Về một số bất đẳng thức tích phân trong giải tích lượng tử

B§t flng thøc q Steffensen v mºt sŁ ¡p döng.. B§t flng thøc q Gruss v mºt sŁ ¡p döng.. B§t flng thøc q Chebyshev v mºt sŁ ¡p döng cıa nâ.. B§t flng thøc q Hermite-Hadamard... Student , b

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

-

-NGUYỄN THỊ THU HUẾ

VỀ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN

TRONG GIẢI TÍCH LƯỢNG TỬ

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Mai Viết Thuận

THÁI NGUYÊN - 2020

Möc löc

1.1 q ⁄o h m 5

1.2 q t‰ch ph¥n 12

1.2.1 q nguy¶n h m 12

1.2.2 T‰ch ph¥n Jackson 13

1.2.3 ành ngh¾a v mºt sŁ t‰nh ch§t cıa q t‰ch ph¥n 15

1.3 q t‰ch ph¥n ch°t (restricted definite q integral) 18

Ch÷ìng 2 Mºt sŁ b§t flng thøc t‰ch ph¥n trong gi£i t‰ch l÷æng tß 21 2.1 B§t flng thøc q Steffensen v mºt sŁ ¡p döng 21

2.2 B§t flng thøc q Gruss v mºt sŁ ¡p döng 36

2.3 B§t flng thøc q Chebyshev v mºt sŁ ¡p döng cıa nâ 40

2.4 B§t flng thøc q Hermite-Hadamard 44

B§t flng thøc t‰ch ph¥n l mºt chı • hay v khâ trong to¡n håc Mºt sŁ b§t flngthøc t‰ch ph¥n nŒi ti‚ng v quan trång câ th” k” ‚n ð ¥y l b§t flng thøcSteffensen ÷æc J.F Steffensen giîi thi»u v o n«m 1918, b§t flng thøc Iyengar

÷æc K.S.K Iyengar ÷a ra v o n«m 1938 trong b i b¡o Note on an inequalitytr¶n t⁄p ch‰ Math Student , b§t flng thøc Gruss ÷æc nh to¡n håc G Grusscæng bŁ v o n«m 1935, b§t flng thøc Hermite-Hadamard ÷æc cæng bŁ bðiHermite-Hadamard v o nhœng n«m 1891 Nhœng b§t flng thøc tr¶n ¢ nh“n

÷æc quan t¥m nghi¶n cøu v mð rºng cıa nhi•u nh to¡n håc tr¶n th‚ giîi (xemc¡c t i li»u [7, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23]

v c¡c t i li»u tham kh£o trong c¡c t i li»u â) Theo nh÷ hi”u bi‚t cıa chóng tæi, ¢

câ mºt sŁ lu“n v«n th⁄c s¾ chuy¶n ng nh ph÷ìng ph¡p to¡n sì c§p tr…nh b y v•b§t flng thøc t‰ch ph¥n [5], trong â b§t flng thøc Hermite-Hadamard nh“n

÷æc sü quan t¥m hìn c£ [1, 2, 3, 4, 6] Chflng h⁄n, H.T.Q Li¶n [1] tr…nh b yb§t flng thøc d⁄ng Hermite-Hadamard cho h m lçi kh£ vi C¡c b§t flng thøc d⁄ngHermite-Hadamard cho h m r lçi, lîp h m mð rºng cıa h m lçi,

