Về một số bất đẳng thức tích phân trong giải tích lượng tử

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ THU HUẾ VỀ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN TRONG GIẢI TÍCH LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Mai Viết Thuận THÁI NGUN - 2020 Mưc lưc Ch÷ìng Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà 1.1 q ⁄o h m 1.2 q t‰ch ph¥n 5 12 1.2.1 q nguy¶n h m 12 1.2.2 T‰ch ph¥n Jackson 13 1.2.3 nh nghắa v mt s tnh chĐt ca q t‰ch ph¥n 15 1.3 q t‰ch ph¥n ch°t (restricted definite q integral) 18 Ch÷ìng Mºt s bĐt flng thức tch phƠn giÊi tch lữổng tò 21 2.1 BĐt flng thức q Steffensen v mt sŁ ¡p döng 21 2.2 B§t flng thøc q Gruss v mºt sŁ ¡p döng 36 2.3 B§t flng thøc q Chebyshev v mºt sŁ ¡p döng cıa nâ 40 2.4 B§t flng thøc q Hermite-Hadamard 44 L˝I NI U BĐt flng thức tch phƠn l mt ch • hay v khâ to¡n håc Mºt sŁ b§t flng thøc t‰ch ph¥n nŒi ti‚ng v quan trång câ th k n Ơy l bĐt flng thức Steffensen ữổc J.F Steffensen giợi thiằu v o nôm 1918, bĐt flng thøc Iyengar ÷ỉc K.S.K Iyengar ÷a v o n«m 1938 b i b¡o Note on an inequality trản ch Math Student , bĐt flng thức Gruss ÷æc nh to¡n håc G Gruss cæng bŁ v o nôm 1935, bĐt flng thức Hermite-Hadamard ữổc cổng b bi Hermite-Hadamard v o nhng nôm 1891 Nhng bĐt flng thức trản  nhn ữổc quan tƠm nghiản cứu v m rng ca nhiãu nh toĂn hồc trản th giợi (xem c¡c t i li»u [7, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23] v c¡c t i li»u tham kh£o c¡c t i li»u õ) Theo nhữ hiu bit ca chúng tổi,  cõ mt s lun vôn thc sắ chuyản ng nh phữỡng phĂp toĂn sỡ cĐp trnh b y vã bĐt flng thức tch phƠn [5], õ bĐt flng thức Hermite-Hadamard nhn ữổc sỹ quan tƠm hỡn cÊ [1, 2, 3, 4, 6] Chflng h⁄n, H.T.Q Li¶n [1] tr…nh b y bĐt flng thức dng Hermite-Hadamard cho h m lỗi khÊ vi C¡c b§t flng thøc d⁄ng Hermite-Hadamard cho h m r lỗi, lợp h m m rng ca h m lỗi, ữổc trnh b y lun vôn thc sắ toĂn hồc chuyản ng nh Phữỡng phĂp ToĂn sỡ cĐp bði C.T.N Mai B§t flng thøc d⁄ng Hermite-Hadamard-Fej†r cho h m p lỗi v tiãn lỗi bĐt bin ữổc trnh b y c¡c t i li»u [3] v [6] Chú ỵ rng cĂc kt quÊ trản Ăp dửng cho mt s lợp h m lỗi khÊ vi theo nghắa thổng thữớng v tch phƠn l khÊ tch Riemann Tuy nhi¶n, vi»c ¡p dưng c¡c k‚t qu£ â v o lp trnh tnh toĂn trản mĂy tnh, ta phÊi xĐp x o h m v tch phƠn bng cĂc phữỡng phĂp thch hổp iãu n y s dÔn n sai s lp trnh Mt cƠu họi tỹ nhiản °t l li»u câ c¡ch n o ành ngh¾a o h m m khổng cn lĐy giợi hn Mt nhœng c¥u tr£ líi â ch ‰nh l kh¡i niằm q o h m ữổc ã xuĐt u tiản bi Euler (1707-1783) v ữổc trnh b y mt c¡ch h» thŁng cuŁn s¡ch chuy¶n kh£o Quantum Calculus ca V Kac v P Cheung Xt biu thức dữợi ¥y f(x) f(x0) x x0 : (0.1) Khi cho x tin tợi x0, nu giợi hn n y tỗn ti th… ta thu ÷ỉc ⁄o h m