Tham khảo sách ''chuyên đề ôn thi đại học môn toán - lượng giác (có bổ sung)'', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
LƯNG GIÁC Chuyên đề 8: TÓM TẮTGIÁO KHOA A KIẾN THỨC CƠ BẢN: I Đơn vị đo góc cung: Độ: 180 o Góc 10 = góc bẹt 180 Radian: (rad) x O y 1800 = π rad Bảng đổi độ sang rad ngược lại số góc (cung ) thông dụng: 00 Độ Radian 300 π 450 600 π 900 π 1200 2π π 1350 3π 1500 5π 1800 π II Góc lượng giác & cung lượng giác: Định nghóa: (tia ngọn) y y (điểm ngọn) + B O x (Ox , Oy ) = α + k 2π (k ∈ Z) + α α t α 3600 2π x O (tia gốc) t M A (điểm gốc) AB = α + k 2π Đường tròn lượng giác: Số đo số cung lượng giác đặc biệt: A → B → C → D → A, C → B, D → y 2kπ B π + 2kπ + π + 2kπ - π + 2kπ C kπ D π + kπ 33 x A O − y III Định nghóa hàm số lượng giác: x' u B u' Đường tròn lượng giác: • A: điểm gốc • x'Ox : trục côsin ( trục hoành ) • y'Oy : trục sin ( trục tung ) • t'At : trục tang • u'Bu : trục cotang t −1 C R =1 O + A − −1 D y' x t' Định nghóa hàm số lượng giác: a Định nghóa: Trên đường tròn lượng giác cho AM= α Gọi P, Q hình chiếu vuông góc M x'Ox vàø y'Oy T, U giao điểm tia OM với t'At u'Bu Ta định nghóa: t y t Trục sin Trục cotang u' U B M Q x' O Trục cosin + T α α t u P b Các tính chất : • y' sin α = OQ x A − −1 Trục tang t' Với α ta coù : −1 ≤ sin α ≤ hay sinα ≤ −1 ≤ cosα ≤ hay cosα ≤ • • tgα xác định ∀α ≠ π + kπ cotgα xác định ∀α ≠ kπ c Tính tuần hoàn sin(α + k 2π ) = sin α cos(α + k 2π ) = cosα tg(α + kπ ) = tgα cot g(α + kπ ) = cot gα cosα = OP (k ∈ Z ) 34 tgα = AT cot gα = BU IV Giá trị hàm số lượng giác cung (góc ) đặc biệt: Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ giá trị đặc biệt y t - - /3 -1 u' B 2π/3 π u π/4 /2 5π/6 π/6 1/2 1/2 - /2 - /2 -1/2 -1 /2 /2 -π/6 -1 -π/2 cos α tg α cotg α kxñ 300 450 2 2 π 3 3 π 600 900 π π 3 2 3 − - /3 kxñ t' 1200 2π 3 − − − 35 -1 -π/3 y' x -π/4 - /2 Hslg sin α + O - /2 00 /3 A (Điểm gốc) -1/2 Góc π/3 /2 3π/4 x' /3 π/2 3 1350 3π 2 − -1 -1 - 1500 5π 3 − − − 1800 3600 π 2π 0 -1 0 kxđ kxđ V Hàm số lượng giác cung (góc) có liên quan đặc biệt: Đó cung : Cung đối : α -α Cung bù : α π -α Cung phụ : α Cung π : α π π (tổng 0) −α ( tổng π ) ( tổng baèng π ) sin(−α ) = − sin α tg(−α ) = −tgα cot g(−α ) = − cot gα π (Vd: π π 6 ,…) 5π ,…) & π ,…) & 2π ,…) & 7π ,…) cos(π − α ) = − cosα Bù sin Đối cos Cung phụ : sin(π − α ) = sin α tg(π − α ) = −tgα cot g(π − α ) = − cot gα Cung π sin( − α ) = cosα tg( − α ) = cotgα Phụ chéo Hơn π sin cos cos trừ sin π cos( + α ) = − sin α π sin( + α ) = cosα tg( + α ) = −cotgα π π cot g( − α ) = t gα cot g( + α ) = − t