÷æc tr…nh b y trong lu“n v«n th⁄c s¾ to¡n håc chuy¶n ng nh Ph÷ìng ph¡p To¡n sì c§p bði C.T.N Mai B§t flng thøc d⁄ng Hermite-Hadamard-Fej†r cho

h m p lçi v ti•n lçi b§t bi‚n ÷æc tr…nh b y trong c¡c t i li»u [3] v [6] Chó þ r‹ng c¡c k‚t qu£ tr¶n ¡p döng cho mºt sŁ lîp h m lçi kh£ vi theo ngh¾a

thæng th÷íng v t‰ch ph¥n l kh£ t‰ch Riemann Tuy nhi¶n, vi»c ¡p döng c¡c k‚t qu£ â v o l“p tr…nh t‰nh to¡n tr¶n m¡y t‰nh, ta ph£i x§p x¿ ⁄o h m

v t‰ch ph¥n b‹ng c¡c ph÷ìng ph¡p th‰ch hæp i•u n y s‡ d¤n ‚n sai sŁ trong khi l“p tr…nh Mºt c¥u häi tü nhi¶n °t ra l li»u câ c¡ch n o ành

ngh¾a ⁄o h m m khæng cƒn l§y giîi h⁄n Mºt trong nhœng c¥u tr£ líi â ch

‰nh l kh¡i

b y mºt c¡ch h» thŁng trong cuŁn s¡ch chuy¶n kh£o Quantum Calculus cıa

V Kac v P Cheung

X†t bi”u thøc d÷îi ¥y

v khæng l§y giîi h⁄n ta s‡ thu ÷æc ành ngh¾a cıa q ⁄o h m (q derivative)

kh£o Quantum Calculus (Gi£i t‰ch l÷æng tß) [14], c¡c t¡c gi£ ¢ tr…nh b ymºt c¡ch h» thŁng c¡c ành ngh¾a v mºt sŁ t‰nh ch§t v• q ⁄o h m,

h ⁄o h m v q t‰ch ph¥n Nhœng n«m gƒn ¥y, gi£i t‰ch l÷æng tß ¢ nh“n

÷æc sü quan t¥m nghi¶n cøu cıa nhi•u nh khoa håc v… nhœng øng döngcıa nâ trong v“t lþ [11, 18, 21, 22] Ngo i ra, nhi•u b§t flng thøc t‰ch ph¥nquan trång công ÷æc c¡c nh khoa håc nghi¶n cøu v • xu§t trong c¡c cæng

bŁ gƒn ¥y tr¶n c¡c t⁄p ch‰ quŁc t‚ uy t‰n [21, 22]

Lu“n v«n tr…nh b y mºt sŁ b§t flng thøc t‰ch ph¥n nh÷ b§t flng thøc fensen, b§t flng thøc Iyengar, b§t flng thøc Gruss, b§t flng thøc Chebyshev

Stef-v b§t flng thøc d⁄ng Hermite Hadamard tr¶n cì sð åc hi”u Stef-v tr…nh b y l⁄imºt c¡ch h» thŁng k‚t qu£ cıa H Gauchman [11] Lu“n v«n gçm câ 2 ch÷ìnggçm nhœng nºi dung sau:

Trong Ch÷ìng 1, chóng tæi tr…nh b y mºt sŁ kh¡i ni»m v c¡c t‰nh ch§t quan trång cıa q ⁄o h m, q t‰ch ph¥n v q t‰ch ph¥n ch°t

Trong Ch÷ìng 2, chóng tæi tr…nh b y mºt sŁ b§t flng thøc t‰ch ph¥n quantrång nh÷ b§t flng thøc Steffensen, b§t flng thøc Iyengar, b§t flng thøcGruss, b§t flng thøc Chebyshev v b§t flng thøc d⁄ng Hermite Hadamardcho q ⁄o h m v q t‰ch ph¥n ch°t Ngo i vi»c åc hi”u v tr…nh b y l⁄i mºt c¡chh» thŁng k‚t qu£ cıa H Gauchman, chóng tæi cÆn sßa mºt sŁ lØi trong k‚tqu£ n y Câ th” nâi §y l mºt âng gâp mîi cıa lu“n v«n

