Từ sự phân tích các mở rộng khái niệm số mũ của lũy thừa về các mặt Toán học, lịch sử Toán học và Lý luận dạy học Toán, trên cơ sở những tri thức, những phương pháp của lịch sử Toán học, lý luận dạy học Toán, bài báo xây dựng một tình huống tương thích để dạy học mở rộng khái niệm số mũ của lũy thừa với hy vọng trong tình huống như vậy, học sinh là chủ thể xây dựng tri thức cần học.
JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE 2012, Vol 57, No 10, pp 8-13 DẠY HỌC MỞ RỘNG KHÁI NIỆM SỐ MŨ CỦA LŨY THỪA Ở LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG (BAN NÂNG CAO) THEO QUAN ĐIỂM CỦA LÝ THUYẾT TÌNH HUỐNG Nguyễn Mạnh Cảng Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Email: nguyenmanhcangdhsp@yahoo.com Tóm tắt Từ phân tích mở rộng khái niệm số mũ lũy thừa mặt Toán học, Lịch sử Toán học Lý luận Dạy học Toán, sở tri thức, phương pháp Lịch sử Toán học, Lý luận Dạy học Tốn, báo xây dựng tình tương thích để dạy học mở rộng khái niệm số mũ lũy thừa với hy vọng tình vậy, học sinh chủ thể xây dựng tri thức cần học Từ khóa: Số mũ, Lý luận Dạy học Tốn, lý thuyết tình Mở đầu Học sinh lớp 12 (ban nâng cao) học: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ gặp định nghĩa sau: “Với a = 0, n = n số nguyên âm, lũy thừa bậc n a số an xác định a0 = 1, an = −n ”, “Cho a số thực dương r số hữu tỉ a m Giả sử r = m số nguyên, n số nguyên dương Khi đó, lũy n m √ thừa a với số mũ r số ar xác định ar = a n = n am ” [4] Học sinh gặp an tích n thừa số a: an = a.a a (n thừa số), với n nguyên dương, đến nay, − −3 gặp a , a , a , a học sinh không khỏi lạ lẫm đột ngột Các em tiếp thu định nghĩa có phần khiên cưỡng chưa hiểu ý nghĩa chúng Về phía người dạy, muốn nói ý nghĩa định nghĩa nói gặp khó khăn phải giải thích thời điểm này, mà cho học sinh hiểu định nghĩa trình học hàm số mũ sau Đây thực trạng mà phải chấp nhận Vấn đề đặt là, khắc phục thực trạng khơng? Câu trả lời có thể! Nội dung nghiên cứu Về mặt toán học, ta gặp toán mở rộng miền xác định hàm số mũ y = a (a > 0, a = 1) từ chỗ hàm số có tập xác định tập số nguyên dương, tới x Dạy học mở rộng khái niệm số mũ lũy thừa lớp 12 chỗ có tập xác định tập số nguyên, tập hợp số hữu tỉ tới tập số thực, Việc mở rộng phải thỏa mãn yêu cầu định quy định mục đích nghiên cứu định nghĩa tưởng chừng có phần khiên cưỡng nêu trên, kết tất yếu việc giải toán Trong Lịch sử Toán học [2], việc mở rộng khái niệm số mũ lũy thừa quan tâm từ lâu, với mục đích tìm tịi phương pháp cơng cụ tính tốn Để đưa phép toán phép toán đơn giản hơn, cần lập bảng đối chiếu dãy lũy thừa số với dãy số mũ chúng Điều dẫn đến việc so sánh hai cấp số: cấp số cộng cấp số nhân, mở rộng cho đầy đủ khái niệm lũy thừa Xuất phát từ quan điểm trên, đưa phân số xen kẽ số tự nhiên vào cấp số cộng, Ô-rét đến với lũy thừa với số mũ phân, tiếp Sti-phen đến với lũy thừa với số mũ phân âm [2] Về mặt lý luận dạy học [1,3], để dạy tri thức Toán học, lý thuyết tình cho cần phải để học sinh sống hồn cảnh mà tri thức nẩy sinh, để dạy tri thức muốn lột tả ý nghĩa