Phân tích dao động tự do vỏ trụ tròn bằng vật liệu rỗng theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất

Bài viết sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) của Reissner-Mindlin để xây dựng lời giải tích phân tích dao động tự do của vỏ trụ tròn làm bằng vật liệu rỗng, tựa khớp trên hai cạnh biên. Mô đun đàn hồi và khối lượng riêng của vật liệu được giả thiết là hàm số của lỗ rỗng, biến đổi trơn và đối xứng theo phương chiều dày vỏ.

Vietnam J Agri Sci 2020, Vol 18, No 8: 649-658 Tạp chí Khoa học Nơng nghiệp Việt Nam 2020, 18(8): 649-658 www.vnua.edu.vn PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DO VỎ TRỤ TRÒN BẰNG VẬT LIỆU RỖNG THEO LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC NHẤT Dương Thành Huân1*, Trần Hữu Quốc2, Hồ Thị Hiền2 Khoa Cơ - Điện, Học viện Nông nghiệp Việt Nam Khoa Xây dựng Dân dụng Công nghiệp, Trường Đại học Xây dựng * Tác giả liên hệ: dthuan@vnua.edu.vn Ngày nhận bài: 14.04.2020 Ngày chấp nhận đăng: 20.07.2020 TÓM TẮT Bài báo sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc (FSDT) Reissner-Mindlin để xây dựng lời giải tích phân tích dao động tự vỏ trụ tròn làm vật liệu rỗng, tựa khớp hai cạnh biên Mô đun đàn hồi khối lượng riêng vật liệu giả thiết hàm số lỗ rỗng, biến đổi trơn đối xứng theo phương chiều dày vỏ Hệ phương trình chuyển động vỏ trụ tròn thiết lập theo nguyên lý Hamilton Độ tin cậy lời giải kiểm chứng qua so sánh kết số với kết cơng bố cho trường hợp vỏ trụ trịn vật liệu đẳng hướng Mặt khác, ảnh hưởng mật độ lỗ rỗng tham số kích thước hình học đến tần số dao động tự vỏ trụ trịn khảo sát phân tích nghiên cứu Từ khóa: Dao động riêng, vật liệu rỗng, vỏ trụ tròn, lý thuyết biến dạng cắt bậc Free Vibration Analysis of Functionally Graded Porous Circular Cylindrical Shell Based on the first Shear Deformation Theory ABSTRACT In this paper, an analytical solution based on the first-order shear deformation theory (FSDT) is used for the free vibration analysis of the circular cylindrical shell made of porous materials The cylindrical shell is simply supported at two ends The elasticity moduli and mass density of porous materials are assumed to be graded in the thickness direction according to symmetric distribution types Based on Hamilton’s principle, the equations of motion are derived To verify the reliability of the present solution, the comparisons between the obtained results and the availably published literature are performed for the isotropic cylindrical shell, and very good agreement is observed The effect of porosity coefficient and geometrical parameters on natural frequencies of the shell are also investigated and discussed in details Keywords: Free vibration analysis, porous material, cylindrical shell, first-order shear deformation theory ĐẶT VẤN ĐỀ Vật liệu rỗng (porous materials) loại vật liệu có cấu trúc gồm thành phần dạng rắn thành phần dạng lỗ rỗng Trong đó, lỗ rỗng chủ động phân bố theo quy luật nhằm đạt tính chất học mong muốn