HÌNH HỌC LỚP 10.BƯỚC ĐẦU TÌM HIỂU VỀ TÂM TỈ CỰ

TÊN ĐỀ TÀI BƯỚC ĐẦU TÌM HIỂU VỀ TÂM TỈ CỰ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Tâm tỉ cự nội dung chương trình hình học 10 Có thể nói nội dung khó, trừu tượng nên không tạo nhiều hứng thú cho đại đa số cho em học sinh tìm hiểu Nói đến Tâm tỉ cự, nhiều học sinh tỏ ngại, lúng túng Tuy nhiên với say mê tốn học tâm tỉ cự nội dung hay có nhiều ứng dụng Với tốn véc tơ khó, sử dụng kiến thức tâm tỉ cự để có cách giải khoa học, ngắn gọn, súc tích Mặt khác toán tâm tỷ cự toán hay có nhiều ứng dụng quan trọng việc giải tốn quĩ tích, tốn cực trị sau II MỤC ĐÍCH Trong chương trình THPT, thời lượng chương trình có hạn mà dạng tốn Tâm tỉ cự chưa trình bày rõ ràng, đầy đủ Ngược lại cịn sơ lược, mang tính chất giới thiệu qua số tập chủ yếu sách tập Đối với học sinh, chưa tiếp cận nhiều kiến thức tâm tỉ cự nên gặp dạng tốn véc tơ khó, hầu hết học sinh thấy lúng túng khơng có hướng giải hướng dài, không cô đọng Đa số học sinh thường "bỏ qua" "bỏ dở" tốn Xuất phát từ tầm quan trọng nội dung từ thực trạng trên, để học sinh dễ dàng tự tin gặp tập véc tơ, giúp em phát huy khả phân tích, tổng hợp, khái qt hố qua tập nhỏ, với tích luỹ kinh nghiệm thân qua năm giảng dạy, đưa chuyên đề “BƯỚC ĐẦU TÌM HIỂU VỀ TÂM TỈ CỰ” Với khái niệm sơ khai tâm tỉ cự, ví dụ điển hình, gần gũi, em hiểu tâm tỉ cự, từ áp dụng linh hoạt để giải tốn Tơi viết chun đề với mong muốn giúp em bước đầu có cách tiếp cận dễ gần với khái niệm tâm tỉ cự Từ áp dụng để giải số toán trước hết đơn giản áp dụng linh hoạt cho việc giải tốn khó Và cuối em có cách nhìn tổng qt toán tâm tỷ cự đặc biệt giúp em giải tốt tốn quĩ tích toán cực trị sau III NỘI DUNG A ĐỊNH HƯỚNG VÀ YÊU CẦU  Học sinh tiếp cận ban đầu với khái niệm tập đơn giản tâm tỉ cự  Trên sở xác định mục tiêu khai thác triệt để đề tài qua tiết giảng đặc thù, qua việc cung cấp tận tình tài liệu có liên quan, giải đáp yêu cầu cần thiết, giáo viên xác định sau học xong chương I học sinh giỏi áp dụng thành thạo để giải số toán đặc trưng chuyên đề B BIỆN PHÁP  Tổ chức buổi giảng đặc thù với nội dung có trọng điểm  Hệ thống kiến thức vừa phải, ngắn gọn, dễ hiểu, súc tích  Hệ thống tập đa dạng, phong phú HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM TÂM TỈ CỰ CỦA HỆ ĐIỂM Định nghĩa Cho n điểm A1 , A2 , , An n số thực k1 , k2 , , kn thoả mãn điều kiện : k1  k2   kn  Khi tồn điểm G cho : k1.GA1  k2 GA2   kn GAn  Thì G gọi tâm tỉ cự hệ điểm Ai gắn với hệ số ki Trong trường hợp hệ số ki  i  1, n  G gọi trọng tâm hệ n điểm Ai ,  i  1, n  ; Chứng minh: Thật với O tùy ý k1.GA1  k2 GA2   kn GAn         k1 OA1  OG  k2 OA2  OG   kn OAn  OG   OG   k1.OA1  k2 OA2   kn OAn k  Vậy điểm G hoàn toàn xác định 2 MỘT SỐ KẾT QUẢ CẦN LƯU Ý Kết : (Bài toán tâm tỉ cự hai điểm ) Cho hai điểm A,B hai số thực α, β không đồng thời Vì  MA   MB      MA   AB nên 1) Nếu     khơng tồn M cho:  MA   MB  2) Nếu     tồn điểm M cho:  MA   MB  3) Khi đó, với điểm O ta ln có :  OA   OB      OM  OM  Ví dụ ta chọn O  A ta có: AM     AB  OA   OB   1 Vế trái (1) vectơ hoàn toàn xác định,nên từ (1) ta suy tồn điểm M thoả mãn (1) tức thỗ mãn u cầu tốn Nhận xét : Điểm M xác định từ hệ thức  MA   MB  với số thực α , β thoả mãn điều kiện α + β ≠ gọi tâm tỉ cự hai điểm A,B ứng với số (α;β) + Khi α = β ≠ 0, hệ thức :  MA   MB  trở thành MA  MB  hay M trung điểm đoạn thẳng AB + Khi α ≠ β = hệ thức  MA   MB  trở thành  MA   M  A Khái niệm tâm tỉ cự coi mở rộng khái niệm trung điểm, đầu mút đoạn thẳng Bằng cách chọn α , β thích hợp hệ thức cho ta nhiều khái niệm khác Trong trường hợp α = β ≠ công thức :  OA   OB      OM trở thành OA  OB  2OM công thức quen thuộc mà ta biết Kết : (Bài toán tâm tỉ cự ba điểm ) Cho ba điểm A,B,C ba số thực  ,  ,  không đồng thời không      Vì  MA   MB   MC        MA   AB   AC nên 1) Nếu       khơng tồn M cho:  MA   MB   MC  2) Nếu       tồn điểm M cho:  MA   MB   MC  3) Khi đó, với điểm O ta ln có :  OA   OB   OC        OM  OM  Ví dụ ta chọn O  A ta có: AM   OA   OB   OC       AB + AC         1 Vế trái (1) vectơ hoàn toàn xác định,nên từ (1) ta suy tồn điểm M thoả mãn (1) tức thoã mãn yêu cầu toán Nhận xét:  Điểm M xác định từ hệ thức  MA   MB   MC  với số thực  ,  ,   thoả mãn điều kiện       gọi tâm tỉ cự hai điểm A,B,C ứng với số  ,  ,   Trong trường hợp       đẵng thức :  MA   MB   MC  trở thành MA  MB  MC   M  G Hay M trọng tâm tam giác ABC Trong trường hợp     0,   đẵng thức :  MA   MB   MC  trở thành :  MA   M  A Trong trường hợp :     0,   đẵng thức :  MA   MB   MC  trở thành : MA  MB  hay M trung điểm AB Như tuỳ thuộc vào cách chọn  ,  ,   mà tâm tỉ cự ba điểm A,B,C trọng tâm ABC ,là ba điểm A,B,C trung điểm ba đoạn thẳng AB,BC,CA Khi       hệ thức  OA   OB   OC        OM trở thành : OA  OB  OC  3OM với điểm O, đẵng thức quen thuộc mà ta biết 3 HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM TRỌNG TÂM CỦA HỆ ĐIỂM Cho n điểm : A1 , A2 , , An Tồn điểm G cho: GA1  GA2   GAn  gọi trọng tâm hệ điểm n : A1 , A2 , , An * Khi n = trọng tâm hệ hai điểm trùng với trung điểm đoạn thẳng * Khi n = trọng tâm hệ ba điểm trùng với trọng tâm tam giác * Khi n = trọng tâm hệ bốn điểm trùng với trọng tâm tứ giác (Giao điểm đoạn nối trung điểm cạnh đối diện, trung điểm đoạn nối trung điểm đường chéo ) Chứng minh Lấy O cố định Khi ta có GA1  GA2   GAn   OG   OA1  OA2   OAn n  G hồn tồn xác định Giả sử có G’ thoả mãn u cầu tốn Khi : OG '    OA1  OA2   OAn  OG  OG '  G  G ' n Vậy tồn điểm G Chú ý: Cho n điểm : A1 , A2 , , An có G trọng tâm M tuỳ ý: MG   MA1  MA2   MAn n  Chứng minh Ta có GA1  GA2   GAn  M tuỳ ý: GA1  GA2   GAn    MA1  MG    MA2  MG     MAn  MG   MG   MA1  MA2   MAn n  MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG Bài tốn : Cho ABC có ba cạnh BC = a, CA = b, AB = c Gọi I tâm đường tròn nội tiếp ABC Chứng minh I tâm tỉ cự hệ ba điểm A,B,C ứng với số a,b,c Bài giải Ta phải chứng minh: aIA  bIB  cIC  Ba đường phân giác AA1 , BB1 , CC1 cắt I tâm đường tròn nội tiếp ABC Vẽ hình bình hành IB’CA’ Theo quy tắc hình bình hành ta có : IC  IA '  IB ' Trong BB’C : IA1 // B’C Theo định lý Talet ta có : IB ' A1C (1)  IB A1B A1C AC b   A1 B AB c IB ' A1C AC b    IB A1B AB c Vì AA1 đường phân giác nên ta có : Từ (1) (2) ta suy : (2) IB ' b (do IB IB ' đối ) (3)  c IB IA ' a  c IA Lập luận hoàn toàn tương tự ta có: b c (4) a c Từ (3) (4) ta suy : IA '  IB '   IB  IA b a  IC  IA '  IB '   IB  IA c c  aIA  bIB  cIC  Rõ ràng a + b + c ≠ nên từ đẵng thức ta suy I tâm tỉ cự ba điểm A,B,C ứng với số a,b,c  (đpcm) Bài toán : Cho ABC không vuông.Chứng minh trực tâm H ABC tâm tỉ cự ba điềm A,B,C ứng với số : (tanA ; tanB ; tanC) Bài giải Ta phải chứng minh: tan A.HA  tan B.HB  tan C.HC  Các đường cao ABC cắt trực tâm H Vẽ hình bình hành HB’CA’.Trong BB’C ta có HA1 // B’C Suy : HB ' A1C  HB A1B Ta lại có : A1C = AA1.cot C A1B = AA1.cot B Do : HB ' A1C AA1.cot C tan B    HB A1B AA1.cot B tan C  HB '   tan B HB (1) tan C (vì HB HB ' đối nhau) Hồn tồn tương tự ta có : HA '   tan A HA (2) tan C Từ (1) (2) ta có : HA '  HB '   tan A tan B HA  HB tan C tan C  HC  HA '  HB '   tan A tan B HA  HB tan C tan C  tan A.HA  tan B.HB  tan C.HC  (3) Ta ln có : tanA + tanB + tanC ≠ ,do từ định nghĩa đẵng thức (3) ta suy H tâm tỉ cự hệ ba điểm A,B,C ứng với số : (tanA ; tanB ; tanC) Trong trường hợp ABC có góc tù chứng minh hoàn toàn tương tự  ( Đpcm ) Bài toán : Cho tứ giác ABCD.Gọi G trọng tâm tam giác ABC.