cac dang bai tap trac nghiem vdc tiep tuyen cua do thi ham so

BÀI TIẾP TUYẾN A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Cho hai hàm số f  x  g  x  có đạo hàm điểm x Ta nói hai đường cong  C  :y  f  x   C   : y  g  x  tiếp xúc với điểm M  x ;y0  M tiếp điểm chung chúng (C) ( C  ) có tiếp tuyến chung M Điều kiện tiếp xúc: Hai đường cong (C): y  f  x   C : y  g  x  tiếp xúc với  hệ phương trình f  x   g  x  có nghiệm  f   x   g  x  Nghiệm hệ phương trình hồnh độ tiếp điểm hai đường cong B PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Sự tiếp xúc hai đường cong Phương pháp giải Cho hai đường cong (C): y  f  x   C   : y  g  x  Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc với f  x   g  x  có nghiệm hệ phương trình  f   x   g  x  - Nghiệm x  x hệ hoành độ tiếp điểm hai đường cong cho - Hệ có nghiệm hai đường cong (C)  C   tiếp xúc với nhiêu điểm Bài tập Bài tập 1: Đồ thị hàm số y  x3  x  tiếp xúc với đường thẳng đây? A y  x  B y  2x  C y  x  D y  2x  Hướng dẫn giải: Chọn A Áp dụng điều kiện tiếp xúc hai đường cong  C  : y  f  x   C   : y  g  x  hệ phương trình f  x   g  x  có nghiệm     f x g x      Ta có y  3x   0, x   nên phương án B, C bị loại x  x   x  x0 Xét phương án A y  x  Ta có hệ  3x   Vậy đường thẳng y  x  tiếp xúc với đồ thị hàm số cho Bài tập Tập hợp tất giá trị thực tham số m để đường thẳng y  2x  m tiếp xúc với đồ thị hàm số y  x 1 x 1 A 7; 1 B 1 C 6 D 6; 1 Hướng dẫn giải: Chọn A Đường thẳng y  2x  m tiếp xúc với đồ thị hàm số y  x 1 hệ phương trình sau có x 1 nghiệm  x   x 1    x m  x    x    x 1  2 x  m   x   2 x  m  m  1     x 1   2  x  2      x  2x  x  1        x  1  m  Vậy m  1;7 đường thẳng d tiếp xúc với (C) Bài tập 3: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị ( Cm ) hàm số y  x  mx  7mx  3m tiếp xúc với parabol  P  : y  x  x  Tổng giá trị phần tử S A 11 B 331 C Hướng dẫn giải: Chọn A Để ( Cm ) tiếp xúc với (P) hệ phương trình sau có nghiệm:  x  mx  7mx  3m  x  x   3x  8mx  7m  x   x   m  1 x   7m  1 x  3m   1  3 x   m  1 x  7m       Giải (1), ta có (1)   x  1 x  mx  3m   x    x  mx  3m   + Với x  thay vào (2) m  2  x  mx  3m    3 + Xét hệ    m  1 x  m    3 x   m  1 x  7m   D 4 • Nếu m  (4) vơ nghiệm • Nếu m  m 1 (4)  x  2m  m 1  m 1   m 1  Thay x  vào (3) ta   4m     3m   2m   2m    2m   m    m  11m  5m     m   (thỏa mãn điều kiện)  m    11  Vậy S  2;  ;1 nên tổng phần tử S   Bài tập 4: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y x3   m   x  mx  tiếp xúc với đường thẳng y  Tổng giá trị phần tử S A 10 B 20 C D 32 Hướng dẫn giải Chọn B  x3    m   x  mx   11 Xét hệ phương trình   x   m   x  2m     x  m Giải phương trình (2) ta  x  + Với x  m , thay vào (1) ta  m  m3  m2    m  + Với x  , thay vào (1), ta m  Vậy tập hợp giá trị tham số thực để đồ thị hàm số cho tiếp xúc với đường thẳng y  2 20  S  0;6;  nên tổng phần tử S 3  Bài tập Biết đồ thị hàm số  C  : y  x  ax  bx  c  a, b, c    , tiếp xúc với trục hoành gốc tọa độ cắt đường thẳng x  điểm có tung độ Tổng a + 2b + 3c A B C Hướng dẫn giải: Chọn B Vì (C) tiếp xúc với Ox gốc tọa độ nên x  nghiệm hệ phương trình D  x  ax  bx  c  b    c  3x  2ax  b  Mặt khác (C) qua