cıa df(x0) ÷ỉc kỵ hiằu l h m f(x) ti im x0 v Tuy nhi¶n n‚u cho x = qx0 ho°c dx x = x0 +h, â q l mºt sŁ cŁ ành kh¡c 1, h l mºt sŁ cŁ ành khĂc khổng v khổng lĐy giợi hn ta s thu ÷ỉc ành ngh¾a cıa q ⁄o h m (q derivative) ho°c h ⁄o h m (h derivative) cıa h m f(x) t⁄i i”m x Trong cuŁn s¡ch chuy¶n kh£o Quantum Calculus (GiÊi tch lữổng tò) [14], cĂc tĂc giÊ ¢ tr…nh b y mºt c¡ch h» thŁng c¡c ành nghắa v mt s tnh chĐt vã q o h m, h ⁄o h m v q t‰ch ph¥n Nhœng nôm gn Ơy, giÊi tch lữổng tò  nhn ữổc sỹ quan tƠm nghiản cứu ca nhiãu nh khoa hồc v nhng ứng dửng ca nõ vt lỵ [11, 18, 21, 22] Ngo i ra, nhiãu bĐt flng thức tch phƠn quan trồng cụng ữổc cĂc nh khoa hồc nghiản cứu v ã xuĐt cĂc cổng b gn ¥y tr¶n c¡c t⁄p ch‰ quŁc t‚ uy t‰n [21, 22] Lun vôn trnh b y mt s bĐt flng thức tch phƠn nhữ bĐt flng thức Steffensen, bĐt flng thøc Iyengar, b§t flng thøc Gruss, b§t flng thøc Chebyshev v bĐt flng thức dng Hermite Hadamard trản cỡ s åc hi”u v tr…nh b y l⁄i mºt c¡ch h» thng kt quÊ ca H Gauchman [11] Lun vôn gỗm cõ chữỡng gỗm nhng ni dung sau: Trong Chữỡng 1, chóng tỉi tr…nh b y mºt sŁ kh¡i ni»m v c¡c t‰nh ch§t quan trång cıa q ⁄o h m, q t‰ch ph¥n v q t‰ch ph¥n ch°t Trong Chữỡng 2, chúng tổi trnh b y mt s bĐt flng thức tch phƠn quan trồng nhữ bĐt flng thức Steffensen, b§t flng thøc Iyengar, b§t flng thøc Gruss, b§t flng thøc Chebyshev v b§t flng thøc d⁄ng Hermite Hadamard cho q ⁄o h m v q t‰ch ph¥n ch°t Ngo i vi»c åc hi”u v tr…nh b y l⁄i mºt c¡ch h» thŁng k‚t qu£ cıa H Gauchman, chóng tổi cặn sòa mt s lỉi kt quÊ n y Cõ th nõi Đy l mt õng gõp mợi ca lun vôn Lun vôn n y ữổc thüc hi»n t⁄i tr÷íng ⁄i håc Khoa håc ⁄i håc ThĂi Nguyản v ho n th nh dữợi sỹ hữợng dÔn ca Tin sắ Mai Vit Thun Tổi xin ữổc b y tọ lặng bit ỡn chƠn th nh v sƠu sc tợi ngữới hữợng dÔn khoa hồc ca mnh Ngữới  t vĐn ã nghiản cứu, d nh nhiãu thới gian hữợng dÔn, tn tnh du dt v ch b£o tỉi suŁt qu¡ tr…nh thüc hi»n • t i n y Tỉi xin tr¥n trång c£m ìn Ban gi¡m hi»u tr÷íng ⁄i håc Khoa håc ⁄i håc Th¡i Nguy¶n, Ban chı nhi»m khoa To¡n Tin cịng c¡c gi£ng viản  tham gia giÊng dy,  to mồi iãu kiằn tt nhĐt tổi hồc v nghiản cứu ỗng thới tổi xin gòi lới cÊm ỡn tợi gia nh thƠn yảu, cÊm ỡn nhng ngữới bn thƠn thit  chôm sõc ng viản khch lằ tổi sut qu¡ tr…nh nghi¶n cøu Sau cịng tỉi xin k‰nh chóc to n th quỵ thy cổ trữớng i hồc Khoa hồc - i hồc ThĂi Nguyản tht dỗi d o søc khäe, ni•m tin ” ti‚p tưc thüc hi»n sø mằnh cao àp ca mnh l truyãn t tri thức cho th‚ h» mai sau Xin ch¥n th nh c£m ìn Ch÷ìng Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n b Chữỡng n y trnh b y nh nghắa ca q ⁄o h m, q t‰ch ph¥n v mºt sŁ t ‰nh ch§t cì b£n cıa nâ Nºi dung ch‰nh cıa ch÷ìng n y ÷ỉc tham kh£o cuŁn s¡ch chuy¶n kh£o cıa V Kac v P Cheung [14] 1.1 q ⁄o h m ành ngh¾a 1.1 ([14]) Cho f(x) l mºt h m sŁ thüc q sai ph¥n cıa h m f(x) ÷ỉc cho bði dqf(x) = f(qx) f(x): °c bi»t, ta câ dqx = (q 1)x Tł ành nghắa 1.1, ta tnhữổc q sai phƠn ca tch hai h m sŁ thüc f(x); g(x) nh÷ sau dq(f(x)g(x)) = f(qx)g(qx) f(x)g(x) = f(qx)g(qx) f(qx)g(x) + f(qx)g(x) = f(qx) (g(qx) f(x)g(x) g(x)) + g(x) (f(qx) f(x)) = f(qx)dqg(x) + g(x)dqf(x): BƠy giớ, ta nh nghắa q o h m nh ngh¾a 1.2 Cho f(x) l mºt h m sŁ thüc q ⁄o h m (q derivative) cıa h m f(x) ÷ỉc ành ngh¾a bði Dqf(x) = dqf(x) = f(qx) f(x) : (q 1)x dq x Nh“n x†t 1.1 Tł ành nghắa 1.2, ta nhn thĐy nu f(x) l mt h m sŁ kh£ vi th… lim Dqf(x) = q!1 df(x) = f (x): dx n B¥y gií, ta t‰nh q ⁄o h m cıa h m f(x) = x , nguyản dữỡng Theo nh nghắa, ta cõ n n n Dqx =(qx) x (q Kỵ hiằu [n] = q n q =q n 1)x = qn q xn ânl mºt sŁ : + : : : + Kỵ hiằu [n] ÷ỉc gåi l q analogue cıa n Khi â, ta câ n Dqx = [n]x n : M»nh ã dữợi Ơy cho ta mt s quy tc tnh q ⁄o h m cì b£n M»nh • 1.1 Cho a; b R, f(x); g(x) l hai h m sŁ thüc Khi â ta câ: (i) Dq (af(x) + bg(x)) = aDqf(x) + bDqg(x); (ii) Dq (f(x)g(x)) = f(qx)Dqg(x) + g(x)Dqf(x) ho°c Dq (f(x)g(x)) = f(x)Dqg(x) + g(qx)Dqf(x); f(x) g(x) (iii) Gi£ sß g(x) 6= 0: Khi â Dq = g(x)Dqf(x) f(x)Dqg(x) ho°c g(x)g(qx) f(x) = g(qx)Dqf(x) f(qx)Dqg(x) g(x) g(x)g(qx) Chøng minh (i) Theo ành ngh¾a, ta câ Dq : Dq (af(x) + bg(x)) = af(qx) + bg(qx) af(x) bg(x) (q 1)x = a (f(qx) f(x)) + b (g(qx) g(x)) (q 1)x (q 1)x = aDqf(x) + bDqg(x): (ii) Tł c¡c ành ngh¾a 1.1 v ành ngh¾a 1.2, ta câ Dq (f(x)g(x)) = d (f(x)g(x)) q (q 1)x g(x)dqf(x): = f(qx)dqg(x) +(q 1)x Tł â suy (1.1) Dq (f(x)g(x)) = f(qx)Dqg(x) + g(x)Dqf(x): V… vai trỈ cıa f(x) v g(x) l nhữ nản ta cụng thu Dq (f(x)g(x)) = f(x)Dqg(x) + g(qx)Dqf(x): ÷ỉc (1.2) f(x) (iii) Ta câ f(x) = g(x): g(x) Dqf(x) = g(qx)Dq 37 B ã dữợi Ơy chnh l bĐt flng thức Gruss d⁄ng ríi r⁄c Chøng minh cıa bŒ • n y câ th” tham kh£o t i li»u [11] BŒ • 2.2 Cho x = (x1; : : : ; xn); y = (y1; : : : ; yn); u = (u1; : : : ; un), â n xj; yj; uj; j = 1; : : : ; n; l c¡c sŁ thüc thäa m¢n uj jP 0v =1 uj 6= Gi£ sß r‹ng m xj M; ’ yj ; j = 1; 2; : : : ; n, â m; M; ’; l c¡c hng s thỹc cho trữợc Khi õ j=1 uxy j j j n n P n j=1 ujxj 10 n n P uj B P ujyj uj C uj C B j=1 B P C CB P @ ’): CB j=1 (M m)( n P B j=1 j=1 C A@ A nh lỵ dữợi Ơy chnh l b§t flng thøc Gruss cho q ⁄o h m v q tch phƠn nh lỵ 2.11 Cho F; G : [a; b]! R l hai h m thüc thäa mÂn m M; G(x)vợi mồi x [a; b], â m; M; ’; l c¡c h‹ng sŁ thüc cho trữợc Khi õ, ta cõ bĐt flng thức sau ¥y b a a Z b F (x)G(x)dqx (b a) a b F (x)dqx: Z a F (x) b G(x)dqx Z 4(M m)( ’): (2.20) Chøng minh Theo nh nghắa 1.8 v cổng thức (1.30), bĐt flng thức cn chứng minh tữỡng ữỡng vợi bĐt flng thức dữợi Ơy ! cjG(cj) b a cjF (cj)G(cj) (b a) cjF (cj) ! q n (1 q) X n n j=0 j=0 X j=0 X (2.21) 4(M m)( ’): V… v“y ” chøng minh b§t flng thøc (2.20), ta i chøng minh b§t flng thøc (2.21) B§t flng thøc (2.21) câ th” vit li dữợi dng ! q cjF (cj)G(cj) cjF (cj) b an X b ! n n j=0 j=0 X cjG(cj) X a j=0 (2.22) q (M m)( ): 38 ỵ r‹ng °t F (cj) = xj; G(cj) = yj v n n X Xj n b(1 b q ) bqj = cj = a = : q 1 q Do õ bĐt flng thức (2.22) tữỡng ữỡng vợi bĐt flng thức sau Ơy =0 cxy j=1 j j j n j=0 j=1 cjxj n P n 10 j=1 cjyj n P B c j j=1 P n n P c j=1 ’): CB C c j j B CB @ A@ B P (M m)( C j=1 CB P C A Theo BŒ • 2.2, ta câ i•u ph£i chøng minh Ti‚p theo, chóng tỉi tr…nh b y mºt sŁ ¡p dưng ca nh lỵ 2.11 nh lỵ 2.12 Cho r l mt s nguyản khổng Ơm v cho f : [a; b] ! mºt h m sŁ thäa m¢n m c¡c hng s thỹc cho trữợc Khi õ a Rq;r;f (a; x)dqx Z b (Dq r+1 f)(x) r M; 8x [a; b], â m v M l r (Dq f)(b) Rl (Dq f)(a) (b [r + 2]!r+1 (b a)q qa)q 4[r + 1]! r+2 (M m): (2.23) Chøng minh °t (b F (x) = (Dq r+1 qx) r+1 q f)(x); G(x) = [r + 1]! : Ta câ (b qx)q r+1 = (b qx)(b q x) : : : (b q (b qa)(b q a) : : : (b q Do â m F (x) M; G(x) (b qa)q [r+1]! ( nh lỵ 2.11), ta cõ b b a a F (x)G(x)dqx r+1 Z 1 (M m) (b qa)q (b r+1 r+1 x) a) = (b qa)q r+1 : r+1 a a) Z p dưng b§t flng thøc q Gruss b F (x)dqx: a b G(x)dqx Z : (2.24) [r + 1]! 39 Theo BŒ • 2.1, ta câ Z Z b a (2.25) b F (x)G(x)dqx = a Rq;r;f (a; x)dqx: M°t kh¡c, ta l⁄i câ Za b b Z F (x)dqx = a (Dq b a Z r+1 f)(x)dqx = r r r D(Dq f)(x)dqx = (Dq f)(b) (Dq f)(a): (2.26) Theo tnh chĐt (ii) ca Mằnh ã 1.5, ta câ b G(x)d x = q Z [r + 1]! Z a b a b = = qx)q (b [r + 2]! r+1 Dq(b dqx r+2 x)q (2.27) dq x Z a (b b)q r+2 (b a)qr+2 [r1+ 2]! r+2 = (b a)q : [r + 2]! Thay cĂc ữợc lữổng (2.25) (2.27) v o (2.24), ta thu ÷ỉc r a Rq;r;f (a; x)dqx b a (Dqrf)(b) (Dq f)(a) [r + 2]! b (b a)qr+2 Z (2.28) b r+1 a (b qa) : [r + 1]! q : Ngo i ra, ta l⁄i câ (b a)qr+2 = (b qa) : : : (b qr+1a) = (b b a Tł flng thøc b¶n tr¶n, ta suy (b r+1 qa)q : a)(b qa)qr+1 = (b a)q r+2 Tł flng thøc n y v (2.28), ta cõ bĐt flng thức (2.23) nh lỵ ữổc chøng minh Cho r = b§t flng thøc (2.23), ta thu ữổc hằ quÊ sau Ơy Hằ quÊ 2.1 Cho m (Dqf)(x) M tr¶n [a; b] Khi â, ta câ Za f(x)dqx b + q [(bq a)f(a) + (b qa)f(b)] (b 4a) q (M m): 40 2.3 B§t nâ flng thøc q Chebyshev v mºt s Ăp dửng ca Trữợc ht, chúng tổi nhc li b§t flng thøc Chebyshev cŒ i”n D.S Mitronovic, J.E Pecari v A.M Fink [17] ữa bĐt flng thức Chebyshev cho c¡c h m gi£i t‰ch Cho f; g : [ ; ] ! R l c¡c h m kh£ t‰ch, f; g ho°c cịng l h m t«ng ho°c + còng gi£m Cho p : [ ; ]! R l mºt h m kh£ t‰ch Khi â Z p(x)dx Z Z p(x)f(x)g(x)dx p(x)f(x)dx Z (2.29) p(x)g(x)dx: N‚u mºt hai h m f ho°c g l h m khæng tông v h m cặn li l giÊm th bĐt flng thức (2.29) quay ngữổc chiãu, tức