người thiết kế Do có trọng lượng nhẹ, kết cấu vật liệu rỗng sử dụng nhiều lĩnh vực công nghiệp: hàng không, chế tạo ô tô, tàu biển, xây dựng dân dụng,… Mặt khác, nhờ tính chất hấp thụ lượng vật liệu rỗng nên vật liệu sử dụng để cách âm, cách nhiệt chế tạo cấu kiện chịu tải trọng động, tải trọng va chạm Do đó, việc nghiên cứu ứng xử học kết cấu vật liệu rỗng đề tài thu hút quan tâm nhà khoa học nước Chen & cs (2016) sử dụng lý thuyết dầm Timoshenko để phân tích dao động riêng dao động cưỡng dầm làm vật liệu rỗng có 649 Phân tích dao động tự vỏ trụ tròn vật liệu rỗng theo lý thuyết biến dạng cắt bậc tính biến thiên Sự phân bố mật độ lỗ rỗng theo chiều dày tác giả khảo sát với hai quy luật: đối xứng bất đối xứng Mojahedin & cs (2016) phân tích ổn định trịn vật liệu rỗng sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT) Rezaei & Saidi (2015) đưa lời giải xác sở lý thuyết biến dạng cắt bậc ba Reddy để phân tích dao động riêng dày vật liệu rỗng với điều kiện biên khác Gupta & Talha (2018) xây dựng lời giải số sở phương pháp phần tử hữu hạn (sử dụng phần tử C liên tục với nút, 72 bậc tự phần tử) để phân tích ổn định vật liệu rỗng có tính biến thiên mơi trường nhiệt độ Li & cs (2019) đưa lời giải bán giải tích sở phương pháp lượng lý thuyết biến dạng cắt bậc (FSDT) để phân tích dao động vỏ trụ trịn làm vật liệu rỗng có tính biến thiên, vỏ trụ xét với điều kiện biên Ahmadi & Foroutan (2020) sử dụng lời giải bán giải tích phương pháp giải tích để phân tích tĩnh động lực học phi tuyến ứng xử ổn định môi trường nhiệt vỏ trụ trịn nhiều lớp khơng hồn hảo, lớp lõi làm vật liệu rỗng có tính biến thiên Một nghiên cứu khác liên quan đến vật liệu rỗng thực Trần Minh Tú & cs (2018) Bài báo sử dụng lý thuyết cắt bậc (FSDT) Reissner-Mindlin để phân tích dao động riêng chữ nhật làm vật liệu rỗng với hai dạng phân bố (đối xứng bất đối xứng) Dựa lý thuyết vỏ Love, kỹ thuật san tác dụng gân, với việc áp dụng nguyên lý Hamilton, Nguyễn Văn Lợi & cs (2018) xây dựng phương trình chuyển động vỏ trụ trịn FGM có gân gia cường, có biên tựa khớp hai đầu vỏ Đặng Xuân Hùng & Hương Quý Trường (2018) sử dụng lý thuyết biến dạng cắt khác để phân tích dao động riêng dầm sandwich đàn hồi Trong đó, cấu trúc vật liệu theo chiều dày với ba lớp gồm: hai lớp vật liệu lớp có tính biến thiên (FGM) mặt mặt lớp vật liệu rỗng (FG porous) Tuy nhiên, nghiên cứu công bố ứng xử động kết cấu vỏ trụ tròn làm 650 vật liệu rỗng hạn chế Do vậy, báo thiết lập lời giải giải tích cho tốn dao động tự vỏ trụ tròn làm vật liệu rỗng theo lý thuyết biến dạng cắt bậc (FSDT) Dạng nghiệm theo Navier lựa chọn để xấp xỉ thành phần chuyển vị vỏ trụ tròn tựa khớp hai cạnh biên Tần số dạng dao động vỏ nhận thông qua việc giải phương trình trị riêng Độ tin cậy mơ hình lời giải minh chứng cách so sánh kết tính tốn với kết cơng bố tác giả khác Ngồi ra, ảnh hưởng mật độ lỗ rỗng cáckích thước hình học đến tần số dao động riêng vỏ trụ tròn thực nghiên cứu MƠ HÌNH VỎ TRỤ TRỊN BẰNG VẬT LIỆU RỖNG Xét