điểm A 1;3 nên a  b  c    a  Vậy a  2b  3c  Bài tập Họ parabol  Pm  : y  mx   m  3 x  m   m   tiếp xúc với đường thẳng d cố định m thay đổi Đường thẳng d qua điểm đây? A A 1; 8  B B  0; 2  C C  0;2  D D 1;8  Hướng dẫn giải Chọn B   Ta có: y  mx   m  3 x  m   m x  x   x   y  m  x  1  x  Xét đường thẳng d : y  x  hệ phương trình m  x  12  x   x  ln có nghiệm x  với m   2 m  x  1   Vậy  Pm  tiếp xúc với đường thẳng d : y  x  Đường thẳng d qua điểm B  0; 2  Nhận xét: Nếu viết lại hàm số  Pm  theo dạng y  m  ax  b   cx  d  Pm  ln tiếp xúc với đường y  cx  d Dạng Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm M  x0 ; y0  Phương pháp giải Thực theo bước sau Bước 1: Tính y  f   x  f   x0  Bước 2: Suy phương trình tiếp tuyến cần tìm y  f   x0  x  x0   y0 Bước 3: Thực yêu cầu cịn lại tốn Kết luận Chú ý: - Nếu tốn cho x0 ta cần tìm y0  f  x0  f   x0  - Nếu toán cho y0 ta cần tìm x0 cách giải phương trình f  x   y0 - Giá trị f   x0  hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm M  x0 ; y0  Bài tập Bài tập Gọi M điểm thuộc đồ thị hàm số  C  : y  2x 1 có tung độ Tiếp tuyến đồ thị x 1 (C) M cắt trục Ox, Oy A, B Diện tích tam giác OAB A 125  ®vdt  B 117  ®vdt  C 121  ®vdt  D 119  ®vdt  Hướng dẫn giải Chọn C Ta có M  2;5   C  ; y  3  x  1 ; y    3 Phương trình tiếp tuyến M  2;5 d : y  3x  11 11  11  Khi d cắt Ox, Oy A  ;0  B  0;11  OA  ; OB  11 3  1 11 121 Vậy SOAB  OA.OB  11   ®vdt  2 Bài tập Cho hàm số y  xb  ab  2, a   Biết a b giá trị thỏa mãn tiếp tuyến ax  đồ thị hàm số điểm A 1; 2  song song với đường thẳng d : 3x  y   Khi giá trị a  3b A B C –1 D –2 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: y  Do 2  ab  ax   tiếp y 1  3   y 1  tuyến song 2  ab a  2 2  ab a  2 song với đường thẳng d : 3x  y    y  3x   3 Mặt khác A 1; 2  thuộc đồ thị hàm số nên 2  1 b  b  2a  a2  2  ab  3 a  2  Khi ta có hệ   a    5a  15a  10    a   b  2 a  + Với a   b  1  ab  2 (loại) + Với a   b  ( thỏa mãn điều kiện) Khi ta có hàm số y  x 1 x 2 nên y  3  x  2  y 1  3 nên phương trình tiếp tuyến y  3 x  song song với đường thẳng y  3 x  Vậy a  3b  2 Bài tập Trong tất đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số y   x  x  x  đường thẳng d có hệ số góc lớn Phương trình đường thẳng d A y  x  B y  x  C y  D y  x  Hướng dẫn giải Chọn A Ta có y  3 x  x  Gọi M  x0 ; y0  thuộc đồ thị hàm số Khi hệ số góc tiếp tuyến M  x0 ; y0  k  3x02  x0   3  x0  1    kmax   x0  1 hay M  1; 4  Phương trình đường thẳng d y   x  1   y  x  Nhận xét: Đối với hàm số bậc ba y  ax  bx  cx  d tiếp tuyến có hệ số góc lớn (nhỏ nhất) tiếp tuyến điểm uốn đồ thị U  x0 ; f  x0   , với x0 nghiệm phương trình y  + Nếu a  hệ số góc k  f   x0  nhỏ + Nếu a  hệ số góc k  f   x0  lớn Bài tập Cho hàm số y  x  x   m  1 x  m có đồ thị  Cm  Giá trị thực tham số m để tiếp tuyến đồ thị  Cm  điểm có hồnh độ x  song song với đường thẳng y  3x  10 A m  B m  C m  Hướng dẫn giải Chọn D có y  x  x  m   y 1  m  Tiếp tuyến  Cm  điểm có hồnh độ x  có phương trình y   m   x  1  3m   y   m   x  m m   Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y  3x  10 nên  (vơ lí) 2m  10 Vậy khơng tồn m thỏa mãn u cầu tốn D khơng tồn m Bài