gα Cung π : cos(π + α ) = − cosα sin(π + α ) = − sin α tg(π + α ) = tgα π π cos( − α ) = sin α cot g(π + α ) = & π Cung buø : cos(−α ) = cosα π π (Vd: (Vd: Cung đối nhau: &− (Vd: +α Cung π : α π + α π π (Vd: Hơn π tang , cotang cot gα 36 Ví dụ 1: Tính cos(− 21π 11π ) , tg 4 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: A = cos( VI Công thức lượng giác: Các hệ thức bản: π + x) + cos(2π − x) + cos(3π + x) cos2α 1 + cotg2α = sin α tgα cotgα = 1 + tg2α = cos α + sin α = sinα tgα = cosα cosα cotgα = sinα Ví dụ: Chứng minh rằng: cos4 x + sin x = − sin x cos2 x cos x + sin x = − sin x cos x Công thức cộng : cos(α + β ) = cosα cos β − sin α sin β cos(α − β ) = cosα cos β + sin α sin β sin(α + β ) = sin α cos β + sin β cosα sin(α − β ) = sin α cos β − sin β cosα tgα +tgβ − tgα tg β tgα − tgβ tg(α − β ) = + tgα tgβ tg(α +β ) = Ví dụ: Chứng minh rằng: π 1.cos α + sin α = cos(α − ) π 2.cos α − sin α = cos(α + ) Công thức nhân đôi: cos α = + cos 2α sin α = − cos 2α cos 2α = cos2 α − sin α = cos2 α − = − sin α = cos4 α − sin α sin 2α = sin α cos α 2tgα tg2α = − tg2α sin α cos α = 37 sin 2α Công thức nhaân ba: cos 3α = cos3 α − 3cos α sin 3α = 3sin α − 4sin α cos α = cos 3α + cos α sin α = sin α − sin 3α Công thức hạ bậc: cos α = + cos 2α − cos 2α ; sin α = ; 2 6.Công thức tính sin α ,cos α ,tgα theo t = tg sin α = 2t ; + t2 α cos α = − t2 ; + t2 tgα = 2t − t2 Công thức biến đổi tích thành tổng : [ cos(α + β ) + cos(α − β )] sin α sin β = [ cos(α − β ) − cos(α + β )] sin α cos β = [sin(α + β ) + sin(α − β )] cosα cos β = Ví dụ: Biến đổi thành tổng biểu thức: A = cos x cos x 5π 7π sin Tính giá trị biểu thức: B = cos 12 12 Công thức biến đổi tổng thành tích : cosα + cos β = cos α+β cos α −β 2 α+β α −β cosα − cos β = −2sin sin 2 α+β α−β sin α + sin β = 2sin cos 2 α+β α−β sin α − sin β = cos sin 2 sin(α + β ) tgα + tgβ = cosα cos β sin(α − β ) tgα − tgβ = cosα cos β 38 tg 2α = − cos 2α + cos 2α Ví dụ: Biến đổi thành tích biểu thức: A = sin x + sin 2x + sin 3x Các công thức thường dùng khác: π + cos 4α + cos 4α cos α + sin α = π cos α + sin α = cosα + sin α = cos(α − ) = sin(α + ) 4 π π cosα − sin α = cos(α + ) = − sin(α − ) 4 B PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC Các bước giải phương trình lượng giác Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) ẩn số để hai vế pt có nghóa Bước 2: Sử dụng phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến pt biết cách giải Bước 3: Giải pt chọn nghiệm phù hợp ( có) Bước 4: Kết luận I Định lý bản: ( Quan troïng ) sinu=sinv cosu=cosv ⎡ u = v+k2π ⇔ ⎢ ⎣ u = π -v+k2π ⎡ u = v+k2π ⇔ ⎢ ⎣ u = -v+k2π tgu=tgv ⇔ u = v+kπ cotgu=cotgv ⇔ u = v+kπ (u;v ≠ π + kπ ) (u;v ≠ kπ ) ( u; v biểu thức chứa ẩn k ∈ Z ) Ví dụ : Giải phương trình: π 3π 4 sin x + cos4 x = (3 − cos x ) sin x = sin( − x ) cos( x − cos x = sin x II Các phương trình lượng giác bản: sinx = m ; cosx = m ; tgx = m ; cotgx = m Dạng 1: Nếu m > pt(1) vô nghiệm • Nếu m ≤ ta đặt m = sin α ta có ⎡ x = α +k2π (1) ⇔ sinx=sinα ⇔ ⎢ ⎣ x = (π -α )+k2π * Gpt : cosx = m (2) 39 ) = cos ( ∀m ∈ R ) * Gpt : sinx = m (1) • π • Nếu m > pt(2) vô nghiệm • Nếu m ≤ ta đặt m = cos β ta có ⎡ x = β +k2π (2) ⇔ cosx=cosβ ⇔ ⎢ ⎣ x = − β +k2π * Gpt: tgx = m (3) ( pt có nghiệm ∀m ∈ R ) • Đặt m = tg γ (3) ⇔ tgx = tgγ ⇔ x = γ +kπ * Gpt: cotgx = m (4) • ( pt có nghiệm ∀m ∈ R ) Đặt m = cotg δ (4) ⇔ cotgx = cotgδ ⇔ x = δ +kπ Các trường hợp đặc biệt: sin x = −1 ⇔ x = − sinx = ⇔ x = kπ sin x = ⇔ x = cosx = ⇔ x= π + k 2π π + k 2π cosx = −1 ⇔ x = π + k 2π cos x = π + kπ ⇔ x = k 2π Ví dụ: 1) Giải phương trình : a) sin x = π b) cos( x − ) = − π d) cos( x + c) sin(2 x − ) + = e) sin x + cos x = π )− =0 f) cos x + sin x = cos x 2) Giải phương trình: a) + cos4 x − sin x = cos x c) 4(sin x + cos x) + sin x − = d) sin3 x.cos x − cos3 x.sin x = b) sin x + cos6 x = cos x x e) cot gx + sin x(1 + tgx.tg ) = 40 Daïng 2: a sin x + b sin x + c = a cos2 x + b cos x + c = ( a ≠ 0) atg x + btgx + c = a cot g2 x + b cot gx + c = Cách giải: Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tgx; t = cotgx) Ta phương trình : at + bt + c = (1) Giải phương trình (1) tìm t, suy x Chú ý : Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu có) Ví dụ : =0 d) cos x cos x = + cos x + cos3 x a) cos2 x + 5sin x − = b) cos x − cos x + c) sin x = + cos x e) sin x + cos4 x = sin x − f) 2(sin x + cos x) − cos( x x + cos4 = − 2sin x 2 2(cos x + sin x) − sin x cos x g) sin k) Daïng 3: − sin x a cos x + b sin x = c (1) • =0 l) 5(sin x + a a2 + b2 = cos α vaø ( a;b ≠ 0) b (2) ⇔ cosx.cosα + sinx.sinα = ⇔ cos(x-α ) = c a +b Pt (3) có dạng Giải pt (3) tìm x (2) = sin α với α ∈ [ 0;2π ) : a2 + b − x) = cos 3x + sin 3x ) = cos x + + sin x Chia hai vế phương trình cho a2 + b2 pt a b c (1) ⇔ cos x + sin x = a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 Đặt h) sin x + cos x + sin x cos x = Cách giải: • π 41 c a2 + b (3) Chú ý : Pt acosx + bsinx = c có nghiệm ⇔ a2 + b2 ≥ c2 Ví dụ : Giải phương trình : a) cos x + sin x = −1 b) cos x + sin x = d) tgx − = cos x c) 4(sin x + cos4 x ) + sin x = e) d Daïng 4: cos x − sin x = cos x − sin x − a sin x + b sin x.cos x + c cos2 