u) (tanu)’ = cos u u (cotu)’ = − = -u’(1+cot2u) sin u u ( e ) ' = u ' eu (a x ) ' = a x ln a (a u ) ' = u '.a u ln a (ln x ) ' = x (log a x ) ' = (ln u ) ' = x.ln a u' u (log a u ) ' = u' u.ln a DẤU NHỊ THỨC BẬC NHẤT 1.Nhị thức bậc : có dạng f(x)= ax+b ( a ≠ ) 2.Xét dấu nhị thức bậc : −b + Tìm nghiệm nhị thức: ax+b=0 ⇒ x = a + Lập BXD x −b −∞ a Trái dấu với a Cùng dấu với a −∞ f(x) +Dựa vào Chú ý: TRƯỚC TRÁI, SAU CÙNG thatle1602@gmail.com BXD kết luận 0977.991.861 Chuyên đề KSHS – số toán liên quan DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 1.Tam thức bậc hai : Biểu thức có dạng ax + bx + c (a ≠ 0) 2.Xét dấu tam thức bậc hai : + Tìm nghiệm tam thức: ax +bx +c =0 tính ∆ = b − 4ac *Nếu ∆ < tam thức vơ nghiệm −∞ x ( f(x) dấu a, ∀x ∈ R ) f(x) * Nếu ∆ = tam thức có nghiệm kép x = −b ( f(x) dấu a, ∀x ≠ ) 2a * Nếu ∆>0 Lê Hồng Thật −∞ Cùng dấu với a −b 2a x (x) −b 2a −∞ −∞ Cùng dấu với a Cùng dấu với a tam thức có nghiệm −∞ x −b + ∆ −b − ∆ x x ( 1< 2) x1 = , x2 = 2a 2a f(x) x1 −∞ x2 Cùng dấu với a Trái dấu với a Cùng dấu với a (Trong trái , cùng) + Dựa vào BXD kết luận DẤU CỦA TAM THỨC BẬC BA tam thức bậc ba: ax + bx + cx + d = có nghiệm phân biệt x1, x2, x3: x f(x) −∞ x1 x2 −∞ x3 Trái dấu với a Cùng dấu với a Trái dấu với a Cùng dấu với a SO SÁNH NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC VỚI CÁC SỐ: Cho: f(x) = ax2 + bx + c ( a ≠ 0) VỚI α, β số thực x1 < α < x2 x2 > x1 > α x1 < x2 < α x1< α < β < x2 x1< α < x2 af (α ) > S −α > 2 Muốn có ∆ > af (α ) > S −α < 2 x1 < α < x < β α < x < β < x af (α ) < af ( β ) < ta phải có af (α ) < af ( β ) > α < x1 < x2 af (α ) > af ( β ) > α < S < β f (α ) f ( β ) < SO SÁNH NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC VỚI Số 0: x1 < < x2 P x1 > ∆ > P > S > x1 < x2 < ∆ > P > S < Định lý Vi –et: với tổng S, tích P, ta có: S = x1 + x2 = thatle1602@gmail.com −b a P = x1 x = c a 0977.991.861 Chuyên đề KSHS – số toán liên quan Lê Hồng Thật MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ DẤU CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ ĐẠO HÀM BÀI 1) Giải bất phương trình sau 1) x − x + > 5) (2 x − 1)( x − x + 6) ≤ 8) x−2 ≥0 4) ( x − 2)( x − x + 3) > 2x + 2 ( x − x + 10 )( − x + x − ) ≤ 6) 7) (2 x − 11x − 13)(− x − x + 7) ≥ 2) − 3x + 3x − ≤ x − 5x + ≤0 2x −1 9) 3) x + x − 15 >0 − 2x 10) x − x + 10 >0 − 3x + x + 10 12) (2 x − 7)( x − 1)(− x − x + 7) ≥ 13) (− x − 17)(5 − x)( x − x + 18) ≤ − x − 5x + ≤0 x2 + 4x − (−2 x − x + 7)(2 − x) ≤0 14) x − 10 x + 16 11) BÀI 2) Tìm tập xác định: 1) ( x − x + 8)( x − x + 18) 2) (−3x − x + 9)( x − 1) 3x + 11x + 5) x −1 4) x − x + 10 8) ( x − 2)( x − 5) (5 x + 7)(2 − x) 7) x − 10 x + 16 (5 x + x − 12)(3 x) 6) − x − 10 x + 13 ( x − x + 8) x − 10 x + 16 3) − x − x + BÀI 3) Tính đạo hàm x + 3x − y= x+2 1) y = x5 − 3x + x − 9)y = x + 4− x2 2) y = x x +1 3) y = ( x3 + x + ) 6) y = − x + x 10) y = 7)y = x sin x + cosx x + 10 x + 20 x + 2x + 11) y = sin x sin x 4) y = x +1 2x − 5) 8)y = − x + x + 12) y = −1 3x + BÀI 4)CMR a) f (x ) = sin4 x + cos4x; g(x ) = cos4x ; CMR: f’(x) = g’(x) b)y = x.sinx, CMR: xy – 2(y’ – sinx) + xy’’ = c) y = cos x CMR: y’’ + 18.