Lu“n v«n n y ÷æc thüc hi»n t⁄i tr÷íng ⁄i håc Khoa håc ⁄i håc Th¡i Nguy¶n v

ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¤n cıa Ti‚n s¾ Mai Vi‚t Thu“n Tæi xin ÷æc b y tälÆng bi‚t ìn ch¥n th nh v s¥u s›c tîi ng÷íi h÷îng d¤n khoa håc cıa m…nh.Ng÷íi ¢ °t v§n • nghi¶n cøu, d nh nhi•u thíi gian h÷îng d¤n, t“n t…nh d…ud›t v ch¿ b£o tæi trong suŁt qu¡ tr…nh thüc hi»n • t i n y

Tæi xin tr¥n trång c£m ìn Ban gi¡m hi»u tr÷íng ⁄i håc Khoa håc ⁄i håc Th¡iNguy¶n, Ban chı nhi»m khoa To¡n Tin còng c¡c gi£ng vi¶n ¢ tham giagi£ng d⁄y, ¢ t⁄o måi i•u ki»n tŁt nh§t ” tæi håc t“p v nghi¶n cøu

çng thíi tæi xin gßi líi c£m ìn tîi gia …nh th¥n y¶u, c£m ìn nhœng ng÷íib⁄n th¥n thi‚t ¢ ch«m sâc ºng vi¶n kh‰ch l» tæi trong suŁt qu¡ tr…nhnghi¶n cøu Sau còng tæi xin k‰nh chóc to n th” quþ thƒy cæ tr÷íng ⁄i håcKhoa håc - ⁄i håc Th¡i Nguy¶n th“t dçi d o søc khäe, ni•m tin ” ti‚p töc thüchi»n sø m»nh cao µp cıa m…nh l truy•n ⁄t tri thøc cho th‚ h» mai sau Xinch¥n th nh c£m ìn

Ch֓ng 1

Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà

Ch÷ìng n y tr…nh b y ành ngh¾a cıa q ⁄o h m, q t‰ch ph¥n v mºt sŁ t

‰nh ch§t cì b£n cıa nâ Nºi dung ch‰nh cıa ch÷ìng n y ÷æc tham kh£otrong cuŁn s¡ch chuy¶n kh£o cıa V Kac v P Cheung [14]

1.1 q ⁄o h m

ành ngh¾a 1.1 ([14]) Cho f(x) l mºt h m sŁ thüc q sai ph¥n cıa h m f(x)

B¥y gií, ta ành ngh¾a q ⁄o h m

cıa h m f(x) ÷æc ành ngh¾a bði

nguy¶n d÷ìng Theo ành ngh¾a, ta câ

f(x) g(x)D q f(x) f(x)D q g(x)

Dq f(x) = g(qx)Dqf(x) f(qx)Dqg(x) :

Chøng minh (i) Theo ành ngh¾a, ta câ

Dq (f(x)g(x)) = f(qx)Dqg(x) + g(x)Dqf(x): (1.1)

f(x)

D q f(x) = g(qx)D q

(x a)qn = 8 1; n‚u n = 0; qn 1a); n‚u (1.4)

M»nh • d÷îi ¥y chøng tä cæng thøc (1.6) óng vîi m v n l hai sŁ nguy¶nb§t ký.

Chøng minh Tr÷íng hæp m > 0 v n > 0 ¢ ÷æc chøng minh ð tr¶n Tr÷ínghæp ho°c m = 0 ho°c n = 0 th… k‚t qu£ l hi”n nhi¶n Ta x†t 3 tr÷íng hæpsau ¥y:

(1.7), ta thu ־c

(x a)qm(x qma)qn = (x a)qm0(x q m0a)qn0

11

Chøng minh (i) p döng (1.7), ta câ

1.2 q t‰ch ph¥n

ành ngh¾a 1.4 Cho f(x) l mºt h m sŁ thüc H m F (x) ÷æc gåi l mºt

Z

T÷ìng tü nh÷ trong gi£i t‰ch cŒ i”n, q nguy¶n h m cıa mºt h m sŁ f(x)khæng duy nh§t M»nh • d÷îi ¥y ch¿ ra r‹ng n‚u hai q nguy¶n h m cıa h mf(x) li¶n töc t⁄i i”m 0 th… hai q nguy¶n h m â sai kh¡c nhau mºt h‹ng sŁ.Chøng minh cıa m»nh • n y câ th” tham kh£o trong trang 65 cıa t i li»u [14]