vỏ trụ trịn có chiều dài L, bán kính R, chiều dày h hệ tọa độ xz hình Mặt phẳng trung bình mặt phẳng Ox z phương chiều dày vỏ Vỏ làm vật liệu rỗng có tính biến đổi theo quy luật hàm phân bố lỗ rỗng dạng đối xứng (Chen & cs., 2016) sau:  z E(z)  E1 [1  e0 cos( )] h   z G(z)  G1 [1  e0 cos( ) ] h   z (z)  1 [1  em cos( )] h  (1) Trong đó, E1, G1, 1 giá trị lớn mô đun đàn hồi kéo - nén, mô đun đàn hồi trượt khối lượng riêng Các hệ số rỗng e0 cho mô đun đàn hồi hệ số rỗng em cho khối lượng riêng tính sau: e0   em   E1 E2 1 2 1 G1 G2 (2)    e0 Trong đó, E2, G2, 2 giá trị nhỏ tương ứng mô đun đàn hồi kéo - nén, mô đun đàn hồi trượt khối lượng riêng Từ đồ thị biến thiên mô đun đàn hồi kéo - nén vật Dương Thành Huân, Trần Hữu Quốc, Hồ Thị Hiền liệu rỗng minh họa hình cho thấy theo qui luật phân bố lỗ rỗng đối xứng giá trị lớn số vật liệu đạt mặt mặt vỏ, giá trị nhỏ đạt mặt trung bình nơi có mật độ lỗ rỗng lớn PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DO VỎ TRỤ TRÒN THEO FSDT 3.1 Các thành phần chuyển vị, biến dạng Theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất, chuyển vị điểm vỏ giả thiết sau (Reddy, 2006): u(x, , z, t) = u0(x, , t) + zx(x, , t) v(x, , z, t) = v0(x, , t) + z(x, , t); (3) w(x, , z, t) = w0(x, , t) Trong đó, u0, v0, w0 thành phần chuyển vị điểm mặt trung bình theo phương x, , z; x,  góc xoay pháp tuyến mặt trung bình quanh trục , x Các thành phần biến dạng suy từ trường chuyển vị thông qua biểu thức quan hệ chuyển vị - biến dạng, biểu diễn dạng: T     T  z  (4) Trong đó, {}, {0}, {} thể theo công thức (5) E1, G1, 1 E2, G2, 2 E1, G1, 1 h/ h/ Hình Vỏ trụ trịn làm vật liệu rỗng Hình Mơ đun đàn hồi kéo (nén) thay đổi theo qui luật phân bố lỗ rỗng đối xứng 651 Phân tích dao động tự vỏ trụ tròn vật liệu rỗng theo lý thuyết biến dạng cắt bậc theo công thức (8) Với k = 5/6 hệ số hiệu chỉnh cắt 3.2 Các thành phần ứng suất, nội lực Quan hệ ứng suất - biến dạng vỏ trụ tròn vật liệu rỗng theo công thức (6) (Reddy, 2006) Trong đó, Q11, Q22, Q12, Q21, Q44, Q55, Q66 biểu diễn theo công thức (7) Quan hệ ứng lực - chuyển vị biểu diễn tổng qt theo cơng thức Trong đó: Aij, Bij, Dij, A44, A55 biểu theo công thức (10); Qij cho biểu thức phương trình (7) Các thành phần nội lực vỏ trụ tròn xác định theo biểu thức định nghĩa    xx     ,   ,  x ,  xz ,  z xx , 0 , 0x ,  0xz ,  0yz T  T   u v w u v w w v   0,  ,  ,  x ,     x R R   x R R R x    ,  ,  x  x T  , 0,  x      x, ,  , 0,   x R R x  T (5) T xx  Q (z) Q (z) 0  xx  12    11   0      Q21 (z) Q22 (z)      Q66 (z) 0    x   [Q]  x         0 Q44 (z)    xz  xz       0 0 Q55 (z)   z   z    Q11 (z)  E(z) 1 ; Q22(z) = Q11(z); Q12 (z)  N xx    N      N x   xx      dz; h    x  2 N xx    N     N x  M   xx     M   M   x  Q   xz  Q z   A 11   A 12   B  11  B12       h ij 652 ; Q21(z) = Q12(z); Q44  Q55  Q66  B12 0 A 11 B12 B11 0 A 66 0 B66 B12 D11 D12 0 B11 D12 D11 0 B66 0 D66 0 0 0 A 44 0 0 0  h  Q zdz; D ij h  ij   (7) (8) 0   xx            0x     x            x        0xz    