l Z p(x)dx Z Z p(x)f(x)g(x)dx p(x)f(x)dx Z khỉng (2.30) p(x)g(x)dx: B§t flng thức (2.29) ữổc gồi l bĐt flng thức Chebyshev Khi p(x) 1, th… b§t flng thøc (2.29) trð th nh: Z (2.31) Z Z f(x)g(x)dx f(x)dx g(x)dx: Nhi•u t i li»u gåi b§t flng thøc (2.31) l b§t flng thøc Chebyshev Ngo i ra, D.S Mitronovic, J.E Pecari v A.M Fink [17] cặn ữa bĐt flng thức Chebyshev d⁄ng ríi r⁄c Cho = ( 1; : : : ; n) v ::: = ( 1; : : : ; n) l n; ::: hai dÂy khổng giÊm, tức l n, (hoc khổng tông), p = (p1; : : : ; pn) l mºt d¢y khỉng ¥m, tøc l pi 0; 8i = 1; : : : ; n Khi â n n X Xi =1 pi n X i=1 piaibi i=1 n X piai i=1 pibi; (2.32) d§u b‹ng x£y v ch¿ cõ t nhĐt mt hai dÂy hoc l hng s BĐt flng thức (2.32) ữổc gồi l bĐt flng thøc Chebyshev d⁄ng ríi r⁄c Vỵi p = p2 = : : : = pn = 1, ta cõ trữớng hổp c biằt ca bĐt flng thức (2.32): n X i =1 aibi n n n X X i=1 i=1 bi: (2.33) 41 B¥y gií, chóng tỉi tr…nh b y b§t flng thøc Chebyshev cho q o h m v q tch phƠn nh lỵ 2.13 Cho hai h m F (x) v G(x) còng l q tông hoc l q giÊm trản on [a; b] Khi õ, ta cõ bĐt flng thức sau Ơy Z a b F (x)G(x)dqx Z a b a b (2.34) Z G(x)dqx: b F (x)dqx a N‚u mºt hai h m l q tông cặn h m cặn li l q giÊm th bĐt flng thức (2.34) cõ chiãu ngữổc li, tức l Z a b Z a F (x)G(x)dqx b b Chøng minh Cho F (x) v Z b F (x)dqx a G(x)dqx: (2.35) a G(x) cịng l q t«ng ho°c cịng l q gi£m trản [a; b] Theo nh nghắa ca q tch phƠn ch°t, ta câ b§t flng thøc cƒn chøng minh (b§t flng thức (2.34)) tữỡng ữỡng vợi bĐt flng thức dữợi ¥y (1 q) n cjF (cj)G(cj) b a(1 q) n cjF (cj)! (1 q) n cjG(cj)! : X X Xj =0 j=0 j=0 (2.36) n 1 V… °t xj = F (cj); yj = G(cj); j = 0; 1; : : : ; n b bq q n =b a jP nản bĐt flng thøc (2.36) câ th” q n X X n c j j=0 j=0 =0 Ta th§y b§t flng thøc b¶n tr¶n ch‰nh l j bq = b(1 qn) P = q j=0 vit li dữợi dng n n j=0 =0 X cjxjyjcjxj n cj = Xj cjyj: b§t flng thøc Chebyshev d⁄ng ríi rc Vy, bĐt flng thức (2.34) ữổc chứng minh BƠy giớ, giÊ sò F (x) l q tông v G(x) l q gi£m Khi â ¡p dưng b§t flng thøc (2.34) cho h m F (x) v G(x), ta thu ữổc bĐt flng thức (2.35) nh lỵ ữổc chứng minh Ti‚p theo, chóng tỉi tr…nh b y mºt sŁ øng dửng ca bĐt flng thức q nh lỵ 2.14 (i) Gi£ sß r‹ng Dq r+1 f l h m q tông trản [a; b], tức l Chebyshev Dq r+2 f 42 tr¶n [a; b] Khi â (b D ( r+1 f)(b) (D f)(a) q b Za a)r+2 r+1 q 4[r + 1]! q (D qrf)(b) R q;r;f (a ; x)d q x (ii) Gi£ sß r‹ng Dq r+1 (b (D qrf)(a) qa)q r+1 (2.37) [r + 2]! 