M»nh • 1.6 Cho 0 < q < 1 Khi â, b‹ng c¡ch cºng th¶m mºt h‹ng sŁ, b§t ký h

m thüc f(x) n o •u câ nhi•u nh§t mºt q nguy¶n h m m nâ li¶n töc t⁄i i”m x = 0

B¥y gií, ta x†t ph†p Œi bi‚n u = u(x) = x , trong â v l c¡c h‹ng sŁ Gi£ sß

F (x) l mºt q nguy¶n h m cıa h m f(x) Khi â

Tł ành ngh¾a 1.5, ta câ cæng thøc sau ¥y

X

j=0Trong ành ngh¾a 1.5, ta th§y v‚ ph£i cıa t‰ch ph¥n Jackson l mºt chuØi

væ h⁄n C¥u häi °t ra l khi n o chuØi â hºi tö ành lþ d÷îi ¥y cho ta mºt i•uki»n ı cho sü hºi tö cıa chuØi â

ành lþ 1.1 Cho 0 < q < 1 Gi£ sß jf(x)x j bà ch°n tr¶n nßa o⁄n (0; A] vîi 0 <

1 l mºt sŁ n o â Khi â t‰ch ph¥n Jackson ÷æc ành ngh¾a bði cæng thøc1.13 hºi tö •u ‚n h m F (x) l mºt q nguy¶n h m cıa h m f(x) tr¶n nßa o⁄n (0;A] Hìn nœa, F (x) li¶n töc t⁄i i”m x = 0 vîi F (0) = 0

Chøng minh Theo gi£ thi‚t, tçn t⁄i mºt h‹ng sŁ M > 0 sao cho jf(x)x j < M; 8x

2 (0; A] Khi â, vîi måi x 2 (0; A]; j 0, ta câ

jf qjx j < M qjx :

jqjf qjx j < M qj qjx = M x q1 j M A q1 j

: (1.15)

Theo ti¶u chu'n Weierstrass, ta câ chuØi P qjf qjx hºi tö •u Do â chuØi

Nh“n x†t 1.3 Gi£ sß c¡c gi£ thi‚t cıa ành lþ 1.1 ÷æc thäa m¢n Khi â theoM»nh • 1.6 v ành lþ 1.1, t‰ch ph¥n Jackson l q nguy¶n h m duy nh§t, saikh¡c mºt h‹ng sŁ, cıa f(x) m q nguy¶n h m n y li¶n töc t⁄i i”m x = 0 Ng÷æcl⁄i, n‚u F (x) l mºt q nguy¶n h m cıa f(x) v F (x) li¶n töc

t⁄i i”m x = 0 th… F (x) ph£i bi”u di„n d÷îi d⁄ng (1.13) cºng th¶m 1 h‹ng sŁ n o

â Th“t v“y, ta câ

=0

ành ngh¾a 1.7 q t‰ch ph¥n suy rºng cıa h m f(x) tr¶n [0; 1) ÷æc ànhngh¾a nh÷ sau:

Z

0 1 f(x)d

q x = j= 1 Z

< 1 n o â v x f(x) bà ch°n vîi x ı lîn vîi > 1 n o â

Chøng minh Theo cæng thøc (1.22), ta câ

Tł â suy ra, ta ch¿ cƒn chøng minh M»nh • 1.7 trong tr÷íng hæp q < 1 l ı.Theo ành lþ 1.1, chuØi ƒu ti¶n trong cæng thøc (1.26) hºi tö •u B¥y gií, tachøng minh chuØi thø hai trong cæng thøc â công hºi tö •u Th“t v“y, theogi£ thi‚t, vîi x ı lîn ta câ jx f(x)j < M, trong â > 1 n o â v M > 0 l mºt h‹ng sŁ.Khi â vîi j ı lîn, ta câ ÷îc l÷æng d÷îi ¥y

