Chuyên đề ôn thi đại học môn toán lượng giác

Chuyên đề ôn thi đại học môn toán - lượng giác Tài liệu tham khảo và tuyển tập các Chuyên đề ôn thi đại học môn toán học giúp các bạn ôn thi tuyển sinh đại học , cao đẳng tốt hơn

LƯNG GIÁC TRỌNG TÂM KIẾN THỨC Chuyên đề A CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC I Đơn vị đo góc cung: Độ: Góc 10 = góc bẹt 180 Radian: (rad) 180 o x O y 1800 = π rad Bảng đổi độ sang rad ngược lại số góc (cung ) thông dụng: 00 Độ Radian 300 450 600 900 π π π 1200 2π π 1350 3π 1500 5π 1800 π II Góc lượng giác & cung lượng giác: Định nghóa: (tia ngọn) y y (điểm ngọn) + B O x (Ox , Oy ) = α + k 2π (k ∈ Z) + α α t α 3600 2π x O (tia gốc) t M A (điểm gốc) AB = α + k 2π Đường tròn lượng giác: q = α + k2π Số đo số cung lượng giác đặc biệt: AM M A → B → C → D → A, C → B, D → y 2kπ B π + 2kπ + π + 2kπ - π + 2kπ kπ 27 x A O D π + kπ C − y III Định nghóa hàm số lượng giác: x' u B u' Đường tròn lượng giác: • A: điểm gốc • x'Ox : trục côsin ( trục hoành ) • y'Oy : trục sin ( trục tung ) • t'At : trục tang • u'Bu : trục cotang t −1 C R =1 O + A − −1 D y' x t' Định nghóa hàm số lượng giác: a Định nghóa: Trên đường tròn lượng giác cho AM= α Gọi P, Q hình chiếu vuông góc M x'Ox vàø y'Oy T, U giao điểm tia OM với t'At u'Bu Ta định nghóa: t y t Trục sin Trục cotang u' U B M Q x' O Trục cosin + T α α t u P A − b Các tính chất : • Trục tang t' y' sin α = OQ x −1 Với α ta có : −1 ≤ sin α ≤ hay sinα ≤ −1 ≤ cosα ≤ hay cosα ≤ • • tanα xác đinh ∀α ≠ π cotα xác đinh ∀α ≠ kπ + kπ c Tính tuần hoaøn sin(α + k 2π ) = sin α cos(α + k 2π ) = cos α tan(α + kπ ) = tan α cos α = OP (k ∈ Z ) cot(α + kπ ) = cot α 28 tanα = AT cot α = BU IV Giá trị hàm số lượng giác cung (góc ) đặc biệt: Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ giá trị đặc biệt y t - - /3 -1 u' B 2π/3 π u π/4 /2 5π/6 π/3 /2 3π/4 x' /3 π/2 π/6 /3 1/2 1/2 - /2 - /2 -1/2 -1 /2 /2 O -π/4 - /2 -1 -π/2 Hslg sin α cos α tan α cot α kxñ 450 π 3 3 π 600 900 π π 2 2 3 2 kxñ 3 0 t' 1200 2π 3 − − − 29 -1 -π/3 y' 300 − - /3 -π/6 - /2 00 x A (Điểm gốc) -1/2 Góc + 3 1350 3π 2 − -1 -1 - 1500 5π 3 − − − 1800 3600 π 2π 0 -1 0 kxđ kxđ V Hàm số lượng giác cung (góc) có liên quan đặc biệt: Đó cung : Cung đối : α -α Cung bù : α π -α Cung phụ : α Cung π : α π π (tổng 0) −α ( tổng π ) ( tổng baèng π ) = co s α = − sin α = − tan α = − cot α Bù sin Đối cos π sin( − α ) = cos α tan( − α ) = cotα cot( − α ) = tan