0: h m q gi£m tr¶n [a; b], tøc l Dqr+2f tr¶n [a; b] fl Khi â b r r r+2 (Dq f)(b) (Dq f)(a) (b qa)q Rq;r;f (a; x)dqx [r + 2]! r+2 (b a)q r+1 r+1 (Dq f)(a) (Dq f)(b) 4[r + 1]! : Z a Chøng minh (i) Gi£ sß Dq r+1 F (x) = (Dq Khi õ F (x) l hmq h m q tông trản [a; b] °t (b qx)r+1 fl r+1 (2.38) : [r + 1]! G(x) l h m q gi£m Theo b§t flng thøc q f)(x); G(x) = t«ng v q Chebyshev, ta câ Z a b Z b F (x)G(x)dqx b a a Z b F (x)dqx a G(x)dqx: (2.39) Theo BŒ • 2.1, ta câ b b (b Za F (x)G(x)dqx = Za (Dq r+1 f)(x) b r+1 qx)q [r + 1]! Z Rq;r;f (a; x)dqx: dqx = a (2.40) M°t kh¡c, ta l⁄i câ Za b F (x)dqx = Za b Dq r+1 r r Theo t‰nh ch§t (ii) cıa M»nh • 1.5, ta câ b b r+1 Za b Za Za (b qx)q G(x)dqx = Dq(b [r + 1]! = [r + 2]! = [r + 2]! (b r+2 b)q (b a)qr+2 = x)q q;r;f q b a r+2 d qx (b a)qr+2 [r + 2]! : Thay (2.40) (2.42) v o (2.39), ta thu ÷ỉc b r r Za (Dq f)(b) (Dq f)(a) (b R (a; x)d x (2.41) f (x)dqx = (Dq f)(b) (Dq f)(a): [r + 2]! : r+2 a)q (2.42) 43 V… (b a)r+2 q b a n¶n ta câ Z a (Dq f)(b) R q;r;f (a; x)d qx qa)q ; r (Dq f)(a) (b r b r+1 = (b qa)r+1 q [r + 2]! 0: Do â ta thu ữổc v phÊi ca bĐt flng thức (2.37) V Dq r+1 â M = (Dq fl hmq r+1 t«ng nản ta cõ m (Dq f)(b) v trĂi ca bĐt m = (Dq r+1 r+1 f)(x) M tr¶n [a; b], f)(a) p dửng nh lỵ 2.12 ta thu ữổc v flng thức (2.37) Vy, ta chứng minh ữổc bĐt flng thøc (2.37) (ii) Chøng minh ho n to n t÷ìng tü nh÷ chøng minh (i) Cho r = nh lỵ 2.14, ta thu ữổc hằ quÊ sau ¥y H» qu£ 2.2 (i) Gi£ sß r‹ng Dq f tr¶n [a; b] Khi â, ta câ Z [(D f)(b) q (Dqf)(a)] (b a)q ab (2.43) + q [(bq a)f(a) + (b qa)f(b)] 0: f(x)d q x (ii) Gi£ sß r‹ng Dq f tr¶n [a; b] Khi â, ta câ Z a b f(x)d q x (2.44) + q [(bq a)f(a) + (b qa)f(b)] 1 [(Dqf)(a) (Dqf)(b)] (b a) q: Nh“n x†t 2.4 Cho f(x) l h m q lỗi trản [a; b], tức l Dq f tr¶n [a; b] a Khi â F (x) v G(x) •u l c¡c h m °t F (x) = (Dqf)(x); G(x) = x q tông Theo bĐt flng thøc q Chebyshev, ta câ Z b (2.45) Zb Zb a (x a)(Dqf)(x)dqx a (Dqf)(x)dqx a (x a)dqx: b a Sò dửng cổng thức tch phƠn tng phn v tnh chĐt (ii) Mằnh ã 1.5, ta thu ÷æc Z a b (x a)(Dqf)(x)dqx = (b Z a)f(b) b (Dqf)(x)dqx = f(b) f(a); a Z a b f(qx)dqx; (2.46) (2.47) 44 b b Z (x a)dqx = a 1+qZ (b Dq(x a)q dqx = a a)q 1+q Thay (2.46) (2.48) v o (2.45), ta thu ữổc nu f(x) l trản [a; b] th Za b qa)f(a) + (qb f(q x)d 2.4 B§t q x 1+ q : (2.48) mt h m q lỗi a)f(b)] : (2.49) [(b flng thøc q Hermite-Hadamard B§t flng thøc Hermite-Hadamard l mºt b§t flng thøc quan trång cıa h m lỗi Nõ ữa ữợc lữổng cn dữợi v cn trản cho trung bnh tch phƠn ca mt h m lỗi xĂc nh trản mt khoÊng õng Cử th”, cho f : [ ; ]! R l mºt h m lỗi Khi f õ + f(x)dx Z : (2.50) f( ) + f( ) B§t flng thức Hermite-Hadamard  ữổc m rng theo nhiãu cĂch kh¡c M Bessenyei [8] mð rºng b§t flng thøc Hermite-Hadamard trản ỡn hnh bng cĂch sò dửng cĂch tip c“n c§p M.A Noor cịng c¡c cºng sü [19] ÷a b§t flng thøc ki”u Hermite-Hadamard cho h m tiãn lỗi bĐt bin M Kunta v I Iscan [15] ÷a b§t flng thøc ki”u Hermite-Hadamard cho h m p lỗi Do õ cõ th nõi, viằc m rng bĐt flng thức Hermite-Hadamard c in sang cĂc lợp h m