x = (a;c ≠ 0) (1) Caùch giaûi 1: − cos x + cos x vaø cos2 x = 2 vaø công thức nhân đôi : sin x.cos x = sin x thay vào (1) ta biến đổi pt (1) dạng p dụng công thức hạ bậc : sin x = Cách giải 2: ( Quy pt theo tang cotang ) Chia hai vế pt (1) cho cos2 x ta pt: atg2 x + btgx + c = Đây pt dạng biết cách giải Chú ý: Trước chia phải kiểm tra xem x = π + kπ có phải nghiệm (1) không? Ví dụ : Giải phương trình: sin x + (1 − ) sin x cos x − cos x + − = d Daïng 5: a(cos x + sin x ) + b sin x.cos x + c = Cách giải : π (1) Đặt t = cos x + sin x = cos( x − ) với - ≤ t ≤ t2 − Do (cos x + sin x )2 = + 2sin x.cos x ⇒ sinx.cosx= • Thay vào (1) ta phương trình : t2 − at + b + c = (2) • 42 • Giải (2) tìm t Chọn t thỏa điều kiện giải pt: π cos( x − ) = t tìm x Ví dụ : Giải phương trình : sin x − 2(sin x + cos x ) − = Chú ý : a(cos x − sin x ) + b sin x.cos x + c = Ta giải tương tự cho pt có dạng : Ví dụ : Giải phương trình : sin x + 4(cos x − sin x ) = 4 Caùc phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng : a Phương pháp 1: Biến đổi pt cho dạng pt lượng giác biết Ví dụ: Giải phương trình: sin x + cos x + sin x − = b Phương pháp 2: Biến đổi pt cho dạng tích số Cơ sở phương pháp dựa vào định lý sau đây: ⎡ A=0 A.B = ⇔ ⎢ ⎣ B=0 hoaëc A.B.C = Ví dụ : Giải phương trình : a sin x + sin2 x + sin2 x = ⎡ A=0 ⇔ ⎢⎢ B=0 ⎢⎣C=0 b sin x − cos2 x = sin x − cos2 x c sin3 x + cos x − cos x = d sin x + 2 cos x + sin( x + π )+3= c Phương pháp 3: Biến đổi pt dạng đặt ẩn số phụ Một số dấu hiệu nhận biết : * Phương trình chứa một hàm số lượng giác ( cung khác lũy thừa) Ví dụ : Giải phương trình : a cos x + cos x − cos x − = b cos x − cos x − cos x + = c cos x − 8cos x + = cos x d sin x + cos x = * Phương trình có chứa (cos x ± sin x ) sinx.cosx Ví dụ : Giải phương trình : a + sin3 x + cos3 x = sin 2x 3 b sin x + cos x = 2(sin x + cos x) − 43 BÀI TẬP RÈN LUYỆN DẠNG 1: Giải phương trình lượng giác Sử dụng phương pháp sau • Biến đổi phương trình dạng phương trình lượng giác • Biến đổi phương trình dạng phương trình tích số • Biến đổi phương trình dạng đặt ẩn số phụ chuyển phương trình đại số Bài 1: Giải phương trình lượng giác sau π 7x 3x x 5x 1) sin x + 2 cos x + sin( x + ) + = 2) sin cos + sin cos + sin x cos x = 2 2 3) cos ( x + π ) + cos (2 x + x x cos − sin 2 = 4) sin x π ) + cos (3x − π ) = cos + sin x sin ( x + 6) sin x + cos x = sin x + π π 5) cos x + sin x = cos x − sin x ) Bài : Giải phương trình lượng giác sau x π x sin ( − ).tg2 x − cos2 = 2 cos x (cos x − 1) = 2(1 + sin x ) sin x + cos x 10 tg2 x − tgx = cos x.sin x 11 cos x − 8cos x + = cos x cos x 12 cot gx − = + sin x − sin x + tgx 2 13 cot gx − tgx + 4sin x = sin x x 14 tgx + cos x − cos2 x = sin x.