Phương pháp sử dụng dãy số phụ để giải và sáng tạo các bài toán về dãy số

Bài viết nghiên cứu và trình bày phương pháp dùng dãy số phụ để giải và sáng tạo ra các bài toán về dãy số. Xuất phát từ một số bài toán cơ bản, chúng tôi đặt dãy số phụ để tạo ra các bài toán tổng quát và phức tạp hơn. Sau đó, với mỗi bài toán đều đưa ra phương pháp giải tổng quát và có ví dụ minh họa.

UED Journal of Sciences, Humanities & Education – ISSN 1859 - 4603 TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC Nhận bài: 21 – 06 – 2016 Chấp nhận đăng: 25 – 09 – 2016 http://jshe.ued.udn.vn/ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG DÃY SỐ PHỤ ĐỂ GIẢI VÀ SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ Phạm Quý Mườia*, Nguyễn Hạ Vyb Tóm tắt: Lý thuyết dãy số thực phần giải tích tốn học, vấn đề dãy số bao gồm: khảo sát hội tụ tìm giới hạn dãy, tính đơn điệu tính bị chặn dãy Các toán tập trung vào chủ đề Trong báo này, nghiên cứu trình bày phương pháp dùng dãy số phụ để giải sáng tạo toán dãy số Xuất phát từ số toán bản, đặt dãy số phụ để tạo toán tổng quát phức tạp Sau đó, với tốn chúng tơi đưa phương pháp giải tổng qt có ví dụ minh họa Từ khóa: dãy số; dãy số phụ; phương pháp dùng dãy số phụ; giải toán dãy số; sáng tạo toán dãy số Giới thiệu Lý thuyết dãy số thực phần giải tích tốn học [2], vấn đề dãy số bao gồm: khảo sát hội tụ tìm giới hạn dãy, tính đơn điệu tính bị chặn dãy Từ đó, dạng tập tập trung vào vấn đề tìm số hạng tổng quát dãy số, khảo sát tính đơn điệu, tính bị chặn, chứng minh hội tụ tìm giới hạn dãy số Hơn nữa, đề thi (đặc biệt đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, quốc gia, quốc tế) yêu cầu đề thi câu hỏi đề thi phải mới, không lấy nguồn tài liệu phải phù hợp với chương trình phổ thơng Điều địi hỏi người đề phải có kỹ sáng tạo tốn Vì thế, báo này, chúng tơi trình bày phương pháp dùng dãy số phụ để sáng tạo toán Việc giải sáng tạo tốn dãy số có nhiều cách khác Trong báo này, tập trung giới thiệu phương pháp dùng dãy số phụ để sáng tạo toán dãy số aTrường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng THPT Nguyễn Trãi, Hội An * Liên hệ tác giả Phạm Quý Mười Email: pqmuoi@ud.edu.vn bTrường 28 | Chú ý rằng, phương pháp dùng dãy phụ (và phương pháp khác) để giải toán dãy số số tác giả nghiên cứu công bố tài liệu [1,5,6,7] Tuy nhiên, việc sử dụng phương pháp dãy phụ để sáng tạo toán chưa quan tâm ý chúng tơi chưa thấy cơng trình nghiên cứu công bố vấn đề Bài báo trình bày sau: Trong phần hai, chúng tơi trình bày phương pháp đặt dãy phụ để sáng tạo toán dãy số Ở đây, chúng tơi trình bày ý tưởng phương pháp ví dụ minh họa Ứng với tốn bản, chúng tơi trình bày phương pháp dùng dãy phụ để nhận toán khó trình bày cách giải tốn tương ứng Cuối cùng, chúng tơi đưa kết luận số hướng nghiên cứu phần bốn Phương pháp dùng dãy số phụ để giải sáng tạo toán dãy số 2.1 Ý tưởng Ý tưởng phương pháp đặt dãy số phụ để giải toán là: từ toán phức tạp ta dùng (hoặc nhiều) dãy số phụ để đưa