lỗi khĂc nhau, khổng gian khĂc l mt b i to¡n quan trång to¡n håc v thu hút ữổc sỹ quan tƠm nghiản cứu ca nhiãu nh toĂn hồc trản th giợi Trong mửc n y, chúng tỉi tr…nh b y mºt mð rºng kh¡c cıa b§t flng thức Hermite-Hadamard cho h m q lỗi v q ìn i»u düa tr¶n k‚t qu£ cıa H Gauchman [11] nh lỵ 2.15 (i) Cho f l mt h m ck aq + b 1+ q n‚u f l h m q gi£m v ck â f(ck) a(1 q) f(a) b qa q lỗi v q ỡn iằu GiÊ sò r‹ng aq + b 1+ q Z n‚u f l h m q t«ng Khi b f(x)dqx: b qa a (2.51) 45 (ii) Cho h m f l q gi£m v q(a+b) 1+q ck n‚u f l hmq b b f(x)d x q b +q [(bq a (2.52) f(qx)dqx: f(qx)d x +q q Z hm q lỗi trản [a; b] Khi õ, ta cõ cĂc bĐt flng thøc sau ¥y a)f(a) + (b qa)f(b)] ; (2.53) mf l Za a n‚u f l t«ng Khi â Z b f(ck) (iii) Cho h q(a+b) 1+q q lỗi v q ỡn iằu GiÊ sò rng ck [(b qa)f(a) + (qb d qx a)f(b)] ; (2.54) : (2.55) a b b1 a Z a f(x) + f(qx) f(a) + f(b) Chøng minh B§t flng thøc (2.51) chnh l bĐt flng thức trĂi ca bĐt flng thøc (2.5) B§t flng thøc (2.52) ch‰nh l b§t flng thức trĂi ca bĐt flng thức (2.6) BĐt flng thức (2.53) chnh l bĐt flng thức phÊi cıa b§t flng thøc (2.43) B§t flng thøc (2.54) ch‰nh l bĐt flng thức (2.49) Cặn bĐt flng thức (2.55) ch‰nh l tŒng c¡c v‚ cıa c¡c b§t flng thøc (2.53) v (2.54) 46 Kt lun Lun vôn  trnh b y mt s bĐt flng thức tch phƠn quan trång cho q ⁄o h m v q t‰ch phƠn Cử th Trnh b y nh nghắa v mt sŁ t‰nh ch§t cì b£n v quan trång cıa q ⁄o h m, q t‰ch ph¥n, q t‰ch ph¥n ch°t; Trnh b y mt s bĐt flng thức tch phƠn quan trång cho q ⁄o h m v q t‰ch phƠn cht nhữ bĐt flng thức q Steffensen, bĐt flng thøc q Iyengar, b§t flng thøc q Gruss, b§t flng thøc q Chebyshev v b§t flng thøc q Hermite-Hadamard Chó þ r‹ng ngo i vi»c åc hi”u v tr…nh b y mºt c¡ch h» thŁng c¡c k‚t qu£ cıa H Gauchman [11], chúng tổi cặn chnh sòa mt s sai sât b i b¡o â ¥y ch‰nh l âng gâp ch‰nh cıa lu“n v«n 47 T i li»u tham kh£o Ti‚ng Vi»t [1] Ho ng Thà Quýnh Liản (2016), Vã cĂc bĐt flng thức dng HermiteHadamard cho h m lỗi, Lun vôn Thc sắ ToĂn hồc, Trữớng ⁄i håc Khoa håc - ⁄i håc Th¡i Nguy¶n [2] inh Ho i Lữu (2016), BĐt flng thức tch phƠn ki”u Hermite-Hadamard cho h m preinvex kh£ vi, Lu“n v«n Thc sắ ToĂn hồc, Trữớng i hồc TƠy Nguyản [3] Ninh Th Lữu (2019), BĐt flng thức dng Hermite-Hadamard-Fejr cho h m p lỗi, Lun vôn Thc sắ ToĂn hồc, Trữớng i hồc Khoa hồc - i hồc ThĂi Nguyản [4] Cũ Th Ngồc Mai (2015), Vã cĂc bĐt flng thức kiu Hadamard cho h m r lỗi, Lun vôn Thc sắ ToĂn hồc, Trữớng i hồc Khoa hồc - i hồc ThĂi Nguyản [5] Nguyn Vôn TuĐn (2014), BĐt flng thức tch phƠn v ứng dửng, Lun vôn Thc sắ ToĂn hồc, Trữớng i hồc Khoa hồc - i hồc ThĂi Nguyản [6] Lả KhĂnh VƠn (2019), BĐt flng thức dng Hermite-Hadamard-Fejr cho h m tiãn lỗi bĐt bin, Lun vôn Thc sắ ToĂn hồc, Trữớng i hồc