Điểm I điểm thuộc cạnh GC cho : IC = 3GC Chứng minh với M ta ln có hệ thức : MA  MB  MC  MD  4MI Bài giải Theo giả thiết,G trọng tâm ABD nên : G tâm tỉ cự ba điểm A,B,D ứng với số (1;1;1).Nghĩa : IA  IB  ID  3IG (1) Mặt khác : IC  3IG  IC  3IG (Do IC IG hai vectơ đối nhau) Thế IC  3IG vào biểu thức (1) ta có : IA  IB  IC  ID  Do với điểm M ta ln có : IA  IB  IC  ID   IM  MA  IM  MB  IM  MC  IM  MD   4IM  MA  MB  MC  MD   MA  MB  MC  MD  4MI ,(đpcm) Bài toán Cho tam giác ABC Tìm điểm M cho a) MA  2MB  3MC  b) MA  2MB  3MC  Bài giải a) Cách 1: Theo Kết với số   1,   2,   ta suy với điểm O: MA  MB  MC   OM  OM  OB  OC Chọn O  A , ta có AM  AB  AC A Khi M đỉnh cịn lại hình bình P hành APMQ AP  N I 1 AB ; AQ  AC M ( Ta chọn O điểm B, C ) B Cách 2: Tồn I cho IA  2IB  Khi MA  2MB  3MC   3MI  3MC   MI  MC Vậy M trung điểm đoạn IC b) Theo Kết với số   1,   2,   3        ta suy khơng có M thỏa mãn điều kiện Bài toán Cho tam giác ABC Tìm điểm M cho MA  MB  MC  MA  2MB  3MC Bài giải Chọn G trọng tâm tam giác ABC Ta có MA  MB  MC  3MG 1 C A Gọi I điểm cho IA  2IB  3IC  ( I xác định tốn 9) Khi : G MA  MB  MC  MA  2MB  3MC  3MG  6MI  MG  MI I B Suy M thuộc trung trực đoạn GI Bài toán Cho tam giác ABC 1)Hãy dựng điểm I tâm tỉ cự ba điểm A,B,C ứng với số (3;-2;1) 2)Chứng minh đường thẳng nối hai điểm MN xác định từ hệ thức MN  3MA  2MB  MC qua điểm cố định 3) Tìm quỹ tích M cho: 3MA  2MB  MC  MB  MA 4)Tìm quỹ tích M cho : MA  MB  MC  MB  MC 5) Tìm quỹ tích M cho: 2MA  MB  4MB  MC Bài giải 1) Điểm I tâm tỉ cự ba điểm A,B,C ứng với số (3;-2;1) nên điểm I cần tìm yhoả mãn hệ thức sau : 3IA  2IB  IC     IA  IB  IA  IC   2BA  2IE  (Với E trung điểm đoạn AC)  IE  AB Suy I đỉnh thứ tư hình bình hành ABEI (với E trung điểm AC) 2)Theo tính chất tâm tỉ cự ta có : 3MA  2MB  MC  (3   1)MI  3MA  2MB  MC  2MI Suy : MN  3MA  2MB  MC  2MI Hay MN  2MI C Do ba điểm M,N,I ln thẳng hàng ,hay đường thẳng nối hai điểm M,N qua điểm cố định (đpcm) 3) Theo tính chất tâm tỉ cự ta suy : 3MA  2MB  MC  2MI Do : 3MA  2MB  MC  MB  MA  2MI  AB  2MI  AB  MI  AB Vậy quỹ tích điểm M đường trịn tâm I có bán kính AB 4) Gọi G trọng tâm ABC Và F trung điểm cạnh BC.Ta có : MA  MB  MC  MG MB  MC  2MF Do : MA  MB  MC  MB  MC  3MG  2MF  6MG  6MF  MG  MF Suy quỹ tích M đường Trung trực đoạn thẳng GF với G trọng tâm ABC ,và F trung điểm BC 5) Gọi P tâm tỉ cự hai điểm A,B ứng với số (2;1),và K trung điểm canh AB.Khi P thoả mãn đẵng thức véctơ sau :   2PA  PB   PA  PA  PB   PA  2PK  Tương tự gọi Q tâm tỉ cự hai điểm B,C ứng với số (4;-1).Khi Q thoả mãn đẵng thức véctơ sau : 4QB  QC     