Nh“n x†t 1.6 Sß döng cæng thøc Œi bi‚n u = u(x) = x , ta câ

1

Xj

=0Theo ành ngh¾a

rºng, ta d„ d ng chøng tä ÷æc cæng thøc (1.28) óng cho tr÷íng hæp b = 1 khi m giîi h⁄n lim F (x) tçn t⁄i.

x!+1

t⁄i i”m x = 0 Khi â, ta câ

1.3 q t‰ch ph¥n ch°t (restricted definite q integral)

R b

tæi tr…nh b y mºt tr÷íng hæp °c bi»t cıa q t‰ch ph¥n ÷æc tr…nh b y trongmöc 1.2 Kh¡i ni»m n y s‡ ÷æc sß döng ” nghi¶n cøu c¡c b§t flng thøc t

‰ch ph¥n trong Ch÷ìng 2 cıa lu“n v«n

Tr÷îc h‚t, chóng tæi nh›c l⁄i b§t flng thøc Steffensen Łi vîi c¡c h m kh£ t

‰ch Riemann ÷æc tr…nh b y trong cuŁn s¡ch chuy¶n kh£o cıa D.S.Mitronovic còng c¡c cºng sü [17]

Tł ành ngh¾a 1.2 v ành ngh¾a 2.1, ta suy ra h m f(x) l q t«ng (t÷ìng

22khi m x 2 [a; b] v qx 2 [a; b] Ngo

tr¶n [a; b] Cho k; l 2 f0; 1; : : : ; ng thäa m¢n

1; : : : ; n l Tł gi£ thi‚t cıa ành lþ, ta thu ÷æc ÷îc l÷æng sau ¥y

c l

= F (x)G(x)dqx F (cl)(b cl) + F (cl)

Z bG(x)dq x:

25i•u n y chøng tä cæng thøc (2.2) óng vîi

óng vîi r Ta ph£i chøng tä cæng thøc óng

trong M»nh • 1.5 v cæng thøc q t‰ch ph¥n

r = 1 Gi£ sß cæng thøc (2.2)vîi r + 1 Sß döng t‰nh ch§t(ii) tłng phƒn, ta thu ÷æc

a [r]!

Theo BŒ • 2.1 vîi k = 0, tøc l c0 = bq0 = b, ta câ

ành lþ d÷îi ¥y l mºt tr÷íng hæp ri¶ng cıa ành lþ 2.3

q t«ng ÷æc chøng minh t÷ìng tü Vîi r = 0, ta câ [r+2] = [2] = 1+q: Khi â

ki”m tra ÷æc 0 G(x) 1 Do â F (x) v G(x) thäa m¢n c¡c gi£ thi‚t trong ành lþ2.2 Ta l⁄i câ

Nh“n x†t 2.2 T÷ìng tü nh÷ trong Nh“n x†t 1.8, cŁ ành c¡c sŁ a, b v cho n !+1, tøc l q ! 1, trong b§t flng thøc ph‰a b¶n tr¡i cıa b§t flng thøc (2.6) v(2.7), ta thu ÷æc b§t flng thøc sau ¥y

f a 2 b a Za b

f(x)dx:

¥y l mºt trong hai b§t flng thøc Hermite-Hadamard cho h m lçi Do â ành

lþ 2.4 v 2.5 ÷a ra hai d⁄ng q analogue cıa b§t flng thøc Hermite-Hadamardthø nh§t

Ti‚p theo, chóng tæi tr…nh b y mºt sŁ øng döng ti‚p theo cıa b§t flng thøc

q Steffensen

ành lþ 2.6 Cho f : [a; b]! R l mºt h m v cho c¡c sŁ nguy¶n khæng ¥m r; m;

thäa m¢n c¡c gi£ thi‚t trong ành lþ 2.2 M°t kh¡c, ta câ

t‰nh ch§t (ii) trong M»nh • 1.5, ta thu ÷æc ÷îc l÷æng d÷îi ¥y

1 + q

(1 q)xSuy ra

M mKhi â

M(a b)q2 (M m)(a cl+1)q2 :

1 + q

ành lþ 2.9 [20] Cho f(x) l h m li¶n töc tr¶n kho£ng âng [a; b] v kh£ vi tr¶n

th… ta câ b§t flng thøc d÷îi ¥y

Sau â b§t flng thøc Iyengar ÷æc nhi•u t¡c gi£ mð rºng Nhi•u mð rºng thó

và v quan trång v• b§t flng thøc n y câ th” xem trong c¡c cæng tr…nh cıaX.L Cheng [9], I Franjic còng c¡c cºng sü [10], X H Wang còng c¡c cºng

sü [23]

D÷îi ¥y chóng tæi tr…nh b y mºt phi¶n b£n cıa b§t flng thøc Iyengar cho

p ⁄o h m v p t‰ch ph¥n ch°t

1; : : : ; n 1g sao cho c¡c i•u ki»n (2.10) v (2.11) ÷æc thäa m¢n Khi â, ta câ1

(2.18)Chøng minh L§y hi»u hai v‚ cıa c¡c cæng thøc (2.13) v (2.14) v sß döng

Nh“n x†t 2.3 T÷ìng tü nh÷ trong Nh“n x†t 1.8, cŁ ành c¡c sŁ a, b v cho n !+1, tøc l q ! 1 trong b§t flng thøc (2.18) ta thu ÷æc b§t flng thøc (2.17)

2.2 B§t flng thøc q Gruss v mºt sŁ ¡p döng

N«m 1935, G Gruss [12] ¢ chøng minh mºt b§t flng thøc thó và v hœu

‰ch ” ÷îc l÷æng sü sai kh¡c giœa t‰ch ph¥n cıa hai h m v t‰ch cıa t‰chph¥n cıa chóng Cö th” hìn, cho f; g : [ ; ] ! R l hai h m kh£ t‰ch Riemann,

BŒ • d÷îi ¥y ch‰nh l b§t flng thøc Gruss d⁄ng ríi r⁄c Chøng minh cıa

bŒ • n y câ th” tham kh£o trong t i li»u [11]

cho tr÷îc Khi â, ta câ b§t flng thøc sau ¥y

chøng minh t÷ìng ÷ìng vîi b§t flng thøc d÷îi ¥y

(2.21) B§t flng thøc (2.21) câ th” vi‚t l⁄i d÷îi d⁄ng

4 1 q (M m)( ’):

4 [r + 1]!

Cho r = 1 trong b§t flng thøc (2.23), ta thu ÷æc h» qu£ sau ¥y.

Z a f(x)d q x 1 + q [(bq a)f(a) + (b qa)f(b)] (b 4 q (M m):

gi£m th… b§t flng thøc (2.29) quay ng÷æc chi•u, tøc l

d§u b‹ng x£y ra khi v ch¿ khi câ ‰t nh§t mºt trong hai d¢y ho°c l h‹ng sŁ

q t‰ch ph¥n

ành lþ 2.13 Cho hai h m F (x) v G(x) còng l q t«ng ho°c còng l q gi£m

tr¶n o⁄n [a; b] Khi â, ta câ b§t flng thøc sau ¥y

(2.34) câ chi•u ng÷æc l⁄i, tøc l

[a; b] Theo ành ngh¾a cıa q t‰ch ph¥n ch°t, ta câ b§t flng thøc cƒnchøng minh (b§t flng thøc (2.34)) t÷ìng ÷ìng vîi b§t flng thøc d÷îi ¥y

Ti‚p theo, chóng tæi tr…nh b y mºt sŁ øng döng cıa b§t flng thøc q Chebyshev

Do â ta thu ÷æc v‚ ph£i cıa b§t flng thøc (2.37).