Khoa håc - ⁄i håc Th¡i Nguy¶n Ti‚ng Anh [7] R.P Agarwal and S.S Dragomir (1996), An application of Hayashi inequality for differentiable functions , Comput Math Appl 32, pp 95 99 48 [8] M Bessenyei (2008), The Hermite-Hadamard inequality on simplices , The American Mathematical Monthly 115(4), pp 339 345 [9] X.L Cheng (2001), The Iyengar-type inequality , Applied Mathematics Letters 14, pp 975 978 [10] I Franjic, J.Peccari and I Peric, Note on an Iyengar type inequality , Applied Mathematics Letters 19, pp 657 660 [11] H Gauchman (2004), Integral inequalities in q-calculus , Computers and Mathematics with Applications, 47, pp 281 300 [12] G Gruss (1935), Uber das maximum des absoluten betrages von b a a Rb f(x)g(x)dx Rb (b a) a Rb f(x)dx a g(x)dx , Math Z 39, pp 215 226 [13] K.S.K Iyengar (1938), Note on an inequality , Math Student 6, pp 75 76 [14] V Kac and P Cheung (2002), Quantum Calculus, Springer-Verlag [15] M Kunta and I Iscan (2017), "Hermite-Hadamard-Fej†r type inequalities for p convex functions", Arab J Math Sci 23, pp 215 230 [16] X Li, N Mohapatra and R.S Rodriguez (2002), Gruss-type inequalities , Journal of Mathematical Analysis and Applications, 267, pp 434 443 [17] D.S Mitronovic, J.E Pecari and A.M Fink (1993), Classical and New Inequalities in Analysis, Kluwer Academic [18] M.A Noor, K.I Noor and M.U Awan (2015), Some quantum estimates for Hermite Hadamard inequalities , Applied Mathematics and Computa-tion, 251, pp 675 679 [19] M.A Noor, K.I Noor and S Rashid (2019), Some new classes of preinvex functions and inequalities , Mathematics 7(1), pp.1-16 [20] F Qi (1996), Inequalities for an integral , Math Gaz 80, pp 376 377 49 [21] J Tariboon and S.K Ntouyas (2013), Quantum calculus on finite intervals and applications to impulsive difference equations , Advances in Difference Equations, 282, pp 19 [22] J Tariboon and S.K Ntouyas (2014), Quantum integral inequalities on finite intervals , Advances in Difference Equations, 121, pp 13 [23] X.H Wang, C.C Xie and S.J Yang (2007), The Iyengar inequality, revisited , BIT Numerical Mathematics, 47(4), pp 839 852 ... 44 L˝I N´I U B§t flng thức tch phƠn l mt ch ã hay v khõ toĂn hồc Mt s bĐt flng thức tch phƠn nŒi ti‚ng v quan trång câ th” k” ‚n ð Ơy l bĐt flng thức Steffensen ữổc J.F Steffensen... cĐp trnh b y vã bĐt flng thức tch phƠn [5], õ bĐt flng thức Hermite-Hadamard nhn ữổc sỹ quan t¥m hìn c£ [1, 2, 3, 4, 6] Chflng h⁄n, H.T.Q Liản [1] trnh b y bĐt flng thức dng Hermite-Hadamard... dung sau: Trong Ch÷ìng 1, chóng tỉi tr…nh b y mºt sŁ kh¡i ni»m v c¡c t‰nh ch§t quan trång cıa q ⁄o h m, q t‰ch ph¥n v q tch phƠn cht Trong Chữỡng 2, chúng tổi trnh b y mt s bĐt flng thức tch phƠn