(1 + tgx.tg ) 2sin3 x + cos x + cos x = π x sin x.cos x − sin 2 x = 4sin ( − ) − 2 sin x + cos x − 3sin x + cos x = sin x + cos4 x 1 = cot g2 x − 5sin x 8sin x (2 − sin x )sin x tg x + = cos4 x − tgx (tgx + 2sin x ) + cos x = cos x + cos x.(2tg2 x − 1) = DAÏNG 2: Phương trình lượng giác có chứa tham số Sử dụng phương pháp sau • Chọn ẩn phụ thích hợp tìm điều kiện cho ẩn phụ vừa chọn (tùy thuộc vào x) • Chuyển phương trình phương trình đại số • Lập luận để chuyển toán cho theo ẩn phụ vừa chọn • Sử dụng phương pháp giải tích đại số để tìm tham số theo yêu cầu đề Bài 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: sin x + cos x − cos x + sin 2 x + m = 1 Bài 2: Định m để phương trình : sin x + cos x + + (tgx + cot gx + + )=m sin x cos x 44 ⎛ π⎞ có nghiệm x ∈ ⎜ 0; ⎟ ⎝ 2⎠ Bài 3: Cho hàm số: 2( + cos x) + m( − cos x) = cos x cos x π Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc (0; ) Bài 4: Cho phương trình : + 3tg x + m(tgx + cot gx) − = sin x Tìm tất giá trị m để phương trình có nghiệm Bài 5: Xác định m để phương trình : 2(sin x + cos4 x) + cos 4x + 2sin 2x − m = π có nghiệm thuộc đoạn [0; ] Bài 6: Cho phương trình : sin x − 4(cos x − sin x) = m (1) Tìm tất giá trị m để phương trình (1) có nghiệm Bài 7: Tìm m để phương trình : 4(sin x + cos4 x) − 4(sin x + cos6 x) − sin 4x = m coù nghiệm Bài 8: Cho phương trình cos x + sin x cos x − m = ⎡ π⎤ Định m để phương trình có nghiệm x ∈ ⎢ 0; ⎥ ⎣ 4⎦ Bài 9: Tìm m để phương trình : cos x + (sin x cos x − m)(sin x + cos x) = ⎡ π⎤ có nghiệm đoạn ⎢0; ⎥ ⎣ 2⎦ cos x + sin x Baøi 10: Cho phương trình: = mtgx cos x − sin x Với giá trị m phương trình có nghiệm Bài 11: Cho phương trình: sin x + (sin x − 1) = m Với giá trị m phương trình có nghiệm π π Bài 12: Tìm m để phương trình : + 2sin 2x = m(1 + cos x)2 coù nghieäm x ∈ [− ; ] 2 Heát 45 ... biệt y t - - /3 -1 u' B 2π/3 π u π/4 /2 5π/6 π/6 1/2 1/2 - /2 - /2 -1 /2 -1 /2 /2 -? ?/6 -1 -? ?/2 cos α tg α cotg α kxñ 300 450 2 2 π 3 3 π 600 900 π π 3 2 3 − - /3 kxñ t' 1200 2π 3 − − − 35 -1 -? ?/3... 1200 2π 3 − − − 35 -1 -? ?/3 y' x -? ?/4 - /2 Hslg sin α + O - /2 00 /3 A (Điểm gốc) -1 /2 Góc π/3 /2 3π/4 x' /3 π/2 3 1350 3π 2 − -1 -1 - 1500 5π 3 − − − 1800 3600 π 2π 0 -1 0 kxđ kxđ V Hàm số lượng... Chuyển phương trình phương trình đại số • Lập luận để chuyển toán cho theo ẩn phụ vừa chọn • Sử dụng phương pháp giải tích đại số để tìm tham số theo yêu cầu đề Bài 1: Tìm m để phương trình sau