Giá trị tới hạn tại vô hạn của ánh xạ đa thức và ánh xạ hữu tỷ với thớ một chiều 62 46 10 01

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN TẤT THẮNG GIÁ TRỊ TỚI HẠN TẠI VÔ HẠN CỦA ÁNH XẠ ĐA THỨC VÀ ÁNH XẠ HỮU TỶ VỚI THỚ MỘT CHIỀU LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI-2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN TẤT THẮNG GIÁ TRỊ TỚI HẠN TẠI VÔ HẠN CỦA ÁNH XẠ ĐA THỨC VÀ ÁNH XẠ HỮU TỶ VỚI THỚ MỘT CHIỀU Chuyên ngành: Hình học tơpơ Mã số: 62.46.10.01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TSKH Hà Huy Vui TS Phó Đức Tài HÀ NỘI-2011 Mục lục Mục lục Mở đầu Giá trị tới hạn vô hạn cấu xạ tập đại số phức với thớ chiều 1.1 Bài toán đặc trưng giá trị tới hạn vô hạn 1.2 Một nhận xét toán đặc trưng giá trị tới hạn vô cấu xạ tập đại số phức với thớ chiều Tô pô hàm đa thức hạn chế mặt đại số ánh xạ đa n n1 thức từ C vào C 2.1 Đặc trưng giá trị tới hạn vô hạn 2.2 Một số điều kiện đủ cho tồn phép chiếu 2.3 Tô pô thớ Tô pô hàm hữu tỷ hai biến phức 3.1 Các giá trị rẽ nhánh 3.2 Đặc trưng giá trị tới hạn tạ 3.2.1 3.2.2 3.2.3 Phụ lục: Tập giá trị rẽ nhánh ánh xạ đa thức Kết luận Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án Tài liệu tham khảo Mở đầu Việc nghiên cứu tính chất tơ pơ đa tạp đại số chia thành hai mảng đề tài: (i) Nghiên cứu đa tạp xạ ảnh; (ii) Nghiên cứu đa tạp affine Thành tựu nghiên cứu mảng đề tài thứ lý thuyết Lef-schetz Bằng cách khảo sát Lefschetz pencil, cụ thể thông qua việc mô tả tô pô thớ tổng quát mô tả toán tử đơn đạo quanh thớ đặc biệt - mà thớ có kỳ dị, tính chất tơ pơ đa tạp xạ ảnh hiểu rõ ([10], [38], [36]) Với mảng đề tài thứ hai, nhiều chuyên gia lĩnh vực nhận xét, tình hình khác Còn nhiều câu hỏi đa tạp affine ánh xạ đa thức chưa có câu trả lời, cho trường hợp hai biến Cái tương tự Lefschetz pencil trường hợp affine phân thớ Milnor toàn cục Từ kết tổng quát R Thom ([43]), f ánh xạ đa k thức từ tập đại số không kỳ dị V vào khơng gian C f xác định phân thớ k tầm thường địa phương lớp C ngồi tập đại số B khơng gian đích C Đó n phân thớ Milnor tồn cục Do tính khơng compact khơng gian C , xuất tượng mà ta khơng gặp nghiên cứu Lefschetz pencil, tượng kỳ dị vô hạn Một thớ f (t0) thớ đặc biệt khơng chứa điểm kỳ dị, mà ánh xạ f không xác định phân thớ tầm thường lân cận điểm vô hạn thớ f (t0) Bởi vậy, giá trị tới hạn, tập B chứa giá trị tới hạn vơ hạn Để sử dụng phân thớ Milnor tồn cục cho việc nghiên cứu tính chất tơ pơ tập đại số affine, toán cần phải giải Đặc trưng giá trị tới hạn kỳ dị vô hạn Mặc dù khoảng gần 30 năm trở lại nhiều nhà toán học nghiên cứu toán này, toán mở Ngay n n V toàn C f ánh xạ đa thức từ C vào C, người ta chưa biết cách trả lời, ngoại trừ trường hợp đặc biệt mà ta liệt kê Khi V = C k = 1, tức f đa thức hai biến phức, giá trị tới hạn vô hạn đặc trưng theo nhiều cách khác Đầu tiên kết Hà Huy Vui – Lê Dũng Tráng ([45]) M Suzuki ([42]), nói giá trị t giá trị tới hạn vô hạn f đặc trưng Euler thớ f (t) khác đặc trưng Euler thớ tổng quát Sau Hà Huy Vui ([44]) đưa khái niệm số mũ Lojasiewicz vô hạn thớ chứng minh ba điều kiện sau tương đương: (i) (ii) t giá trị tới hạn vô hạn f ; số Lojasiewicz vô hạn thớ f (t) nhỏ 0; (iii) số Lojasiewicz vô hạn thớ f (t) nhỏ 1: Nói cách khác, giá trị t giá trị tới hạn vô hạn điều kiện Fedoryuk điều kiện Malgrange đa thức t không thỏa mãn n Khi V = C ; n > k = 1, [30] M Tibar tiêu chuẩn thơng qua đặc trưng Euler nói chung khơng cịn Cũng ví dụ cụ thể, L Paunescu A Zaharia ([32]) chứng tỏ đặc trưng thông qua số mũ Lojasiewicz trường hợp hai biến khơng cịn A Parusinski thực bước đột phá tìm cách khai thác ưu điểm trường hợp ánh xạ từ C vào C, tất đa thức hai biến có kỳ dị lập vơ hạn Trong [24], n với giả thiết đa thức f : C ! C có kỳ dị lập vơ hạn n tùy ý, A Parusinski chứng minh ba điều kiện sau tương đương: (i) (ii) t giá trị tới hạn vô hạn f ; đặc trưng Euler thớ f (t) khác đặc trưng Euler thớ tổng quát; (iii) số mũ Lojasiewicz vô hạn thớ f (t) nhỏ hơn1 Luận án tìm cách khai thác ưu điểm khác trường hợp ánh xạ từ C vào C: thớ tổng quát có chiều phức Trong luận án nghiên cứu cấu xạ từ M vào N, với M, N tập đại số không kỳ dị dimM = dimN + Điểm chung ánh xạ với đa thức hai biến thớ tổng quát đường cong Với điều kiện ta hy vọng kết trường hợp C vào C mở rộng cho lớp ánh xạ xét Luận án chủ yếu tập trung nghiên cứu toán đặc trưng giá trị tới hạn vô hạn ánh xạ tình sau: n n1 Các ánh xạ đa thức từ C vào C ; Hạn chế đa thức mặt đại số không kỳ dị C ; n f Các hàm hữu tỷ hai biến phức, tức ánh xạ có dạng g : C n fg = 0g ! C với f; g đa thức hai biến phức Một nội dung khác luận án đưa mối quan hệ tập giá trị tới hạn vô hạn ánh xạ đa thức với tập giá trị tới hạn suy rộng tập giá trị mà ánh xạ khơng thỏa mãn điều kiện M-tame Luận án gồm Chương Phụ lục Chương gồm hai phần Trong phần đầu, giới thiệu toán đặc trưng giá trị tới hạn vô hạn cấu xạ nhắc lại kết biết Kết Chương trình bày phần thứ hai Theo định lý Hà Huy Vui Lê Dũng Tráng M Suzuki, đặc trưng giá trị tới hạn đa thức hai biến thông qua bất biến tô pơ đặc trưng Euler Kết chương nói rằng, F cấu xạ tập đại số phức khơng kỳ dị có thớ chiều 0 giá trị t giá trị tới hạn vô hạn F địa phương t F xác định phân thớ tầm thường tô pô Như vậy, F cấu xạ có thớ chiều (phức) chất, tốn đặc trưng giá trị tới hạn vô hạn F cịn tốn tơ pơ: có phép tầm thường hóa F cho ánh xạ liên tục có phép tầm thường hóa cho ánh xạ khả vi Kết Chương trình bày báo [28] Định lý Chương sau: n Định lý (xem Định lý 1.2.1) Cho cấu xạ F : M ! N, M; N C tập đại số phức không kỳ dị cho dimM = dimN + t0 N giá trị qui F Khi đó, khẳng định sau tương đương: (i) t0 giá trị qui vơ hạn F, tức tồn lân cận D t0 1 vi phôi : F (D) ! F (t0) D cho sơ đồ F giao hoán (ii) F tầm thường tô pô địa phương t0, tức tồn lân cận D t0 1 đồng phôi : F (D) ! F (t0) D cho sơ đồ F giao hoán Trong Chương chúng tơi nghiên cứu tốn đặc trưng giá trị tới hạn vô hạn ánh xạ xác định trong hai trường hợp sau: n n1 (a) F = (F1; F2; : : : ; Fn 1) : C ! C ánh xạ đa thức; (b) F = gjV hạn chế hàm đa thức g : C ! C lên V, V C n n n mặt đại số không kỳ dị, tức V = fx C : g1(x) = g2(x) = = gn 2(x) = 0g tập đại số không kỳ dị dim CV = 0 Cho t giá trị qui F Khi đó, với t đủ gần t thớ F (t) tập đại số phức chiều không kỳ dị n Hàm tuyến tính L : C ! C gọi phép chiếu tốt t tồn lân cận đủ nhỏ D t cho với t D ta có ánh xạ hạn chế Lt : F (t) ! C riêng i) 1 số dL(F (t)) := #Lt (A), A giá trị qui Lt, ii) khơng phụ thuộc vào t Các kết Chương là: n Định lý (xem Định lý 2.1.7) Cho F = (F1; F2; : : : ; Fn 1) : C ! C n1 ánh xạ đa thức Cho t giá trị qui F Giả sử tồn phép 0 chiếu tốt t Khi đó, t giá trị tới hạn vô hạn đặc trưng Euler thớ F (t ) lớn đặc trưng Euler thớ tổng quát Định lý (xem Định lý 2.1.8) Cho F = gjV : V ! C hạn chế g lên V, n V C mặt đại số khơng kỳ dị g đa thức n biến Cho t giá trị qui F Giả sử tồn phép chiếu tốt đối 0 với t Khi đó, t giá trị tới hạn vô hạn đặc trưng Euler thớ F (t ) lớn đặc trưng Euler thớ tổng quát Các Định lý cho phép mô tả thay đổi tô pô thớ tổng quát thớ ứng với kỳ dị vô hạn n Cho V tập C Ta định nghĩa phép gắn k đoạn lên V n ánh xạ liên tục : U := [i=1;:::;k[ai; bi] ! C thỏa mãn ((ai; bi)) vi phôi với (0; 1), (ai) = (a1) với i, với a , b ta có (a) , (b) a; b fai; i = 1; :::; kg, (U) \ V = f (b1); : : : ; (bk)g Đặt V0 = V [ (U) Ta nói V0 nhận từ V phép gắn k đoạn thẳng 73 Về mặt hình học, điều kiện (iia) có nghĩa siêu phẳng H có điểm chung n với phần miền dương R : Ta ký hiệu B( f ) tập hợp mặt xấu supp( f ): Với B( f ) đặt 0( 0 n f ) := f f (z ) j z (C f 0g) grad f (z ) = 0g: Cho 1( f ) := [ 2B( f ) 00( f ): Rõ ràng 00( f ) K0( f ): Theo Định lý Sard (xem [2]) tập hợp 1( f ) hữu hạn Kết sau cho ta đánh giá cho tập giá trị rẽ nhánh B( f ) f thông qua biên Newton vơ hạn n Định lý A.3 ([37], [5], [20]) Cho f : C ! C hàm đa thức khơng suy biến Khi (i) (ii) Nếu f tiện lợi B( f ) = K0( f ): Nếu f không tiện lợi B( f ) K0( f ) [ 1( f ) [ f f (0)g: Trong phần lại Phụ lục ta đưa mở rộng Định lý n m A.3 cho ánh xạ đa thức F = (F1; F2; : : : ; Fm) : C ! C Định nghĩa A.4 Ánh xạ đa thức F gọi không suy biến (theo đa diện New-ton) n fa : rank(J(Fi i )(a) < mg \ (C ) = ;; với i = 1; : : : ; n với mặt đóng i (Fi): Nhận xét A.5 Khi m = khái niệm ánh xạ khơng suy biến trùng với định nghĩa đa thức không suy biến định nghĩa Tương tự trường hợp đa thức, với i = ( 1; 2; : : : ; m), B(Fi); i = 1; : : : ; m; đặt 0(F 0 n (C ) ; rank(J((Fi) i )(z )) < mg ) := f(F1 (z ); F2 (z ); : : : ; Fm m (z )) : z (F) := [ 2B(F1) B(F2) ::: B(Fm) 74 (F ) : n m Định lý A.6 Cho F = (F1; F2; : : : ; Fm) : C ! C khơng suy biến Khi ánh xạ đa thức m m i 1(F) [ [ i=1ft C : t = Fi(0; 0; : : : ; 0)g : M1(F) Chứng minh Khơng tính tổng quát giả thiết Fi(0; 0; : : : ; 0) = 0; i = 0 1; : : : ; m Cho t M1(F) cho ti , 0; i = 1; : : : ; m 0 Ta cần chứng minh t 1(F) Thật vậy, t M1(F) nên theo Bổ đề chọn đường cong vô hạn (Bổ đề 2.2.9) tồn đường cong giải tích n m ’(s) C (s) = ( 1(s); 1(s); : : : ; m(s)) C cho (b1) lims!0 k’(s)k = 1; (b2) lims!0 F(’(s)) = t ; (b3) ’(s) = Pm i=1 i(s) grad Fi(’(s)): Đặt I := fi j ’i 0g: Do điều kiện (b1) nên I , ;: Với i I ta viết ’i(s) = s i + số hạng với số mũ cao hơn; , mini2I i < 0: Tương tự, đặt J := f j j j 0g: Do điều kiện (b3) nên J , ;: Với j J ta viết j(s) = e j s j + số hạng với số mũ cao hơn; e j C n f0g: Vì t j , với j = 1; : : : ; m nên kết hợp với (b2) ta F j(’(s)) , với s đủ nhỏ Bởi vậy, hạn chế F j lên C I Gọi d j giá trị nhỏ hàm tuyến tính mặt cực đại (duy nhất) X e j2J 75 I a = (ai) (C ) F j j không phụ thuộc vào biến xi với i < I Đặt Ta thấy i < I0 Ngược lại, i I0 Xét khả sau: Trường hợp F j(’(s)) = F j j (a)s d j + số hạng với số mũ cao hơn: Nếu F j j (a) , d j (vì khơng F j(’(s)) ! s ! 0) Tuy nhiên, d j > F j(’(s)) ! t j = = F j(0; 0; : : : ; 0), trái với giả thiết Vậy ta ln có Theo hệ thức Euler ta có X B Bởi B B B B B @ @x @F 76 j Kết hợp với (6) ta nhận X iaie j i I ; j2J Từ định nghĩa I0 ta có i I0 i = minl=1;:::;m l=1;:::;m dl+ l Từ (5) suy , với i I0 Do (7) tương đương với hay X aiai = 0: i2I Điều khơng thể xảy , i I0 Trường hợp 2: Tập I rỗng Khi đó, với i = 1; : : : ; n ta có X ej @F j j (a) = @x j2J0 i hay X j2J e j grad F j j (a) = 0: Vì e j , với j J0 nên rank(J(F j j )(a)) < m: Theo giả thiết F ánh xạ không suy biến suy d j = với j = 1; 2; : : : ; m: Do j mặt xấu supp(F j): Mặt khác, với j = 1; : : : ; m ta có F j(’(s)) = F j j (a)s d j + số hạng với số mũ dương: Khi t j = F j j (a) Nói cách khác t 1(F): Định lý sau hệ Định lý A.2 Định lý A.6 77 n m Định lý A.7 Cho F = (F1; F2; : : : ; Fm) : C ! C ánh xạ đa thức khơng suy biến Khi B1(F) 1(F) [ [mi=1ft Cm : ti = Fi(0; 0; : : : ; 0)g : Nhận xét A.8 Điểm bật kết tập B1(F) đối tượng khó mơ tả 1(F) lại mô tả tường minh thông qua thông tin tổ hợp ánh xạ F 78 Kết luận luận án Trong luận án chúng tơi thu kết sau Chứng minh cấu xạ f : M ! N, với M; N tập đại số phức không kỳ dị dimM = dimN + 1, xác định phân thớ tầm thường tô pô lân cận giá trị t cho trước xác định phân thớ tầm thường lớp C lân cận Đưa khái niệm phép chiếu tốt Mở rộng kết Hà Huy Vui - Lê Dũng Tráng M Suzuki toán đặc trưng giá trị tới hạn vô hạn đa thức hai biến phức cho lớp ánh xạ: (i) (ii) n Ánh xạ đa thức từ C vào C n1 ; n Hạn chế đa thức n biến mặt đại số trơn C Từ kết mô tả thay đổi thớ tổng quát so với thớ ứng với kỳ dị vơ hạn Nghiên cứu tốn đặc trưng giá trị rẽ nhánh hàm hữu tỷ hai biến phức Với số giả thiết định bậc đa thức, đưa tiêu chuẩn cho giá trị giá trị tới hạn vô hạn Chỉ mối quan hệ tập giá trị tới hạn vô hạn ánh xạ đa thức với tập giá trị tới hạn suy rộng, tập giá trị mà ánh xạ khơng thoả mãn M-tame ánh xạ đa thức tập giá trị xây dựng dựa đa diện Newton đa thức thành phần ánh xạ 79 Tài liệu tham khảo Tiếng Anh [1] E Artal-Bartolo, I Luengo and A Melle-Hernendez (2000), "Milnor number at infinity, topology and Newton boundary of a polynomial function", Math Z 233, pp 679-696 [2] R Benedetti and J J Risler (1990), Real algebraic and semialgebraic sets, Actualités Mathématiques, Hermann [3] A Bodin (2004), "Newton polygons and families of polynomials", Manuscripta Math 113(3), pp 371-382 [4] A Bodin and A Pichon (2007), "Meromorphic function, bifurcation sets and fibred links", Math Res Lett 14(3), pp 413- 422 [5] S A Broughton (1988), "Milnor numbers and the topology of polynomial hypersurfaces", Invent Math 92, pp 217-242 [6] A D R Choudary (2002), "Topology of complex polynomials and Jacobian Conjecture", Topology and its Applications 123, pp 69-72 [7] A Dimca (1992), Singularities and Topology of Hypersufaces, Universitex, Springer - Verlag, NewYork, Berlin, Heidelberg [8] M V Fedoryuk (1976), "The asymptotics of a Fourier transform of the expo-nential function of a polynomial", Soviet Math Dokl 17, pp 486-490 [9] T Gaffney (1999), "Fibers of polynomial mappings at infinity and a general- ized Malgrange condition", Compositio Math 119(2), pp 157-167 81 [10] P Griffiths and J Harris (1976), Principles of algebraic geometry, A Wiley-Interscience Series of texts, 1978 [11] W Hirsch (1976), Differential topology, Springer - Verlag, New York [12] M Ishikawa (2002), "The bifurcation set of a complex polynomial function of two variables and the Newton polygons of singularities at infinity", J Math Soc Japan 54(1), pp 161-196 [13] Z Jelonek (2003), "On the generalized critical values of a polynomial map-ping", manuscripta math 110, pp 145-157 [14] S Ji, J Kollar and B Shiffman (1992), "A global Lojasiewicz inequality for algebraic varieties", Transactions of Amer Math Soc 329 (2), pp 813-818 [15] K Kurdyka, P Orro and S Simon (2000), "Semialgebraic Sard theorem for gwneralized critical values", Jounal of Differential Geometry 56, pp 67-92 [16] L D Tráng and C.P Ramanujam (1976), "The invariance of Milnor’s number implies the invariance of the topological type", Amer J Math 98, pp 67–78 [17] G Meigniez (2002), "Submersions, fibrations and bundles", Transactions of Amer Math Soc 354 (9), pp 3771- 3787 [18] J Milnor (1965), Topology from the Differentiable Viewpoint, Princeton Uni-versity Press, Princeton [19] J Milnor (1968), Singular points of complex hypersurfaces, Annals of Mathematics Studies 61, Princeton University Press, Princeton, New Jersey [20] A Némethi and A Zaharia (1990), "On the bifurcation set of a polynomial function and Newton boundary", Publ RIMS Kyoto Univ 26, pp 681-689 [21] Némethi and A Zaharia (1992), "Milnor fibration at infinity", Indag Math 3, pp 323-335 [22] W D Neumann (1989), "Complex algebraic plane curves via their links at infinity", Invent Math 98 (3), pp 445-489 82 [23] M Oka (1997), Non-degenerate complete intersection singularity, Actualités Mathématiques, Hermann, Paris [24] A Parusinski´ (1995), "On the bifurcation set of a complex polynomial with isolated singularities at infinity", Compositio mathematica 97, pp 369-384 [25] L Paunescu and A Zaharia (1997), "On the Lojasiewicz exponent at infinity for polynomial functions", Kodai Math J 20 (3), pp 269-274 [26] P.J Rabier (1997), "Ehresmann’s Fibration and Palais-Smale conditions for morphisms of Finsler manifolds", Annals of Math 146, pp 647-691 [27] S Spodzieja (2005), "The Lojasiewicz exponent of subanalytic sets", Ann Polon Math 87, pp 247-263 [28] N T Thang, "A remark on the bifurcation set of complex algebratic maps which have one dimensional fibers”, preprint, pp [29] N T Thang, "On the topology of rational function in two complex variables”, preprint, 10 pp [30] M Tibar (1998), "Asymptotic equisingularity and topology of complex hy-persurfaces", Int Math Res Not 18, pp 979-990 [31] J.G Timourian (1977), "The invariance of Milnor’s number implies topologi-cal triviality", Amer J Math 99, pp 437–446 [32] M Tibar and A Zaharia (1999), "Asymptotic behavior of families of real curves", Manuscripta Math 99, pp 383-393 [33] H H Vui and N T Thang (2008), "On the topology of polynomial functions n on algebraic surfaces in C ", Singularities II, Contemp Math 475, pp 61-67, Amer Math Soc., Providence, RI [34] H H Vui and N T Thang (2011), "On the topology of polynomial n mappings from C to C [35] n1 ", Internat J Math 22(3), pp 435-448 A Zaharia (1996), "On the bifurcation set of a polynomial function and New-ton boundary II", Kodai Math J 19, pp 218-233 83 [36] O Zariski (1965), "Studies in equisingularity II: Equisingularity in codimension (and characteristic 0)", Amer J Math 87, pp 972–1006 Tiếng Pháp [37] A G Kouchnirenko (1976), "Polyèdres de Newton et nombres de Milnor", Inventiones Mathematicae 32, pp 1-31 [38] S Lefschetz (1924), Analysis situs et la geometric algebrique, Gauthier - Vil-lars, Paris [39] L D Trang (1973), "Topologie des singularités des hypersurfaces complexes", Asterisque 7/8 (Singularités a Cargese), pp 171-182 [40] L D Tráng and K Saito (1973), "La constence du nombre de Milnor donne des bonnes stratifications", Compt Rendus Acad Sci Paris, serie A 272, pp 793-795 [41] B Malgrange (1980), Methode de la phase stationaire et sommation de Borel, Microlocal Caculus and Relativistic Quantum Theory, Lecture notes in Physics 126, pp 170-177 [42] M Suzuki (1974), "Proprietes topologiques des polynomes de deux variables complexes, et automorphismes algebriques de l’espace C ", J Math Soc Japan 26, pp 241-257 [43] R Thom (1969), "Ensembles et morphismes stratifiés", Bull Amer Math Soc 75, pp 240-284 [44] H H Vui (1990), "Nombres de Lojasiewicz et singularités l’infini des polynômes de deux variables complexes", C.R Acad Sci Paris Serie I t.311, pp 429-432 [45] H H Vui and L D Tráng (1984), "Sur la topologie des polynômes com-plexes", Acta Math Vietnamica 9, pp 21-32 84 ... NGUYỄN TẤT THẮNG GIÁ TRỊ TỚI HẠN TẠI VÔ HẠN CỦA ÁNH XẠ ĐA THỨC VÀ ÁNH XẠ HỮU TỶ VỚI THỚ MỘT CHIỀU Chuyên ngành: Hình học tơpơ Mã số: 62. 46. 10. 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HƯỚNG... hệ tập giá trị tới hạn vô hạn với tập giá trị tới hạn suy rộng tập giá trị mà ánh xạ khơng thỏa mãn điều kiện M-tame n Cho F : C ! C m ánh xạ đa thức Nhắc lại B1(F) tập giá trị tới hạn vô hạn K0(F)... NỘI- 2011 Mục lục Mục lục Mở đầu Giá trị tới hạn vô hạn cấu xạ tập đại số phức với thớ chiều 1.1 Bài toán đặc trưng giá trị tới hạn vô hạn 1.2 Một nhận xét tốn đặc trưng giá trị tới hạn vơ