toán đơn giản biết phương pháp giải Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 6, số (2016), 28-35 ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 6, số (2016), 28-35 Vậy ngược lại, để sáng tạo nhiều toán khác nhau, ta cần xuất phát từ toán đơn giản, đặt dãy số phụ để nhận toán phức tạp Sau số ví dụ minh họa Dãy ( ) có dạng phương trình sai phân cấp mà 2.2 Từ cấp số nhân biết cách giải Kết bản: Cho ( un ) cấp số nhân với u1 cơng bội q Khi đó, cơng thức số hạng tổng quát là: un = qun−1 , n  ¥ * Để tạo tốn tìm số hạng tổng quát, làm sau: • Ta đặt un = + c, n ¥ * ta dãy: = qvn−1 + p, n ¥ * = dvn−1 + c, n  ¥ * , với v1 = xn = xn −1 yn −1 +   yn +  = pxn −1 + q p ( yn −1 +  ) + q  yn = mà có phương pháp giải • Để nhận tốn khó hơn, tiếp , n  ¥ * , ta được: tục đặt = xn xn −1 , n  ¥ * pxn −1 + q Bài toán 2.1 Cho dãy số ( xn ) biết: (2.1) Phương pháp giải Vì x1 =  ,   nên xn  0, n  ¥ * Từ ta có: xn −1 d  =c+ , n…2, n  ¥ cxn −1 + d xn xn −1 , n  ¥ * , ta được: xn Đặt a = − p, b = − p + q + , c = p, d =  p + q , yn = ayn −1 + b , n  ¥ * cyn −1 + d (2.2) Như vấn đề đặt cho dãy số có cơng thức truy hồi dạng (2.2) để đưa dạng (2.1) Từ (2.1) ta đặt xn = yn + , n  ¥ * ta (2.2) nên muốn từ (2.2) đưa (2.1) ta cần đặt ngược lại: yn = xn −  = xn +  , n ¥ * xn +  =  xn = Tìm số hạng tổng quát dãy ( xn ) Đặt = pyn −1 +  p + q Đặt yn = xn +  , n  ¥ * thay vào (2.2) ta có: Từ đây, có tốn tổng qt sau: xn = yn −1 (1 − p ) −  p +  q +  ta có: quát Chú ý rằng, dãy ( ) dãy sai phân cấp  x1 =  ,    xn −1   xn = cx + d , n2, n Ơ n ã Tiếp tục đặt xn = yn + , n  ¥ * , ta có: Như vậy, cho giá trị c khác ta có tốn khác tìm số hạng tổng xn =  a ( xn +  ) + b c ( xn +  ) + d ( a − ac ) xn − c + ( a − d )  + b c ( xn +  ) + d Muốn đưa (2.1), ta chọn  cho −c + ( a − d )  + b = Để phương trình có nghiệm ( a − d )2 + 4bc  Ta có tốn tổng quát sau: Bài toán 2.2 Cho dãy số ( xn ) biết: u1 =   aun −1 + b  un = cu + d , n…2, n  ¥ n −1  Trong ( a − d ) + 4bc  29 Phạm Quý Mười, Nguyễn Hạ Vy Tìm số hạng tổng quát dãy (un) Suy ra: Phương pháp giải n un = − Đặt un = +  , n ¥ * , với  nghiệm phương trình −c + ( a − d )  + b = 2014  2015  +   2013   2013 2n − 2014.2015n = 2013.2n Biến đổi thu gọn Bài tốn 2.1 Ví dụ 2.1 Cho dãy số ( xn ) biết:  x0 =  xn + 2014   xn +1 = 2016 − x , n  ¥ n  yn = xn = (2.3) 2013.2n 2n − 2014.2015n 2n − 2014.2015n a)Chứng minh dãy ( xn ) có giới hạn hữu hạn Tính lim xn b) Ta có: n b) Cho Sn = x k =0 k n →+ a) Chọn  nghiệm phương trình:  = Ta có:   = 2014 yn +1 =  yn +1 Đặt un = = Đặt un = + , n  ¥ , ta có: 2013 +1 2015 2014 = , n  ¥ , với v0 = − 2013 n Nên = − 30        + + +   2014.2013   2015   2015   2015  − 2015 un − , n  ¥ , với u0 = −1 2 2014  2015  ,n¥ 2013   k − 2014 = yn 2015 − yn , n  ¥ , ta có: yn un +1 = x k =0 2015 − ,n¥ yn 20142.2015k − 2014.2015k 1   = − xk − 2014 2014.2013  2015  2013 n Thay vào (2.3) ta có: = k Nên: Sn = Đặt xn = yn + 1, n  ¥ , ta có y0 = −1 2n − 2014.2015n 2k − 2014.2015k 2014.2013.2015k = k − 2014.2015k Giải  − 2015 + 2014 = ,n¥ 2014.2n − 2014.2015n n →+ xk − 2014 = Sn , Tính lim n →+ − 2014 n + 2016 ,n¥ 2014.2n − 2014.2015n Vậy lim xn = lim n →+ ,n¥ = n     n +1 2013   n +1  n +1 1 −   − 2014.20132   2015   2013 2015 Vậy lim n →+ Sn =− n + 2015 2013 2.3 Từ tốn có cơng thức truy hồi cấp có dạng lượng giác 2.3.1 Trước tiên ta xét dãy số có cơng thức truy hồi cấp có dạng cơng thức cos2a Bài tốn bản: Cho dãy số ( un ) biết: u1 =   * un +1 = 2un − 1, n  ¥ Tìm số hạng tổng quát dãy ( un ) ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 6, số (2016), 28-35 Bài toán đơn giản biết cách giải [1, tr.10] 4= Ở ta quan tâm đến việc biến đổi toán để nhận tốn phức tạp Ta dùng dãy số phụ sau: Vậy  n−1  un =  a + n−1  4 a  2n−1 1 =  + 15 + − 15 4 • Đặt un = kvn , n ¥ * , ta được: +1 = 2kvn2 − , n  ¥ * k Đặt a = 2k , b = − ( , ta có ab = −2 Ta có tốn k tổng qt sau: ) 2n−1  * , n  ¥  biết: (3.2) Giải Đặt un = −bvn = 2vn , n  ¥ * Trong ab = −2 b = Tìm số hạng tổng quát dãy ( ) Phương pháp giải Nếu b = +1 = a −1. , n  ¥ * n Thay vào (3.2), ta có: v1 = , v = 2vn2 − 1, n  ¥ * n+1 n Nếu ab = −2 đặt = bun , n Ơ * ã Cho , a, b giá trị cụ thể ta có ví dụ sau Ví dụ 3.1 Tìm số hạng tổng quát dãy ( un ) , biết: u1 =   * un +1 = 4un − , n  ¥ (3.1) Đặt un = −bvn = , n  ¥ * Thay vào (3.1), ta có: − 1, n  ¥ * Ta dễ dàng tìm được:  2n−1  *  a + 2n−1  , n  ¥ , 2 a  với a nghiệm phương trình Ta dễ dàng tìm được: = cos Vậy un = cos 2n −1 , n  ¥ * 2n −1 , n Ơ * ã Trong Bi toỏn 3.1 tiếp tục đặt = xn + , n ¥ * , ta có: Giải = ( u1 =  * un +1 = un − 2, n  ¥ v1 =   * vn +1 = avn + b, n  ¥ v1 = , vn+1 = ) Ví dụ 3.2 Tìm số hạng tổng quát dãy ( un ) , Bài toán 3.1 Cho dãy số ( ) biết: 2vn2 1 1 a +   2 a vn+1 = a1vn2 + b1 , n  ¥ *  xn +1 +  = a ( xn +  ) + b1 , n  ¥ *  xn+1 = a1 xn2 + 2a1 xn + a1 + b1 − , n  ¥ * Đặt a = a1 , b = 2a1, c = a1 −  + b1 , ta có: xn+1 = axn2 + bxn + c, n  ¥ * Tuy nhiên khơng phải với a, b, c đưa Bài tốn 3.1, ta tìm mối quan hệ a,b, c Ta có a1b1 = −2 b1 = Nên c = a1 −  + b1 = = 4a12  − 4a1 + 4a1b1 4a1 b − 2b − ,a  4a 31 Phạm Quý Mười, Nguyễn Hạ Vy c = b2 − 2b , a  4a = 22 Ta có tốn tổng qt sau: 2n−1 − 1, n  ¥ * u1 = 2,  un = 2un −1 + 4un −1 , n  ¥ , n…2 b − 2b − Trong a  0, c = 4a Đặt un = − Tìm số hạng tổng quát dãy ( xn ) v1 = 3, = 2vn2−1 − 1, n  ¥ , n…2 Bài từ toán 3.1 ta đặt = xn + , n ¥ , ta đưa Bài tốn 3.2 mà theo biến * Ta dễ dàng tìm được: = b đổi ta có  = , để đưa Bài toán 3.2 Bài 2a b , n  ¥ * 2a có ví dụ sau:  2n−1  *  a + 2n−1  , n  ¥ , 2 a  với a nghiệm phương trình 3= Cho  , a, b giá trị cụ thể, tính c theo a, b ta 1 1 a +   a Vậy Ví dụ 3.3 Tìm số hạng tổng quát dãy ( un ) , biết: un =  u1 = 2, (3.3)   un = 2un −1 + 4un −1 + 1, n  ¥ , n…2 =  2n−1  a + 2n−1 2 a 1  3+ 2 2 ( )   −1  2n−1 ( + 3− 2 ) 2n−1  *  − 1, n Ơ ã Trong Bi toỏn 3.2 tip tục đặt xn = Giải b = − 1, n  ¥ * 2a Đặt un = − v1 = , = 2vn2−1 , n  ¥ , n…2 2vn2−1 ( =2 = 2.22 2vn2−3 ) 22 22 ( ) = 2 2.22.vn2−2 = 2.22.22 vn2−3 = = 2.2 2 2vn2−2 2n −2 n−1 v12 = 1− 2n−1 n−1 1− v12 , n  ¥ *, yn ta có: Thay vào (3.3), ta có: 32 b = − 1, n  ¥ * 2a Thay vào (3.4), ta có: Phương pháp giải Ta có: = (3.4) Giải b2 − 2b c = 4a toán 3.1 ta đặt xn = − 2n−1 , n  ¥ * biết: = Ví dụ 3.4 Tìm số hạng tổng quát dãy ( un ) ,  x1 =   *  xn +1 = axn + bxn + c, n  ¥ xét −1 2n−1 Vậy un = Bài toán 3.2 Cho dãy số ( ) biết: Nhận n−1 yn+1 = a yn2 + y2 b + c  yn+1 = n , n  ¥ * yn cyn + byn + a Ta có tốn tổng qt sau: Bài toán 3.3 Cho dãy số ( ) biết:  y1 =    yn2  y = , n  ¥ *  n +1 cy + by + a n n  ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 6, số (2016), 28-35 Trong a  0, c = c = b2 − 2b 4a Tìm số hạng tổng quát dãy ( yn ) Phương pháp giải Đặt yn = u1 = 1,  un = 2un −1 − 3un −1 , n  ¥ , n…2 b − 2b − 4a Giải Tìm số hạng tổng quát dãy ( un ) Bài toán ta biết phương pháp giải, xem [1, Tr.13-15] Tương tự phần trên, quan tâm đến việc biến đổi toán để nhận toán phức tạp a = 2vn , n  ¥ * Thay vào (3.5), ta có: v1 = , = 4vn3−1 − 3vn−1, n ¥ , n…2 Ta dễ tìm được: v1 = Bài toán bản: Cho dãy số ( un ) biết: u1 =   * un +1 = 4un  3un , n  ¥ Đặt un = , n  ¥ * , biến đổi Bài toán 3.2 xn 2.3.2 Ta xét tiếp dãy số có cơng thức truy hồi cấp có dạng công thức cos3a = cos  ,   = cos  3n −1  , n  ¥ * 4    Vậy un = cos  3n−1  , n Ơ * ã Trong Bi toỏn 3.4 tiếp tục đặt = xn + , n ¥ * , ta có: ( ) xn +1 = axn3 + 3a xn2 + a  xn + a  3 −  , n  ¥ * ( ) • Đặt un = kvn , n ¥ * , ta được: Đặt b = 3a , c = a  , d = a  3 −  , vn+1 = 4k 2un3  3un , n  ¥ * ta có: xn+1 = axn3 + bxn2 + cxn + d , n  ¥ * Đặt a = 4k Ta có tốn tổng qt sau: Bài tốn 3.4 Cho dãy số ( ) biết: v1 =   * vn+1 = avn  3vn , n  ¥ , a  Tìm số hạng tổng quát dãy ( ) Phương pháp giải Đặt = a un , n  ¥ * Biến đổi thu gọn đưa tốn biết cách giải • Cho  , a, b giá trị cụ thể ta có ví dụ sau: Ví dụ 3.5 Tìm số hạng tổng qt dãy ( un ) , biết: (3.5) Tuy nhiên khơng phải với a, b, c, d đưa Bài tốn 3.4, ta tìm mối quan hệ a, b, c, d Ta có b = 3a   = b , a  Nên ta có: 3a  b2  b3 b b c =   1 , d =  −  9a  a 3a 27a   Ta có tốn tổng qt sau: Bài tốn 3.5 Cho dãy số ( xn ) biết:  x1 =   *  xn +1 = axn + bxn + cxn + d , n  ¥ Trong đó: b tùy ý  b2  b3 b b c =   1 , d =  − , a  0,  9a  a 3a 27a   33 Phạm Quý Mười, Nguyễn Hạ Vy Tìm số hạng tổng quát dãy ( xn ) un = Phương pháp giải Nhận xét từ Bài toán 3.4 ta đặt = xn + , n ¥ , để đưa Bài tốn 3.5, mà theo biến * đổi ta có  = b , để đưa Bài toán 3.5 Bài 3a toán 3.4 ta đặt xn = b , n Ơ * 3a ã Cho  , a, b giá trị cụ thể, tính c, d theo a, b ta có ví dụ sau: Ví dụ 3.6 (Đề thi OLYMPIC 30/04/2004) Tìm số hạng tổng quát dãy ( un ) , biết:  , u1 = (3.6)  u = 24u − 12 6u + 15u − 6, n  ¥ * n n n  n +1 Giải Đặt un = − b = + , n  ¥ * 3a Thay vào (3.6), ta có: v1 = Đặt = a , vn+1 = 24vn3 + 3vn , n ¥ * yn = yn , n  ¥ * , ta có: y1 = yn+1 = yn3 + yn , n  ¥ * Ta dễ tìm được: yn =  3n−1  *  a − 3n−1  , n  ¥ , 2 a  với a nghiệm phương trình: 2= Vậy 1 1 a −   a   6 ( +2 ) 3n−1 − ( −2 ) 3n−1 Kết luận Trong báo này, trình bày phương pháp đặt dãy số phụ để sáng tạo toán dãy số, xây dựng số toán tổng quát phương pháp giải tốn Cần nhấn mạnh rằng: Đa số tài liệu khác đưa toán tổng quát với việc áp đặt điều kiện tham số cách giải tốn khơng tự nhiên, khơng giải thích nghĩ cách giải Với phương pháp dùng dãy số phụ trên, chúng tơi sáng tạo tốn mới, tốn tổng qt có phương pháp giải tổng qt cho tốn giúp cho học sinh dễ dàng tiếp thu áp dụng Ngoài phương pháp đặt dãy số phụ trên, ta dùng phương pháp khác để sáng tạo toán mới: phương pháp đặc biệt hóa, phương pháp tổng quát hóa, phương pháp hàm số… Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Tài Chung (2013), Chuyên khảo dãy số, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Jean – Marie Monier, Lý Hồng Tú dịch (2000), Giáo trình Giải tích, Nhà xuất Giáo dục [3] Kaczor W.J, Nowak M.T, Nhóm Đồn Chi dịch (2002), Bài tập Giải tích – Số thực, dãy số chuỗi số, Nhà xuất Đại học Sư phạm [4] Nguyễn Tài Chung (2015), Giới hạn dãy số sinh tổng, Kỷ yếu chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi khu vực duyên hải Nam Trung Bộ Tây Nguyên, Tháng 03/2015, tr.46-57 [5] Trần Nam Dũng, Dãy số toán dãy số, http://luanvan.net.vn, truy cập ngày 22/06/2015 [6] Trương Ngọc Đắc, Một số phương pháp xây dựng dãy số, http://xemtailieu.com, truy cập ngày 22/03/2016 [7] Nguyễn Tất Thu, Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số, http://xemtailieu.com, truy cập ngày 08/04/2015 METHOD OF USING SECONDARY SEQUENCES TO SOLVE AND CREATE SEQUENCE PROBLEMS 34  , n  ¥ * +  ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 6, số (2016), 28-35 Abstract: The theory of real sequences is a basic part of calculus; the fundamental issues of real sequences include investigating convergence and discovering the limits of sequences, the monotonicity and the boundedness of sequences Basic problems also concentrate on these topics In this article, we investigate and present a method of using secondary sequences to solve and create problems of sequences Starting from some basic problems, we introduce secondary sequences to create more general and complicated problems Then, for each of the problems, we present a general solving method together with examples for illustration Key words: sequences; secondary sequences; secondary sequence method; solving sequence problems; creating new sequence problems 35 ... dùng dãy số phụ trên, sáng tạo toán mới, toán tổng quát có phương pháp giải tổng quát cho tốn giúp cho học sinh dễ dàng tiếp thu áp dụng Ngoài phương pháp đặt dãy số phụ trên, ta dùng phương pháp. .. Vy Tìm số hạng tổng quát dãy ( xn ) un = Phương pháp giải Nhận xét từ Bài toán 3.4 ta đặt = xn + , n ¥ , để đưa Bài tốn 3.5, mà theo biến * đổi ta có  = b , để đưa Bài toán 3.5 Bài 3a toán. .. nghiệm phương trình: 2= Vậy 1 1 a −   a   6 ( +2 ) 3n−1 − ( −2 ) 3n−1 Kết luận Trong báo này, chúng tơi trình bày phương pháp đặt dãy số phụ để sáng tạo toán dãy số, xây dựng số toán tổng