α π π (Vd: π 6 ,…) 5π ,…) π & ,…) & 2π ,…) & 7π ,…) π cos(π − α ) sin(π − α ) tan(π − α ) cot(π − α ) = − cos α = sin α = − tan α = − cot α Cung Phụ chéo Hơn tan(π + α ) cot(π + α ) = = tanα cot α cos( + α ) = − sin α π sin( + α ) = cos α tan( + α ) = −cotα cot( + α ) = − tan α π π cos(π + α ) = − cos α = − sin α π sin baèng cos cos trừ sin Cung π : sin(π + α ) π π cos( − α ) = sin α π & π Cung buø : Cung phuï : π π (Vd: (Vd: Cung đối nhau: &− (Vd: +α Cung π : α π + α cos(−α ) sin(−α ) tan(−α ) cot(−α ) π (Vd: Hơn π tang , cotang 30 VI Công thức lượng giác: Các hệ thức bản: cos2α 1 + cot 2α = sin α tanα cotα = 1 + tan2α = cos α + sin α = tanα cotα sinα cosα cosα = sinα = Ví dụ: Chứng minh rằng: cos4 x + sin x = − sin2 x cos2 x cos x + sin x = − sin x cos x Chứng minh 2 1) cos4 x + sin x = (cos2 x ) + (sin2 x ) = (cos2 x + sin2 x ) − sin2 x cos2 x = − sin2 x cos2 x 3 2) cos6 x + sin6 x = (cos2 x ) + (sin2 x ) = (cos2 x + sin2 x ) − sin2 x cos2 x (cos2 x + sin2 x ) = − sin2 x cos2 x Coâng thức cộng : cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β sin(α + β ) = sin α cos β + sin β cos α sin(α − β ) = sin α cos β − sin β cos α tanα +tanβ − tan α tan β tanα − tanβ tan(α − β ) = + tan α tan β tan(α +β ) = Ví dụ: Chứng minh rằng: π 1.cos α + sin α = cos(α − ) π 2.cos α − sin α = cos(α + ) Chứng minh 31 ⎛ ⎞ 1) cos α + sin α = ⎜⎜ cos α + sin α ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 2 ⎠⎟ π π⎞ ⎛ = ⎜⎜cos α cos + sin α sin ⎟⎟ ⎝ 4⎠ π⎞ ⎛ = cos ⎜⎜α − ⎟⎟ ⎝ 4⎠ ⎛ ⎞ 2) cos α − sin α = ⎜⎜ cos α − sin α ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 2 ⎠⎟ π⎞ π ⎛ = ⎜⎜cos α cos − sin α sin ⎟⎟ ⎝ 4⎠ π⎞ ⎛ = cos ⎜⎜α + ⎟⎟ ⎝ 4⎠ Công thức nhân đôi: cos2 α = + cos 2α sin2 α = − cos 2α cos 2α = cos2 α − sin α = cos2 α − = − sin2 α = cos4 α − sin α sin 2α = sin α cos α tan 2α = tan α − tan2 α sin α cos α = Công thức nhaân ba: cos 3α = cos3 α − 3cos α sin 3α = 3sin α − 4sin α cos α = cos 3α + cos α sin α = sin α − sin 3α Công thức hạ bậc: cos2 α = + cos 2α ; sin2 α = 6.Coâng thức tính sin α ,cos α ,tgα theo t = tan sin α = 2t ; + t2 32 − cos 2α ; tan2 α = α cos α = − t2 ; + t2 sin 2α tan α = 2t − t2 − cos 2α + cos 2α Công thức biến đổi tích thành tổng : [ cos(α + β ) + cos(α − β )] sin α sin β = [ cos(α − β ) − cos(α + β )] sin α cos β = [sin(α + β ) + sin(α − β )] cosα cos β = Coâng thức biến đổi tổng thành tích : cos α + cos β = cos α +β cos α −β 2 α +β α −β cos