A 55      z  (9) h 2  Q z dz; A ij h   1 B11 ij E(z) h   Qxz   xz     k   dz Q h    z    z  h  Q dz; B h   xx      zdz; h    x   h 1 A 12 h A ij   M xx     M       M x  E(z) (6) 44  A 55  k  Q44 dz h  (10) Dương Thành Huân, Trần Hữu Quốc, Hồ Thị Hiền 3.3 Hệ phương trình chuyển động theo thành phần chuyển vị vỏ trụ tròn Thay thành phần ứng suất, biến dạng chuyển vị vào nguyên lý Hamilton, sau thực tích phân phần biến đổi thu hệ phương trình chuyển động vỏ trụ sau (Bahadori & Najafizadeh, 2015): u : v :   u0  x N x   I0  I R  t t  2 v0   N  Q z   I0  I R  R t t2 N xx x N x x  w0 Qz N  w :    I0 x R  R t Q xz (11)  u0  x M x  x :   Q xz  I1  I x R  t t M xx 2  v0   M  M x  :   Q z  I1  I2 R  x t t Trong đó, thành phần mơ men qn tính tính theo cơng thức: h I0 , I1 , I2   (1, z, z 3.4 Dạng nghiệm Navier cho vỏ trụ tròn vật liệu rỗng Xét vỏ trụ tròn vật liệu rỗng có kích thước hình học hình 1, liên kết khớp hai cạnh biên Hàm chuyển vị cần tìm thỏa mãn điều kiện biên lựa chọn giả thiết dạng chuỗi lượng giác kép có dạng:    u cos(  x )sin(n  ).e imn t mn sin( x)cos(n).e imn t 0mn m 1 n     v m 1 n 1    w w0 (x, ,t)  0mn sin( x)sin(n).e imn t (13) m 1 n 1  x (x, ,t)  mn sin( x)cos(n).e imn t m 1 n 1 m với m, n số nửa bước L sóng hình sin theo phương x, ; mm tần số dao động riêng (tần số góc) tương ứng với dạng dao động (m, n) đó:   Thay biểu thức (13) vào (4), (5), sau thay vào (9), tiếp đến thay vào hệ phương trình chuyển động (11), thực biến đổi, rút gọn nhận hệ phương trình trị riêng dạng rút gọn sau: [S] 5  2 [M]55 u 1 T   (14) 1 đó: [S] ma trận hệ số độ cứng, [M] ma trận khối lượng u  u 0mn v 0mn w 0mn 0xmn 0 mn T  (15) Giải tốn tìm trị riêng phương trình [S] - 2[M] = thơng qua việc sử dụng phần mềm Matlab tìm tần số dao động riêng mm dạng dao động vỏ trụ tròn làm vật liệu rỗng KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN Trong nghiên cứu này, hệ phương trình chuyển động (11) giải cách áp dụng nghiệm Navier cho trường hợp vỏ trụ tròn có hai đầu liên kết tựa khớp v (x, ,t)     (12) )dz h  u (x, , t)    (x, ,t)     0xmn m 1 n 1 cos( x)sin(n).e imn t 4.1 Ví dụ kiểm chứng Để kiểm chứng độ tin cậy mơ hình lý thuyết chương trình máy tính thiết lập, ví dụ so sánh thực Kết tính toán tần số dao động riêng vỏ trụ chương trình thiết lập so sánh với kết thu theo phương pháp Ritz tác giả Loy & cs (1999) Trong ví dụ này, 10 tần số   không thứ nguyên   .R   1 / E1 nhỏ vỏ trụ tròn làm vật liệu đồng chất, đẳng hướng với điều kiện biên tựa khớp hai đầu tính tốn so sánh bảng Vỏ trụ có chiều dày h = 0,01 (m), tỷ số chiều dày bán kính h/R = 0,01, tỷ số chiều dài bán kính trụ L/R = 20, mơ đun đàn hồi kéo-nén E = 380 × 109 (Pa), khối lượng riêng  = 8.166 (kg/m3) hệ số Poisson  = 0,3 Ví dụ kiểm chứng tính tốn chương trình thiết lập nghiên cứu cho hệ số e0 = 653 Phân tích dao động tự vỏ trụ trịn vật liệu rỗng theo lý thuyết biến dạng cắt bậc Bảng Bảng so sánh tần số dao động riêng khơng thứ ngun  vỏ trụ trịn Mơ hình Loy & cs (1999) Bài báo (FSDT) Sai lệch (%) 0,016102 0,016102 0,00 0,009387 0,009387 0,00 0,022108 0,022105 0,01 0,042096 0,042085 0,03 0,068008 0,067978 0,04 0,099730 0,099665 0,06 0,137239 0,137117 0,09 0,180527 0,180317 0,12 0,229594 0,229254 0,15 10 0,284435 0,283916 0,18 n Bảng Ảnh hưởng mật độ lỗ rỗng e0 đến m Hệ số mật độ lỗ rỗng e0 n 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 0,0161 0,0158 0,0153 0,0147 0,0142 0,0140 0,0094 0,0093 0,0092 0,0092 0,0092 0,0097 0,0221 0,0221 0,0220 0,0222 0,0226 0,0241 0,0421 0,0420 0,0420 0,0422 0,0431 0,0460 0,0680 0,0679 0,0678 0,0682 0,0696 0,0743 0,0591 0,0581 0,0562 0,0541 0,0521 0,0514 0,0220 0,0217 0,0210 0,0204 0,0198 0,0198 0,0242 0,0241 0,0240 0,0240 0,0243 0,0257 0,0426 0,0425 0,0425 0,0427 0,0436 0,0464 0,0683 0,0681 0,0681 0,0685 0,0699 0,0746 Kết so sánh bảng cho thấy xác độ tin cậy mơ hình chương trình mà nghiên cứu thực Sự chênh lệch lớn 0,18% tần số tương ứng với (m, n) = (1, 10) Đây sở để nghiên cứu tiếp tục khảo sát ví dụ số 4.2 Một số ví dụ khảo sát Trong phần này, báo thực số ví dụ số cụ thể để khảo sát ảnh hưởng mật độ lỗ rỗng e0 tham số kích thước hình học đến tần số dao động riêng vỏ trụ tròn Vỏ trụ tròn xét phần làm vật liệu rỗng, tựa khớp hai cạnh biên, chiều dày h = 0,01 (m), mô đun đàn hồi lớn 654  vỏ trụ trịn E1 = 380 × 109 (Pa), thơng số khác trình bày ví dụ cụ thể 4.2.1 Ảnh hưởng mật độ lỗ rỗng (e0) Trong ví dụ này, năm tần số dao động riêng không thứ nguyên  vỏ trụ có h/R = 0,01, L/R = 20 tính tốn với mật độ lỗ rỗng e0 thay đổi từ đến 0,9 trình bày bảng Từ kết tính cho thấy mật độ lỗ rỗng e0 tăng lên làm cho tần số dao động riêng trụ thay đổi, nhiên thay đổi tần số dao động ứng với dạng dao động khác lại khác Sự thay đổi biểu diễn rõ đồ thị hình Dương Thành Huân, Trần Hữu Quốc, Hồ Thị Hiền 15 (m=1, n=1) (m=1, n=2) (m=1, n=3) (m=1, n=4) (m=1, n=5) 10 ktn -5 -10 10 15 20 25 30 35 40 45 Hình Biến thiên tần số dao động riêng khối lượng riêng vỏ trụ Trong đó, đại lượng hình tính theo cơng thức sau: ktn  h h     e  e e 0 100% 0 h (z)e h h   (16) dz   2h (z)e dz 0  (z)e 0 100% dz Công thức (16) cho thấy mật độ lỗ rỗng tăng lên làm cho độ cứng kết cấu giảm đồng thời làm cho khối lượng kết cấu giảm Cụ thể, mật độ lỗ rỗng e0 tăng từ đến 0,9 làm cho khối lượng riêng vỏ trụ giảm tương ứng đến xấp xỉ 45% Đồ thị Hình quan hệ giảm khối lượng giảm độ cứng khơng tuyến tính, tùy theo trường hợp cụ thể, dạng dao động xét thay đổi tần số có qui luật khác 4.2.2 Ảnh hưởng tỉ lệ kích thước vỏ (L/R) Vỏ trụ trịn xét ví dụ có mật độ phân bố lỗ rỗng e0 = 0,5 Kết tính tần số dao động riêng không thứ nguyên  tương ứng với tỷ lệ h/R L/R trình bày bảng Kết tính trình bày bảng cho thấy tỷ lệ chiều dài so với bán kính trụ L/R tăng lên làm cho tần số dao động riêng trụ giảm Độ giảm tần số khoảng giá trị tỷ số L/R từ đến 12 lớn, sau tần số dao động trụ giảm chậm dần tỷ số L/R tiếp tục tăng lên Các dạng dao động khác có tỷ lệ giảm tần số khác 4.2.3 Ảnh hưởng tỉ lệ chiều dày/bán kính vỏ (h/R) Ảnh