tập Cho hàm số f  x   x  mx  x  Gọi k hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số M có hồnh độ x  Tất giá trị thực tham số m để thỏa mãn k f  1  A m  2 B 2  m  C m  D m  Hướng dẫn giải Chọn B Ta có f   x   x  mx   k  f  1   m Do k f  1    m  m  1 Để k f  1    m  m  1   2  m  Bài tập Cho hàm số y  x  3mx   m  1 x  , với m tham số thực, có đồ thị (C) Biết m  m0 tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm có hồnh độ x0  1 qua A 1;3 Mệnh đề sau đúng? A 2  m0  1 B 1  m0  C  m0  D  m0  Hướng dẫn giải Chọn C Gọi B tiếp điểm tiếp tuyến qua A 1;3 m  m0 Ta có y  3x  mx  m  Với x0  1 y0  m   B  1;2 m  1 y  1  5m  Tiếp tuyến B (C) có phương trình y   5m   x  1  m  Do tiếp tuyến qua A 1;3 nên  5m    m    m  Vậy m0    0;1 Bài tập Cho hàm số y  x2 có đồ thị (C) Gọi M điểm thuộc (C) có khoảng cách từ M đến 2x trục hoành hai lần khoảng cách từ M đến trục tung, M không trùng với gốc tọa độ O có tọa độ ngun Phương trình tiếp tuyến (C) M A y  8 B y  64 C y  12 Hướng dẫn giải: Chọn A  a2  Giả sử M  a;  điểm thuộc (C)  2a D y  9 a   a2  a   a 2a 2 a   a  Do d  M; Ox   d  M; Oy  nên 2a   a a    a  2a  Theo giả thiết M khơng trùng với gốc tọa độ O có tọa độ nguyên nên a   M  4; 8  Khi y  4x  x2 2  x   y    Phương trình tiếp tuyến cần tìm y  8 Bài tập Cho hàm số y  x 1 có đồ thị (C) đường thẳng d : y  2 x  m  ( m tham số thực) x2 Gọi k1 , k2 hệ số góc tiếp tuyến (C) giao điểm d (C) Tích k1.k2 A B C D Hướng dẫn giải Chọn A Tập xác định D   \ 2 Ta có y   x  2 Xét phương trình hồnh độ giao điểm (C) (d) x 1  2 x  m  ( với x  2 ) x2  x    m  x   m  1 Để đường thẳng (d) cắt đồ thị hàm số (C) hai điểm phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt khác –2 m  m  12      m     m      m   1  8    m    2m  Vậy (C) cắt (d) hai điểm phân biệt A  x1 ; y1  B  x2 ; y2  , với x1 , x2 nghiệm phương trình (1) m 6   x1  x2  Theo định lý Vi-ét ta có   x x   2m  2 Ta có k1.k2   x1    x2   2   x1 x2   x1  x2     m 6   2m    2   4 Bài tập Cho hàm số y  x  mx  m có đồ thị (C) với m tham số thực Gọi A điểm thuộc đồ thị (C) có hồnh độ Giá trị tham số thực m để tiếp tuyến  đồ thị (C) A cắt đường tròn   : x   y  1 A m    tạo thành dây cung có độ dài nhỏ 13 16 B m  13 16 C m   16 13 D m  16 13 Hướng dẫn giải Đường tròn    : x   y  1  có tâm I  0;1 , R  Ta có A 1;1  m  ; y  x  mx  y 1   m Suy phương trình tiếp tuyến  : y    m  x  1   m 3  Dễ thấy  qua điểm cố định F  ;0  điểm F nằm đường tròn    4  Giả sử  cắt   M, N, Khi MN  R  d  I ;     d  I ;   Do MN nhỏ  d  I ;  lớn  d  I ;    IF    IF Khi đường thẳng  có vectơ phương      u  IF   ; 1  ; u  1;4  m  4  nên   13 u IF      m    m  16 Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết hệ số góc dựa vào quan hệ song song, vng góc, Phương pháp giải Thực theo hai cách sau: Cách 1: Bước Xác định hệ số góc k tiếp tuyến dựa vào giả thiết toán Bước Giải phương trình f   x   k để tìm x  x0 hồnh độ tiếp điểm Tính y  f  x0   M  x0 ; y0  Khi phương trình tiếp tuyến cần tìm y  k  x  x0   y0 Điểm M  x0 ; y0  tiếp điểm tiếp tuyến với đồ thị hàm số cho Cách 2: Bước Xác định hệ số góc k tiếp tuyến dựa vào giả thiết tốn Bước Vì tiếp tuyến có hệ số góc k