3QB  QB  QC   3QB  CB  hay QB  BC Theo tính chất tâm tỉ cự ta có : 2MA  MB    1 MP  3MP ; 4MB  MC    1 MQ  3MQ ; Từ đẵng thức : 2MA  MB  4MB  MC ta suy : 3MP  3MQ Hay MP = MQ Do quỹ tích điểm M đường trung trực đoạn thẳng PQ Bài toán Cho tam giác ABC 1) Xác định điểm I cho tâm tỉ cự ba điểm A,B,C ứng với số : (1;3;-2) Xác định điểm D cho tâm tỉ cự hai điểm B,C ứng với số : (3;-2) 2) Chứng minh A,I,D thẳng hàng 3) Gọi E trung điểm AB N điểm cho : AN  k AC xác định k cho AD,EN,BC đồng quy 4) Tìm quỹ tích điểm MA  3MB  2MC  2MA  MB  MC ; M cho Bài giải 1) Giả sử I tâm tỉ cự ba điểm A,B,C ứng với số (1;3;-2) ,E trung điểm AB Khi I thoả mãn đẵng thức véctơ sau : IA  3IB  2IC     IA  IB  IB  IC   2IE  2CB   IE  BC Vậy I đỉnh thứ tư hình bình hành BCEI Gọi D tâm tỉ cự hai điểm B,C ứng với số (3;-2).Khi D thoả mãn đẵng thức sau : : 3DB  2DC     DB  DB  DC   DB  2CB   DB  2BC Vậy B,C,D nằm đường thẳng,B nằm C,D DB = 2BC 2) Chứng minh A,I,D thẳng hàng: E trung điểm AB  2IE  IA  IB Thay 2IE  2BC  DB vào đẵng thức ta : DB  IA  IB  DB  IB  IA  DI  IA suy A,I,D thẳng hàng (đpcm) 3) Theo chứng minh ta có AD BC giao D Giả sử DE cắt AC N,N thuộc AC,theo giả thiết AN  k AC ,do k > Kẻ BH song song với AC, H thuộc DN HEB  NEA  BH  NA BH DB 2 Theo định lý Talet ta có :    BH  CN CN DC 3 2  AN  NC  AC 2 5 ( Vì AN  NC  AN  NC  NC  NC  NC  AC  NC 3 3 5  AC  NC  AN  AC  AN  AN  AC ) 3 2 2 Suy : AN  AC  k  5 Vậy Với k  AD,BC,EN đồng quy D 5) Gọi J trung điểm BC.Theo tính chất tâm tỉ cự ta có : MA  3MB  2MC  2MI Mặt khác :    2MA  MB  MC  MA  MB  MA  MC    BA  CA   AB  AC  2 AJ Do : MA  3MB  2MC  2MA  MB  MC  MI  AJ  MI  AJ  Vậy quỹ tích điểm M đường tròn tâm I bán kinh AJ Bài toán Cho tam giác ABC đường thẳng d Tìm điểm M cho MA  MB  3MC nhỏ Bài giải Chọn G điểm cho GA  GB  3GC  1 Khi MA  MB  3MC  5MG  5MG A I  MA  MB  3MC nhỏ khi MG G B nhỏ M  M hình chiếu G lên d d  Xác định điểm G: Với số (1;1;3) ta có 1  OA  OB  3OC  5OG 5 Chọn O  C  CA  CB  5CG  CG  CA  CB  CG  ( I trung điểm AB ) C   CA  CB  CI 5 IV KẾT LUẬN Tâm tỉ cự có vai trị to lớn việc phát triển đơn giản hóa tốn hình học véc tơ Mục đích tơi giúp em học sinh dễ dàng tự tin gặp tập véc tơ, giúp em phát huy khả phân tích, tổng hợp, khái quát hoá qua tập nhỏ Trên tập mà thấy phù hợp với em học sinh bắt đầu say mê tìm hiểu tâm tỉ cự Trên sở tập đó, em mở rộng dạng tập, phát huy ý nhỏ bài, ý kiến chủ quan cá nhân tơi Rất mong nhận góp ý Thầy, Cô để viết hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn!