Về một số bất đẳng thức đối với hàm lồi tổng quát và áp dụng

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẨN THỊ TUYẾT LAN VÊ MỘT SÔ BAT ĐĂNG THỨC ĐÔI VỚI HÀM LỒI TỔNG QUÁT VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Đinh - 2020 TRẨN THỊ TUYẾT LAN VÊ MỘT SÔ BAT ĐĂNG THỨC ĐÔI VỚI HÀM LỒI TỔNG QUÁT VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 Người hướng dẫn PGS TS ĐINH THANH ĐỨC Mục lục Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn với đề tài Về số bất đẳng thức hàm lồi tổng qt áp dụng cơng trình nghiên cứu khoa học hướng dẫn PGS TS Đinh Thanh Đức, nội dung không chép chưa công bố hình thức nào, kết khơng phải riêng tơi trích dẫn nguồn gốc rõ ràng Bình Định, ngày tháng năm 2020 Học viên thực đề tài Trần Thị Tuyết Lan MỞ ĐẦU Các hàm lồi ([1], [3]) có nhiều tính chất đáng ý sử dụng rộng rãi nhiều lý thuyết ứng dụng thực tiễn, đặc biệt giải tích lồi tối ưu hố Các bất đẳng thức hàm lồi tổng quát ([10]) chủ đề hấp dẫn với nhiều kết phong phú thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu Trong năm gần đây, nhiều cơng trình nghiên cứu ứng dụng hướng để tiếp cận bất đẳng thức hàm lồi tổng quát áp dụng nhà tốn học tìm hiểu phát triển Để có nhìn chi tiết tổng kết kết đạt cho bất đẳng thức hàm lồi tổng quát áp dụng việc giải tốn có liên quan, tơi chọn đề tài “Về số bất đẳng thức hàm lồi tổng quát áp dụng” Hàm lồi tổng qt ([10]) có vai trị quan trọng nhiều lĩnh vực nghiên cứu toán lý thuyết toán ứng dụng Đặc biệt bất đẳng thức hàm lồi tổng qt có nhiều tính chất đặc biệt ứng dụng thực tiễn Hàm lồi đời vào cuối kỷ thứ 19 Những người đặt móng cho hàm lồi kể đến O Holder (1889), O Stolz (1893) J Hadamard (1893) Vào đầu kỉ 20, Jensen lần nhận thấy tầm quan trọng nghiên cứu cách có hệ thống hàm lồi Sau đó, hàm lồi bất đẳng thức hàm lồi tổng quát nhận nhiều quan tâm nghiên cứu phát triển mạnh mẽ, trở thành hướng nghiên cứu quan trọng giải tích tốn học Trong luận văn này, ta tổng kết số kết đáng lưu ý số bất đẳng thức hàm lồi tổng quát áp dụng Trình bày cách có hệ thống, chi tiết kiến thức số bất đẳng thức hàm lồi tổng quát áp dụng từ việc nêu định lý, chứng minh định lý áp dụng Luận văn bao gồm: Mở đầu, Nội dung, Kết luận, Tài liệu tham khảo Nội dung luận văn gồm ba chương Chương 1: Hàm lồi Chương trình bày định nghĩa hàm lồi, hàm lõm, ví dụ số tính chất hàm lồi Chương 2: Hàm lồi tổng quát Chương trình bày định nghĩa, tính chất, định lý hàm J-lồi, hàm Jlồi tổng qt sau chúng tơi giới thiệu định nghĩa tính chất, định lý hàm lồi tổng quát Chương 3: Một số bất đẳng thức áp dụng Chương trình bày nguyên lý trội, bất đẳng thức giao hoán, số bất đẳng thức khác suy từ nguyên lý trội bất đẳng thức giao hoán, cuối số áp dụng bất đẳng thức hàm lồi tổng quát Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn giúp đỡ tận tình thầy hướng dẫn PGS TS Đinh Thanh Đức, Trường Đại học Quy Nhơn Tôi xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ suốt trình học tập thực luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn q thầy giáo giảng dạy lớp cao học Tốn giải tích khóa 21 giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập thực đề tài Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến người thân, bạn bè giúp đỡ động viên để tơi hồn thành khóa học luận văn Mặc dù luận thực với nỗ lực cố gắng kiến thức thân, vàvăn kinh nghiệm điều nghiên kiện cứu thời gian hạn có chế hạn, nên trình luận độ văn khó ý góp tránh khỏi q thầy thiếu giáo sót để luận Tơi văn mong hồn nhận thiện Chương HÀM LỒI Hàm lồi có nhiều tính chất đặc biệt, thực hữu ích, đáng ý sử dụng nhiều lý thuyết ứng dụng thực tiễn, đặc biệt giải tích lồi tối ưu hóa Trong chương này, chúng tơi trình bày định nghĩa hàm lồi, lõm, ý nghĩa hình học, số ví dụ hàm lồi, lõm sau trình bày số tính chất thú vị chúng Các kiến thức chương chủ yếu tham khảo tài liệu tài liệu [1], [3], [6] 1.1 Định nghĩa Cho I c R khoảng (khoảng mở khoảng đóng nửa khoảng) Định nghĩa 1.1.1 (Hàm lồi hàm lõm) Một hàm f : I R gọi (i) lồi với a, b E I, t E [0,1] ta có f ((1 - t)a + tb) < (1 - t)f (a) + tf (b) (1.1) (ii) lồi ngặt với a, b E I, a = b, t E [0,1] ta có f((1-t)a+tb) (1 — t)f(a) + tf(b) (1.3) Nhận xét 1.1.2 (Ý nghĩa hình học hàm lồi) Từ định nghĩa hàm lồi hàm lõm, ta rút ý nghĩa hình học chúng sau: - Cho f hàm lồi, đoạn thẳng nối hai điểm thuộc đồ thị hàm số f (x) khơng nằm phía đồ thị f (x) - Cho f hàm lõm, đoạn thẳng nối hai điểm thuộc đồ thị hàm số f (x) khơng nằm phía đồ thị f (x) Thật vậy, hàm F(t) = (1 — t)f (a) + tf (b) với t E [0,1] hàm số đoạn thẳng nối hai điểm (a, f (a)) (b, f (b)) Từ Định nghĩa 1.1.1, ta suy F(t) > f((1 — t)a + tb) với t E [0,1] Do đó, đoạn thẳng F ln phía trùng đồ thị f [a, b] Nhận xét 1.1.3 Nếu hàm số f xác định R f lồi khoảng lõm khoảng khác Chẳng hạn, hàm số f (x) = sin(x) lồi khoảng (n; 2n) lõm khoảng (0; n) Chính người ta thường xét tính lồi, lõm hàm số khoảng I c R Ví dụ 1.1.4 Sau số ví dụ hàm lồi: Ví dụ 1.1.5 Sau số ví dụ hàm lõm: Sau định nghĩa hàm lồi khoảng, chúng tơi xem xét số tính chất mở, Xi,yi E J (i = 1, ,n) số thực thỏa mãn x >•••> Xn, • yi > •• > yn (3.14) cho p , • • • ,p E R cho n kk n piyi < pixi i=1 (k = 1, ,n - 1), i=1 Nếu f : J R hàm tựa lồi tăng n pi xii=1 = piyi (3.15) i=1 Ngược lại, x ,Vi E J (i = 1, , n) thỏa mãn (3.14) (3.16) với hàm tựa lồi f i : J R (3.15) Chứng minh Lấy g (f (xi), f (yi)) = max {f (xi), f (yi)} bất đẳng thức (3.7) (3.8) từ Định lý 3.2.1 ta suy điều cần chứng minh □ Từ Định lý 3.2.2 trình bày phần trước, bất đẳng thức (3.11) (3.12) tương đương nên ta xét bất đẳng thức (3.12) ta thu định lý tương đương sau: Định lý 3.3.2 Cho J c R khoảng mở, xi, Vi E J (i = 1, ,n) số thực thỏa mãn X1 >•••> Xn, V1 >•••> Vn (3.18) Khi đó, điều kiện cần đủ để nn f (x ) i >2 f( Vi) - nmax{f (a),f (b),g(f (a),f (b))} (3 19) n Từ Định lý 3.2.1, ta thay yi = • • • = y = n E x vào bất đẳng i=1 thức (3.8) ta n nn f (x ) i E - -1 i > 2nf I n E xi E maxíf (xi) ,f f i=1 \ i=1 15 nỊ i với hàm lồi tổng quát f : J R (J c R khoảng mở) liên hệ vòng tròn với hàm g : f (J) R Bất đẳng thức (3.21) khái quát bất đẳng thức Jensen cho hàm lồi Thật vậy, lớp hàm lồi ta lấy max {f (x ), f ( ), i i y g (f (xi), f (yi))} = Af (xi) + (1 - A)f (yi) với A E [0,1], từ (3.21) ta có bất đẳng thức Jensen Kết sau định lý tương tự Định lý 3.2.1 cho hàm lồi tổng quát tăng Định lý 3.3.3 Cho J c R khoảng mở, x ,y E J (i = 1, , n) số thực thỏa mãn i i kk yi < i=1 (3.23) xi (k = 1, , n) i=1 (3.22) X1 >••• > Xn, yi > ••• > yn, (3.24) nn n f (x ) i > 2f( Vi )- max {f (x ), f ( i Vi), g(f (xi), f (Vi))} Nếu f : J R hàm lồi tổng quát tăng với liên hệ vòng tròn với hàm g : f (J) n n f( i=1 yi) < i=1 n f (x ) i i=1 max {f (x ), f ( ), i i y g(f (xi), f (yi))} R i=1 i=1 i=1 (3.25) Ngược lại, Xi,y E J (i = 1, , n) thỏa mãn (3.22) (3.24) với hàm lồi tổng i quát với liên hệ vòng tròn f : J R (3.23) Định lý 3.3.4 Cho J c R khoảng mở, x ,y E J (i = 1, , n) số thực thỏa i i mãn X1 >•••> Xn, Vi >•••> Vn (3.26) Khi đó, điều kiện cần đủ để nn f (x ) i > 2f (Vi) - nmax{f(a),f(b),g(f(a),f(b))} i=1 (3 27) i=1 với hàm lồi tổng quát tăng f : J R liên hệ với hàm g : f (J) R (a,b E J a < x < b với i = 1, ,n), i kk Vi < i=1 x (k i = 1, ,n) (3 28) i=1 Định lý hoàn toàn tương tự với Định lý 3.2.2 với hàm lồi tổng quát tăng 3.4 Áp dụng Trong phần này, đưa số hệ kết trước nguyên lý trội 3.4.1 Bất đẳng thức mở rộng Lim a Bất đẳng thức Lim ([5]) Định lý 3.4.1 Cho a > 0, b > 0, c > a + b số thực, f : [0, TO) R hàm lồi liên tục Khi f(a) + f(b + c) > f(a + b) + f(c) (3.29) Chứng minh Từ Định lý 3.1.1 với n = 2, x = c, x = a + b, yi = b + c, y2 = a ta có f (x ) + f (x ) i 2 < f (yi) + f (y2) f (c) + f (a + b) < f (b + c) + f (a) f (a) + f (b + c) > f (a + b) + f (c) □ b Bất đẳng thức mở rộng Lim Định lý 3.4.2 Cho x > 0,y > 0, z > x + y số thực, f : R+ R hàm lồi tổng quát với liên hệ Khi f(x)+f(y+z) > 2[f(x+y)+f(z)]-2max{f(a),f(b),g(f(a),f(b))} với g : f O+) R mối liên hệ với f a,b G R+ (a< x,y+z< b) Chứng minh Áp dụng Định lý 3.3.2 với n = 2, x = y + z, x = x, y = z, y2 = x + y, ta có x1 > x2, y1 > x2 x1 > y1, x1 + x2 = y1 + x2 Vì f lồi tổng quát với liên hệ nên theo Định lý 3.3.2 ta suy f(y+z)+f(x) > 2[f(z) +f(x+y)]-2max{f(a),f(b),g(f(a),f(b))} với a, b E R+ (a < x, y + z < b) □ 3.4.2 Bất đẳng thức mở rộng Petrovic a Bất đẳng thức Petrovic ([5]) Định lý 3.4.3 Cho f : [0, a] R hàm lồi [0,a] (a G R,a > 0) n Lấy Xi £ [0, a] (i = 1, ,n) cho Xi £ [0, a] Khi i=1 nn s x +(n - 1)f (0) i i=1 f (x ) i i=1 > (3.30) n Chứng minh Nếu 52 Xi = suy Xi = với i = 1, , n Khi i =1 hiển nhiên ta có bất đẳng thức cần chứng minh n Trường hợp 52 Xi = 0, đặt i=1 x Xi a ii = n a , X j =i j 2i i i=1 n x i i=1 n Ta có a , a > a + a lồi nên = Hơn nữa, 52 Xi, £ [0, a] Vì f hàm i=1 1i 2i ta có f (Xi) = f 1i 2i f (Xi) = f ^ai^2 Xi + a2i0^ < aiif Vi = 1, n b Bất đẳng thức mở rộng Petrovic xộ + a2if (0) Định lý 3.4.4 Cho J c R khoảng mở, f : J R hàm lồi tổng quát với liên hệ Nếu a , ,a E J bất đẳng thức sau xác định i n f (ai + -+ an) + (n - 1)f (0) > > 2[f (ai) + ••• + f (an)] - n max{f (a),f (b),g(f (a),f (b))} với n E N, với g : f (J) R mối liên hệ với f a,b E J (a < -+ • • • -+ a , < b) n Chứng minh Khơng tính tổng qt, ta giả sử a > • • • > a Áp dụng Định lý 3.3.2 i n với x = a + • • • + a , x = 0(i = 2, , n), y = a (i = 1, , n), ta có i i n i i i Xi > • • • > Xn, yi > • • • > yn k k n 52y f (a )] - n max{f (a),f (b), (f (a),f (b))} > i + ••• + n g 2[f (a ) với a, b G J (a < a + • • • + a , < b) i n 3.4.3 Một bất đẳng thức hàm lồi tổng quát Định lý 3.4.5 Cho J c R khoảng mở, f : J R hàm lồi tổng quát với liên hệ Khi f(x) + f(y) + f(z) + 3f x+ y+ z i =i - f(x^+^) + f(y^) + với g : f (J) -6max {f (a),f (b), (f (a),f (b))} g R mối liên hệ với f a, b G J (a < x+y+z Chứng minh Không tính tổng quát, ta giả sử x — — — y — z , Áp dụng Định lý 3.3.2 với n = x = x, x = x = x = x+ y y x+y+z + +z x5 = y, x6 = z, y1 = y2 = y = y = ~ ~ * , y3 = y "> , x, ,z y < b) ta có X1 — ••• - x , yi — • • • — y6 k6 k èy i=1 < xi ( k = 1, , 5) , i=1 yi =sx i=1 i=1 f lồi tổng quát với liên hệ nên suy ('+y) + ‘C+01 'C+z) 22 với a, b G J (a < x, y, z < b) -6max{f(a),f(b),g(f(a),f(b))} f (x) + f (y) + f (z ) + 3/(x±f+^) — 3.4.4 Bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard a Bất đẳng thức Hermite-Hadamard ([3]) Định lý 3.4.6 Cho f : [a, b] , (^) < R hàm lồi [a, b] Khi ta có Jf* < iXifi Chứng minh Vì f hàm lồi [a, b] nên ta có (3.31) f (ta + (1 - t)b) < tf (a) + (1 - t)f (b)với t E [0,1] Lấy tích phân theo t [0,1] ta ỉ f (t- + (1 — t)b)dt < f (a) [ tdt + f (b) ỉ (1 — t)dt 000 f1 _ , ■■-■'2 x f (ta + (1 — t)b)dt 1_ x*y với y E R Nếu a < b (a,b E J) p a 2f (ai+^) - max{f(X),f(P^g(f (X),f (p))} < b—ã/a f (x)dx < < max{f(a),f(b),g(f(a),f(b))} (3.32) với n E N, với g : f (J) R X, p E J Chứng minh Vì f hàm lồi tổng quát với liên hệ nên ta có f (ta + (1 - t)b) < max{f (a),f (b),g(f (a),f (b))} với t E [0,1] Lấy