nên phương trình tiếp tuyến có dạng y  kx  b Dựa vào điều kiện tiếp xúc tiếp tuyến với (C) ta tìm giá trị b Lưu ý: - Phương trình f   x   k có nghiệm có nhiêu tiếp điểm - Một số trường hợp xác định hệ số góc đường thẳng thường gặp Cho hai đường thẳng d1 : y  k1 x  b1 ; d2 : y  k2 x  b2 + Trường hợp 1: d1  d2  k1.k2  1 k  k2 + Trường hợp 2: d1 / / d2   b1  b2 + Trường hợp 3: Góc  d1 ; d2     tan   k1  k2  k1 k Đặc biệt: Nếu góc d : y  kx  b với Ox   0    90  k  tan  Nếu đường thẳng d cắt Ox, Oy hai điểm A, B mà OB  m.OA k  tan   OB m OA + Trường hợp 4: Nếu đường thẳng d qua hai điểm A  x1 ; y1  B  x2 ; y2  k  y1  y x1  x2 Bài tập Bài tập 1: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  x  song song với trục Ox A y  3, y  1 B y  3, y  2 C x  3, x  1 D y  2, y  1 Hướng dẫn giải Chọn A Do tiếp tuyến song song với trục Ox nên tiếp tuyến có tiếp điểm điểm cực trị có phương trình y  y0 với y0 giá trị cực trị hàm số cho  x 1  Gọi tọa độ tiếp điểm M  x0 ;  với x0  Khi phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) x0    điểm M y   x0    x  x0    x0  x0  Do tiếp tuyến qua điểm A  2; 1 nên ta có phương trình   x0    x0   1   x0  1 ( vô nghiệm) x0   x0   x0  Vậy khơng có tiếp tuyến thỏa mãn u cầu đề Nhận xét: Đối với đồ thị hàm số y  ax  b khơng có tiếp tuyến đồ thị hàm số qua điểm cx  d  d a I   ;  giao điểm hai đường tiệm cận  c c Bài tập 2: Cho hàm số y  x  x  có đồ thị (C) Có tiếp tuyến đồ thị (C) qua 2  3 điểm A  0;  ?  2 A B C D Hướng dẫn giải Chọn C  3 Phương trình đường thẳng  qua điểm A  0;  có hệ số góc k có dạng y  kx   2 3 1  x  x   kx  1 2 có nghiệm x Để  tiếp xúc với (C) hệ phương trình  2 x  x  k    Thế (2) vào (1), ta có   3 x  3x   x  x x  2 x   x2 x2     x     + Với x   k   1 : y  + Với x   k  2   : y  2 x  + Với x    k  2   : y  2 x  Vậy có ba tiếp tuyến thỏa mãn Dạng 6: Xác định điểm M để có k tiếp tuyến đồ thị hàm số  C  : y  f  x  qua điểm M Phương pháp giải Thực theo bước sau: Bước Xây dựng tọa độ điểm M  a; b  Bước Giả sử d đường thẳng qua M có hệ số góc k Khi phương trình đường thẳng d : y  k  x  a  b  f  x   k  x  a   b Bước Để d tiếp tuyến (C) hệ phương trình *   có nghiệm  f   x   k Dựa vào số nghiệm hệ suy số tiếp tuyến tương ứng toán yêu cầu Nhận xét: - Nếu f  x  hàm số bậc 2, bậc 3, bậc bậc hệ (*) có nghiệm tương ứng với nhiêu tiếp tuyến - Nếu f  x  hàm số trùng phương có điểm cực trị hệ (*) có nghiệm khơng phải hoành độ điểm cực tiểu (cực đại) nghiệm ứng với tiếp tuyến đồ thị (C) Bài tập Bài tập 1: Cho hàm số y   x  x  có đồ thị (C) điểm M  m;2  Gọi S tập hợp giá trị thực m để qua M có hai tiếp tuyến với đồ thị (C) Tổng phần tử S A 20 B 13 C Hướng dẫn giải Chọn A Gọi d đường thẳng qua M  m;2  có hệ số góc k Khi phương trình d y  k  x  m   Để có hai tiếp tuyến (C) qua M hệ phương trình k  3 x  12 x phải có hai nghiệm phân biệt   x  x   k  x  m     Từ hệ trên, ta có  x  x   3 x  12 x  x  m   x   x 2 x   m   x  12 m     2 x   m   x  12 m  *  Để hệ có hai nghiệm, ta xét trường hợp sau + Trường hợp 1: Phương trình (*) có nghiệm kép khác D 16 m     m  2  96 m    m  12 m   + Trường hợp 2: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt có nghiệm    m  2  96 m   m0 12 m  20   Vậy S  6; ;0  nên tổng phần tử   Bài tập 2: Cho hàm số x  x  có đồ thị (C) điểm A 1; a  Có giá trị nguyên a để có hai tiếp tuyến (C) qua A ? A B C D Hướng dẫn giải Chọn C x 1 Ta có hàm số y  x  x  xác định  , y  x2  2x  Gọi k hệ số góc đường thẳng  qua A 1; a  Phương trình đường thẳng  : y  k  x  1  a Đường thẳng  tiếp xúc với đồ thị (C) hệ phương trình sau có nghiệm  x  x   k  x  1  a 1   x 1  k 2   x  2x  x2  2x   Thay (2) vào (1) ta x 1 x  2x   x  1  a  x  x    x  1  a x  x   a x  x   2 a x  2x   3 Qua A có hai tiếp tuyến (C) phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt Xét hàm số f  x   Ta có f   x   x2  2x  2  x  1  x  x  3 x  x  Bảng biến thiên ; f  x    x   Từ bảng biến thiên ta có (3) có hai nghiệm phân biệt a  0;  Mà a nguyên nên a  Dạng 7: Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số ẩn điểm có hồnh độ x  x0 cho trước Phương pháp giải Từ biểu thức hàm ẩn, tìm cách tính giá trị y0  f  x0  f   x0  Áp dụng công thức viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm có hồnh độ x  x0 Chú ý công thức đạo hàm hàm số hợp: Cho hàm số f  x  có đạo hàm khoảng K , u  u  x  hàm số xác định có đạo hàm K có giá trị khoảng K Khi  f  u    u f   u  Bài tập Bài tập 1: Cho hàm số y  f x có đạo hàm liên tục  thỏa mãn f  x   f 1  x   12 x , x   Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm có hồnh độ A y  x  B y  x  C y  x  D y  x  Hướng dẫn giải Chọn D Ta cần tính f 1 , f  1 Từ giả thiết f  x   f 1  x   12 x , x   (*) Chọn x  x  , ta 2 f    f 1   f    1   2 f 1  f     f 1  Lấy đạo hàm hai vế (*) ta f   x   f  1  x   24 x, x   Chọn x  x  , ta 4 f     f  1   f       4 f  1  f     12  f  1  Vậy f 1  2; f  1  nên phương trình tiếp tuyến y   x  1   x    Bài tập 2: Cho hàm số y  f  x  , y  g  x   f  f  x   , y  h  x   f x  có đạo hàm  có đồ thị  C1  ,  C2  ,  C3  Đường thẳng x  cắt  C1  ,  C2  ,  C3  A, B, C Biết phương trình tiếp tuyến  C1  A  C2  B y  3x  y  x  13 Phương trình tiếp tuyến  C3  C A y  24 x  23 B y  10 x  21 C y  12 x  49 D y  x  Hướng dẫn giải Chọn A Để giải toán, ta cần tính h   h   Phương trình tiếp tuyến  C1  A  f      f      y  f    x    f    x    2 f     f     f    10 Phương trình tiếp tuyến  C2  B y  f    f   f     x    f  f     f    f  10  x    f 10   x  13  f    f  10    f  10     2 f    f  10   f 10   13  f 10   25    Ta có h  x   f  x    x f   x   nên h    12 f  10   24 h    f 10   25 Phương trình tiếp tuyến  C3  C y  h   x    h    24  x    25  24 x  23 Bài tập 3: Cho hàm số y  f  x  xác định có đạo hàm nhận giá trị dương  Biết tiếp tuyến hai đồ thị hàm số y  f  x  y  g  x   f x   f x2 điểm có hồnh độ x0  có hệ số góc 12 –3 Giá trị f 1 A B C Hướng dẫn giải Chọn B  f x Ta có g   x     f x2     f x f   x   f  x  x f  x    f x2        Từ giả thiết ta có f  1  12 g  1  3, f  x   0, x   D  f 1 f  1  f 1 f  1 f 1  3   f  1 f 1  3  f 1  Bài tập 4: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  Gọi 1 ,  tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  y  g  x   x f  x  3 điểm có hồnh độ x  Biết hai đường thẳng 1 ,  vng góc 1 không song song với Ox, Oy Mệnh đề sau đúng? B f 1   f 1  A C f 1  D  f 1  Hướng dẫn giải Chọn C Ta có g   x   x f  x  3   x f  x  3  x f   x  3   Ta có hệ số góc tiếp tuyến 1 ,  f  1 g  1  f 1  f  1 Theo giả thiết f  1 g  1  1 f  1   f  1  f 1  f  1   1  f 1   1  f  1  f 1   f  1   f 1  f  1 f  1   Bài tập 5: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x   thỏa mãn f x  x   x  với x   Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hoành độ x  3 A y  x B y  x  C y  x  D y  x  Hướng dẫn giải Chọn B Để viết phương trình tiếp tuyến điểm x  3 , ta cần tính f  3 f   3 Với x  1 suy f  3  3       Do f x  x   x   x  f  x  x   Với x  1  f   3   f   3  Do phương trình tiếp tuyến cần tìm y  f   3 x  3  f  3  y  1  x  3   y  x  3 Bài tập 6: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  Gọi  C1  ,  C2   C3  đồ thị     hàm số f  x  , g  x   f x h  x   f x Biết f 1  tổng hệ số góc hai tiếp tuyến điểm có hồnh độ x   C1  ,  C2  –3 Phương trình tiếp tuyến  C3  điểm có hoành độ x  A y   x  B y  3x  C y   x  D y  3x  Hướng dẫn giải Chọn D Ta cần tính h 1 , h 1     Ta có g   x   xf  x , h  x   x f  x Theo giả thiết, ta có f  1  g  1  3  f  1  f  1  3  f  1  1 Do h 1  f  1  3 h 1  f 1  Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y  3  x  1   3 x  Bài tập 7: Cho hai hàm số f  x , g  x  có đạo hàm  thỏa mãn f   x   f   x   x g  x   36 x  , với x   Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm có hoành độ x  A y   x B y  x  C y  2 x  D y  x Hướng dẫn giải Chọn D Ta có f   x   f   x   x g  x   36 x  0, x   1  f 2  Thay x  vào (1) ta có f    f       f    Lấy đạo hàm hai vế (1) ta 3 f   x  f    x   12 f   x  f    x   x.g  x   x g   x   36    Thay x  vào (2) ta có 3 f   f     12 f   f     36   3 + Với f    thay vào (3) 36  (vô lý) + Với f    thay vào (3) f     nên phương trình tiếp tuyến y  x Bài tập 8: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  thỏa mãn  f  x    f  x   3 x  10 với x   Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm có hồnh độ x  A y   x  B y  x C y  x  3 Hướng dẫn giải Chọn D Ta cần tính f 1 , f  1 D y   x  3 Thay x  vào đẳng thức  f  x    f  x   3 x  10 , ta có  f 1   f 1  3  10   f 1   f 1    f 1  3 Theo ta có  f  x    f  x   3 x  10 với x nên đạo hàm hai vế ta 3  f  x   f   x   f   x   3, x   Thay x  vào ta có  f 1  f  1  f  1  3 Vì f 1  nên f  1   Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y   x  3  f 1  Dạng Tìm điểm đồ thị hàm số y  f  x  mà tiếp tuyến điểm song song với có hệ số góc k Phương pháp giải Giả sử hai điểm A  x A ; f  x A   , B  x B ; f  x B    x A  x B  thuộc đồ thị hàm số y  f  x  mà tiếp tuyến hai điểm song song với có hệ số góc k x A , x B hai nghiệm phương trình f   x   k Khi ta có biểu thức liên hệ x A , x B Từ giải u cầu tốn đưa Đối với hàm số y  d a ax  b  c  0; ad  bc   có tâm đối xứng I   ;  Nếu A, B hai điểm thuộc cx  d  c c đồ thị có tiếp tuyến A, B song song với I trung điểm AB Bài tập mẫu x 1 có đồ thị (H) Gọi A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  hai điểm phân biệt thuộc (H) 2x 1 cho tiếp tuyến (H) A, B song song với Độ dài nhỏ đoạn thẳng AB Bài tập 1: Cho hàm số y  A B C D 6 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có