hưởng tỷ số h/R đến dao động vỏ trụ làm vật liệu rỗng nghiên cứu biểu diễn hình Trong ví dụ này, thơng số khác trụ lựa chọn sau: L/R = 10, e0 = 0,5, m = 1, (n = 1, 2,…, 5) Đồ thị hình rằng, với mật độ lỗ rỗng chiều dày vỏ trụ nói riêng kết cấu nói chung tăng lên làm cho độ cứng kết cấu tăng lên, quan hệ tần số  tỷ lệ h/R theo qui luật đường thẳng phù hợp với giới hạn phân tích tuyến tính nghiên cứu 4.2.4 Một số dạng dao động riêng (mode) vỏ trụ tròn Bên cạnh việc tính tốn tần số việc xác định biểu diễn hình dạng kết cấu dao động có ý nghĩa kỹ thuật u cầu tốn phân tích dao động tự kết cấu Trong nghiên cứu này, số dạng dao động vỏ trụ tròn làm vật liệu rỗng có liên kết khớp hai đầu xác định trình bày hình 655 Phân tích dao động tự vỏ trụ trịn vật liệu rỗng theo lý thuyết biến dạng cắt bậc Bảng Ảnh hưởng tỉ lệ L/R đến h/R n 0,05 0,08 0,10  vỏ trụ tròn (m = 1) Tỉ lệ L/R 10 12 15 17 20 0,1707 0,0541 0,0389 0,0256 0,0202 0,0148 0,0818 0,0440 0,0416 0,0401 0,0397 0,0393 0,1194 0,1109 0,1104 0,1100 0,1098 0,1097 0,2150 0,2103 0,2098 0,2095 0,2094 0,2093 0,3418 0,3376 0,3372 0,3369 0,3367 0,3366 0,1708 0,0542 0,0389 0,0257 0,0202 0,0148 0,0979 0,0662 0,0643 0,0631 0,0628 0,0624 0,1847 0,1758 0,1751 0,1746 0,1744 0,1742 0,3385 0,3319 0,3313 0,3308 0,3306 0,3304 0,5355 0,5293 0,5287 0,5282 0,5280 0,5278 0,1709 0,0543 0,0390 0,0257 0,0203 0,0149 0,1104 0,0813 0,0796 0,0784 0,0780 0,0777 0,2277 0,2181 0,2173 0,2167 0,2164 0,2162 0,4177 0,4100 0,4092 0,4086 0,4083 0,4081 0,6574 0,6500 0,6492 0,6486 0,6484 0,6481 0,09 0,085 e =0,5 0,08 Tan so ktn (m=1, n=2) e =0,7 0,075 e =0,9 0,07 0,065 0,06 0,055 0,05 0,045 0,04 0,05 0,055 0,06 0,065 0,07 0,075 Ti so h/R Hình Ảnh hưởng tỉ lệ h/R đến KẾT LUẬN Trên sở lý thuyết biến dạng cắt bậc (FSDT), báo xây dựng lời giải giải tích để phân tích dao động riêng vỏ trụ tròn làm vật liệu rỗng, loại vật liệu quan tâm nghiên cứu Lỗ rỗng vật liệu giả phân bố đối xứng theo tọa độ chiều dày vỏ với quy luật hàm cosine đơn giản Nguyên lý Halminton sử dụng để rút hệ phương trình chuyển động vỏ trụ Các thành phần chuyển vị vỏ 656  vỏ trụ tròn trụ với điều kiện biên tựa khớp hai đầu xấp xỉ nghiệm Navier dạng chuỗi lượng giác kép Ví dụ so sánh cho thấy độ xác mơ hình chương trình tính Ngồi ra, ví dụ thực nhằm khảo sát ảnh hưởng hệ số mật độ lỗ rỗng tham số hình học đến tần số dao động riêng vỏ trụ tròn vật liệu rỗng Các kết trình bày nghiên cứu nguồn tham khảo nghiên cứu liên quan đến vỏ trụ nói chung vỏ trụ làm vật liệu rỗng nói riêng Dương Thành Huân, Trần Hữu Quốc, Hồ Thị Hiền (m = 2, n = 1) (m = 2, n = 2) 1,5 1,0 0,5 -10 0,5 -1,0 -1,5 -2,0 10 20 -1,0 1,0 2,0 30 (m = 3, n = 1) (m = 3, n = 2) (m = 2, n = 3) (m = 3, n = 3) Hình Một số dạng dao động riêng (mode) vỏ trụ tròn TÀI LIỆU THAM KHẢO Bahadori R & Najafizadeh M (2015) Free vibration analysis of two-dimensional functionally graded axisymmetric cylindrical shell on Winkler– Pasternak elastic foundation by First-order Shear Deformation Theory and using Navier-differential