tích phân theo t [0,1] ta f(ta+(1-t)b)dt- max{f(a),f(b),g(f(a),f(b))} Đổi biến x = ta + (1 — t)b ta ba f(x)dx - max{f(a), f(b), g(f(a), f(b))} Vì g (a,b) f (x)) > x*y nên từ Định lý 3.38 ta có p f(ta+(1— t)b) y > 2f (x)+x*(ta+(1— t)b—x)—max{f(X),f(p),g(f (X),f(p))} với t E [0,1] X, p E J Lấy tích phân theo t [0,1] ta f (ta+(1— t)b)dt > 2f (x)+x* Thay x = f(ta + (1 — t)b)dt a+b > 2f (a a+b ta +- a+b pg ) — max{f(X),f( ), (f (X),f( ))} p —max{f (X),f ( ), (f (X),f ( ))} pg p Đổi biến x = ta + (1 — t)b ta b—a f(x)dx >2f(2) — max{f(A^f(p),g(f(A),f(p))} □ Hình 3.1: 3.4.5 Bất đẳng thức liên hệ hàm lồi hàm lồi tổng quát Chú ý tập hàm lồi hàm tựa lồi tập tập hàm lồi tổng quát Xem hình 3.1, 3.2 Ký hiệu GK(J) lớp tất hàm lồi tổng quát với liên hệ K(J) lớp tất hàm lồi khoảng mở J c R Định lý 3.4.8 (Mối quan hệ GK(J) K(J)) Cho J c R khoảng mở, x ,y E J i i (i = 1, , n) số thực cho X1 > • • • > x , y > • • • > y , p , ,p E R n n số không âm thỏa mãn với hàm lồi tổng quát với liên hệ f : J R bất đẳng thức sau n 3.4.6 Bất đẳng thức trung bình Định lý 3.4.9 (Bất đẳng thức trung bình số học) Cho a = (a , , an) E R , a > với i n i = 1, ,n Khi + • • • + a n n gọi trung bình số học a, min{a1, , an} < M(a) < max{a1, , an} Định nghĩa 3.4.10 (Trung bình có trọng [12]) Cho F hàm đơn điệu nghiêm ngặt khoảng J c R Cho p , ,p số không âm cho P1 + + p > 0, bất n n kỳ a , , a E F(J) Biểu thức n Mn(F; a,p) = F -p A (tti) (3.35) p i=1 i gọi trung bình có trọng a = (a , , a ) với trọng số p= n (p1, ,pn) Từ định nghĩa trung bình có trọng ta có bất đẳng thức sau: Định lý 3.4.11 Cho J c R khoảng, hàm F,G : J R đơn điệu nghiêm ngặt, F(J) = G(J), hàm G (F) J-lồi tổng quát Nếu G hàm giảm có hàm -1 d : J J cho n Mn(F; a,p) > {«1, ,a ,G (d (G (ai), , G (an)))} (3.36) với n E N, với -1 n -1 a , ,a E F(J), với p , ,p E R+ cho P1 + + Pn > n n Nếu G hàm tăng có hàm g : J J cho n Mn(F; a,p) < max {«1, ,an, G (g (G («1), , G (an)))} (3.37) với n E N, với -1 -1 a , ,a E F(J), với P1, ,p E R+ cho p + • • • + p > n n n Chúng tơi trình bày bất đẳng thức khái quát cho bất đẳng thức trung bình Cho F đơn điệu ngặt khoảng D c R, n E N, I tập {1, ,n}, a , , a E F(D), p , ,p > cho p + • • • + p > Nếu H : F(D) n n n R hàm liên tục đặt a(H; F; a,p,I) = H ◦ F AEiEi piF V -1 (a ) A i EiEi pi (3.38) Định lý 3.4.12 Nếu hàm F liên tục hàm H(F) J-lồi tổng quát I, J tập khác {1, ,n} có hàm g : H(F) R cho a(F, I u J) < max{a(F, I), a(F, J),g(a(F, I), a(F, J))} (3.39) a(F,I) = a(H; F; a,p,I) với a,p cố định Nếu H(F) J-lõm tổng quát có hàm d : H(F) R cho a(F, I u J) > min{a(F, I), a(F, J), d(a(F, I),a(F, J))} (3.40) KÊT LUẬN Trong luận văn trình bày số bất đẳng thức hàm lồi tổng quát áp dụng cụ thể là: Trình bày số kiến thức hàm lồi: khái niệm hàm lồi, hàm lõm, ý nghĩa hình học, ví dụ minh họa, số tính chất hàm lồi Trình bày khái niệm hàm J-lồi, J-lồi tổng quát số tính chất hàm J-lồi, J-lồi tổng quát Sau trình bày hàm lồi tổng qt: khái niệm, tính chất, đặc trưng Trình bày nguyên lý trội, bất đẳng thức giao hoán, số bất đẳng thức khác suy từ nguyên lý trội bất đẳng thức giao hoán, cuối số áp dụng bất đẳng thức hàm lồi tổng quát DANH MỤC TÀI LIẸU THAM KHAO [1] A Wayne Roberts, Dale E Varberg (1973), Convex Functions, London: Academic Press [2] A W Marshal, I Olkin and B C Arnold, Inequalities (2011), Theory of Majorization and Its Applications, 2nd Edition, Springer-Verlag [3] Constantin P Niculescu, Lars-Erik Persson (2006) Convex Functions and Their Applications A Contemporary Approach, Springer Sci- ence+Business Media, Inc [4] D S Mitrinovic (1970),Analytic Inequalities, Springer Verlag, Berlin and New York [5] Marek Kuczma, An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities, 2009 [6] Martin Munoz (2010), Rademacher's Theorem [7] M R Taskovicc, Nonlinear Functional Analysis, (Fundamental Elements of Theory) First Book: Monographs, Zavod za udzbenike i nastavna sredstva, Beograd 1993, 792 p.p., (Serbo-Croation) English summary: Comments only new main results of this book, Vol (1993), 713-752 [8] M R Taskovic, Nonlinear Functional Analysis, Second Book, Monographs-Global Convex Analysis: General convexity, Variational methods and Optimization, Zavod za udcbenike i nastavna sredstva and Vojnoizdavacki zavod, Beograd 2001, (In Serbian) [9] M R Taskovicc (2005), Theory of transversal point, spaces and forks, Fundamental Elements and Applications, Monographs of a new mathematical theory, VIZ-Beograd, (In Serbian) English summary: 1001-1022 [10] M R Taskovicc (2012), Inequalities of General Convex Functions and Applications, Mathematica Moravica, Vol 16-1, 37-116 [11] R.N Mukherjee L.V Reddy (2001), Semi continuity and generalized convex functions, 77-84 [12] P S Bullen (1987), Handbook of Means and TheirInequalities, Kluwer Academic Publishers ... thiệu về: hàm J -lồi tổng quát, số tính chất bất đẳng thức hàm J -lồi tổng quát; hàm lồi tổng quát đặc trưng Chương MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ ÁP DỤNG Chương này, chúng tơi trình bày ngun lý trội, bất. .. Một số bất đẳng thức áp dụng Chương trình bày nguyên lý trội, bất đẳng thức giao hoán, số bất đẳng thức khác suy từ nguyên lý trội bất đẳng thức giao hoán, cuối số áp dụng bất đẳng thức hàm lồi. .. 3.4.5 Bất đẳng thức liên hệ hàm lồi hàm lồi tổng quát Chú ý tập hàm lồi hàm tựa lồi tập tập hàm lồi tổng quát Xem hình 3.1, 3.2 Ký hiệu GK(J) lớp tất hàm lồi tổng quát với liên hệ K(J) lớp tất hàm