y  3  x  1 y  x1   y  x2   Do 3  x1  1  tiếp tuyến 3  x2  1 (H)  x  x2   x1  x2  A, B song song với nên Vì x1  x2 nên x1  x2  Khi vai trị A, B nên ta giả sử x1  1 a  ,a  2 a3  1 a3 1 A a  ; , B a  ;  2a   2 a  2 1 1 Gọi I  ;  giao điểm hai đường tiệm cận 2 2  x  x   xI Ta thấy  nên I trung điểm AB  y1  y2   yI   a  a2 a2 Ta có IA   ;   IA     4a 4a  2a  Vì I trung điểm AB nên AB  IA  Vậy ABmin   a2   a2   a  4a x 1 có đồ thị (H) Gọi A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  hai điểm phân biệt thuộc (H) 2x 1 cho tiếp tuyến (H) A , B có hệ số góc k Biết diện tích tam giác OAB Mệnh đề đúng? Bài tập 2: Cho hàm số y  A k  9 C 6  k  3 B 9  k  6 D 3  k  Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: y    x  1 Tiếp tuyến A, B (H) có hệ số góc k nên x1 , x2 hai nghiệm phân biệt phương trình   x  1  k  k 0  x1  x2   Suy kx  kx  k   *  nên  k 3  x1 x2  k Khi vai trị A, B nên ta giả sử a3  1 a3 1 ,B a  ; A a  ;  2a   2 a  2 x1  1 a  ,a  2   Áp dụng cơng thức tính diện tích tam giác ABC có AB   a; b  , AC   c; d  SABC  ad  bc   1 a     1 a3 Ta có OA   a  ; , OB    a  ;  2a  2 a  2   SOAB   2  a   a   a   a  a       2a   2a a      a2  2a    a  a2  ( a > 0) 2  a a  2a   a  1 + Với a   x1  2; x2  1  k   + Với a   x1  1; x2   k  3 Vậy giá trị k k  3; k   Bài tập 3: Cho hàm số y  x  x  có đồ thị (C) Gọi A  x A ; y A  , B  x B ; yB  với x A  x B điểm thuộc (C) cho tiếp tuyến A, B song song với AB  37 Giá trị x A  x B A 15 B 90 C – 15 D – 90 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có y  x  Do tiếp tuyến (C) A, B song song với nên y  x A   y  x B   x A2   x B2   x A  x B  (do x A  x B )     Giả sử A a, a3  3a  , B a,  a3  3a  với a > thuộc (C) Khi AB  a   a3  a   a6  24 a  40a  37  4a6  24a  40a2  1332   a2   a  (vì a > 0)  x A  3; x B  3 nên x A  x B  15 x2 có đồ thị (C) Gọi A, B hai điểm phân biệt thuộc (C) tiếp tuyến x 1 (C) A, B song song với Đường thẳng AB cắt trục Ox, Oy M, N diện tích tam giác OMN Độ dài đoạn MN Bài tập 4: Cho hàm số y  A 10 B C Hướng dẫn giải Chọn B D 10 Ta có y  3  x  1 Gọi A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  Khi y  x1   y  x2    x1  1   x2  1  x1  x2  2 Do tâm đối xứng I 1;1 (C) trung điểm đoạn thẳng AB Gọi hệ số góc đường thẳng AB k Phương trình đường thẳng AB y  k  x  1  Điều kiện để đường thẳng d : y  k  x  1  cắt (C) hai điểm phân biệt A, B phương trình x2  k  x  1  *  có hai nghiệm phân biệt x  x 1 Ta có *   kx  kx  k   có hai nghiệm phân biệt x  k    k  k  k  3   k   k  2k  k    k 1  ;0  , N  0;1  k  Vì M, N giao điểm AB với Ox, Oy nên M   k  Suy SOMN   k  1 2k Ta có MN   k  1 2 + Với k   MN  + Với k   k  2   k  1  k   k    k  1  k 2  2   k  1     k   MN  2 Vậy hai trường hợp MN  Dạng 9: Một số dạng toán khác Bài tập 1: Gọi A điểm thuộc đồ thị (C) hàm số y  x  x  có hồnh độ a Có số nguyên a cho tiếp tuyến (C) A cắt (C) hai điểm phân biệt B, C khác A? A B C Hướng dẫn giải Chọn B D x    Ta có y  x  x; y    x    y  12 x  6; y   x   Tọa độ điểm có hồnh độ a nguyên để tiếp tuyến điểm cắt trục hoành hai điểm thỏa mãn  6 a   2  a  1;0;1    a   ; a    Vậy có ba giá trị nguyên a thỏa mãn Nhận xét: Đối với đồ thị hàm số y  ax  bx  c mà đồ thị có ba điểm cực trị ( ab < 0) tiếp tuyến đồ thị điểm có hồnh độ nằm hai điểm cực tiểu (cực đại), trừ điểm uốn cắt đồ thị hai điểm khác Bài tập 2: Gọi A điểm thuộc đồ thị (C) hàm số y  x  x  có hồnh độ a Có số nguyên a cho tiếp tuyến (C) A cắt (C) hai điểm phân biệt B, C khác A diện tích tam giác OBC ? A B C D Hướng dẫn giải Chọn A x    Ta có y  x  x; y    x    y  12 x  6; y   x   Tọa độ điểm có hồnh độ a ngun để tiếp tuyến điểm cắt trục hồnh hai điểm  6 a   2  a  1;0;1    a + Với a  1  A  1;0  Khi phương trình tiếp tuyến y   x  1 x  Xét phương trình x  x    x  1   x  1 nên B  0;2  , C  2;6   SOBC  (loại)  x     3;2  SOBC  tuyến y  2  x  1 + Với a   A  0;2  Khi phương trình tiếp tuyến y  nên B  3;2 , C  (thỏa mãn) + a   A 1;0  Với Khi phương trình tiếp nên B  0;2  , C  2;6   SOBC  (loại) Vậy a  Bài tập 3: Cho hàm số y  x 1 có đồ thị (C) Gọi S tập hợp tất giá trị thực m cho tiếp x2 tuyến (C) điểm có hồnh độ x  m  cắt tiệm cận đứng A  x1 ; y1  , cắt tiệm cận ngang B  x2 ; y2  thỏa mãn x2  y1  5 Tổng giá trị phần tử S A B – C – D Hướng dẫn giải Chọn B Đồ thị (C) có tiệm cận đứng tiệm cận ngang x  2 y  Ta có y  Gọi y  x  2 , y  m    m2 m3  M  m  2;  C, m  , m   tiếp tuyến (C) M có phương trình m 3 x  m  2   m m m6   tiệm cận ngang B  m  2;1 Giao điểm tiếp tuyến với tiệm cận đứng A  2; m   Theo giả thiết ta có m  m 6  m   5  m  m    m  m  3 Vậy m1  m2  2 x 1 có đồ thị (C) Gọi A, B hai điểm nằm hai nhánh (C) x 1 tiếp tuyến (C) A, B cắt đường tiệm cận ngang tiệm cận đứng cặp M, N P, Q Diện tích tứ giác MNPQ nhỏ Bài tập 4: Cho hàm số y  A 16 B 32 C D Hướng dẫn giải Chọn A Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận Theo tính chất tiếp tuyến đồ thị hàm số bậc bậc IM.IN  IP IQ  Ta có SMNPQ   1 MP.NQ   IM  IP  IN  IQ    IM IN  IP IQ  IM IQ  IN IP  2 1 64   IN IP    64  16 8   IM.IQ  IN.IP     2  IN IP  Vậy Smin  16 64  IN IP  IN IP  hay IN  IQ  IM  IP  2 tức MNPQ hình IN IP vng x  x  x  có đồ thị (C) Có giá trị nguyên tham số m để có hai tiếp tuyến (C) song song trùng với đường thẳng d : y  mx ? Bài tập 5: Cho hàm số y  A 27 B 28 C 26 D 25 Hướng dẫn giải Chọn B Giả sử M  a; b  tiếp điểm Ta có y  x  x  12 x Tiếp tuyến (C) M song song trùng với đường thẳng d : y  mx nên a nghiệm phương trình x  x  12 x  m *  Để có hai tiếp tuyến (C) song song trùng với đường thẳng d phương trình (*) có hai nghiệm  x  1 Xét f  x   x  x  12 x có y  x  x  12; y    x  Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên, để phương trình (*) có hai nghiệm 20  m  Mà m   nên m  20, 19, ,6,7 Vậy có 28 giá trị m thỏa mãn x 1 điểm I 1;1 Hai điểm A B thuộc nhánh x 1 đồ thị cho IA  IB Gọi k1 k2 hệ số góc tiếp tuyến A B Khi tiếp tuyến A Bài tập 6: Cho đường cong  C  : y  B (C) tạo với góc 15 , giá trị biểu thức k1  k2 A  2   B  C  2   D  Hướng dẫn giải Chọn A Do IA  IB nên k1.k2  Ta có tan15  k1  k2  k1.k2    k1  k2  2    k1  k2   28  16   k1  k2   32  16  k1  k2     2 Nhận xét: Đối với đồ thị hàm số y  ax  b có tâm đối xứng I Cho A, B hai điểm thuộc cx  d nhánh đồ thị hàm số thỏa mãn IA  IB Gọi k1 , k2 hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số cho A, B Ta có k1k2  c