(ii) Chøng minh ho n to n t÷ìng tü nh÷ chøng minh (i)

Cho r = 1 trong ành lþ 2.14, ta thu ÷æc h» qu£ sau ¥y

h m lçi Nâ ÷a ra ÷îc l÷æng c“n d÷îi v c“n tr¶n cho trung b…nh t‰ch ph¥ncıa mºt h m lçi x¡c ành tr¶n mºt kho£ng âng Cö th”, cho f : [ ; ]! R

ra b§t flng thøc ki”u Hermite-Hadamard cho h m ti•n lçi b§t bi‚n M Kunta v

I Iscan [15] ÷a ra b§t flng thøc ki”u Hermite-Hadamard cho h m

p lçi Do â câ th” nâi, vi»c mð rºng b§t flng thøc Hermite-Hadamard cŒi”n sang c¡c lîp h m lçi kh¡c nhau, khæng gian kh¡c nhau l mºt b i to¡nquan trång trong to¡n håc v thu hót ÷æc sü quan t¥m nghi¶n cøu cıa nhi•u

nh to¡n håc tr¶n th‚ giîi

Trong möc n y, chóng tæi tr…nh b y mºt mð rºng kh¡c cıa b§t flng thøcHermite-Hadamard cho h m q lçi v q ìn i»u düa tr¶n k‚t qu£ cıa H.Gauchman [11]

Hermite-[2] inh Ho i L÷u (2016), B§t flng thøc t‰ch ph¥n ki”u Hermite-Hadamardcho h m preinvex kh£ vi, Lu“n v«n Th⁄c s¾ To¡n håc, Tr÷íng ⁄i håc T¥yNguy¶n.

[3] Ninh Thà L÷u (2019), B§t flng thøc d⁄ng Hermite-Hadamard-Fej†r cho

h m p lçi, Lu“n v«n Th⁄c s¾ To¡n håc, Tr÷íng ⁄i håc Khoa håc - ⁄i håcTh¡i Nguy¶n

[4] Cò Thà Ngåc Mai (2015), V• c¡c b§t flng thøc ki”u Hadamard cho h m rlçi, Lu“n v«n Th⁄c s¾ To¡n håc, Tr÷íng ⁄i håc Khoa håc - ⁄i håc Th¡iNguy¶n

[5] Nguy„n V«n Tu§n (2014), B§t flng thøc t‰ch ph¥n v øng döng, Lu“n v«n Th⁄c s¾ To¡n håc, Tr÷íng ⁄i håc Khoa håc - ⁄i håc Th¡i Nguy¶n.[6] L¶ Kh¡nh V¥n (2019), B§t flng thøc d⁄ng Hermite-Hadamard-Fej†r cho

h m ti•n lçi b§t bi‚n, Lu“n v«n Th⁄c s¾ To¡n håc, Tr÷íng ⁄i håc Khoa håc

- ⁄i håc Th¡i Nguy¶n

Ti‚ng Anh

in-equality for differentiable functions , Comput Math Appl 32, pp 95 99

das maximum des absoluten betrages von

R b R b

[13] K.S.K Iyengar (1938), Note on an inequality , Math Student 6, pp 75 76

[14] V Kac and P Cheung (2002), Quantum Calculus, Springer-Verlag

for p convex functions", Arab J Math Sci 23, pp 215 230

Journal of Mathematical Analysis and Applications, 267, pp 434 443.[17] D.S Mitronovic, J.E Pecari and A.M Fink (1993), Classical and New Inequalities in Analysis, Kluwer Academic

[18] M.A Noor, K.I Noor and M.U Awan (2015), Some quantum estimatesfor Hermite Hadamard inequalities , Applied Mathematics andComputa-tion, 251, pp 675 679

[19] M.A Noor, K.I Noor and S Rashid (2019), Some new classes of preinvex functions and inequalities , Mathematics 7(1), pp.1-16

[20] F Qi (1996), Inequalities for an integral , Math Gaz 80, pp 376 377