Về một số bất đẳng thức tích phân trong giải tích lượng tử

Bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard-Fejércho hàm p−lồi và tiền lồi bất biến được trình bày trong các tài liệu [3] và [6].Chú ý rằng các kết quả trên áp dụng cho một số lớp hàm lồi khả vi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THỊ THU HUẾ

VỀ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN

TRONG GIẢI TÍCH LƯỢNG TỬ

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Mai Viết Thuận

THÁI NGUYÊN - 2020

Mục lục

1.1 q−đạo hàm 5

1.2 q−tích phân 12

1.2.1 q−nguyên hàm 12

1.2.2 Tích phân Jackson 13

1.2.3 Định nghĩa và một số tính chất của q−tích phân 15

1.3 q−tích phân chặt (restricted definite q−integral) 18

Chương 2 Một số bất đẳng thức tích phân trong giải tích lượng tử 21 2.1 Bất đẳng thức q−Steffensen và một số áp dụng 21

2.2 Bất đẳng thức q−Gr¨uss và một số áp dụng 36

2.3 Bất đẳng thức q−Chebyshev và một số áp dụng của nó 40

2.4 Bất đẳng thức q−Hermite-Hadamard 44

LỜI NÓI ĐẦU

Bất đẳng thức tích phân là một chủ đề hay và khó trong toán học Một sốbất đẳng thức tích phân nổi tiếng và quan trọng có thể kể đến ở đây là bất đẳngthức Steffensen được J.F Steffensen giới thiệu vào năm 1918, bất đẳng thứcIyengar được K.S.K Iyengar đưa ra vào năm 1938 trong bài báo “Note on aninequality” trên tạp chí “Math Student”, bất đẳng thức Gr¨uss được nhà toánhọc G Gr¨uss công bố vào năm 1935, bất đẳng thức Hermite-Hadamard đượccông bố bởi Hermite-Hadamard vào những năm 1891 Những bất đẳng thứctrên đã nhận được quan tâm nghiên cứu và mở rộng của nhiều nhà toán họctrên thế giới (xem các tài liệu [7, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23]

và các tài liệu tham khảo trong các tài liệu đó) Theo như hiểu biết của chúngtôi, đã có một số luận văn thạc sĩ chuyên ngành phương pháp toán sơ cấp trìnhbày về bất đẳng thức tích phân [5], trong đó bất đẳng thức Hermite-Hadamardnhận được sự quan tâm hơn cả [1, 2, 3, 4, 6] Chẳng hạn, H.T.Q Liên [1] trìnhbày bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard cho hàm lồi khả vi Các bất đẳngthức dạng Hermite-Hadamard cho hàm r−lồi, lớp hàm mở rộng của hàm lồi,được trình bày trong luận văn thạc sĩ toán học chuyên ngành Phương phápToán sơ cấp bởi C.T.N Mai Bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard-Fejércho hàm p−lồi và tiền lồi bất biến được trình bày trong các tài liệu [3] và [6].Chú ý rằng các kết quả trên áp dụng cho một số lớp hàm lồi khả vi theo nghĩathông thường và tích phân là khả tích Riemann Tuy nhiên, việc áp dụng cáckết quả đó vào lập trình tính toán trên máy tính, ta phải xấp xỉ đạo hàm vàtích phân bằng các phương pháp thích hợp Điều này sẽ dẫn đến sai số trongkhi lập trình Một câu hỏi tự nhiên đặt ra là liệu có cách nào định nghĩa đạohàm mà không cần lấy giới hạn Một trong những câu trả lời đó chính là khái

niệm q−đạo hàm được đề xuất đầu tiên bởi Euler (1707-1783) và được trìnhbày một cách hệ thống trong cuốn sách chuyên khảo “Quantum Calculus” của

V Kac và P Cheung

Xét biểu thức dưới đây

và không lấy giới hạn ta sẽ thu được định nghĩa của q−đạo hàm (q−derivative)

chuyên khảo “Quantum Calculus” (Giải tích lượng tử) [14], các tác giả đã trìnhbày một cách hệ thống các định nghĩa và một số tính chất về q−đạo hàm,h−đạo hàm và q−tích phân Những năm gần đây, giải tích lượng tử đã nhậnđược sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học vì những ứng dụng của

nó trong vật lý [11, 18, 21, 22] Ngoài ra, nhiều bất đẳng thức tích phân quantrọng cũng được các nhà khoa học nghiên cứu và đề xuất trong các công bốgần đây trên các tạp chí quốc tế uy tín [21, 22]

Luận văn trình bày một số bất đẳng thức tích phân như bất đẳng thức fensen, bất đẳng thức Iyengar, bất đẳng thức Gr¨uss, bất đẳng thức Chebyshev

Stef-và bất đẳng thức dạng Hermite–Hadamard trên cơ sở đọc hiểu Stef-và trình bày lạimột cách hệ thống kết quả của H Gauchman [11] Luận văn gồm có 2 chươnggồm những nội dung sau:

Trong Chương 1, chúng tôi trình bày một số khái niệm và các tính chất quantrọng của q−đạo hàm, q−tích phân và q−tích phân chặt

Trong Chương 2, chúng tôi trình bày một số bất đẳng thức tích phân quantrọng như bất đẳng thức Steffensen, bất đẳng thức Iyengar, bất đẳng thứcGr¨uss, bất đẳng thức Chebyshev và bất đẳng thức dạng Hermite–Hadamardcho q−đạo hàm và q−tích phân chặt Ngoài việc đọc hiểu và trình bày lại mộtcách hệ thống kết quả của H Gauchman, chúng tôi còn sửa một số lỗi trongkết quả này Có thể nói đấy là một đóng góp mới của luận văn

Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học – Đại học TháiNguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Mai Viết Thuận Tôi xinđược bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa họccủa mình Người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn,tận tình dìu dắt và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài này.Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học – Đạihọc Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin cùng các giảng viên đãtham gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiêncứu.

Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu, cảm ơn những ngườibạn thân thiết đã chăm sóc động viên khích lệ tôi trong suốt quá trình nghiêncứu Sau cùng tôi xin kính chúc toàn thể quý thầy cô trường Đại học Khoahọc - Đại học Thái Nguyên thật dồi dào sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thựchiện sứ mệnh cao đẹp của mình là truyền đạt tri thức cho thế hệ mai sau Xinchân thành cảm ơn

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày định nghĩa của q−đạo hàm, q−tích phân và một sốtính chất cơ bản của nó Nội dung chính của chương này được tham khảo trongcuốn sách chuyên khảo của V Kac và P Cheung [14]

1.1 q−đạo hàm

Định nghĩa 1.1 ([14]) Cho f(x) là một hàm số thực q−sai phân của hàm

Từ Định nghĩa 1.1, ta tính được q−sai phân của tích hai hàm số thực

Bây giờ, ta định nghĩa q−đạo hàm

Định nghĩa 1.2 Cho f(x) là một hàm số thực q−đạo hàm (q−derivative)của hàm f(x) được định nghĩa bởi

Bây giờ, ta tính q−đạo hàm của hàm f(x) = xn, trong đó n là một sốnguyên dương Theo định nghĩa, ta có

Mệnh đề dưới đây cho ta một số quy tắc tính q−đạo hàm cơ bản

Mệnh đề 1.1 Cho a, b ∈ R, f(x), g(x) là hai hàm số thực Khi đó ta có:

(iii) Ta có f (x) = g(x).fg(x)(x).

Áp dụng (1.1), ta thu được

 f (x)g(x)

Do đó với n = 1, biểu thức (1.5) đúng Giả sử biểu thức (1.5) đúng với n = k,

Mệnh đề được chứng minh hoàn toàn

q.Trước hết, với m, n là hai số nguyên dương Ta chứng tỏ

trong đó n là một số nguyên dương

Mệnh đề dưới đây chứng tỏ công thức (1.6) đúng với m và n là hai số nguyênbất kỳ

Mệnh đề 1.3 Cho m và n là hai số nguyên Khi đó

hợp hoặc m = 0 hoặc n = 0 thì kết quả là hiển nhiên Ta xét 3 trường hợp sauđây:

Trường hợp n là số nguyên dương đã được chứng minh trong Mệnh đề 1.2 Ta

Mệnh đề 1.5 Cho n là một số nguyên Khi đó ta có các khẳng định sau đây:

q



(a−x)n+1q Chứng minh (i) Áp dụng (1.7), ta có

1.2 q−tích phân

1.2.1 q−nguyên hàm

Định nghĩa 1.4 Cho f(x) là một hàm số thực Hàm F (x) được gọi là một

Mệnh đề 1.6 Cho 0 < q < 1 Khi đó, bằng cách cộng thêm một hằng số, bất

kỳ hàm thực f (x) nào đều có nhiều nhất một q−nguyên hàm mà nó liên tụctại điểm x = 0

số Giả sử F (x) là một q−nguyên hàm của hàm f(x) Khi đó

Điều này chứng tỏ hàm f(u(x))D

Từ Định nghĩa 1.5, ta có công thức sau đây

với 0 ≤ α < 1 là một số nào đó Khi đó tích phân Jackson được định nghĩa bởicông thức 1.13 hội tụ đều đến hàm F (x) là một q−nguyên hàm của hàm f(x)trên nửa đoạn (0, A] Hơn nữa, F (x) liên tục tại điểm x = 0 với F (0) = 0

Vì 1 − α > 0 và 0 < q < 1 nên chuỗi số dương P∞

Điều này chứng tỏ rằng F (x) là một q−nguyên hàm của f(x)

Nhận xét 1.3 Giả sử các giả thiết của Định lý 1.1 được thỏa mãn Khi đótheo Mệnh đề 1.6 và Định lý 1.1, tích phân Jackson là q−nguyên hàm duynhất, sai khác một hằng số, của f(x) mà q−nguyên hàm này liên tục tại điểm

tại điểm x = 0 thì F (x) phải biểu diễn dưới dạng (1.13) cộng thêm 1 hằng sốnào đó Thật vậy, ta có

Sử dụng tính liên tục của hàm F (x) tại điểm 0, trong biểu thức trên cho

là một số nào đó trong Định lý 1.1 là không bỏ được Thật vậy, xét hàm

1.2.3 Định nghĩa và một số tính chất của q−tích phân

Trong mục này, ta sẽ sử dụng tích phân Jackson để định nghĩa q−tích phân.Định nghĩa 1.6 Cho 0 < a < b và f(x) là một hàm số thực Khi đó q−tíchphân được định nghĩa bởi

Nhận xét 1.5 Khi q −→ 1, q−tích phân trở thành tích phân Riemann tronggiải tích cổ điển, tức là

q j+1

Từ đó, ta định nghĩa q−tích phân suy rộng như sau:

Định nghĩa 1.7 q−tích phân suy rộng của hàm f(x) trên [0, ∞) được địnhnghĩa như sau:

Mệnh đề 1.7 Các q−tích phân suy rộng được định nghĩa trong các công thức

Từ đó suy ra, ta chỉ cần chứng minh Mệnh đề 1.7 trong trường hợp q < 1 là

đủ Theo Định lý 1.1, chuỗi đầu tiên trong công thức (1.26) hội tụ đều Bâygiờ, ta chứng minh chuỗi thứ hai trong công thức đó cũng hội tụ đều Thật

a

trong đó 0 ≤ a < b ≤ ∞

Tương tự, trong trường hợp b là hữu hạn, ta cũng có

rộng, ta dễ dàng chứng tỏ được công thức (1.28) đúng cho trường hợp b = ∞khi mà giới hạn lim

(x)liên tục tại điểm x = 0 Khi đó, ta có

a

(x) liên tục tại điểm

1.3 q−tích phân chặt (restricted definite q−integral)

Các khái niệm về q−tích phân trong mục 1.2 khó có thể áp dụng để nghiêncứu các bất đẳng thức tích phân Chẳng hạn cho hàm số thực f(x) ≥ 0, trong

chúng tôi trình bày một trường hợp đặc biệt của q−tích phân được trình bàytrong mục 1.2 Khái niệm này sẽ được sử dụng để nghiên cứu các bất đẳngthức tích phân trong Chương 2 của luận văn

Định nghĩa 1.8 Cho 0 < q < 1, b > 0 và n ∈ Z+ q−tích phân chặt của một

Nhận xét 1.7 Cho f(x) và g(x) là hai hàm số thực xác định trên [a, b] Sử

Nhận xét 1.8 Tích phân Riemann cổ điển có thể xem như là giới hạn của

b

và cho n −→ ∞, ta có q −→ 1 Do đó nếu ta cho f(x) là một hàm khả tích

Chương 2

Một số bất đẳng thức tích phân

trong giải tích lượng tử

Trong cả chương này, chúng tôi sử dụng khái niệm và các tính chất củaq−tích phân chặt được đề cập trong Mục 1.3 của Chương 1

2.1 Bất đẳng thức q−Steffensen và một số áp dụng

Trước hết, chúng tôi nhắc lại bất đẳng thức Steffensen đối với các hàm khảtích Riemann được trình bày trong cuốn sách chuyên khảo của D.S Mitronovi´ccùng các cộng sự [17]

Định lý 2.1 [17] Giả sử f và g là hai hàm số khả tích Riemann trên [a, b], f

là q−tăng hoặc là q−giảm trên [a, b]

Từ Định nghĩa 1.2 và Định nghĩa 2.1, ta suy ra hàm f(x) là q−tăng (tương

khi mà x ∈ [a, b] và qx ∈ [a, b] Ngoài ra, nếu hàm f là hàm tăng (giảm) thì fcũng là q−tăng (q−giảm).

Bất đẳng thức Steffensen cho q−tích phân chặt được cho trong định lý dướiđây

trên [a, b] Cho k, l ∈ {0, 1, , n} thỏa mãn

hợp F ≥ 0 Các trường hợp còn lại được chứng minh tương tự Vì hàm F (x)

với j = 0, 1, , n − l Từ giả thiết của Định lý, ta thu được ước lượng sau đây

Các trường hợp khác được chứng minh tương tự.

Nhận xét 2.1 Từ Nhận xét 1.8, khi cho q −→ 1, ta thu được bất đẳng thứcSteffensen cổ điển

Trước khi trình bày một vài ứng dụng của bất đẳng thức Steffensen choq−tích phân chặt, ta trình bày bổ đề sau đây.

Điều này chứng tỏ công thức (2.2) đúng với r = −1 Giả sử công thức (2.2)đúng với r Ta phải chứng tỏ công thức đúng với r + 1 Sử dụng tính chất (ii)trong Mệnh đề 1.5 và công thức q−tích phân từng phần, ta thu được

a

r q

r +1 q

r

qf)(a)(ck − a)

r +1 q

r +1 q

r

qf)(a)(ck − a)

r +1 q

[r]!



Bổ đề được chứng minh hoàn toàn.

[a, b] Giả sử k, l ∈ {0, 1, , n} thỏa mãn

q

.Khi đó

Do đó 0 ≤ G(x) ≤ 1 với x ∈ [a, b] Vậy F (x) và G(x) thỏa mãn các giả thiết

Từ Định nghĩa 2.2, ta thấy hàm f(x) là q−lồi khi và chỉ khi qf(x) − (1 +

Định lý dưới đây là một trường hợp riêng của Định lý 2.3

Định lý 2.4 Cho hàm f : [a, b] −→ R là q−lồi và q−đơn điệu Giả sử

q−tăng được chứng minh tương tự Với r = 0, ta có [r+2] = [2] = 1+q Khi đó

Mặt khác, từ giả thiết của Định lý 2.4, ta có

dễ dàng kiểm tra được 0 ≤ G(x) ≤ 1 Do đó F (x) và G(x) thỏa mãn các giảthiết trong Định lý 2.2 Ta lại có

Do đó hàm G(x) thỏa mãn đánh giá sau đây

Nhận xét 2.2 Tương tự như trong Nhận xét 1.8, cố định các số a, b và cho

thức (2.6) và (2.7), ta thu được bất đẳng thức sau đây

Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số ứng dụng tiếp theo của bất đẳng thứcq−Steffensen

Định lý 2.6 Cho f : [a, b] −→ R là một hàm và cho các số nguyên không âm

[r + 1]!

#,

r+1 q

Vậy điều kiện b − cl ≤Rb

(2.8) Sử dụng tính chất (ii) trong Mệnh đề 1.5, ta thu được ước lượng dướiđây

lượng (2.1) trong Định lý 2.2, ta thu được đánh giá (2.9) Đây chính là điềuphải chứng minh

Bất đẳng thức bên trên tương đương với

Cộng các vế của (2.13) và (2.14) với nhau và sử dụng ước lượng dưới dây

ta thu được ước lượng (2.12)

Giả sử f(x) là một hàm khả vi theo nghĩa thông thường trên đoạn [a, b] và

(x)| ≤ M , trong đó M là một hằng số dương Năm 1939, bằng cách tiếp cậnhình học, Iyengar [13] đưa ra bất đẳng thức sau đây và về sau được gọi là bấtđẳng thức Iyengar

Năm 1996, F Qi [20] đưa ra một mở rộng cho bất đẳng thức (2.15) bằng cách

sử dụng Định lý Rolle và định lý giá trị trung bình Lagrange Kết quả đó đượcphát biểu trong định lý dưới đây

Định lý 2.9 [20] Cho f(x) là hàm liên tục trên khoảng đóng [a, b] và khả vi

(x) ≤ M, ∀x ∈ (a, b) Nếu f (x) không làhàm hằng thì ta có bất đẳng thức dưới đây

(x) khả tích trên đoạn [a, b], một cách độc lập, Agarwal

và Dragomir thu được bất đẳng thức (2.16) bằng cách sử dụng bất đẳng thứcHayashi Agarwal và Dragomir [7] thu được bất đẳng thức dưới đây

(2.17)

Sau đó bất đẳng thức Iyengar được nhiều tác giả mở rộng Nhiều mở rộng thú

vị và quan trọng về bất đẳng thức này có thể xem trong các công trình củaX.L Cheng [9], I Franji´c cùng các cộng sự [10], X H Wang cùng các cộng sự[23]

Dưới đây chúng tôi trình bày một phiên bản của bất đẳng thức Iyengar chop−đạo hàm và p−tích phân chặt

Định lý 2.10 Cho m ≤ Dqf ≤ M , trong đó m < M Giả sử có các chỉ số

một số tính toán đơn giản ta thu được bất đẳng thức (2.18)

Nhận xét 2.3 Tương tự như trong Nhận xét 1.8, cố định các số a, b và cho

thức (2.17)

2.2 Bất đẳng thức q−Gr¨uss và một số áp dụng

Năm 1935, G Gr¨uss [12] đã chứng minh một bất đẳng thức thú vị và hữuích để ước lượng sự sai khác giữa tích phân của hai hàm và tích của tích phâncủa chúng Cụ thể hơn, cho f, g : [α, β] −→ R là hai hàm khả tích Riemann,

2

,

Sau đó kết quả này được mở rộng cho không gian hàm bởi X Li cùng cáccộng sự [16] Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày bất đẳng thức Gr¨uss choq−đạo hàm và q−tích phân dựa trên tài liệu [11]

Bổ đề dưới đây chính là bất đẳng thức Gr¨uss dạng rời rạc Chứng minh của

bổ đề này có thể tham khảo trong tài liệu [11]

Định lý dưới đây chính là bất đẳng thức Gr¨uss cho q−đạo hàm và q−tíchphân

Định lý 2.11 Cho F, G : [a, b] −→ R là hai hàm thực thỏa mãn m ≤ F(x) ≤

cho trước Khi đó, ta có bất đẳng thức sau đây

(2.20)

chứng minh tương đương với bất đẳng thức dưới đây

Theo Bổ đề 2.2, ta có ngay điều phải chứng minh.

Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số áp dụng của Định lý 2.11

Định lý 2.12 Cho r là một số nguyên không âm và cho f : [a, b] −→ R là

[r + 2]!

... Bất đẳng thức q−Chebyshev số áp dụng của

nó

Trước hết, chúng tơi nhắc lại bất đẳng thức Chebyshev cổ điển D.S Mitronovi´c,J.E Pe˘cari´c A.M Fink [17] đưa bất đẳng thức. .. Mitronovi´c, J.E Pe˘cari´c A.M Fink [17] đưa bất? ?ẳng thức Chebyshev dạng rời rạc

dấu xảy có hai dãy α β

số Bất đẳng thức (2.32) gọi bất đẳng thức Chebyshev dạng rời rạc

 ... đưa bất đẳng thức Chebyshev cho hàmgiải tích

Cho f, g : [α, β] −→ R hàm khả tích, f, g hàm tăng

Nhiều tài liệu gọi bất đẳng thức (2.31) bất đẳng thức Chebyshev

Ngoài ra, D.S