( 2y-1 ) = x d) y = cos2 CMR: ycosx − y′ sin x = y e) y = cos4 x − sin4 x.CMR: y′ + sin2 x = 2 f) f ( x) = cos2 xcos x; g( x) = sin2 x + sin2 x CMR: f ′ ( x) + g′ ( x) = BÀI 5) Với giá trị m phương trình y’ = có nghiệm phân biệt? a) y = − x3 + mx + mx − m − b) y = − x3 + ( m − 1) x + ( m + 3) x − c) f (x) = mx3 mx2 − + (3 − m)x − BÀI 5) 1) f (x) = x2 − 2x − Giải: f '(x) ≤ mx3 mx2 − + (3 − m)x − ; Tìm m để: 2)Cho f (x ) = 3)Cho y= x3 -3x2 + Tìm x để : a/ y’ > 4)Cho f(x) = x – 2x + mx – Tìm m để: a/ f’(x) ≥ a) f '(x) > ∀ x ;b) f '(x ) có nghiệm pb dấu b/ y’< x 5)Cho y = − x + mx + ( 3m − ) x + ; Tìm m để y’ ≤ thatle1602@gmail.com 0977.991.861 Chuyên đề KSHS – số toán liên quan Lê Hồng Thật PHẦNII: II:KIẾN KIẾNTHỨC THỨC12 12 PHẦN - BÀI 1: SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Hàm số y = f(x) có đạo hàm (a; b) a) Nếu f’(x) > , ∀ x ∈ (a; b) f(x) đồng biến (a; b) b) Nếu f’(x) < , ∀ x ∈ (a; b) f(x) nghịch biến (a; b) c) Nếu f’(x) = , ∀ x ∈ (a; b) f(x) khơng đổi dấu (a; b) Định lý (Mở rộng): Hàm số y = f(x) đồng biến (a; b) ⇔ y’ ≥ 0, ∀ x ∈ (a; b) ( dấu xảy vài điểm hữu hạn) Hàm số y = f(x) nghịch biến (a; b) ⇔ y’ ≤ 0, ∀ x ∈ (a; b) ( dấu xảy vài điểm hữu hạn) Dạng 1: Xét chiều biến thiên hàm số: Phương pháp tìm khoảng đồng biến, nghịch biến: B1: Tìm TXĐ B2: Tìm y', Giải PT y' = (nếu có) Chú ý đến phương pháp xét dấu nhị thức bậc tam thức bậc hai B3: Lập BBT kết luận Bài tập: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số sau: a) y = x + x + x − b ) y = x3 − 3x + d) y = x − x + x − 12 e) y = x − x + Xét tính đơn điệu hàm số: a) y = x +1 x−2 b) y = 2x −1 x +1 c) y = c) y = −2 x + 3x + f) y = − x + x − 1− x 3x − Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số sau: a) y = x − x + b) y = − x + x Làm tập 1, 2, 3, sgk/10 c) y = x + Dạng 2: Bài toán tham số m Chú ý: Hàm số ĐB y’ ≥ 0, với x ∈ TXĐ a > ax + bx + c ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆ ≤ Hàm số NB y’ ≤ 0, với x ∈ TXĐ a < ax + bx + c ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆ ≤ a > ax + bx + c > 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆ < a < ax + bx + c < 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆ < Hàm số phân thức đồng biến tập xác định y’ > với x thuộc D BÀI TẬP 2 Cho hàm số y = − x + 2mx − (4m + 9) x + m + 2011.CM hàm số nghịch biến với m CMR hàm số luôn nghịch biến TXD y = x − (3m − 1) x + (3m − 2m + 21) x + 2010m thatle1602@gmail.com 0977.991.861 Chuyên đề KSHS – số toán liên quan Lê Hồng Thật mx − CMR:hàm số đồng biến khoảng xác định 2x + m 2 CMR hàm số luôn đồng biến TXĐ:y = x + mx + (2m − m + 1) x + m + Cho hàm số y = CMR hàm số luôn đồng biến TXĐ: y = x − (m − 1) x + (m − 4m + 21) x + 2010m Tìm m để hàm số y = x3 − x + ( m − 1) x + m đồng biến R 3 10 Tìm m để hàm số y = x − 3mx + ( 2m − 1) x + đồng biến R (Đs: m ≥ ) (Đs: m = ) 3 11 Tìm m để hàm số y = − x + mx + ( 3m − ) x + nghịch biến R ( ) 2 12 Tìm m để hàm số y = − m + 5m x + 6mx + x + − m đồng biến R 13 Tìm m để hàm số y = ( m − 1) x 14 Xác định m để hàm số y = 3 + mx + ( 3m − ) x + đồng biến R (Đs: − ≤m≤0) (Đs: m ≥ ) x3 mx − − x + Đồng biến ( 1; +∞ ) Nghịch biến ( −∞; −1) 15 Cho hàm số y = x − ( m + 1) x + ( m + 1) x + Định m để Hàm số đồng biến khoảng ( 2; +∞ ) 16 Cho hàm số y = x − ( 2m + 1) x + ( 12m + ) x + a Định m để hàm số đồng biến khoảng ( 2; +∞ ) b Định m để hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −1) 17 Tìm m để hàm số y = x + x + mx + − 2m nghịch biến đoạn có độ dài Dạng 3: Sử dụng biến thiên để chứng minh Bất đẳng thức π ÷ 2 18 a) Chứng minh: tanx > x, ∀x ∈ 0; (Đs: m = ) π ÷ 2 b) Chứng minh: 2sinx + tanx > 3x , ∀x ∈ 0; - BÀI 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Quy tắc xác định CĐ, CT: Tìm TXĐ Tính y’ Tìm điểm làm cho y’=0 khơng xác định Lập bảng biến thiên Kết luận Quy tắc xác định CĐ, CT: Tìm TXĐ Tính y’.giải PT y’= tìm xi (i=1,2,3) Tính y” Tính y”(xi) Dựa vào dấu y”(xi) kết