quadrature solution methods Applied Mathematical Modelling 39(16): 4877-4894 Chen Da, Yang Jie & Kitipornchai Sritawat (2016) Free and forced vibrations of shear deformable functionally graded porous beams International Journal of Mechanical Sciences 108: 14-22 Gupta A & Talha M (2018) Stability characteristics of porous functionally graded plate in thermal environment IOP Conference Series: Materials Science and Engineering IOP Publishing Li Haichao, Pang Fuzhen, Chen Hailong & Du Yuan (2019) Vibration analysis of functionally graded porous cylindrical shell with arbitrary boundary restraints by using a semi analytical method Composites Part B: Engineering 164: 249-264 Ahmadi H & Foroutan K (2020) Nonlinear static and dynamic thermal buckling analysis of imperfect multilayer FG cylindrical shells with an FG porous 657 Phân tích dao động tự vỏ trụ tròn vật liệu rỗng theo lý thuyết biến dạng cắt bậc core resting on nonlinear elastic foundation Journal of Thermal Stresses 43(5): 629-649 Nguyễn Văn Lợi, Trần Bình Định & Chu Thanh Bình (2018) Phân tích tần số dao động riêng vỏ trụ tròn làm vật liệu có tính biến thiên có gân gia cường Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng, Đại học Xây dựng 12(6): 20-28 Hung D.X & Truong H.Q (2018) Free vibration analysis of sandwich beams with FG porous core and FGM faces resting on Winkler elastic foundation by various shear deformation theories Journal of Science and Technology in Civil Engineering (STCE)-NUCE 12(3): 23-33 Loy C.T., Lam K.Y & Reddy J.N (1999) Vibration of functionally graded cylindrical shells International Journal of Mechanical Sciences 41(3): 309-324 658 Mojahedin Arvin, Jabbari M., Khorshidvand A.R & Eslami M.R (2016) Buckling analysis of functionally graded circular plates made of saturated porous materials based on higher order shear deformation theory Thin-Walled Structures 99: 83-90 Reddy J.N (2006) Theory and analysis of elastic plates and shells, CRC press Rezaei A & Saidi A (2015) Exact solution for free vibration of thick rectangular plates made of porous materials Composite Structures 134: 1051-1060 Lê Thanh Hải, Trần Minh Tú & Lê Xuân Huỳnh (2018) Phân tích dao động riêng vật liệu rỗng theo lý thuyết biến dạng cắt bậc Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng, Đại học Xây dựng 12(7): 9-19  ... Trên sở lý thuyết biến dạng cắt bậc (FSDT), báo xây dựng lời giải giải tích để phân tích dao động riêng vỏ trụ tròn làm vật liệu rỗng, loại vật liệu quan tâm nghiên cứu Lỗ rỗng vật liệu giả phân. .. tròn làm 650 vật liệu rỗng hạn chế Do vậy, báo thiết lập lời giải giải tích cho tốn dao động tự vỏ trụ trịn làm vật liệu rỗng theo lý thuyết biến dạng cắt bậc (FSDT) Dạng nghiệm theo Navier lựa... mặt mặt vỏ, giá trị nhỏ đạt mặt trung bình nơi có mật độ lỗ rỗng lớn PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DO VỎ TRỤ TRÒN THEO FSDT 3.1 Các thành phần chuyển vị, biến dạng Theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất,