Bài viết này đề xuất hàm xấp xỉ Ritz mới bằng cách cải tiến đa thức “Chebyshev loại I” để phân tích dao động tự do của dầm có vật liệu cơ tính biến thiên (FGM). Trường chuyển vị dầm dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc cao hai biến và thỏa điều kiện biên tự do ứng suất cắt.
Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng, ĐHXDHN, 2022, 16 (1V): 79–91 PHÁT TRIỂN PHƯƠNG PHÁP CHEBYSHEV-RITZ PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DO DẦM CƠ TÍNH BIẾN THIÊN Nguyễn Thiện Nhâna , Nguyễn Ngọc Dươngb,∗, Nguyễn Trung Kiênb a Khoa Kỹ thuật – Công nghệ, Trường Đại học Kiên Giang, số 320A, Quốc lộ 61, Thị trấn Minh Lương, huyện Châu Thành, tỉnh Kiên Giang, Việt Nam b Khoa Xây dựng, Trường Đại học Sư phạm kỹ thuật TP Hồ Chí Minh, 01 đường Võ Văn Ngân, quận Thủ Đức, Thành phố Hồ Chí Minh, Việt Nam Nhận ngày 22/06/2021, Sửa xong 27/07/2021, Chấp nhận đăng 16/08/2021 Tóm tắt Bài báo đề xuất hàm xấp xỉ Ritz cách cải tiến đa thức “Chebyshev loại I” để phân tích dao động tự dầm có vật liệu tính biến thiên (FGM) Trường chuyển vị dầm dựa lý thuyết biến dạng cắt bậc cao hai biến thỏa điều kiện biên tự ứng suất cắt Mơ hình phân bố vật liệu dầm dựa vào quy luật hàm số mũ Phương trình Lagrange sử dụng để thiết lập phương trình chủ đạo toán Các hàm xấp xỉ đánh giá hiệu thơng qua các tiêu chí tốc độ hội tụ chi phí tính tốn Các ví dụ số thực để khảo sát ảnh hưởng mật độ phân bố vật liệu, tỉ lệ chiều dài/chiều cao điều kiện biên đến tần số dao động riêng dầm Từ khoá: dầm FGM; phương pháp Ritz; phân tích dao động tự do; đa thức Chebyshev DEVELOPMENT OF CHEBYSHEV-RITZ METHOD FOR FREE VIBRATION BEHAVIOR OF FUNCTIONALLY GRADED MATERIAL BEAMS Abstract This paper proposes novel Ritz’s approximation functions by improving “Chebyshev Type I” for free vibration analysis of functionally graded material beams The displacement field is based on a two-variable higher-order beam theory which satisfies the traction-free boundary conditions The materials are supposed to vary continuously in the depth according to the power-law Governing equations of motion are derived from Lagrange’s principle The accuracy and efficiency of present approximation functions are evaluated through the criteria of convergence rate and computational costs Numerical examples are performed to investigate the effects of the material distribution, length-to-height’s ratio, and boundary conditions to natural frequencies of the FGM beams Keywords: FGM beams; Ritz method; free vibration analysis; Chebyshev polynomial https://doi.org/10.31814/stce.huce(nuce)2022-16(1V)-07 © 2022 Trường Đại học Xây dựng Hà Nội (ĐHXDHN) Giới thiệu Vật liệu tính biến thiên (FGM) loại vật liệu tiên tiến, có đặc trưng học thay đổi liên tục theo hướng khác Nhờ vậy, FGM sử dụng phù hợp điều kiện tương tác đa trường không xảy tượng tách lớp chịu tải trọng vật liệu composite truyền thống Nhờ đặc tính ưu việt nên FGM áp dụng phổ biến ngành công nghiệp như: tàu thủy, ô tô, xây dựng, hàng không, Để ứng dụng FGM vào thực tế, bên cạnh nghiên cứu ∗ Tác giả đại diện Địa e-mail: duongnn@hcmute.edu.vn (Dương, N N.) 79 Nhân, N T., cs / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng thực nghiệm, nhiều nghiên cứu mô thực để đánh giá quy luật ứng xử vật liệu Nhiều lý thuyết phương pháp phát triển để phân tích ứng xử kết cấu FGM, đó, dầm FGM thu hút quan tâm đặc biệt nhiều nhà khoa học [1] Lý thuyết dầm chia thành ba nhóm chính: lý thuyết cổ điển (LTCĐ) [2–4], lý thuyết bậc (LTBN) [5] lý thuyết bậc cao (LTBC) [6–11] LTCĐ bỏ qua biến dạng cắt, vậy, áp dụng phù hợp cho dầm mỏng LTBN kể đến biến dạng cắt, nhiên, lý thuyết cần hệ số biến dạng cắt để điều chỉnh phân bố không hợp lý ứng suất cắt biên dầm Để khắc phục nhược điểm này, LTBC nhà khoa học đề xuất Bằng cách phát triển hàm biến dạng cắt bậc cao, trường chuyển vị LTBC đáp ứng điều kiện biên ứng suất tốn, vậy, lý thuyết khơng cần hệ số điều chỉnh cắt Có thể nói, LTBC tiện dụng phân tích ứng xử dầm xác LTCĐ LTBN Trong nghiên cứu này, LTBC hai biến [11] áp dụng để phân tích dao động tự dầm Về phương pháp giải, phương pháp số sử dụng phổ biến để phân tích dầm FGM, đặc biệt phần tử hữu hạn [12–14] Bên cạnh đó, phương pháp giải tích nhà khoa học quan tâm độ xác lời giải Lời giải Navier đơn giản nhất, nhiên, lời giải áp dụng phân tích dầm có điều kiện biên tựa đơn [10, 15] Lời giải Levy đề xuất nghiên cứu Khdeir Reddy [16], Trịnh cs [17] để phân tích dao động riêng dầm composite FGM Lời giải Ritz nhiều nhà khoa học quan tâm tính tổng qt giải tốn có điều kiện biên Tính hiệu phương pháp Ritz phụ thuộc vào hàm xấp xỉ chọn trước Trong thời gian gần đây, nhiều nghiên cứu thực để phát triển hàm xấp xỉ Nguyễn cs [7], Simsek [18] đề xuất hàm đa thức để phân tích dao động ổn định dầm FGM Các hàm đa thức túy thường không thỏa điều kiện biên động học toán nên phương pháp nhân tử Lagrange hàm phạt sử dụng để khử điều kiện biên Hướng tiếp cận làm tăng chi phí tính tốn lời giải tăng kích thước ma trận độ cứng ma trận khối lượng Để khắc phục nhược điểm này, Pradhan Chakraverty [19], Aydogdu [20, 21] đề xuất hàm đa thức trực giao để phân tích dao động riêng dầm Tuy vậy, hàm trực giao sử dụng để phân tích tĩnh tốn dầm Gần đây, Nguyễn cs [11, 22, 23], Mantari Canales [24], Khalili cs [25] đề xuất hàm dạng hỗn hợp hàm đa thức lượng giác mũ để phân tích ứng xử dầm Ebrahimi cs [26] đề xuất hàm “Chebyshev loại I” kết hợp đa thức khử điều kiện biên để phân tích tĩnh dao động dầm FGM có kích thước vi mơ Có thể thấy rằng, phương pháp Ritz hiệu việc phân tích ứng xử dầm FGM Mặc dù vậy, tác giả nhận thấy chưa có nhiều nghiên cứu đánh giá so sánh hàm dạng xấp xỉ lời giải Ritz Vì vậy, vấn đề cần có nghiên cứu sâu Mục tiêu báo (1) đề xuất hàm xấp xỉ dựa việc cải tiến đa thức “Chebyshev loại I” (2) đánh giá hiệu hàm xấp xỉ thơng qua việc phân tích dao động tự dầm FGM Mơ hình dầm xây dựng dựa lý thuyết biến dạng cắt bậc cao hai biến Phương trình chủ đạo thành lập từ nguyên lý Lagrange Tần số riêng dầm FGM so sánh với kết nghiên cứu công bố để đánh giá hiệu lời giải Ảnh hưởng phân bố mật độ vật liệu, tỷ lệ chiều dài/chiều cao, điều kiện biên đến tần số dao động riêng dầm FGM khảo sát phân tích chi tiết Cơ sở lý thuyết 2.1 Quan hệ ứng suất biến dạng Xét dầm FGM có tiết diện (b × h), chiều dài L, thể tích V, tạo thành từ kim loại gốm Hình Sự phân bố thành phần kim loại gốm theo quy luật [10]: 80 thuyết biến dạng cắt bậc cao hai biến Phương trình chủ đạo thành lập từ nguyên lý Lagrange Tần số riêng dầm FGM so sánh với kết nghiên cứu công bố để đánh giá hiệu lời giải Ảnh hưởng phân bố mật độ vật liệu, tỷ lệ chiều dài/chiều cao, điều kiện biên đến tần số dao động riêng dầm FGM khảo sát phân tích chi tiết Cơ sở lý thuyết vàvàcs Tạp 2.1Nhân, Quan hệN ứngT., suất biến/ dạng chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Hình Sơ đồ hình học dầm FGM Hình Sơ đồ hình học dầm FGM Xét dầm FGM có tiết diện (bxh), chiều dài L, thể tích V, tạo thành từ kim loại gốm Hình Sự phân bố thành phần kim loại gốm theo quy luật [10]: P(z) = PP ( z )m= P++(P ( P -cP− )V Pm ) Vc (1a) z Vc = ( + ) p h (1b) m Vc =V m c m c p z + +2 V =1 h (1a) (1b) (1c) c Vm + Vc = (1c) Pc , Pcho đạimodule diện cho đàn module số Possion khối lượngriêng riêng ρr gốm, kim m Pc , Ptrong hồiđàn E,hồi hệ Esố, hệ Poisson ν vàn khối lượng m đại diện Vc , Vm tỉ lệ thể tích thành phần gốm kim loại gốm, kim loại; loại; Vc , Vm tỉ lệ thể tích thành phần gốm kim loại vật liệu FGM; p số tự p =bằng ® Pgốm; (z) = Pckhi nhiên: p = → FGM; P(z) =p Pcsố , dầm hoànkhi toàn p= ∞ toàn → P(z) Pm ,khi dầm hoàn toàn vật0liệu tự nhiên: , dầm hoàn = gốm; V p = Ơ đ P (z) = P c bng kim loại Sự phân bố Vmc, theo chiềutoàn caobằng dầmkim tương với trị pchiều kháccaonhau dầm hoàn loại.ứng Sự phân bố giátheo dầmđược thể Hình tương ứng với giá trị p khác thể Hình Vc dọc Hình phânbố bốtỉtỉlệlệthể thể tích tích V chiều cao tiết diện dầm Hình 2.2.SựSựphân c dọc chiều cao tiết diện dầm Phương trình ứng xử dầm FGM xác định biểu thức sau [10]: Phương trình ứng xử dầm FGM xác bởig biểu thức sau [10]: s =Q e ;định s =Q x đó: đó: 11 x σ x = Q11 ε x ; xz (2) σ xz = Q55 γ xz Q11 ( z ) = E ( z ); Q55 ( z ) = 2.2 Trường chuyển vịQ11 (z) = E(z); 55 xz E( z) 2[1 + n ( z )] (2) (3) E(z) Q55 (z) = 2[1 + ν(z)] (3) Trường chuyển vị lý thuyết biến dạng cắt bậc cao hai biến [11]: æA ö æ A ö u ( x, z, t ) = ỗ - z ữ wb, x ( x, t ) + ỗ g ( z ) - ÷ ws , x ( x, t ) A1 ø è A1 ø è (4a) w( x, z, t ) = w81 b ( x, t ) + ws ( x, t ) (4b) Nhân, N T., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng 2.2 Trường chuyển vị Trường chuyển vị lý thuyết biến dạng cắt bậc cao hai biến [11]: u(x, z, t) = A2 A3 − z wb,x (x, t) + g(z) − w s,x (x, t) A1 A1 (4a) w(x, z, t) = wb (x, t) + w s (x, t) (4b) 5z3 z − hàm biến dạng cắt bậc cao; wb (x) w s (x) chuyển vị ngang 3h2 điểm trục trung hòa thành phần biến dạng uốn cắt gây ra; Các hệ số A1 , A2 A3 xác định theo biểu thức: đó: g(z) = h/2 (A1 ; A2 ; A3 ) = (5) Q11 (z)(1; z; g)bdz −h/2 Trường biến dạng dầm có dạng: εx = ∂u A2 A3 = − z wb,xx + g − w s,xx ∂x A1 A1 (6) ∂w ∂u + = (1 + g,z )w s,x ∂x ∂z (7) γ xz = 2.3 Các biểu thức lượng Năng lượng biến dạng hệ: U= (σ xx ε x + σ xz γ xz ) dV = L V B1 w2b,xx + 2B2 wb,xx w s,xx + B3 w2s,xx + Dw2s,x dx (8) đó: h/2 (B1 ; B2 ; B3 ) = A2 A2 A3 A3 −z ; −z g− Q11 (z) ; g− A1 A1 A1 A1 2 bdz (9) −h/2 n Q55 (z)(1 + g,z )2 bdz D= (10) k=1 Động hệ: L K= ρ(˙u + w˙ )dV = 2 J1 w˙ 2b,x + 2J2 w˙ b,x w˙ s,x + J3 w˙ 2s,x + J4 w˙ 2b + 2J4 w˙ b w˙ s + J4 w˙ 2s dx (11) V đó: h/2 (J1 ; J2 ; J3 ; J4 ) = 2 A2 A A A 3 ρ(z) −z ; −z g− ; g− ; 1 bdz A1 A1 A1 A1 −h/2 82 (12) Nhân, N T., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Tổng lượng hệ: Π =U − K = L B1 w2b,xx + 2B2 wb,xx w s,xx + B3 w2s,xx + Dw2s,x dx (13) L − J1 w˙ 2b,x + 2J2 w˙ b,x w˙ s,x + J3 w˙ 2s,x + J4 w˙ 2b + 2J4 w˙ b w˙ s + J4 w˙ 2s dx 2.4 Phương pháp Chebyshev-Ritz Theo nghiên cứu [23, 24], trường chuyển vị xấp xỉ theo phương pháp Ritz sau: N wb (x, t) = φ∗j (x)wb j eiωt (14a) φ∗j (x)w s j eiωt (14b) j=1 N w s (x, t) = j=1 đó: i đơn vị ảo, i2 = −1; wb j , w s j thông số cần xác định; ω tần số dao động riêng dầm; φ∗j (x) hàm xấp xỉ chọn trước thỏa mãn điều kiện biên dầm tựa đơn-tựa đơn (SS), ngàm-tựa đơn (CF) ngàm-ngàm (CC) cho Bảng Bảng Các điều kiện biên (ĐKB) động học dầm ĐKB x=0 x=L SS w s = wb = w s = wb = CF w s = wb = w s,x = wb,x = - CC w s = wb = w s,x = wb,x = w s = wb = w s,x = wb,x = Trong nghiên cứu này, hàm xấp xỉ φ∗j (x) phát triển từ đa thức “Chebyshev loại I” sau: T (θ) = 1, T (θ) = θ T n+1 (θ) = 2θT n (θ) − T n−1 (θ) (15) đó: T n (θ) ∈ [−1; 1], θ ∈ [−1; 1], n ∈ N đồ thị hàm “Chebyshev loại I” thể Hình Có thể thấy rằng, đa thức “Chebyshev loại I” không thỏa mãn điều kiện biên tốn Vì vậy, tác giả đề xuất hàm “Chebyshev cải tiến” định nghĩa: T n∗ (θ) = T n (1 − θ) − 1; θ ∈ [0; 1] (16) Dựa vào đồ thị Hình thấy đa thức T n∗ (θ) ln có nghiệm θ = 0; ∀n ≥ Từ đó, hàm xấp xỉ φ∗j (x) với điều kiện biên SS, CF CC đề xuất Bảng Có thể nhận thấy hàm xấp xỉ Bảng thỏa điều kiện biên động học dầm SS, CF CC cho Bảng 83 Hình Đồ thị đa thức Chebyshev ứng với bậc n q Ỵ [-1;1] Có thể thấy rằng, đa thức “Chebyshev loại I” không thỏa mãn điều kiện biên củ tốn Vì vậy, tác giả đề xuất hàm “Chebyshev cải tiến” định nghĩa: Tn (qdựng ) = Tn (1 - q ) - 1;q Ỵ [0;1] Nhân, N T., cs / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây 0,8 -0,2 0,6 -0,4 0,4 -0,6 0,2 -0,8 Tn*(q) Tn(q) * (16 n=1 n=2 n=3 n=4 -1 -1,2 -0,2 n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 -0,4 -0,6 -0,8 -1 -1 -0,5 q -1,4 -1,6 -1,8 0,5 -2 0,2 0,4 q 0,6 0,8 Đồ thị đa thức Chebyshev cải tiến ứng với bậc n q Ỵ [0;1] Hình Đồthị thị đa Chebyshev ứng với bậcvới n vàbậc q Ỵ [n-1;1] Hình 3.Đồ đathức thức Chebyshev ứng Hình Hình4.4 Đồ thị đa thức Chebyshev cải tiến ứng với bậc θ ∈ [−1; n θ ∈ [0; 1] Có thể thấy rằng, đa thức “Chebyshev loại1] I” không thỏa mãn điều kiện biên tốn Vì vậy, tác giả đề xuất hàm “Chebyshev cải tiến” định nghĩa: Tn* (q ) = Tn (1 - q ) - 1;q Ỵ [0;1] (16) Bảng Hàm xấp xỉ ứng với điều kiện biên khác -0,2 φ∗j (x) Điều kiện biên -0,4 -0,6 SS Tn*(q) -0,8 -1 T ∗j n=1 n=2 n=3 n=4 CF -1,2 -1,4 -1,6 T ∗j CC x ∗ x T −1 L j L x T ∗j L x ∗ x Tj − L L -1,8 Thay phương trình0,4(14a) (14b) 0,8vào phương trình (13) sử dụng nguyên lý Lagrange: -2 0,2 0,6 q d ∂Π ∂Π Hình Đồ thị đa thức Chebyshev cải tiến ứng với bậc n q Ỵ −[0;1] ∂p j dt ∂ p˙ j =0 (17) đó: p j tương ứng với biến số w s j , wb j Phương trình chủ đạo toán dao động tự dầm FGM rút từ phương trình (17) có dạng sau: K11 K12 T 12 K K22 t − ω2 M11 M12 T 12 M M22 wb j ws j 0 = (18) đó: K, M ma trận độ cứng ma trận khối lượng dầm, với hệ số sau: Ki11j = B1 Ii1j ; Mi11j = J1 Ii2j + J4 Ii3j ; Ii1j = L φ∗i,xx φ∗j,xx dx; Ki12j = B2 Ii2j ; Ki22j = B3 Ii1j + DIi2j Mi12j = J2 Ii2j + J4 Ii3j ; Ii2j = L φ∗i,x φ∗j,x dx; (19) Mi22j = J3 Ii2j + J4 Ii3j Ii3j = L φ∗i φ∗j dx (20) (21) Để giải phương trình (18), phần mềm Matlab R2014a (8.3.0.532), 64bit sử dụng để lập trình tính tốn ma trận K, M chạy máy tính có cấu hình Intel® Core™ Duo, CPU T7300 @2.00 GHz, Ram 2.00 GHz 84 Nhân, N T., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Kết số Trong phần này, ví dụ số thực để đánh giá độ xác hiệu lời giải Để thuận tiện cho việc khảo sát so sánh với kết công bố, tần số dao động riêng không ωL2 ρm thứ nguyên định nghĩa: ω ¯ = Các đặc trưng học vật liệu: gốm Ec = 380 GPa, h Em νc = 0,3 ρc = 3960 kg/m3 kim loại Em = 70 GPa, νm = 0,3 ρm = 2702 kg/m3 3.1 Đánh giá hiệu lời giải Để đánh giá hiệu lời giải, tiêu chí độ xác, tốc độ hội tụ, chi phí tính tốn, ổn định số, xem xét [27] Trong nghiên cứu này, tác giả đánh giá hàm xấp xỉ qua hai yếu tố tốc độ hội tụ chi phí tính tốn Tốc độ hội tụ lời giải theo số bước lặp j định nghĩa sau: ∆ω j = ω j − ω j−1 (22) ω j−1 đó: ω j−1 ω j kết tần số riêng bước thứ j − j Kết xem hội tụ ∆ω j → Trong nghiên cứu này, chọn ∆ω j ≤ ∆ω j = 10−5 Với định nghĩa này, hàm xấp xỉ xem hội tụ tốt hàm số khác đạt ∆ω j ứng với số bước lặp j bé Thời gian tính tốn định nghĩa tổng thời gian tính ma trận K, M tần số dao động riêng dầm, thể qua công thức sau: N S = (23) Sj j=1 đó: S j thời gian thực tính tốn bước thứ j; S tổng thời gian từ bắt đầu đến bước j Trong nghiên cứu này, hàm xấp xỉ đề xuất “Chebyshev cải tiến” (CBS) so sánh với hàm “Chebyshev loại I” (CBSI) [26], hàm số mũ số Napier (HBR) [11] hàm xấp xỉ dạng đa thức (POL) [21] (Bảng 3) Bảng Các hàm xấp xỉ khác Điều kiện biên (ĐKB) dầm Ký hiệu Nghiên cứu CBS Bài báo HBR Nghiên cứu [11] CBSI Nghiên cứu [26] POL Nghiên cứu [21] SS CF x ∗ x T −1 L j L T ∗j jx jx e− L − e L − e j T (x) − x L 2x L n 1− 1+ 2x L T ∗j 85 x L jx e− L − T (x) − x L x L CC 2x L n+1 T ∗j x L T ∗j − jx e− L − T (x) − x L 2x L jx e L − ej 1+ n+1 1− x L x L 2x L 2 Nhân, N T., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Tần số dao động riêng dầm FGM (p = 1; L/h = 5)với hàm xấp xỉ điều kiện biên khác cho Bảng 4, đồ thị thể mối tương quan số j ∆ω thể Hình Có thể thấy rằng, hàm HBR có tốc độ hội tụ tốt ba điều kiện biên SS, CF CC Hàm CBS hội tụ j = với dầm SS, j = 10 với dầm CF CC Hàm CBSI POL hội tụ j = với dầm SS, j = 12 với dầm CF chưa hội tụ j = 14 với dầm CC Bảng Kết khảo sát tần số dầm FGM Chỉ số j ĐKB Nghiên cứu 10 12 SS CBS HBR CBSI POL 4,3851 3,9930 4,3930 4,3930 3,9908 3,9905 3,9916 3,9916 3,9905 3,9905 3,9905 3,9905 3,9905 3,9905 3,9905 3,9905 3,9905 3,9905 3,9905 3,9905 3,9905 3,9905 3,9905 3,9905 CF CBS HBR CBSI POL 1,4697 10 1,4682 1,474110 1,4741 1,4641 1,4641 1,4647 1,4647 1,4635 1,4635 1,4638 1,4638 1,4633 1,4633 1,4635 1,4635 1,4633 1,4633 1,4634 1,4634 1,4633 1,4633 1,4633 1,4633 CBS HBR CBSI POL 8,011510 8,0065 8,121910 8,1219 7,9609 7,9559 8,0095 8,0095 7,9500 7,9488 CBS HBR7,9720 CBSI POL7,9720 7,9484 7,9481 7,9571 7,9571 7,9481 7,9481 7,9512 7,9512 7,9481 7,9481 7,9490 7,9490 CC log(Dw) -5 -10 -15 -20 10 j a Dầm SS 0 10 10 10 -5 CBS HBR CBSI POL -2 10 10 -2 10 -4 -10 10 log(Dw) log(Dw) log(Dw) 10 -4 10 -6 10 -8 10 CBS HBR CBSI POL -15 10 -6 10 -20 10 -8 j CBS HBR CBSI POL -10 10 10 -12 j 10 12 14 10 Dầm CF (b) b.Dầm CF a Dầm SS SS (a) Dầm j 10 12 14 Dầm CC CC (c) c.Dầm Hình Tốc độ hội tụ hàm xấp xỉ 10 CBS HBR CBSI POL -2 10 gian tính tốn S theo số j hàm số biểu diễn Hình a, b c Hình Tốc độ hội tụ hàmThời xấp xỉ cho dầm có điều kiện biên SS, CF CC Có thể nhận thấy, hàm CBS, CBSI POL có thời gian tính tốn xấp xỉ hàm HBR có thời gian tính tốn lớn ba điều kiện biên Điều giải thích, hàm CBS, CBSI POL có dạng đa thức thời gian tính tích phân ma trận tốn nhau, đó, HBR có dạng hàm mũ nên việc tính tích phân nhiều thời gian hàm đa thức -4 -6 -8 log(S) log(Dw) Thời gian tính tốn S theo số j hàm số biểu diễn Hình cho dầm có 10 điều kiện biên SS, CF CC Có thể nhận thấy, hàm CBS, CBSI POL có thời gian tính tốn xấp xỉ hàm HBR có thời gian tính tốn lớn11 ba điều kiện biên Điều giải 10 10 thích, hàm CBS, CBSI POL có dạng đa thức thời gian tính tích phân ma trận tốn nhau, đó, HBR có dạng hàm mũ nên việc tính tích phân 10 10 10 12 14 nhiều thời gian hàm đa thức j b Dầm CF 86 10 CBS HBR CBSI POL 10 -1 10 j a Dầm SS 10 12 14 Hình Tốc độ hội tụ hàm xấp xỉ Thời gian tính tốn S theo số j hàm số biểu diễn Hình a, b c cho dầm có điều kiện biên SS, CF CC Có thể nhận thấy, hàm CBS, CBSI POL có thời gian tính tốn xấp xỉ hàm HBR có thời gian tính tốn lớn ba điều kiện biên Điều giải thích, hàm CBS, CBSI POL có dạng đa thức thời gian tính tích phân ma trận toán nhau, thời cs /gian Tạp đó, HBR có dạng hàm mũ nên việc tính tíchNhân, phân sẽN mấtT., nhiều hàm đa thức 10 -1 j 10 j 10 12 10 12 14 b Dầm CF 10 10 10 10 Từ Hình 5, 7, tổng kết rằng: (1) Hàm mũ (HBR) có tốc độ hội tụ nhanh tốn nhiều chi phí tính tốn nhất; (2) CácCBS hàm “Chebyshev loại I” (CBSI), đa thức 10 10 HBR trực giao (POL) “Chebyshev cải tiến” (CBS) có thời gian tính tốn qua bước lặp CBSI xấp xỉ tốc độ hội tụ hàm CBS POL nhanh hàm CBSI POL Vì -1 -1 vậy, kết luận rằng, hàm CBS đề xuất nghiên cứu có chi phí 10 tính tốn 10 12 hơn14 CBSI POL 10 12 14 thấp hàm HBR, CBS HBR CBSI POL 10 3 log(S) log(S) log(S) chí Khoa học Công nghệ Xây dựng 10 10 10 -1 10 10 10 CBS HBR CBSI POL 10 CBS HBR CBSI POL j j 14 10 Dầm SS (a) a.Dầm SS Dầm CF (b) b.Dầm CF Dầm CC CC (c) c.Dầm Hình Thời gian tính tốn hàm xấp xỉ 100 10 12 thấy rõ xỉ hiệu hàm xấp xỉ, mối quan hệ tốc độ hội tụ thời gia Hình Thời gian tính tốn củaĐểhàm xấp tính tốn thể Hình 7a, b c Có thể thấy rằng, với độ xá log(S) log(Dw) -5 10 10 Dw j £ éëDw j ùû = 10-5 , hàm HBR có thời gian tính tốn lớn tất điều kiện biên Các hàm CBSI, POL có thời gian tính tốn xấp xỉ hàm CBS có thời gian tín tốn nhỏ -10 10 10 Để thấy rõ hiệu hàm xấp xỉ, mối CBS quan hệ tốc độ hội tụ thời gian tính tốn HBR −5 CBSI xác ∆ω thể Hình Có thể thấy rằng, với độ j ≤ ∆ω j = 10 , hàm HBR có thời CBS POL HBR gian tính tốn lớn tất điều kiện biên Các hàm CBSI, POL có thời gian tính tốn xấp xỉ CBSI POL 10 10 10 13 hàm CBS có thời gian tính tốn nhỏ log(S) Từ Hình 5, 7, tổng kết rằng: (1) Hàm mũ (HBR) có tốc độ hội -15 tụ nhanh 10 tốn nhiều chi phí tính tốn nhất; (2) Các hàm “Chebyshev loại I” (CBSI), đa thức 10 trực giao (POL) “Chebyshev cải tiến” (CBS) có thời gian tính tốn qua bước lặp -20 10 -1 xấp xỉ tốc độ hội tụ hàm CBS nhanh hàm CBSI 10POL Vì -1 tính tốn vậy, kết luận rằng, hàm CBS đề xuất nghiên cứu có chi phí 10 thấp hàm HBR, CBSI POL a Dầm SS 10 12 10 10 10 c Dầm CC Hình Thời gian tính tốn hàm 10 -2 10 CBS HBR xấp xỉ CBSI POL 10 Để thấy rõ hiệu hàm xấp xỉ, mối quan hệ tốc độ hội tụ thời gian tính tốn thể Hình 7a, b c Có thể thấy rằng, với độ xác -5 10 log(Dw) -5 10 CBS HBR CBSI POL -15 10 log(Dw) Dw j £ éëDw j ùû = 10 ,10hàm HBR có thời gian tính toán lớn tất điều 10 kiện biên Các hàm CBSI, POL có thời gian tính tốn xấp xỉ hàm CBS có thời gian tính toán nhỏ -10 -6 -10 -4 -8 -1 10 10 log(S) 10 10 10 -1 10 -5 CBS HBR CBSI POL 10 10 -20 10 14 j log(Dw) 0 10 13 10 -15 10 10 10 -1 10 10 log(S) 10 10 Dầm CC CC (c) c.Dầm Dầm CF (b) b.Dầm CF Dầm SS SS (a) a.Dầm 10 log(S) Hình Mối quan hệ thời gian tốc độ hội tụ hàm xấp xỉ 10 CBS 3.2 Tần số dao động tự dầm FGM Hình MốiHBR quan hệ thời gian tốc độ hội tụ hàm xấp xỉ CBSI POL -2 10 14 Trong phần này, tần số dao động tự dầm FGM khảo sát so sánh với kết công bố Bảng thể tần số dao động riêng dầm FGM với điều kiện biên, tỷ số L/h p khác Từ Bảng 5, thấy rằng, kết báo gần với kết nghiên cứu [7, 9, 10] Kết Bảng cho thấy, tần số dao động giảm p tăng, điều vì, p tăng làm cho mật độ kim loại dầm tăng lên dẫn đến độ cứng dầm giảm Với dầm có tỷ số L/h p, tần số riêng dầm CC lớn dầm CF bé nhất, điều hoàn toàn hợp lý dầm CC có độ cứng lớn dầm CF có độ cứng bé log(Dw) Từ Hình 5, 7, tổng kết rằng: (1) Hàm mũ (HBR) có tốc độ hội tụ nhanh tốn nhiều chi phí tính tốn nhất; (2) Các hàm “Chebyshev loại I” (CBSI), đa thức trực giao (POL) “Chebyshev cải tiến” (CBS) có thời gian tính tốn qua bước lặp xấp xỉ tốc độ hội tụ 10của hàm CBS nhanh hàm CBSI POL Vì vậy, kết luận rằng, hàm CBS đề xuất nghiên cứu có chi phí tính tốn thấp hàm Bảng HBR, riêng POL TầnCBSI số dao động dầm FGM với điều kiện biên, tỉ lệ L/h p -4 10 -6 -8 10 -1 10 10 10 10 khác 10 L/h 3.2 Tần số dao log(S) động tự dầm FGM BC Nghiên cứu p b Dầm CF 0,5 5 khảo SS Bài 3,6266đã3,4014 Trong phần này, tần số dao động tự dầm FGM sátbáovà so5,1527 sánh 4,4107 với các3,9905 kết [7] 5,1528 4,4102 3,9904 3,6264 3,4009 công bố Bảng thể tần số dao động riêng dầm FGM với điều kiện biên, tỷ số L/h p [10] 5,1527 4,4107 3,9904 3,6264 3,4012 khác Từ Bảng kết các1,4633 nghiên cứu1,2592 14 5, thấy rằng, kết báo gần CF với Bài báo 1,8952 1,6180 1,3326 1,6182 1,4636 [7, 9, 10] Kết Bảng cho thấy, tần số dao động giảm khi[7]p tăng, 1,8957 điều vì,1,3328 p1,2594 [10] 1,8952 1,6182 Với 1,4633các 1,3325 tăng làm cho mật độ kim loại dầm tăng lên dẫn đến độ cứng dầm giảm dầm1,2592 CC Bài báo 10,0670 8,7431 15 87 7,9481 7,1752 6,4923 10 3,2818 3,2815 3,2816 1,2184 1,2187 1,2183 6,1638 Nhân, N T., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng có tỷ số L/h p, tần số riêng dầm CC lớn dầm CF bé nhất, điều hồn tồn hợp lý dầm CC có độ cứng lớn dầm CF có độ cứng bé Bảng Tần số dao động riêng dầm FGM với điều kiện biên, tỉ lệ L/h p khác p L/h BC Nghiên cứu SS 0,5 10 Bài báo [7] [10] 5,1527 5,1528 5,1527 4,4107 4,4102 4,4107 3,9905 3,9904 3,9904 3,6266 3,6264 3,6264 3,4014 3,4009 3,4012 3,2818 3,2815 3,2816 CF Bài báo [7] [10] 1,8952 1,8957 1,8952 1,6180 1,6182 1,6182 1,4633 1,4636 1,4633 1,3326 1,3328 1,3325 1,2592 1,2594 1,2592 1,2184 1,2187 1,2183 CC Bài báo [7] [9] 10,0726 8,7463 10,0670 10,0726 10,0699 7,9518 7,1776 8,7431 8,7463 8,7463 6,4929 6,1658 7,9481 7,9518 7,9499 7,1752 7,1776 7,1766 6,4923 6,4929 6,4940 6,1638 6,1658 6,1652 10,0699Bài 8,7463 báo 7,94995,4603 7,1766 6,4940 6,1652 4,6511 5,4603 4,6511 [7] 4,20515,4603 3,8361 3,6485 3,5390 4,6506 [7] 5,4603 4,6506 [10] 4,20515,4603 3,8361 3,6485 3,5390 4,6511 4,2051 4,2051 4,2051 3,8361 3,8361 3,8361 3,6485 3,6485 3,6485 3,5390 3,5390 3,5390 [10] 5,4603 4,6511 4,2051 3,6485 1,6603 1,3033 1,2645 1,6602 1,3034 1,2646 1,6605 1,3033 1,2645 1,5010 1,5011 1,5011 1,3696 1,3696 1,3696 1,3033 1,3034 1,3033 1,2645 1,2646 1,2645 9,4307 8,5967 12,2224 8,1435 7,8845 10,4267 9,4319 8,5977 12,2243 8,1446 7,8860 10,4269 9,4316 8,5975 12,2238 8,1448 7,8859 10,4287 9,4307 9,4319 9,4316 8,5967 8,5977 8,5975 8,1435 8,1446 8,1448 7,8845 7,8860 7,8859 [7] [9] SS CF Bài báo Bài báo 20 [7] [10] CC Bài báo [7] [9] SS Bài báo 1,9496 1,6603 CF 1,9496 1,6602 [7] [10] 1,9496 1,6605 12,2224Bài 10,4267 báo CC 12,2243 10,4269 [7] 12,2238 10,4287 [9] 3,8361 1,9496 1,5010 1,3696 1,9496 1,5011 1,3696 1,50111,9496 1,3696 3,5390 13 12 p=0 p=1 p=2 p=5 p=10 11 10 w 20 10 15 20 25 30 35 40 L/h Hình Ảnh hưởnghưởng tỉ sốcủa L/htỉđến số đến dao động riêng dầm CC Hình Ảnh sốtần L/h tần số daocủađộng riêng dầm CC Hình thể ảnh hưởng tỉ số Có thể thấy rằng, tần số tăng nhanh HìnhHình Ảnh hưởng p, tỉ số L/h đến tần số Ảnh hưởng p, tỉ số L/h đến tần số dầm dầm Hình thể ảnh hưởng tỉ số chiều dài/chiều cao đến tần số dao động riêng dầm CC Có thể thấy rằng, tần số tăng nhanh L/h = (5-10) không đổi L/h = (10-40) Hình 9tần thể ảnh động hưởng L/h p đến dầm tần số riêng chiều dài/chiều cao đến số sựdao riêng CC.của dầm Có thể nhận xét, tần số giảm nhanh p = (0-5) không đổi p = (5-20) L/h = (5tất − 10) không đổi L/h = (10 − 40) điều kiện biên 88 Bốn dạng dao động dầm FGM ( L / h = 5, p = 1) với điều kiện biên SS thể Hình 10 Có thể thấy rằng, ba dạng dao động đầu tiên, thành phần wb đóng vai trị chủ đạo Tuy nhiên, thành phần ws đóng vai trị chủ đạo dạng dao động 16 thứ tư Hình 10 cho thấy vai trị thành phần ws có xu hướng tăng dần với dạng dao động bậc cao Nhân, N T., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Hình thể ảnh hưởng L/h p đến tần số riêng dầm Có thể nhận xét, tần số giảm nhanh p = (0 − 5) không đổi p = (5 − 20) tất điều kiện biên Bốn dạng dao động dầm FGM (L/h = 5, p = 1) với điều kiện biên SS thể Hình 10 Có thể thấy rằng, ba dạng dao động đầu tiên, thành phần wb đóng vai trị chủ đạo Tuy nhiên, thành phần w s đóng vai trị chủ đạo dạng dao động thứ tư Hình 10 cho thấy vai trị thành phần w s có xu hướng tăng dần với dạng dao động bậc cao a Dạng a Dạng 1 (w = 3,9905) b Dạng w2 = 14,0134 (14,0134 b Dạng (w2¯2== ) ) Dạng w 14,0134) b.(b) Dạng (2w(ω b Dạng ) ) 22=(14,0134 = 14,0134 3,9905 (w =3,9905) ) (a)a.Dạng Dạng 1(ω¯ (1w=11= a 1Dạng w = 3,9905 ) ) (3,9905 1 (c)c Dạng c 3Dạng w = 27,1206 Dạng 3(ω¯(3w=3=27,1206) (27,1206 ) ) Dạng d Dạng w41,7732) d (d) Dạng (4w(ω¯4=4 (=41,7732 ) ) = 41,7732 c Dạng (w333=(w d Dạng (w444=(w 27,1206 41,7732 c Dạng d Dạng ) ) ) ) = 27,1206 = 41,7732 Hình 10.dạng Các dao dạng daocủa động củaSS dầm SS Hình10 10.Các Các dạng daođộng động củadầm dầm SS Hình HìnhHình 10 Các dao động dầm SS SS 10 dạng Các dạng dao động dầm luận Kết luận Kết Kết luận Kết luận Kết luận Bài báo xuất cách cách cải tiến thức Bàinày báođề đề xuất hàm xấp hàmxỉxấp xỉ cảiđa tiến đa “Chebyshev thức “Chebyshev Bài báo đề xuất hàm xấp xỉ cách cách cải tiến đa thức “Chebyshev Bài báo đề xuất hàm xấp xỉ cải tiến đa thức “Chebyshev Bài báoloại nàyI” đề xuất hàm xấpđộng xỉ tiến đadầm thứcdựa “Chebyshev I” để phân đểI” phân tích dao riêng dầm FGM Mơ hình vào thuyết bậc loại để phân tíchđộng dao riêng củacách dầm cải FGM Mơ hình dầm dựalývào lýloại thuyết bậc loại I” đểI”phân tích dao động riêngriêng dầm FGM.FGM Mơ hình dầm dầm dựa vào thuyết bậc bậc loại để phân tích dao động dầm Mơ hình dựalý vào lý thuyết tích dao động riêng dầm FGM hình dầm dựa vào thuyết cao biến Nguyên cao hai Nguyên lý Lagrange kết hợp phương pháplýpháp Ritz sử dụng để thành lập caobiến haicủa biến Nguyên lý Mô Lagrange kết hợp phương Ritzbậc sử hai dụng để thành lập lý caohợp hai Nguyên lýRitz Lagrange kết hợp pháp Ritz sử dụng để đạo thành lậptoán caobiến hai biến Nguyên lý Lagrange kết phương hợp pháp Ritz sửchủ dụng để thành lập Lagrange kết phương sửhàm dụng đểxỉphương thành lập phương trình phương trình trình chủpháp đạo Các xấp đềxỉxuất so sánh với phương chủ đạotoán toán Các hàm xấp đề xuất so sánh vớihàm đa hàm đaCác phương trìnhtrình chủ đạo Các hàm xấp POL, xỉ đềxỉxuất đượcđược so sánh với I” hàm đa phương chủ đạo toán Các hàm xấp đề xuất so sánh với hàm đa hàm xấp xỉthức đề xuất sánh vớitoán đa thức hàm CBSI hàm POL,được hàm so “Chebyshev bậc hàm I”bậc CBSI hàm HBR Các víCác dụ ví sốbậc thực thức POL, hàm “Chebyshev I” CBSI mũ hàm mũ“Chebyshev HBR dụ số thực mũ thức POL, hàm “Chebyshev bậc I” CBSI hàm mũ HBR Các ví dụ số thực thức POL, hàm “Chebyshev bậc I” CBSI hàm mũ HBR Các ví dụ số thực HBR Các ví so dụvàsánh sốsođược thực so sánh cơng Cóđề thể kếtrất luận với cơng bố.với Có thể kết rằng, cácbố hàm xuất hiệu sánh vớikết kếtvà công bố Cókết thểluận kết luận rằng, hàm đề xuất rấtrằng, hiệu vàrất sovàhiệu sánh với bố Có thể luận rằng, hàm đề xuất rấtthiên hiệu so sánh với kết kếtphân quảcông cơng bố Cókết thểdo kếtdầm luận rằng, hàm đề xuất hiệu hàm đề xuất việc tích dao động tự vật liệu tính biến việc phân tích dao tự dotự dầm tính việc phân tíchđộng dao động vật dầmliệu vậtcơ liệu cơbiến tính thiên biến thiên việc việc phânphân tích dao tự dotựdầm vật liệu thiên.thiên tích động dao động dầm vật liệutính biến tính biến Lời cảm ơn ơn Lời cảm Lời cảm ơn ơn Lời cảm ơn Lời cảm Tác giả xin chân thànhthành cảm ơn hỗsự trợhỗtàitrợ Trường Đại học Tácthứ giảnhất thứ xin chân cảmsựơn tài Trường Đại học Tác xin giả xin cảm chân thành cảm ơntài sựơn hỗsựtrợhỗcủa tàitrợchính củaĐại Trường Đại Tácthứ giảnhất thứ xin chân cảm tài củahọc Trường Đại học cho Tác giả thứ chân thành ơn sựthành hỗ trợ Trường Kiênhọc Giang KiênKiên GiangGiang cho đề tài “Phân tích dao động tự dầm có tính biến thiên (FGM) cho đề tài “Phân tích dao động tự dầm có tính biến thiên (FGM) Kiên Giang cho đề tíchcó dao tự dotựthiên có cơcó biến thiên (FGM) Kiên cho đề“Phân tài “Phân tích dao dodầm dầm tínhđabiến (FGM) cải đề tài “Phân tích daoGiang động tựtài dầm cơđộng tínhđộng biến (FGM) sửtính dụng thứcthiên Chebyshev sử dụng đa thức Chebyshev cải tiến”, mã số: sử dụng đa thức Chebyshev cải tiến”, mãA2020-KTCN-12 số: A2020-KTCN-12 sử A2020-KTCN-12 dụng đa thức Chebyshev cải tiến”, mã số: tiến”, mã số: sử dụng đa thức Chebyshev cải tiến”, mãA2020-KTCN-12 số: A2020-KTCN-12 89 18 18 18 18 Nhân, N T., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Tài liệu tham khảo [1] Sayyad, A S., Ghugal, Y M (2018) Modeling and analysis of functionally graded sandwich beams: a review Mechanics of Advanced Materials and Structures, 26(21):1776–1795 [2] Bernoulli, J (1964) Curvatura laminae elasticae Ejus identitas cum curvatura Lintei a pondere inclusi fluidi expansi Radii circulorum osculantium in terminis simplicissimis exhibiti, una cum novis quibusdam theorematis huc pertinentibus Acta Eruditorum, 113–118 [3] Yang, Q., Zheng, B., Zhang, K., Zhu, J (2012) Analytical solution of a bilayer functionally graded cantilever beam with concentrated loads Archive of Applied Mechanics, 83(3):455–466 [4] Bernoulli, J (1964) Curvatura laminae elasticae Acta Eruditorum Lipsiae, 1694:262–276 [5] Timoshenko, S P (1922) X On the transverse vibrations of bars of uniform cross-section The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 43(253):125–131 [6] Karamanlı, A (2018) Free vibration analysis of two directional functionally graded beams using a third order shear deformation theory Composite Structures, 189:127–136 [7] Nguyen, T.-K., Nguyen, T T.-P., Vo, T P., Thai, H.-T (2015) Vibration and buckling analysis of functionally graded sandwich beams by a new higher-order shear deformation theory Composites Part B: Engineering, 76:273–285 [8] S¸ims¸ek, M (2010) Vibration analysis of a functionally graded beam under a moving mass by using different beam theories Composite Structures, 92(4):904–917 [9] S¸ims¸ek, M (2010) Fundamental frequency analysis of functionally graded beams by using different higher-order beam theories Nuclear Engineering and Design, 240(4):697–705 [10] Thai, H.-T., Vo, T P (2012) Bending and free vibration of functionally graded beams using various higher-order shear deformation beam theories International Journal of Mechanical Sciences, 62(1):57– 66 [11] Nhân, N T., Dương, N N., Kiên, N T (2020) Phân tích tĩnh dầm composite sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao hai biến Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng (KHCNXD) - ĐHXDHN, 14(4V):54–66 [12] Mashat, D S., Carrera, E., Zenkour, A M., Khateeb, S A A., Filippi, M (2014) Free vibration of FGM layered beams by various theories and finite elements Composites Part B: Engineering, 59:269–278 [13] Kadoli, R., Akhtar, K., Ganesan, N (2008) Static analysis of functionally graded beams using higher order shear deformation theory Applied Mathematical Modelling, 32(12):2509–2525 [14] Chakraborty, A., Gopalakrishnan, S., Reddy, J N (2003) A new beam finite element for the analysis of functionally graded materials International Journal of Mechanical Sciences, 45(3):519–539 [15] Thẩm, V V., Tú, T M (2016) Phân tích tĩnh dao động riêng dầm làm vật liệu có tính biến thiên (FGM) theo lý thuyết biến dạng cắt khác Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng (KHCNXD)-ĐHXDHN, 10(2):15–22 [16] Khdeir, A A., Reddy, J N (1994) Free vibration of cross-ply laminated beams with arbitrary boundary conditions International Journal of Engineering Science, 32(12):1971–1980 [17] Trinh, L C., Vo, T P., Thai, H.-T., Nguyen, T.-K (2016) An analytical method for the vibration and buckling of functionally graded beams under mechanical and thermal loads Composites Part B: Engineering, 100:152–163 [18] S¸ims¸ek, M (2009) Static analysis of a functionally graded beam under a uniformly distributed load by Ritz method International Journal of Engineering and Applied Sciences, 1(3):1–11 [19] Pradhan, K K., Chakraverty, S (2013) Free vibration of Euler and Timoshenko functionally graded beams by Rayleigh–Ritz method Composites Part B: Engineering, 51:175–184 [20] Aydogdu, M (2006) Free Vibration Analysis of Angle-ply Laminated Beams with General Boundary Conditions Journal of Reinforced Plastics and Composites, 25(15):1571–1583 [21] Aydogdu, M (2005) Vibration analysis of cross-ply laminated beams with general boundary conditions by Ritz method International Journal of Mechanical Sciences, 47(11):1740–1755 [22] Nguyen, N.-D., Nguyen, T.-K., Vo, T P., Thai, H.-T (2018) Ritz-Based Analytical Solutions for Bending, Buckling and Vibration Behavior of Laminated Composite Beams International Journal of Structural Stability and Dynamics, 18(11):1850130 [23] Nguyen, N.-D., Nguyen, T.-K., Nguyen, T.-N., Thai, H.-T (2018) New Ritz-solution shape functions 90 Nhân, N T., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng [24] [25] [26] [27] for analysis of thermo-mechanical buckling and vibration of laminated composite beams Composite Structures, 184:452–460 Mantari, J L., Canales, F G (2016) Free vibration and buckling of laminated beams via hybrid Ritz solution for various penalized boundary conditions Composite Structures, 152:306–315 Khalili, S M R., Jafari, A A., Eftekhari, S A (2010) A mixed Ritz-DQ method for forced vibration of functionally graded beams carrying moving loads Composite Structures, 92(10):24972511 ă Ebrahimi, F., Barati, M R., Omer Civalek (2019) Application of Chebyshev–Ritz method for static stability and vibration analysis of nonlocal microstructure-dependent nanostructures Engineering with Computers, 36(3):953–964 Moreno-García, P., dos Santos, J V A., Lopes, H (2017) A Review and Study on Ritz Method Admissible Functions with Emphasis on Buckling and Free Vibration of Isotropic and Anisotropic Beams and Plates Archives of Computational Methods in Engineering, 25(3):785–815 91 ... việc phân tích? ?ộng dao động vật dầmliệu vậtcơ liệu c? ?biến tính thiên biến thiên việc việc phânphân tích dao tự dot? ?dầm vật liệu thiên. thiên tích động dao động dầm vật liệutính biến tính biến. .. cho đề tài ? ?Phân tích dao động tự dầm có tính biến thiên (FGM) cho đề tài ? ?Phân tích dao động tự dầm có tính biến thiên (FGM) Kiên Giang cho đề tíchcó dao tự dot? ?thiên có cơcó biến thiên (FGM)... biến thiên (FGM) Kiên cho đề? ?Phân tài ? ?Phân tích dao dodầm dầm tính? ?abiến (FGM) cải đề tài ? ?Phân tích daoGiang động tựtài dầm c? ?động tính? ?ộng biến (FGM) s? ?tính dụng thứcthiên Chebyshev sử dụng đa