α − cos β = −2 sin sin 2 α +β α −β sin α + sin β = sin cos 2 α +β α −β sin α − sin β = cos sin 2 sin(α + β ) tan α + tan β = cos α cos β sin(α − β ) tan α − tan β = cos α cos β Các công thức thường dùng khác: π π cosα + sin α = cos(α − ) = sin(α + ) 4 π π cosα − sin α = cos(α + ) = − sin(α − ) 4 33 + cos 4α cos 4α + cos6 α + sin6 α = cos4 α + sin α = B PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC Các bước giải phương trình lượng giác Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) ẩn số để hai vế pt có nghóa Bước 2: Sử dụng phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến pt biết cách giải Bước 3: Giải pt chọn nghiệm phù hợp ( có) Bước 4: Kết luận I Định lý bản: ( Quan trọng ) sinu=sinv cosu=cosv ⎡ u = v+k2π ⇔ ⎢ ⎣ u = π -v+k2π ⎡ u = v+k2π ⇔ ⎢ ⇔ u = ± v + k2π ⎣ u = -v+k2π tanu=tanv ⇔ u = v+kπ cotu=cogv ⇔ u = v+kπ (u;v ≠ π + kπ ) (u;v ≠ kπ ) ( u; v biểu thức chứa ẩn k ∈ Z ) Ví dụ : Giải phương trình: π 3π 4 sin x + cos4 x = (3 − cos x ) cos( x − sin x = sin( − x ) cos 3x = sin x Bài giải π ) = cos π ⎡ π k 2π π ⎡ ⎡ x = − x + k 2π x= + x = + k 2π ⎢ ⎢ ⎢ π 20 ⎢ 1) sin x = sin( − x ) ⇔ ⇔⎢ ⇔⎢ ⎢3 x = π − ⎛ π − x ⎞ + k 2π ⎢ x = 3π + k 2π ⎢ x = 3π + k 2π ⎜ ⎟ ⎢⎣ ⎢⎣ ⎢ ⎣ 4 ⎝4 ⎠ ⎡ π 3π ⎡ x = π + k2π + k2π ⎢x − = ⎢ π 3π ⎢ 4 2)cos(x − ) = cos ⇔⎢ ⇔⎢ π ⎢ x = − + k2π 4 ⎢ x − π = − 3π + k2π ⎢ ⎣⎢ 4 ⎣ π ⎡ k2π π ⎡ + ⎢x = ⎢ 3x = − 2x + k2π ⎛π ⎞⎟ 10 ⇔ ⎢⎢ 3) cos 3x = sin 2x ⇔ cos 3x = cos ⎜⎜ − 2x⎟ ⇔ ⎢⎢ π π ⎝2 ⎠ ⎢ ⎢ 3x = − + 2x + k2π ⎢⎣ x = − + k2π ⎢⎣ 34 + cos x − cos x 4) sin x + cos4 x = (3 − cos x ) ⇔ = ⇔ cos x = − cos x ⇔ cos x = cos (π − x ) 4 π k 2π ⎡ ⎢ x = 10 + ⎡6 x = π − x + k 2π ⇔⎢ ⇔⎢ ⎣6 x = −π + x + k 2π ⎢ x = − π + kπ ⎢⎣ II Caùc phương trình lượng giác bản: Dạng 1: sinx = m ; cosx = m ; tanx = m ; cotx = m ( ∀m ∈ R ) * Gpt : sinx = m (1) • Nếu m > pt(1) vô nghiệm • Nếu m ≤ ta đặt m = sin α ta có ⎡ x = α +k2π (1) ⇔ sinx=sinα ⇔ ⎢ ⎣ x = (π -α )+k2π * Gpt : cosx = m (2) • Nếu m > pt(2) vô nghiệm • Nếu m ≤ ta đặt m = cos β ta có ⎡ x = β +k2π (2) ⇔ cosx=cosβ ⇔ ⎢ ⎣ x = − β +k2π * Gpt: tanx = m (3) ( pt có nghiệm ∀m ∈ R ) • Đặt m = tan γ (3) ⇔ tanx = tanγ ⇔ x = γ +kπ * Gpt: cotx = m (4) • ( pt có nghiệm ∀m ∈ R ) Đặt m = cot δ (4) ⇔ cotx = cotδ ⇔ x = δ +kπ 35 Các trường hợp đặc biệt: sin x = −1 ⇔ x = − sinx = ⇔ x = kπ sin x = ⇔ x = cosx = ⇔ x= π y + k 2π B π + k 2π cosx = −1 ⇔ x = π + k 2π cos x = π C + kπ ⇔ x = k 2π Giải phương trình : 1) sin x = 3) sin x + cos