Thực tế, trong quá trình dạy học cho thấy: Cái mà học sinh cần, không phải chỉ là lời giải của bài toán, mà cái chính là học sinh muốn biết quá trình tìm ra lời giải đó. Nhiệm vụ của người thầy không chỉ là cung cấp lời giải mà còn giúp học sinh biết tự đặt câu hỏi, tự tìm câu trả lời. Bài báo đề xuất một giải pháp giúp giáo viên nâng cao kĩ năng đặt câu hỏi, điều tiết câu trả lời cho học sinh trong quá trình dạy học môn Toán.
JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Science - Mathematics, 2013, Vol 58, pp 96-103 This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn ĐẶT CÂU HỎI VÀ ĐIỀU TIẾT CÂU TRẢ LỜI DỰA TRÊN TÌM HIỂU NGUN NHÂN BÀI TỐN TRONG Q TRÌNH DẠY HỌC KHÁM PHÁ CHO HỌC SINH Nguyễn Minh Giang Khoa Tốn, Trường Đại học Hải Phịng Tóm tắt Thực tế, trình dạy học cho thấy: mà học sinh cần, lời giải tốn, mà học sinh muốn biết q trình tìm lời giải Nhiệm vụ người thầy không cung cấp lời giải mà giúp học sinh biết tự đặt câu hỏi, tự tìm câu trả lời Thơng qua đó, vừa trang bị tri thức, rèn luyện kĩ năng, đồng thời tăng cường niềm say mê, rèn cách tự học, tự nghiên cứu cho người học Bài báo đề xuất giải pháp giúp giáo viên nâng cao kĩ đặt câu hỏi, điều tiết câu trả lời cho học sinh q trình dạy học mơn Tốn Từ khóa: Dạy học khám phá, đặt câu hỏi, tự học, tự nghiên cứu Toán học Mở đầu Trong dạy học, đặt câu hỏi kĩ quan trọng giáo viên (GV) Theo Đặng Thành Hưng (2006), câu hỏi giá trị khơi gợi vấn đề, cịn có chức giao tiếp, biểu đạt tư Thông qua câu hỏi, GV học sinh (HS) giải vấn đề học Tuy nhiên, thực tế nhiều GV chưa biết cách đặt câu hỏi, nhiều câu hỏi chưa đáp ứng yêu cầu người học sức dễ, GV lười đặt câu hỏi, trả lời thay HS Hậu lực giao tiếp HS không rèn luyện, HS lười suy nghĩ, khám phá học tập Trong dạy tốn trường phổ thơng, đứng trước tốn sơ cấp đó, người thầy cần phải có nhìn xuyên suốt để thấy chất, nguồn gốc tốn Thậm chí cịn thấy mối quan hệ hữu với hàng loạt toán khác cần thiết phải sử dụng thao tác tư để đặc biệt hóa hay khái quát hóa tốn để chúng trở thành tốn "hay" toán ban đầu Khi xem xét nhiều phương pháp dạy học biết như: Dạy học nêu vấn đề [1], Dạy học kiến tạo (constructionism) [2], Dạy học chương trình hóa, dạy học theo phương pháp kích thích tư (PPKTTD) [3] gần dạy học theo phương pháp bàn tay nặn bột (BTNB) tên tiếng Anh Hands-on Giáo sư người Pháp Georger Charpak đề xuất, nói khó phân biệt rạch rịi phương pháp lẽ chúng có chung mục đích khơng ép buộc HS công nhận kiến thức mà giúp HS tự tìm tịi, khám phá đến chiếm lĩnh kiến thức 96 Đặt câu hỏi điều tiết câu trả lời dựa tìm hiểu nguyên nhân toán Bài báo đề xuất giải pháp nâng cao kĩ đặt câu hỏi cho GV, minh họa qua dạy học số toán suy biến đồ thị 2.1 Nội dung nghiên cứu Một số gợi ý cách đặt câu hỏi Trên giới có nhiều nhà giáo dục học, tâm lí học quan tâm đến nhiệm vụ phát triển lực tư HS Đặc biệt giai đoạn kiến thức lưu trữ mạng Internet, HS không thiết phải nhớ nhiều kiến thức, cần tra google biết Do phương pháp tư coi trọng nhớ kiến thức, có phương pháp tư HS, tự học để chiếm lĩnh kiến thức Đối với nhà khoa học, biết đặt câu hỏi thành công nửa Newton đặt câu hỏi, táo lại rơi, nguyên nhân định luật vạn vật hấp dẫn Anhxtanh đặt câu hỏi, thời gian nào? lượng từ đâu nguyên nhân thuyết tương đối công thức E = mc2 tiếng Nhà sư phạm lỗi lạc Polya sách quyển: Toán học suy luận có lí, Sáng tạo tốn học Giải toán nào? thuật lại trình tư dẫn đến lời giải toán thước phim quay chậm, trả lời câu hỏi người đọc, gợi niềm cảm hứng cho nhiều thầy giáo dạy Toán qua nhiều hệ Qua tổng kết kinh nghiệm, khuyến nghị số điều nên làm đặt câu hỏi sau: (1) Chú ý biến đổi câu hỏi theo độ khó, độ dài, cấu trúc ngơn ngữ, chức năng, mục đích chúng (2) Bảo đảm tính logic, loạt câu hỏi hay tính hệ thống chúng (3) Định hướng vào số đông tập trung vào đề tài học tập để trì tiến trình hỏi đáp liên tục (4) Tơn trọng thời gian suy nghĩ cân nhắc HS (chờ đợi từ - giây) để đủ tạo ấn tượng, thiện cảm độ chín chắn tư câu trả lời (5) Lưu ý loại HS khác hành vi lớp để dựa vào HS giỏi lẫn HS kém, tự nguyện lẫn khơng tự nguyện, tích cực lẫn thụ động phải thay đổi vị để quan sát xử lí (6) Đáp ứng kịp thời có câu trả lời không (7) Tiếp nối câu trả lời hồn chỉnh hay đắn (8) Ln bám sát câu hỏi chốt chuẩn bị từ đầu (9) Chủ động cảnh giác với câu hỏi HS đặt cho GV (10) Khi dùng câu hỏi để kiểm tra tổng kết cần tận dụng chúng để nêu vấn đề hay nhiệm vụ Đặc biệt, dạy học mơn Tốn, cần trọng câu hỏi cách điều tiết câu trả 97 Nguyễn Minh Giang lời liên quan đến nguyên nhân toán (từ giả thiết, từ tốn trước đó, từ kiến thức tiền đề) tình phát sinh, giúp HS rèn thao tác trí tuệ phổ biến như: so sánh, phân tích, tổng hợp, quy lạ quen 2.2 Minh họa qua tình dạy học số toán suy biến đồ thị Bài toán suy biến đồ thị nằm chuẩn kiến thức trung học phổ thông (THPT) “Đây dạng tập quen thuộc sử dụng xây dựng đồ thị hàm số bậc hai dạng tổng quát qua đồ thị hàm số y = ax2 , thể rõ sách giáo khoa Đại số lớp 10 Giải tích lớp 12 Từ tư tưởng nêu tốn tổng qt toán suy biến đồ thị sau: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C), từ đồ thị (C) suy đồ thị hàm số y = g(x) viết dạng f (x + q), f (x − q) f (x) + p, f (x) − p Tri thức truyền đạt thơng qua ví dụ ta dẫn đến thuật giải sau đây: [3] Bước Biến đổi g(x) bốn dạng: f (x + q), f (x − q) f (x) + p, f (x) − p Bước Nếu g(x) = f (x + q)(f (x − q)) tịnh tiến đồ thị (C) theo trục Ox bên trái (bên phải ) q đơn vị ta đồ thị hàm số g(x) Nếu g(x) = f (x + q)(f (x) − q) tịnh tiến đồ thị (C) theo trục Oy lên (xuống ) p đơn vị ta đồ thị hàm số g(x) Bước Thực việc tịnh tiến đồ thị hàm số hình vẽ kết luận Trong phần chủ yếu phân tích hệ thống câu hỏi để giúp GV giải thích nguyên nhân phép biến đổi đại số mà nhà tốn học trước sử dụng Ta xét toán sau: Bài toán 1: [3] Cho hàm số f (x) = x2 − 8x + a Hãy vẽ đồ thị (C) hàm số trên, b Từ đồ thị(C), suy đồ thị hàm số g(x) = x2 − 8x − c Từ đồ thị (C), suy đồ thị hàm số f (x) = x2 − 6x + Giải: (Sơ lược lời giải cho b c) * Trình diễn: b Viết: g(x) = x2 − 8x − = (x2 − 8x + 2) − 3; ta suy đồ thị hàm số cách tịnh tiến theo trục Ox đồ thị (C) xuống phía đơn vị c Viết : h(x) = x2 − 6x + = [(x2 + 1)2 − 8(x + 1) + 2] + = f (x + 1) + (*) Như ta phải tiến hành phép tịnh tiến: thứ tịnh tiến (C) theo trục Ox bên trái đơn vị, sau tịnh tiến đồ thị vừa tạo lên đơn vị (Hình 1) Tại ta lại có lời giải cụ thể phép biến đổi (*), lí giải điều ta chuyển qua phần nguyên nhân 98 Đặt câu hỏi điều tiết câu trả lời dựa tìm hiểu ngun nhân tốn * Nguyên nhân: Đối với câu b) HS dễ dàng vượt qua ta dành thời gian cho việc thảo luận cách biến đổi (*) câu c Hết sức tự nhiên HS đặt câu hỏi là: Tại người thầy lại nghĩ cách biến đổi hàm số h(x) thành hàm số f (x + 1) + Làm để biết định hướng thêm bớt để xuất hạng tử (x + 1)2 mà (x + 2)2 hay khác Ta giải thích điều hai nguyên nhân sau Nguyên nhân 1: Với dụng ý đưa hàm số h(x) dạng f (x + α) + β Ta tìm α, β phương pháp hệ số bất định: Đối với tốn 1, ta có: h(x) = x2 − 6x + = f (x + α) + β = (x + α)2 − 8(x + α) + + β = x2 + 2αx + α2 − 8x − 8α + + β = x2 + (2α − 8)x + (α2 − 8α + + β) Đồng hệ số x2 , x hệ số tự ta có hệ: 2α − = −6 α2 − 8α + + β = Giải hệ ta α = 1, β = Do h(x) = f (x + 1) + Nguyên nhân 2: Từ đồ thị hàm số f (x) suy đồ thị hàm số h(x) trước hết ta xác định tọa độ đỉnh P parabol cho hàm số f (x) = x2 − 8x + tọa độ đỉnh Q parabol cho hàm số h(x) = x2 − 6x + Ta biết tọa độ đỉnh △ b parabol có cơng thức P − , − 2a 4a ta có P (4, −14) , Q(3, −7) Do véc tơ −→ P Q = (−1, 7) Vậy ta tịnh tiến đồ thị hàm −→ số f (x) theo véc tơ P Q để thành đồ thị hàm số g(x) (Hình 1) Điều có nghĩa ta dịch chuyển đồ thị (C) hàm số f (x) sang bên trái Hình Tịnh tiến đồ thị (C) đơn vị lên đơn vị Số số có −→ từ véc tơ P Q Đó ngun nhân phép biến đổi (*) Nguyên nhân hay nguyên nhân vừa trình bày bản, HS cần lĩnh hội, phép biến đổi (*) mẹo mực, quan trọng cơng dụng, dùng cho tốn mà khơng dùng cho tốn khác (bởi nói “mẹo mực” khơng phải phương pháp) Theo Giáo sư Nguyễn Tiến Dũng “mẹo mực” làm cho sống thêm phong phú, q nhiều thời gian vào “mẹo mực” khơng thời gian cho khác hơn, giúp tiến xa Như 99 Nguyễn Minh Giang cơng nghệ, có cải tiến đèn dầu đến khơng thể trở thành đèn điện Vì có cách giải thích ngun nhân trên, ta cơng vào tốn tổng qt suy biến hàm bậc hai sau đây: Bài toán 2: Cho hàm số f (x) = ax2 + bx + c , với a, b, c số thực Từ đồ thị (C) hàm số f (x), suy đồ thị hàm số g(x) = ax2 + mx + n * Nguyên nhân: b △1 Ta dịch chuyển tọa độ P − , − đỉnh parabol f (x) = ax2 +bx+c 2a 4a −→ △2 m đỉnh parabol g(x) = ax2 +mx+n theo véc tơ P Q đến tọa độ độ Q − , − 2a 4a −→ b−m △1 − △2 Dễ thấy véc tơ P Q = Q − = (p, q) , − 2a 4a Từ dẫn đến lời giải sau: * Trình diễn: Ta biến đổi g(x) = f (x + p) + q Do cần dịch chuyển đồ thị hàm số f (x) sang trái (hoặc sang phải) p đơn vị theo trục Ox theo trục Oy lên (hoặc xuống dưới) q đơn vị (Sang trái hay sang phải, lên hay xuống tùy thuộc vào p, q dương hay âm) Lời bình: Đa thức mà ta nhận toán 1: x2 − 6x + = (x + 1)2 − 8(x + 1) + khai triển Taylor hàm f (x) = x2 − 6x + điểm a = −1 Thật vậy: f (x) = x2 − 6x + suy f (−1) = + + = ′ ′ f (x) = 2x − suy f (−1) = −8 ′′ f (x) = 2, , f k (x) = với k ≥ Áp dụng công thức khai triển Taylor đến bậc : ′ ′′ ′′′ f (a) f (a) f (a) f (x) = f (a) + (x − a) + (x − a) + (x − a)3 1! 2! 3! Do khai triển f (x) = x2 − 6x + điểm a = −1 : −8 f (x) = + (x + 1) + (x + 1)2 + = − 8(x + 1) + (x + 1)2 1! 2! Từ qua khai triển Taylor hàm đa thức ta sáng tạo toán suy biến đồ thị Chẳng hạn ta có khai triển Taylor hàm bậc ba P (x) = + 3x + 5x2 − 2x3 theo lũy thừa nguyên dương (x + 1) sau: P (x) = − 13(x + 1) + 11(x + 1)2 − 2(x + 1)3 Do ta sáng tạo toán suy biến đồ thị hàm bậc ba sau đây: 100 Đặt câu hỏi điều tiết câu trả lời dựa tìm hiểu nguyên nhân toán Bài toán 3: Cho hàm số f (x) = − 13x + 11x2 − 2x3 Hãy vẽ đồ thị (C) hàm số Từ đồ thị (C), suy đồ thị hàm số g(x) = + 3x + 5x2 − 2x3 * Trình diễn: Sau ta biết nguyên nhân ta định hướng biến đổi sau: Ta có: + 3x + 5x2 − 2x3 = (5 − 13 + 11 − 2) + (22 − 13 − 6)x + (11 − 6)x2 − 2x3 = − 13x − 13 + 11x2 + 22x + 11 − 2x3 − 6x2 − 6x − = − 13(x + 1) + 11(x + 2x2 + 1) − 2(x3 + 3x2 + 3x + 1) = − 13(x + 1) + 11(x + 1)2 − 2(x + 1)3 = − 13(x + 1) + 11(x + 1)2 − 2(x + 1)3 − (2.1) Do từ đồ thị (C) hàm f (x) ta dịch theo trục Ox sang phải đơn vị dịch theo trục Oy xuống đơn vị (Hình 2) Nguyên nhân: Trong phép biến đổi đại số (2.1) dễ dàng kiểm tra tính đắn nó, nhiên lại biến đổi khéo khơng phải dễ Ta dùng phương pháp hệ số bất định để giải thích phép biến đổi trên, thật vậy, ta viết g(x) = + 3x + 5x2 − 2x3 = f (x + α) + β = − 13(x + α) + 11(x + α)2 − 2(x + α)3 + β Bằng cách đồng hệ số ta thu α = β = −2 Tương tự phép suy biến đồ thị hàm số bậc hai toán ta hướng dẫn HS dịch chuyển đỉnh parabol đỉnh parabol để giải thích nguyên nhân phép biến đổi hàm số bậc ba ta hướng HS tìm điểm đặc biệt đồ thị hàm số (điểm uốn) dịch chuyển xem có mối liên hệ việc di chuyển với phép biến đổi sơ cấp khơng 11 1688 Thật điểm uốn đồ thị hàm số f (x) = 7−13x+11x2 −2x3 U1 , 216 1256 điểm uốn đồ thị hàm số g(x) = + 3x + 5x2 − 2x3 U2 Để , 216 chuyển đồ thị hàm số f (x) thành đồ thị hàm số g(x) ta tịnh tiến đồ thị (C) theo véc tơ −−−→ U1 U2 = (1, −2) Hoàn toàn trùng với kết α = β = −2 (Hình 2) 101 Nguyễn Minh Giang Hình Tịnh tiến đồ thị f (x) thành đồ thị g(x) Để có phép suy biến đồ thị trên, HS phải dùng phép biến đổi đại số Nếu HS tiếp cận cách hợp lí, việc suy biến đồ thị khơng phải cơng việc khó khăn Khơng cịn sáng tạo tốn thơng qua giúp em HS nắm vững phương pháp cốt lõi tốn HS khơng bị gượng ép biến đổi đại số vừa nêu Trên sở phân tích ngun nhân dẫn tới tốn, hi vọng gợi ý cần thiết cho “các câu hỏi” cần đặt dạy học nội dung tình tương tự * Lời bình: Phần trình diễn phần điều tiết lời giải phần giống việc trình diễn diễn viên sân khấu, cịn phần nguyên nhân phần chuẩn bị đạo cụ hóa trang phía sau sân khấu mà HS cần tìm hiểu khám phá HS cần phải học hai kĩ năng; kĩ trình bày lời giải kĩ tư chuẩn bị cho lời giải, vào đó, GV có câu hỏi phù hợp Kết luận Trên ví dụ thể kĩ thuật đặt câu hỏi điều tiết câu trả lời dựa nguyên nhân phép biến đổi sơ cấp số toán suy biến đồ thị Nó giúp HS phát triển lực tư sáng tạo, khả tìm tịi khám phá, HS chủ động tham gia tích cực vào q trình xây dựng kiến thức khả vận dụng kiến thức biết vào 102 Đặt câu hỏi điều tiết câu trả lời dựa tìm hiểu nguyên nhân tốn tình khác học tập thực tiễn, phương pháp cho thấy việc đặt hệ thống câu hỏi HS để từ tìm ngun nhân hay câu trả lời mà HS cần điều chỉnh để đến kết toán TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] V OKON, 1976 Những sở việc dạy học nêu vấn đề Bản dịch tiếng Việt Phạm Hoàng Gia, Nxb Giáo dục, Hà Nội [2] Nguyễn Hữu Châu, Cao Thị Hà, 2003 Dạy học tốn trường phổ thơng theo quan điểm kiến tạo Tạp chí Giáo dục, số 60/2003 [3] Chu Cẩm Thơ, 2010 Vận dụng PPKTTD dạy học mơn Tốn trường THPT Luận án Tiến sĩ khoa học Giáo dục, Đại học Sư phạm Hà nội [4] W Richard, Jr Feldmanni, 1961 The Cardano -Tartaglia dispute The Mathematics Teacher, Vol 54, No (March), pp.160-163, NewYork ABSTRACT To ask a good question and giving a good answer depends on students ability to understand the reasoning behind the solution of problems To ask a good question when learning and doing research requires passion and the desire to learn When learning, students need not just to arrive at the solution of a problems, they also need to know how to find the solution It is the teacher’s responsibility to not only to provide the solutions of problems but to help the students compose questions and answer these questions by themself In the process, we provide the information and practise skills also inspire passion and the desire and ability students to study and research on their own In this paper, we propose means to help teachers increasing students’ skills of math students in asking questions and giving answers 103 .. .Đặt câu hỏi điều tiết câu trả lời dựa tìm hiểu ngun nhân tốn Bài báo đề xuất giải pháp nâng cao kĩ đặt câu hỏi cho GV, minh họa qua dạy học số toán suy biến đồ thị 2.1... ta lại có lời giải cụ thể phép biến đổi (*), lí giải điều ta chuyển qua phần nguyên nhân 98 Đặt câu hỏi điều tiết câu trả lời dựa tìm hiểu nguyên nhân toán * Nguyên nhân: Đối với câu b) HS dễ... khả tìm tịi khám phá, HS chủ động tham gia tích cực vào trình xây dựng kiến thức khả vận dụng kiến thức biết vào 102 Đặt câu hỏi điều tiết câu trả lời dựa tìm hiểu ngun nhân tốn tình khác học