luận: Nếu y”(xi) < 0thì hàm số đạt cực đại xi Nếu y”(xi) > 0thì hàm số đạt cực tiểu xi Chú ý: Nếu hàm số có đạo hàm khoảng (a; b) đạt cực đại hay cực tiểu x f’(x0) = ( Điều ngược lại chưa đúng) thatle1602@gmail.com 0977.991.861 Chuyên đề KSHS – số toán liên quan Lê Hồng Thật DẠNG 1: Sử dụng Quy tắc để tìm cực trị hàm số Phương pháp: Bước 1: Tìm tập xác định Bước 2: Tìm f’(x) Giải PT f’(x) = 0, tìm nghiệm Bước 3: Lập bảng biến thiên Bước 4: Từ BBT, suy điểm cực trị hàm số BÀI TẬP (lưu ý hàm lượng giác ta nên dùng quy tắc 2) Tìm cực trị hàm số sau: a) y = 2x3 + 3x2 – 36x -10 b) y = -5x3 + 3x2 – 4x + g) y = sin2x b) y = -x3 + 6x2 + 15x + 10 e) y = x4 + 2x2 – h) y = sinx + cosx c) y = x3 – 3x2 – 24x + f) y = x2( – x2) i) y = sin2x Dạng 2: Bài tốn chứng minh Chứng minh hàm số ln ln có CĐ, CT (tức có cực trị).CM: ∆ y ' > ∀m a) y= x3 − 3mx + 3(m − 1) x − m3 c) y= x − (2a − 1) x + (a − 2) x + a x3 b) y= − mx + ( m − 1) x + (m − 1) 3 2 d y = -x3 - 3x2 + 4m2x e) y = x − 3mx + ( m − 1) x − m Chứng minh hàm số cực trị a) y = − x + mx − (2m − m + 1) x + m c) y = x + mx + (2m − m + 1) x + m + 3 2 CM: ∆ y ' ≤ ∀m 2 b) y = − x + 2mx − (4m + 9) x + m + 2011 3 2 d) y = x − (m − 1) x + (m − 4m + 21) x + 2010m Dạng 3: Tìm điều kiện tham số để hàm số: Cho hàm sô y = f ( x ) ,đồ thị (C) − Nghiệm PT f ' ( x ) = hoành độ điểm cực trị f ' ( x0 ) = hàm số đạt cực đại x = x0 f '' ( x0 ) < − Nếu f ' ( x0 ) = hàm số đạt cực tiểu x = x0 f '' ( x0 ) > − Nếu CỰC TRỊ HÀM BẬC BA: − Để hàm số y = f ( x ) có cực trị − Để hàm số − Để hàm số − Để hàm số − Để hàm số a ≠ ⇔ ∆ > ∆≤0 y = f ( x ) khơng có cực trị y = f ( x ) có hai cực trị nằm phía trục hồnh ⇔ yCĐ yCT < y = f ( x ) có hai cực trị nằm phía trục tung x CĐ x CT > y = f ( x ) có hai cực trị nằm phía trục tung ⇔ xCĐ xCT < − Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm phía trục hồnh − Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm phía trục hồnh − Để hàm số y = f ( x ) có cực trị tiếp xúc với trục hoành yCĐ + yCT > ⇔ yCĐ yCT > yCĐ + yCT < ⇔ yCĐ yCT < ⇔ yCĐ yCT = BÀI TẬP Tìm m để hàm số có cực trị (tức có CĐ, CT có cực trị): a) y = x3 - 3(m+1)x +m + b) y = x + mx + (m + 6) x − (2m + 1) c) y = x3 − x + mx − 3 d) y = x − x + 3mx + − m e) y = (m + 2).x + x + m.x − f) y = (m + 3) x3 − x + mx + m thatle1602@gmail.com 0977.991.861 Chuyên đề KSHS – số toán liên quan Lê Hồng Thật Tìm m để hàm số khơng có cực trị (tức khơng có CĐ, CT) a) y = x − 3(m + 1) x + 6mx − 2m b) y= x − x + mx − (m g ( x ) ≠ 0, a=0 a ≠ Có cực trị: ax +bx+c=0 vơ nghiệm có nghiệm kép x0 ∆ ≤ a) y = mx4 + (m2 – 9).x2 + 3m + b) y = mx4 + (m2 – 4).x2 + 3m + 4 2 c) y = mx + ( m − ) x + 10 ĐH – B – 2002 d) y = kx + ( k − 1) x + − 2k CMR hàm số có cực trị: 2 a) y = x + m x + 2012 b) y = x + 2(m + 1) x − 2011 c) y = x + (m + 2011) − 2013 10 CMR hàm số ln có cực trị: 2 4 a) y = x − 2(2m + 1) x + m b) y = (m + 2011) x − x + 2m c) y = m − m + x − x + 2011 11 Cho hàm số y = x3 + ( − 2m ) x + ( − m ) x + m + Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị đồng thời hồnh độ điểm cực tiểu nhỏ ( 12 ) Cho hàm số y = x3 − mx + ( 2m − 1) x − m + ( Cm ) Định m để hàm số có cực trị dương 13.Cho hàm số y = x − 2mx + m x − Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x = 14.Tìm m để hàm số y = x3 − mx2 + (m− )x + có cực trịtại x =1 Khi hàm số có C§ hay CT ? 15.Cho hàm số y = mx − mx + Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x = 16.Cho hàm số y = ( m + 1) x − ( m + ) x + ( m + 3) x, ( m ≠ −1) Tìm m để đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ làm điểm cực tiểu 17.Cho hàm số y = x3 + (m+3)x2 + – m tìm m để hàm số đạt cực đại x = -1 18.Cho y = - (m2 + 5m)x3 + 6mx2+ 6x – Tìm m để hàm số đạt cực đại x = 19.Cho y = mx3 + m2x2 – x + tìm m để hàm số đạt cực đại x = -1 20.Cho hàm số y = 2x3 + · − 12x − 13 Tìm a để hàm số có CĐ, CT điểm cực trị cách Oy 21.Tìm hệ số a, b, c cho hàm số: f (x) = x3 + ax2 + bx + c đạt cực tiểu điểm x = 1, f(1) = -3 đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ Chú ý: - Cách tính tung độ cực trị hàm số y = f(x) x0 Hàm số : thục phép y0 = f(x0) Hàm đa thức: chia đạo hàm ( lấy y chia cho y’ thương q(x) dư r(x)) Khi đó, y = q(x).y’ + r(x) Vì hàm số đạt cực trị x0 nên y’(x0) = thatle1602@gmail.com 0977.991.861 Chuyên đề KSHS – số tốn liên quan Lê Hồng Thật Do đó, giá trị cực trị y0 = r(x0) ( tức x0 vào phần dư r(x) để tính tung độ cực trị) Khoảng cách hai điểm: A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) ⇒ AB = ( x2 − x1 ) A(x; y) thuộc trục hoành y = 0, B(x;y) thuộc trục tung x = + ( y2 − y1 ) Bài tập: 22 Cho hàm số y = x − x + 4m Chứng minh hàm số ln có cực trị Khi xác định m để hai điểm cực trị thuộc trục hồnh ( Đs: m = 0; m = 1) 23 Cho hàm số y = x − ( 2m + 1) x + 6m ( m + 1) x + Chứng minh hàm số ln có cực đại, cực tiểu x1, x2 x1 – x2 không phụ thuộc vào m 2 24 Cho hàm số y = x + 2(m − 1) x + m − 4m + x + m + Tìm m để hàm số có cực đại, ( cực tiểu x1, x2 1 x1 + x2 + = ( Đs: m = 5; m = x1 x2 ) ( ) 25 Cho hàm số y = x − ( m + 1) x + 3m ( m + ) x + Chứng minh hàm số ln có cực đại, cực tiểu Xác định m để hồnh độ cực trị dương 26 Cho hàm số y = x + (1 − 2m) x + ( − m ) x + m + Tìm m để hàm số có điểm cực đại, cực 5 7 (Đs: m ∈ ( −∞; −1) ∪ ; ÷ ) 4 5 2 27 ( B – 2007) Cho hàm số y = - x + 3x + 3(m -1) – 3m - (1), m tham số.Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số (1) cách gốc toạ độ O (Đáp số : m = ½ ; m = - 1/ 2) 28 (CĐ 2009) Cho hàm số y = x3 – (2m – 1)x2 + (2 – m)x + (1) Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số (1) có hồnh độ dương 29 (B – 2002) Cho hàm số y = mx + (m − 9) x + 10 Tìm m để hàm số có cực trị tiểu đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ 30 Cho hàm số y = x − mx + 2 (C) Tìm m để đồ thị hàm số có cực tiểu mà khơng có cực đại 31 Cho hàm số y = x + 4mx3 + 3(m + 1) x + Tìm m để đồ thị hàm số có cực tiểu mà khơng có cực đại 32 Cho hàm số y = x − 2m2 x + Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực trị đỉnh tam giác vuông cân 33 Cho hàm số y = x − 3mx2 + (m2 + 2m − 3)x + 3m + Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại cực tiểu nằm phía trục tung 34 Cho hàm số y = x − 3(m + 1) x + 6mx − 2m Xác định m để hàm số có cực trị, tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết PT ĐT qua điểm cực trị 35 Cho hàm số y = ( + m ) x + 3x + mx − Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu Viết PT ĐT qua điểm cực đại, cực tiểu 2 36 (A – 2002)Cho hàm số y = − x + 3mx + − m x + m − m Viết PT ĐT qua điểm cực ( ) đại, cực tiểu hàm số 37 T×m m ®Ĩ hµm sè f ( x) = x + mx + x + có đờng thẳng qua cực đại cực tiểu vuông góc với ®êng th¼ng y = x − 38 Cho hàm số y = x3 -3(m+1)x +m + Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu ĐT nối điểm cực đại, cực tiểu qua điểm M(4;-2) BÀI 3: GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ I Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định tập D thatle1602@gmail.com 0977.991.861 Chuyên đề KSHS – số toán liên quan Lê Hồng Thật f ( x ) ≤ M , ∀x ∈ D f ( x) = M ; ký hiệu: Max D ∃x0 ∈ D, f ( x0 ) = M Số M gọi giá trị lớn f(x) D ⇔ f ( x ) ≥ m, ∀x ∈ D f ( x) = m ; ký hiệu: Min D ∃x0 ∈ D, f ( x0 ) = m Số m gọi giá trị nhỏ f(x) D ⇔ -Phương pháp tìm GTLN,GTNN trên: Khoảng (a;b) Đoạn [a;b ] • • TXĐ Tính y’.giải PT y’=0 tìm điểm cực trị Lập bảng biến thiên Nhìn bảng biến thiên kết luận Làm tập 4, trang 24 sgk TXĐ Tính y’ • Giải pt y’ = tìm nghiệm x0 ∈ ( a; b ) • Tính y (x0 ) , y(a) , y (b) y=M Chọn số lớn M , KL : max [ a ;b ] y=m Chọn số nhỏ m , KL : [ a ;b ] BÀI TẬP 39 Tìm GTLN,NN h.số đoạn ra: a) y = x + x − [-2;-1/2] b) y = − x − x + 20 x + đoạn [-2;2] 5 c) y = 2x3 – 3x2 – 12x + −2; d) y = x3 – 3x + [-2; 2] e) y = f ( x) = x − x + với x ∈ [-2; 3] g) y = x + ( − x ) [ −1;1] f) y = x − x + đoạn [ −3; 2] Tìm GTLN,NN h.số (thay đoạn thành khoảng): 40 Tìm GTLN,NN h.số đoạn 3x − x −2 x −1 a) y = đoạn [2;4] [-3;-2] b) y = [0; 3] c) y = đoạn [ 0; 2] x −1 x +1 x −3 41 Tìm GTLN, GTNN hsố đoạn ra: π 2cos2x + 4sin x [0; ] 4) y = sin x − sin x [0; π ] (TN-04) π π 7) y = 5cosx – cos5x − ; 4 1) y = π 10) y = cos2 x − cosx + 0; 13) y = + sin x − 17) y = sin x ln x ; [ 2;3] x 21) y = x.e x ; [ − 1;2] 18) y = 22) y = π π 2) y = x − sin 2x − ; π 3) y = x + 2cosx 0; 5) y = 2sinx + sin 2x 0; 6) y = sin x + cos x + 1; [0π ; ] 3π 8) y = sin x + cos3 x; [0; π ] 9) y = sin4x + cos2x + [0;π] 11) y = sin x − sin x − 12 sin x + 10 ; 12) y = −2 cos x − cos x 14) y = sin x + sin x − cos x + 1; [0; π2 ] ex ; [ ln 2; ln 4] ex + e x ln x; [1; e] 19) y = e x −2 x 15) y = ; [ 0;3] 23) y = x e x ; [ − 3;2] cos x + cos x 16) y = 20) y = e x −3 x + x2 ; [1;3] ex ; [ 0;2] 24) y = x − ln(1 − x); [ − 2;0] - BÀI 4: TIỆM CẬN thatle1602@gmail.com 0977.991.861 Chuyên đề KSHS – số toán liên quan Tiện cận đứng: Nếu xảy trường hợp lim y = +∞; lim y = −∞; lim y = +∞; lim y = −∞ x→ x + x→ x + x→ x − x→ x − 0 0 Thì tiệm cận đứng : x = x0 lim y = y0 ; lim y = y0 Tiệm cận ngang: Nếu xảy trường hợp x→+∞ x→−∞ Thì tiệm cận ngang là: y = y0 Chú ý: Tiệm cận có Hàm số hữu tỉ Quy tắc tìm giới hạn thương Lê Hồng Thật f ( x) g ( x) lim f ( x) x→ x lim g ( x) x→ x Dấu g(x) L L>0 ±∞ Tùy ý + + - L< f ( x) lim x→ x g ( x ) 0 +∞ -∞ -∞ +∞ + − Các quy tắc cho trường hợp x → x0 ; x → x0 Cách tìm f ( x) c lim =0 : Chia tử mẫu cho x với số mũ cao áp dụng lim c = c; lim x→±∞ g ( x) x→±∞ x→±∞ x k Nhắc lại: Cho điểm M(x0; y0) ĐT d1 ; d2 có PT: x – a = 0, y – b = Khoảng cách từ M đến d1 | x0 – a| Khoảng cách từ M đến d2 | y0 – b| BÀI TẬP 42 Tìm đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số: 3x + x−2 x+3 3x − 3) y = 4) y = 5) y = 6) y = x +1 2x +1 2+ x x −1 x+3 x +1 2x −1 − 2x −4 8) y = 9) y = 10) y = 11) y = 12) y = 2x −1 x+2 3x + − 3x x +1 4− x 1 Cho hàm số y = CM: Với m, tiệm cận ngang đồ thị hàm số qua B − ; − ÷ 2 x + 3m mx − Cho hàm số y = Tìm m để tiệm cận đứng đồ thị qua A −1; 2x + m x+2 Cho hàm số y = Tìm điểm M đồ thị hàm số cho khoảng cách từ M đến tiện cận x−3 x 2− x 1− x 7) y = x +1 1) y = 43 44 45 2) y = ( ) đứng khoảng cách từ M đến tiện cận ngang - BÀI 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ I - HÀM BẬC BA y = ax3 + bx2 + cx + d (a≠ 0) Các bước khảo sát hàm bậc ba: Bước : Lập bảng biến thiên Bước : TXĐ : D=R Bước : Tính y’ Giải PT y’=0 tìm điểm cực trị Bước : Tính giới hạn: thatle1602@gmail.com 10 Bước 6: Nhìn BBT kết luận (có ý sau) Hàm số đạt CĐ x=? y=? Hàm số đạt CT x=? y=? Hàm số đồng biến khoảng ? Hàm số nghịch biến khoảng ? Bước : đồ thị Bảng giá trị x 0977.991.861 Chuyên đề KSHS – số toán liên quan Bài 2) Lê Hồng Thật Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: a) y = x4 – 2x2 b) y = f(x) = x4 + 2x2 -1 c) y = -x4 +2x2 + d) y = III - HÀM NHẤT BIẾN: y = x4 − x + e) y = x − 3x + 2 2 ax + b ( c ≠ 0; ad − bc ≠ ) với cx + d d a x0 = − y0 = c c Các bước khảo sát hàm biến d c Bước : Lập bảng biến thiên Bước : TXĐ : D = R − Bước : Tính y ' = ad − bc ad−bc > y/>0, ∀ x ∈D (cx + d )2 ad−bc < y/ < 0, ∀ x ∈D Kết luận : (bắt buộc có) * hàm số ko có cực trị * hàm số tăng (giảm) Bước : Tiệm cận: • x = x0 tiệm cận đứng lim y = ± ∞ lim y = ± ∞ x → x0 + x → x0 − • y = y0 tiệm cận ngang lim y = y0 Bước : đồ thị Bảng giá trị x y Vẽ đồ thị : vẽ tiệm cận trước NHẬN XÉT: Đồ thị nhận giao điểm tiệm cận làm tâm đối xứng x →± ∞ y y Chú ý : Có loại đồ thị I I O O x Dạng 1: hsố đồng biến Bài 3) Dạng 2: hsố nghịch biến Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: a) y = 2x − x +1 b) y = x −1 x+2 c) y = x +1 x −1 d) y= x 2x − 3− x e) y = x x −1 f) x+2 x−2 IV – CÁC BÁI TOÁN LIÊN QUAN: VẤN ĐỀ : TIẾP TUYẾN Loại 1: TT đồ thị điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) với TT (d) − Tính đạo hàm f’(x) giá trị f ' ( x0 ) − PT TT có dạng (d): y = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 Bài 4) Viết PT TT với (C) biết: a ( C ) : y = x + x + M o (−2; −9) ∈ (C ) b ( C ) : y = x − x + M o ∈ (C ) có tung độ yo = c ( C ) : y = x − x + 2, M o giao điểm ( C ) với đt y = d ( C ) : y = x − x, với M o giao điểm ( C ) Oy e ( C ) : y = x − x + với M o ∈ (C ) giao điểm ( C ) Ox thatle1602@gmail.com 12 0977.991.861 Chuyên đề KSHS – số toán liên quan Lê Hồng Thật Loại 2: Biết hệ số góc TT k với TT (d) − Giải PT: f ' ( x ) = k , tìm nghiệm x0 ⇒ y0 − PT TT dạng (d): y = k ( x − x0 ) + y0 Chú ý: Nếu d // ∆ : y = ax + b k = a Nếu d ⊥ ∆ : y = ax + b k = − a Bài 5) Cho (C) y = f ( x) = x − x + Viết PT TT với (C) biết: b) TT vng góc với y = − x + a) TT song song với y= 6x-1 Cho ( C ) y = − x + x − x + Viết PT TT với ( C ) biết TT đó: a Song song với đt : x + y − = b Vuông góc với đt : x − 29 y + = Bài 6) Loại 3: TT (C) qua điểm A ( xA ; y A ) ∉ ( C ) − Gọi d ĐT qua A có hệ số góc k, ( d ) : y = k ( x − x A ) + y A f ( x ) = k ( x − x A ) + y A f ' ( x ) = k − Điều kiện tiếp xúc ( d ) ( C ) hệ PT sau phải có nghiệm: Tổng quát: Cho hai đường cong ( C ) : y = f ( x ) ( C ') : y = g ( x ) Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc với f ( x) = g ( x) f '( x) = g ' ( x) hệ sau có nghiệm Bài 7) Cho ( C ) y = x−2 Viết pttt với ( C ) biết TT : x +1 2) Qua điểm A(2;1) 1) Qua gốc tọa độ O Bài 8) Cho ( C ) : y = x − x + Viết pttt với ( C ) biết TT a Tại điểm có hịanh độ xo = −3 Bài 9) Cho ( C ) : y = b Qua A(2; −2) x − x + 3x − , viết PT TT biết TT qua K (0; −1) BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Bài 10) Cho hàm số y = x − x Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số Viết PT TT ∆ (C): a) Tại điểm có hồnh độ x = c) ∆ // d1 : 24 x − y + 2009 = Bài 11) Cho ( C ) : y = x−3 Viết pttt với ( C ) biết : x +1 a Tại M giao điểm ( C ) Oy c Tại K có hoành độ -2 Bài 12) Cho hàm số Bài 14) Cho hàm số y = b) Tại điểm có tung độ y = d) ∆ vng góc với: d : x + 24 y + 2009 = b TT song song với đt y = x + d Vng góc với đt x + y − = y = − x − x + (ĐH-D-10) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho y = x −1 Viết PT TT đồ thị (C),biết TT vng góc ĐT Bài 13) Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + (1) (ĐH −B - 08) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Viết PT TT đồ thị hàm số (1), biết TT qua điểm M(–1;–9) 2x x +1 (ĐH−D - 07) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho thatle1602@gmail.com 13 0977.991.861 Chuyên đề KSHS – số toán liên quan Lê Hồng Thật Tìm điểm M thuộc (C), biết TT (C) M cắt Ox, Oy A, B diện tích tam giác OAB = Bài 15) Cho đồ thị hàm số ( C ) : y = x − 3x + Tìm tập hợp điểm trục hồnh cho từ kẻ TT với (C) Bài 16) Cho đồ thị hàm số ( C ) : y = x − x + Tìm điểm M nằm Oy cho từ M kẻ TT đến (C) Bài 17) Cho đồ thị hàm số ( C ) : y = x − 3x + Tìm điểm ĐT y = cho từ kẻ TT với (C) Bài 18) Cho hàm số y = x − 3x+ (1) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b Viết PT TT đồ thị hàm số (1) biết TT qua A(1;0) Bài 19) (D – 2005) Gọi (Cm) đồ thị hàm số : y = m x − x + ( m laø tham 3 số) Gọi M điểm thuộc (Cm) có hòanh độ – Tìm m để TT (C m) M song song với đường thẳng 5x – y = Bài 20) Bài 21) Bài 22) x − x − Viết PTTT giao điểm đồ thị với Ox (y = ± 15x – 45) 4 2x +1 Cho hàm số y = Viết PT TT đồ thị biết TT có hệ số góc -5 x−2 x+2 ( A – 2009) cho hàm số y = Viết PTTT đồ thị hàm số biết TT cắt trục hồnh, trục tung 2x + Cho hàm số f ( x ) = A, B tam giác OAB cân gốc toạ độ ( đs: y = -x – 2) Bài 23) (D-2002) Cho hàm số 2m − 1) x − m ( y= x −1 Tìm m để đồ thị tiếp xúc với ĐT y = x VẤN ĐỀ 2: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PT BẰNG ĐỒ THỊ Phương pháp + Biến đổi phương trình dạng f(x) = g(m) (1) y = f ( x) : (C ) + (1) PT hoành độ giao điểm y = g (m) : ∆ song song hoac trung Ox + Do số nghiệm (1) số giao điểm ∆ (C) + Lập bảng biện luận + Kết luận BÀI TẬP Bài 24) Bài 25) Cho hàm số y = - x3 + 3x + a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Dựa vào đồ thị, biện luận theo m số nghiệm pt: x3 - 3x + m = Cho hàm số y = x3 + 3x2 + a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Dựa vào đồ thị, biện luận theo m số nghiệm pt:x3 + 3x2 + = m/2 Bài 26) Cho hàm số y = x − 3x + 2 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Dựa vào đồ thị, biện luận theo m số nghiệm pt: x4 – 6x2 + = m Bài 27) Cho hàm số y = x − x có đồ thị (C) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm PT: x − 3x + 3m − = thatle1602@gmail.com 14 0977.991.861 Chuyên đề KSHS – số toán liên quan Bài 28) Cho hàm số y = Lê Hồng Thật 3 x − x + (C) (TN-10) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Tìm giá trị m để PT x − x + m = Bài 29) Bài 30) Cho hàm số y = − x + 3x có đồ thị (C) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Tìm m để PT sau có nghiệm : − x + 3x + − m = Cho hàm số y = − x + 3x − có đồ thị (C) a) b) Bài 31) Bài 32) Bài 33) Bài 34) có nghiệm phân biệt Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) Dùng đồ thị (C) , xác định k để PT x − 3x + k = có nghiệm phân biệt Cho hàm số y = x3 - 3x2 + a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Biện luận theo m số nghiệm của: x3 – 3x2 + - m = Cho hàm số y = x − 2x − có đồ thị (C) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) b Dùng đồ thị (C ) , biện luận theo m số nghiệm PT − x + x + − m = c Cho hàm số y = - x4 + 2x2 + a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) b Dựa vào đồ thị, tìm m để PT: x4 – 2x2 + m = có nghiệm phân biệt (A – 2002) Cho hàm số y = -x3 + 3mx2 + 3(1 –m2)x + m3 – m2 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị m = b Tìm k để PT : -x3 + 3x2 + k3 – 3k2 = có nghiệm phân biệt (A – 2006) Cho hàm số y = 2x3 – 9x2 + 12x – a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị b Tìm m để PT sau có nghiệm phân biệt: 2|x3| - 9x2 + 12|x| = m Bài 35) (B – 2009) Cho hàm số y = 2x4 – 4x2 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị b Tìm m để PT sai có nghiệm phân biệt: x2|x2 – 2| = m Bài 36) ( Học viện hành quốc gia – 2001) Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 9x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị b Biện luận theo m số nghiệm PT : |x3| - 6x2 + 9|x| – + m = Bài 37) Cho hàm số y = x3 – 3x – a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị b Định m để PT x − 3x − = log m có nghiệm phân biệt.( đs: 1 12) c) Tìm m để ĐT (d) cắt đồ thị hai điểm phân biệt thuộc nhánh Bài 48) Cho hàm số y = x3 – 3x + a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Gọi d ĐT qua tâm đối xứng đồ thị có hệ số góc m Tìm m để d cắt đồ thị điểm phân biệt Bài 49) Cho hàm số y = x3 + mx2 - x – m Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt hoành độ giao điểm lập thành cấp số cộng (m = 0; 3; -3) Bài 50) Cho hàm số y = x+3 x +1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Chứng minh với m, ĐT y = 2x + m cắt đồ thị điểm phân biệt M, N Tìm m để MN ngắn Bài 51) Cho hàm số y = 2x3 – 3x2 – có đồ thị (C) Gọi d ĐT qua M(0; -1) có hệ số góc k Tìm k để d cắt (C) điểm phân biệt có điểm có hồnh độ dương.( đs: − < k < 0) Bài 52) Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 3(m2 – 1)x – m3 Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt, có điểm có hồnh độ âm Bài 53) Cho hàm số y = x+3 x+2 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Chứng minh với m, ĐT y = Bài 54) Cho hàm số: y = x − m cắt đồ thị điểm phân biệt A, B Tìm m để AB ngắn 2x −1 (C) x +1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Gọi d ĐT qua I(2; 0) có hệ số góc m Định m để d cắt đồ thị (C) điểm phân biệt A B cho I trung điểm đoạn AB c Tìm m để ĐT (d) cắt đồ thị hai điểm phân biệt thuộc nhánh Bài 55) (CĐSP HCM 2005) Cho hàm số y = x +1 x −1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Xác định m để ĐT y = 2x + m cắt (C) điểm phân biệt A, B cho TT (C) A, B song song với Bài 56) ( Tuyển sinh đại học khối D – 06) Cho hàm số y = x3 – 3x + có đồ thị (C) Gọi d ĐT qua A(3; 20) có hệ số góc m Tìm m để d cắt (C) điểm phân biệt Bài 57) (Tuyển sinh đại học khối D – 08) Cho hàm số y = x3 – 3x2+ a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b Chứng minh ĐT qua I(1; 2) có hệ số góc k, k > -3) cắt đồ thị (C) điểm I, A, B cho I trung điểm AB VẤN ĐỀ 5: ĐIỂM ĐỐI XỨNG I Đối xứng qua trục x A = − xB y A = yB Hai điểm A ( x A ; y A ) ; B ( xB ; yB ) đối xứng qua trục tung ⇔ x A = xB y A = − yB Hai điểm A ( x A ; y A ) ; B ( xB ; yB ) đối xứng qua trục hoành ⇔ x A = yB y A = xB Hai điểm A ( x A ; y A ) ; B ( xB ; yB ) đối xứng qua đường y = x ⇔ thatle1602@gmail.com 17 0977.991.861 Chuyên đề KSHS – số toán liên quan Lê Hồng Thật x A = − yB y A = − xB Hai điểm A ( x A ; y A ) ; B ( xB ; yB ) đối xứng qua đường y = -x ⇔ AB ⊥ d trung diêm I cua AB thuôc d Hai điểm A ( x A ; y A ) ; B ( xB ; yB ) đối xứng qua ĐT d ⇔ II Đối xứng qua điểm x A = − xB y A = − yB Hai điểm A ( x A ; y A ) ; B ( xB ; yB ) đối xứng qua gốc tọa độ ⇔ x A + xB = xI y A + y B = yI Hai điểm A ( x A ; y A ) ; B ( xB ; yB ) đối xứng qua điểm I ⇔ III Chứng minh đồ thị hàm số y = f(x) nhận điểm I( x0; y0) làm tâm đối xứng x = X + x0 y = Y + y0 Chuyển hệ trục tọa độ Oxy sang IXY theo công thức biến đổi Biến đổi hàm số y = f(x) thành Y = F(X) Chứng minh Y = F(X) hàm số lẻ Chú ý: Hàm bậc ba có tâm đối xứng điểm uốn Hàm biến có tâm đối xứng giao điểm hai tiệm cận BÀI TẬP Bài 58) Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 3(m2 -1)x +1 – m2 có đồ thị (C) Xác định m để đồ thị có cặp điểm đối xứng qua gốc tọa độ ( đs: 0