x = 1) sin x = π 2) cos( x − ) = − 4 4) cos x + sin x = cos x π ⇔ s in2x=sin π ⎡ ⎢2 x = + k 2π ⇔⎢ ⎢2 x = π − π k 2π ⎢⎣ π ⎡ ⎢ x = 12 + kπ ⇔⎢ ⎢ x = 5π + kπ ⎢⎣ 12 π π 3π 2) cos( x − ) = − ⇔ cos( x − ) = cos 4 ⎡ π 3π ⎢ x − = + k 2π ⇔⎢ ⎢ x − π = − 3π + k 2π ⎢⎣ 4 ⎡ x = π + k 2π ⇔⎢ ⎢ x = − π + k 2π ⎣ 36 x A O D Ví dụ: Bài giải: + − π⎞ ⎛ 3) sin 2x + cos 2x = ⇔ cos ⎜⎜2x − ⎟⎟ = ⎝ 4⎠ π⎞ ⎛ ⇔ cos ⎜⎜2x − ⎟⎟ = ⎝ 4⎠ π⎞ π ⎛ ⇔ cos ⎜⎜2x − ⎟⎟ = cos ⎝ ⎠ 4 π π ⎡2x − = + k2π ⎢ 4 ⇔ ⎢⎢ π π ⎢2x − = − + k2π ⎢⎣ 4 ⎡ x = π + kπ ⎢ ⇔⎢ ⎢ x = kπ ⎢⎣ + cos 4x 4) cos4 x + sin x = cos 2x ⇔ = cos 2x ⇔ + cos2 2x − = cos 2x ⇔ (cos 2x − 1) = ⇔ cos 2x = ⇔ 2x = k2π ⇔ x = kπ Ví dụ: Giải phương trình: 1) + cos4 x − sin x = cos x 3) 4(sin x + cos x) + sin x − = 4) sin3 x.cos x − cos3 x.sin x = 2) sin x + cos6 x = cos x Bài giải 1) + cos4 x − sin x = cos x ⇔ cos x = ⇔ x = k 2π ⇔ x = kπ Vậy nghiệm pt x = kπ + cos x 2) sin x + cos6 x = cos x ⇔ = cos x ⇔ cos x = ⇔ x = k 2π kπ ⇔x= Vậy nghiệm pt x = kπ 37 3) 4(sin x + cos4 x) + sin 4x − = ⇔ + cos 4x + s in4x − = π⎞ ⎛ ⇔ cos ⎜⎜4x − ⎟⎟ = −1 ⎝ 4⎠ 3π π⎞ ⎛ ⇔ cos ⎜⎜4x − ⎟⎟ = cos ⎝ ⎠ 4 ⎡ π 3π + k2π ⎢4x − = 4 ⇔ ⎢⎢ ⎢4x − π = − 3π + k2π ⎢ 4 ⎣ ⎡4x = π + k2π ⎢ ⇔⎢ π ⎢4x = − + k2π ⎢⎣ ⎡ π kπ ⎢x = + ⎢ ⇔⎢ π ⎢ x = − + kπ ⎢ ⎣ ⎡ π kπ ⎢x = + ⎢ Vậy nghiệm pt ⎢ ⎢ x = − π + kπ ⎢ ⎣ 1 4) sin3 x.cos x − cos3 x.sin x = ⇔ − sin x cos x cos2 x − sin2 x = 4 ⇔ − s in2x.cos2x = ⇔ s in4x = −1 ( ⇔ 4x = − ⇔x=− π kπ Vậy nghiệm pt x = − + 2 Daïng 2: π π + k 2π + kπ a sin x + b sin x + c = a cos2 x + b cos x + c = a tan2 x + b tan x + c = Cách giải: ) a cot x + b cot x + c = 38 ( a ≠ 0) Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tanx; t = cotx) Ta phương trình : at + bt + c = (1) Giải phương trình (1) tìm t, suy x Chú ý : Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu có) Ví dụ : 1) cos2 x + 5sin x − = 3) 2(sin x + cos x) − cos( Bài giải ( =0 2(cos x + sin x) − sin x cos x 2) cos x − cos x + π − x) = 4) ) 1) cos2 x + 5sin x − = ⇔ − sin x + 5sin x − = ⇔ sin2 x − 5sin x + = ⎡sin x = (VN) ⇔⎢ ⎢sin x = ⎣ π ⎡ ⎢ x = + k 2π ⇔⎢ ⎢ x = 5π + k 2π ⎢⎣ π ⎡ ⎢ x = + k 2π Vậy nghiệm pt ⎢ ⎢ x = 5π + k 2π ⎢⎣ 2) cos x − cos x + = ⇔ 2(2 cos2 x − 1) − cos x + = ⇔ cos2 x − cos x + = ⎡ ⎢ cos x = ⇔⎢ ⎢ cos x = ⎢⎣ ⇔x=± Vậy nghiệm pt x = ± π π 3 (VN) 2 + k 2π + k 2π 39 − sin x =0 π + cos 4x 3) 2(sin x + cos4 x) − cos( − 2x) = ⇔ − s in2x = 2 ⇔ + − sin2 2x − s in2x = ⇔ sin2 2x + s in2x − = ⎡s in2x = ⇔ ⎢⎢ ⎢⎣s in2x = −2 (VN) π ⇔ 2x = + k2π π ⇔ x = + kπ π + kπ 2(cos6 x + sin6 x) − sin x.cos x 4) =0 − sin x ⎡ x ≠ π + k2π ⎢ Điều kiện: sin x ≠ ⇔ ⎢⎢ ⎢ x ≠ π + k2π ⎢⎣ Khi đó: 2(cos6 x + sin6 x) − sin x.cos x + cos 4x =0⇔ − s in2x = − sin x 2 ⇔ + (1 − s in 2x ) − s in2x = Vậy nghiệm pt x = ⇔ sin2 2x + s in2x − = ⎡ s in2x = ⎢ ⇔⎢ ⎢ s in2x = − (VN) ⎢⎣ π ⇔ 2x = + k2π π ⇔ x = + kπ 5π So với điều kiện ta nghiệm phương trình (1) x = + k2π 40 Daïng 3: a cos x + b sin x = c (1) ( a;b ≠ 0) Cách giải: • • Chia hai vế phương trình cho a2 + b2 pt a b c (1) ⇔ cos x + sin x = a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 Đặt a a +b = cosα b = sin α với α ∈ [ 0;2π ) : a + b2 (2) ⇔ cosx.cosα + sinx.sinα = ⇔ cos(x-α ) = c a + b2 Pt (3) có dạng Giải pt (3) tìm x Chú ý : (2) c a + b2 (3) Pt acosx + bsinx = c có nghiệm ⇔ a2 + b2 ≥ c Ví dụ : Giải phương trình : 1) cos x + sin x = −1 2) 4(sin x + cos4 x ) + sin x = Bài giải cos x + sin x = − 2 2π π⎞ ⎛ ⇔ cos ⎜ x − ⎟ = cos 3⎠ ⎝ 1) cos x + sin x = −1 ⇔ ⎡ π 2π ⎢ x − = + k 2π ⇔⎢ ⎢ x − π = − 2π + k 2π ⎢⎣ 3 ⎡ x = π + k 2π ⇔⎢ ⎢ x = − π + k 2π ⎣ ⎡ x = π + k 2π Vậy nghiệm pt ⎢ ⎢ x = − π + k 2π ⎣ 41 2) 4(sin x + cos4 x ) + sin x = ⇔ cos x + s in4x = −1 cos x + s in4x = − 2 π⎞ 2π ⎛ ⇔ cos ⎜ x − ⎟ = cos 3⎠ ⎝ ⇔ π 2π ⎡ ⎢ x − = + k 2π ⇔⎢ ⎢ x − π = − 2π + k 2π ⎢⎣ 3 ⎡ x = π + k 2π ⇔⎢ ⎢ x = − π + k 2π ⎣ π kπ ⎡ ⎢x = + ⇔⎢ ⎢ x = − π + kπ ⎢⎣ 12 π kπ ⎡ ⎢x = + Vậy nghiệm pt ⎢ ⎢ x = − π + kπ ⎢⎣ 12 d Daïng 4: a sin2 x + b sin x.cos x + c cos2 x = (a;c ≠ 0) (1) Cách giải 1: − cos2 x + cos x vaø cos2 x = 2 công thức nhân đôi : sin x.cos x = sin x thay vào (1) ta biến đổi pt (1) dạng p dụng công thức hạ bậc : sin2 x = Cách giải 2: ( Quy pt theo tang cotang ) Chia hai vế pt (1) cho cos2 x ta pt: a tan2 x + b tan x + c = Đây pt dạng biết cách giải Chú ý: Trước chia phải kiểm tra xem x = π + kπ có phải nghiệm (1) không? Ví dụ : Giải phương trình: sin x + (1 − ) sin x cos x − cos x + − = 42 d Daïng 5: a(cos x + sin x ) + b sin x.cos x + c = Cách giải : (1) π Đặt t = cos x + sin x = cos( x − ) với - ≤ t ≤ t2 −1 Do (cos x + sin x ) = + sin x.cos x ⇒ sinx.cosx= • Thay vào (1) ta phương trình : t2 − at + b + c = (2) • • Giải (2) tìm t Chọn t thỏa điều kiện giải pt: π cos( x − ) = t tìm x Ví dụ : Giải phương trình : sin x − 2(sin x + cos x ) − = Chú ý : Ta giải tương tự cho pt có dạng : a(cos x − sin x ) + b sin x cos x + c = Ví dụ : Giải phương trình : sin x + 4(cos x − sin x ) = 4 Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng : a Phương pháp 1: Biến đổi pt cho dạng pt lượng giác biết Ví dụ: Giải phương trình: =0 2) sin 3x − cos 3x = s in2x 3) tan x − = cos x 1) sin x + cos x + sin x − b Phương pháp 2: Biến đổi pt cho dạng tích số Cơ sở phương pháp dựa vào định lý sau đây: ⎡ A=0 A.B = ⇔ ⎢ ⎣ B=0 A.B.C = Ví dụ : Giải phương trình : a sin2 x + sin 2 x + sin x = b sin3 x + cos x − cos x = 43 ⎡ A=0 ⇔ ⎢⎢ B=0 ⎢⎣C=0 c Phương pháp 3: Biến đổi pt dạng đặt ẩn số phụ Một số dấu hiệu nhận biết : * Phương trình chứa một hàm số lượng giác ( cung khác lũy thừa) Ví dụ : Giải phương trình : a cos x + cos x − cos x − = b cos x − cos x − cos x + = * Phương trình có chứa (cos x ± sin x ) vaø sinx.cosx + sin3 x + cos3 x = sin 2x Ví dụ : Giải phương trình : BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Giải phương trình lượng giác sau ⎛ 7π ⎞ 1 1) + = sin ⎜⎜ − x⎟⎟⎟ ⎝4 ⎠ sin x sin ⎛⎜x − 3π ⎞⎟ ⎟ ⎝⎜ ⎠ 2) sin x (1 + cos 2x ) + sin 2x = + cos x 3) sin x − cos3 x = sin x cos2 x − sin2 x cos x Bài giải: ⎛ 7π ⎞ 1 1) + = sin ⎜⎜ − x⎟⎟⎟ ⎛ ⎞ ⎝4 ⎠ sin x sin ⎜x − 3π ⎟ ⎜⎝ ⎟ ⎠ 44 Bài giải: 2) sin x (1 + cos 2x ) + sin 2x = + cos x Bài giải: 3) sin x − cos3 x = sin x cos2 x − sin2 x cos x Bài 2: Giải phương trình lượng giác sau 1) (1 + sin2 x ) cos x + (1 + cos2 x ) sin x = + s in2x 2) sin2 2x + sin 7x − = sin x x ⎞⎟2 ⎛ x ⎜ 3) ⎜sin + cos ⎟ + cos x = ⎝ 2⎠ Bài giải 1) (1 + sin2 x ) cos x + (1 + cos2 x ) sin x = + s in2x Bài giải: 2) sin2 2x + sin 7x − = sin x 45 Bài giải: x x ⎞2 ⎛ 3) ⎜⎜sin + cos ⎟⎟ + cos x = ⎝ 2⎠ Bài 3: Giải phương trình lượng giác sau (cos6 x + sin6 x ) − sin x cos x 1) =0 − sin x x⎞ ⎛ 2) cot x + sin x ⎜⎜1 + tan x tan ⎟⎟ = ⎝ 2⎠ 3) cos 3x + cos 2x − cos x − = Bài giải: (cos6 x + sin6 x ) − sin x cos x 1) =0 − sin x Bài giải: x⎞ ⎛ 2) cot x + sin x ⎜⎜1 + tan x tan ⎟⎟ = ⎝ 2⎠ 46 ... ⎝ 4⎠ Công thức nhân đôi: cos2 α = + cos 2α sin2 α = − cos 2α cos 2α = cos2 α − sin α = cos2 α − = − sin2 α = cos4 α − sin α sin 2α = sin α cos α tan 2α = tan α − tan2 α sin α cos α = Công thức... sin 3α = 3sin α − 4sin α cos α = cos 3α + cos α sin α = sin α − sin 3α Công thức hạ baäc: cos2 α = + cos 2α ; sin2 α = 6.Công thức tính sin α ,cos α ,tgα theo t = tan sin α = 2t ; + t2 32 − cos... 2α + cos 2α Công thức biến đổi tích thành tổng : [ cos(α + β ) + cos(α − β )] sin α sin β = [ cos(α − β ) − cos(α + β )] sin α cos β = [sin(α + β ) + sin(α − β )] cosα cos β = Công thức biến