nó, giáo viên phải hồn cảnh hóa tri thức sách giáo khoa, để hồn cảnh đó, học sinh tạo kiến thức mà ta mong muốn Dưới trình xây dựng tình tương thích để dạy học khái niệm lũy thừa với hy vọng, tình vậy, học sinh chủ thể xây dựng tri thức cần học, thực trạng nêu phần đầu viết khắc phục Hoạt động 1: Cho dãy số: 1, 2, 3, 4, (1) 2, 4, 8, 16, (2) Học sinh: - Nhận dạng hai dãy số Kêt quả: (1) cấp số cộng U1 = 1, d = 1, (2) cấp số nhân V1 = 2, q = - Tìm cách cho tương ứng số hạng dãy số (1) với số hạng dãy số (2) Kết quả: 1, 2, 3, 4, n ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 21 22 23 24 2n Giáo viên: Như có Hình Đồ thị hàm số y = 2x hàm số tập xác định tập hợp số nguyên tập xác định {1,2,3} dương, hàm số ký hiệu là: y = 2x với x ∈ N + gọi hàm số mũ tập hợp số nguyên dương Học sinh: Vẽ đồ thị hàm số y = 2x tập xác định {1,2,3} (Hình 1) Đồ thị gồm Nguyễn Mạnh Cảng điểm {(1, 2); (2, 4); (3,8)} Hoạt động 2: Giáo viên: Ta mở rộng dãy số (1) cách viết tiếp số hạng 0, -1, -2, -3, từ phải sang trái (0 liền kề 1) ta cấp số cộng mở rộng vơ hạn hai phía, ký hiệu (1’) , -3, -2, -1, 0, 1, 2, (1’) Học sinh: Mở rộng cấp số nhân (2) để có cấp số nhân mở rộng (2’) cách cho tương ứng số hạng dãy (1’) với số hạng (2’), tức phải điền số thích hợp vào vị trí dấu ?: , -3, -2, -1, 0, 1, 2, (1’) , ?, ?, ?, ?, 21, 22, 23 Cấp số nhân mở rộng có cơng bội 2, có dạng sau: 1 1 1 , , , , 1, 2, 4, 8, viết dạng , , , , 1, 21 , 22 , 23 , (2’) 2 2 Giáo viên: Ta có tương ứng số hạng (1’) (2’) sau: −3 → −2 → 2 −1 → 0→1 → 21 → 22 → 23 Như có hàm số xác định tập Hình Đồ thị hàm số y = 2x hợp số nguyên ký hiệu y = 2x tập xác định {-3, -2, -1, 0, 1, 2} với x ∈ Z gọi hàm số mũ tập hợp số nguyên: m = 2.2 x = m nguyên dương m x = y = 2x = x = -m 2m Học sinh: Vẽ đồ thị hàm số y = 2x tập xác định -3, -2, -1, 0, 1, (Hình 2) 10 Dạy học mở rộng khái niệm số mũ lũy thừa lớp 12 1 Đồ thị cần vẽ qua điểm sau: (−3, ); (−2, ); (−1, ); (0, 1); (1, 2); (2, 4) Hoạt động 3: Giáo viên: Ta mở rộng cấp số cộng (1’) cách viết xen vào hai số hạng liên tiếp số hạng cho cấp số cộng có cơng sai , ký hiệu (1”) 1 , −3, − , −2, − , −1, − , 0, , 1, , 2, , 3, (1”) 2 2 2 Học sinh: Hãy mở rộng cấp số nhận (2’) để có cấp số nhận mở rộng cách cho tương ứng số hạng (1”) với số hạng (2”), tức phải điền số thích hợp vào vị trí dấu? 1 −3, − , −2, − , −1, − , 0, , 1, , 2, , (1”) 2 2 2 1 − , ?, , ?, , ?, 1, ?, 2, ?, 4, ?, √ Cấp số nhân mở rộng có cơng bội 2, có dạng sau: √ √ √ √ 1 1 , √ , √ , √ , √ , 1, 21 , 22 , 23 , 24 , (2”) 24 23 22 21 Giáo viên: Ta có tương ứng số hạng (1”) (2”) sau: − →√ 23 − →√ 22 1 − →√ 21 0→1 √ → 22 √ → 23 Ở có hàm số mũ y = 2x xác định tập hợp gồm số hữu tỉ m dạng ± với m ∈ Z Hoạt động 4: Giáo viên: Nếu ta mở rộng cấp số cộng (1”) cách viết xen vào hai số hạng liên tiếp số số hạng cho cấp số cộng mở rộng có cơng sai n (n nguyên dương lớn 2) cấp số nhân mở rộng tương ứng có cơng bội √ n Lúc tương ứng số hạng hai ấp số nói là: 11 Nguyễn Mạnh Cảng m − → √ n n 2m − → √ n n 22 1 − → √ n n 21 0→1 √ n → 21 n √ n → 22 n √ m → n 2m n Đến có hàm số mũ với tập xác định tập hợp số hữu tỉ Q, gọi hàm số mũ y = 2x tập hợp số hữu tỉ: 2.2 x = m nguyên dương m x = y = 2x = 2√m (x∈Q) m n 2m x = , n nguyên dương, n ≥ n m x = − √ n n 2m 1 Học sinh: Vẽ đồ thị hàm số y = 2x tập xác định {−1, − , 0, , 1, , 2} 2 Đồ thị cần vẽ qua điểm sau: √ 1 (−1, ); (− , √ ); (0, 1); ( , 2); (1, 2); ( , 23 ); (2, 4) 2 2 Hoạt động 5: Giáo viên: - Chúng ta xuất phát từ hàm số mũ y = 2x với tập xác định tập số nguyên dương N+ , ta mở rộng miền xác định để tương ứng có hàm số y = 2x tập số nguyên, tập hợp số hữu tỉ Hàm số mở rộng trùng với hàm số cũ xét miền xác định ban đầu Việc làm gọi thác triển hàm số Cùng với việc thác triển này, tương quan số thuộc miền xác định miền giá trị hàm số xác lập: ký hiệu trước vơ nghĩa, có nghĩa xác định, điều gọi mở rộng khái niệm số mũ lũy thừa - Việc thác triển hàm số mũ y = ax (a > 0, a = 1) tiến hành tương tự với y = 2x 12 Dạy học mở rộng khái niệm số mũ lũy thừa lớp 12 - Việc thác triển hàm số mũ y = ax (a > 0, a = 1) đồng hành với việc phát triển khái niệm số Trong phạm vi chương trình lớp 12, ta có khái niệm hàm số mũ y = ax (a > 0, a = 1) tập xác định tập hợp số thực R Việc xây dựng hàm số gắn liền với việc mở rộng khái niệm số mũ lũy thừa số mũ số vô tỉ Học sinh: Tự đọc hiểu hai nội dung [4;53-54]: - Lũy thừa với số mũ vơ tỉ - Tích chất lũy thừa với số mũ thực Kết luận Bài báo nét khiên cưỡng học sinh trang bị kiến thức hàm số mũ Bài báo thiết kế tình dạy học khái niệm hàm số mũ dựa phương diện Toán học, Lịch sử Tốn học Lý luận dạy học mơn Tốn khắc phục khiên cưỡng TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Brousseau G., 1986 Fondements et methodes de la didactique des mathématiques RDM Vol 72 [2] K A Rưp-ni-côp, 1967 Lịch sử Toán học (Vũ Tuấn dịch), Nxb Giáo dục, Hà Nội [3] Nguyễn Mạnh Cảng, 1999 Xây dựng tình dạy học định lý Talét Thơng báo Khoa học - Đại học Quốc gia Hà Nội, Trường Đại học Sư phạm số [4] Giải tích 12 (nâng cao) Nxb Giáo dục Việt Nam, 2011 ABSTRACT Creating teaching situations in which exponential functions can be taught to grade 12 high school students This article proposes several means of teaching exponential functions which make use of an analysis of mathematical, historical and methodological aspects of exponential functions and current knowledge, methods of mathematical history and mathematical methodology in order to teach students to learn the concepts by themselves 13 .. .Dạy học mở rộng khái niệm số mũ lũy thừa lớp 12 chỗ có tập xác định tập số nguyên, tập hợp số hữu tỉ tới tập số thực, Việc mở rộng phải thỏa mãn yêu cầu định... chiếu dãy lũy thừa số với dãy số mũ chúng Điều dẫn đến việc so sánh hai cấp số: cấp số cộng cấp số nhân, mở rộng cho đầy đủ khái niệm lũy thừa Xuất phát từ quan điểm trên, đưa phân số xen kẽ số tự... khái niệm số Trong phạm vi chương trình lớp 12, ta có khái niệm hàm số mũ y = ax (a > 0, a = 1) tập xác định tập hợp số thực R Việc xây dựng hàm số gắn liền với việc mở rộng khái niệm số mũ lũy