Bài báo sử dụng lý thuyết phase field, lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và phương pháp phần tử hữu hạn để phân tích dao động của tấm chữ nhật có vết nứt ở tâm. Tấm làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên (functionally graded materials – FGM) với quy luật phân bố thể tích theo hàm mũ và chiều dày tấm thay đổi tuyến tính. Để kiểm tra độ tin cậy của thuật toán và chương trình tính, kết quả số được so sánh với bài báo uy tín đã công bố. Bài báo khảo sát ảnh hưởng của vết nứt (chiều dài, góc nghiêng), chỉ số mũ vật liệu và tỉ lệ chiều dày của tấm tới tần số dao động riêng của tấm.
Tạp chí Khoa học Giao thơng vận tải, Tập XX, Số (MM/YYYY), 10-24 Transport and Communications Science Journal ANYNASYS FREE VIBRATION OF THE FUNCTIONALLY GRADE MATERIAL CRACKED PLATES WITH VARYING THICKNESS USING THE PHASE-FIELD THEORY Pham Minh Phuc1,2* 1University of Transport and Communications, No Cau Giay Street, Hanoi, Vietnam 2VNU Hanoi, University of Engineering and Technology, 144 Xuan Thuy Street, Hanoi, Vietnam ARTICLE INFO Received: Accepted: Published online: https://doi.org/ * Corresponding author Email: phamminhphuc@utc.edu.vn Abstract This paper uses phase field theory, first-order shear deformation theory and finite element method to analyze the free vibrations of functionally graded plates (FGP) with linearly varying thickness and crack in the centre To test the reliability of the algorithm and the calculation program, the numerical results are compared with the published article The paper examines the effect of cracks (length, angle of inclination), the volume fraction exponent of material and the thickness of the plate to the vibration frequency of the plate At the end of the paper, present some figures of mode shapes of the plate when it has a crack Keywords: FGM plate, linearly varying thickness, crack, vibration, finite element method, phase field theory 2019 University of Transport and Communications Tạp chí Khoa học Giao thơng vận tải, Tập XX, Số (MM/YYYY), 10-24 Tạp chí Khoa học Giao thơng Vận tải PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA TẤM CƠ TÍNH BIẾN THIÊN CĨ VẾT NỨT VỚI CHIỀU DÀY THAY ĐỔI THEO LÝ THUYẾT PHASE-FIELD Phạm Minh Phúc1,2* Trường Đại học Giao thông vận tải, số Cầu Giấy, Hà Nội Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội, 144 Xuân Thủy, Hà Nội THÔNG TIN BÀI BÁO Ngày nhận bài: Ngày chấp nhận đăng: Ngày xuất Online: https://doi.org/ * Tác giả liên hệ Email: phamminhphuc@utc.edu.vn Tóm tắt Bài báo sử dụng lý thuyết phase field, lý thuyết biến dạng cắt bậc phương pháp phần tử hữu hạn để phân tích dao động chữ nhật có vết nứt tâm Tấm làm vật liệu có tính biến thiên (functionally graded materials – FGM) với quy luật phân bố thể tích theo hàm mũ chiều dày thay đổi tuyến tính Để kiểm tra độ tin cậy thuật tốn chương trình tính, kết số so sánh với báo uy tín công bố Bài báo khảo sát ảnh hưởng vết nứt (chiều dài, góc nghiêng), số mũ vật liệu tỉ lệ chiều dày tới tần số dao động riêng Cuối báo, trình bày vài hình ảnh dạng dao động có vết nứt Từ khóa: Tấm FGM, chiều dày thay đổi, vết nứt, dao động tự do, phần tử hữu hạn, lý thuyết phase field 2019 Trường Đại học Giao thơng vận tải Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải, Tập XX, Số (MM/YYYY), 10-24 ĐẶT VẤN ĐỀ Trong thực tế, vật liệu có tính biến thiên (FGM) sử dụng nhiều ngành kỹ thuật cao đặc tính ưu việt Tuy nhiên, q trình sản xuất, sử dụng, kết cấu làm vật liệu FGM xuất vết nứt làm ảnh hưởng đến khả làm việc kết cấu Những năm gần đây, có số nhóm tác giả nghiên cứu vấn đề S Natarajan cộng [1] sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng để tính tốn tần số dao động tự nhiên FGM có vết nứt Sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao phương pháp đẳng hình học mở rộng, Loc V Tran cộng [2] phân tích dao động FGM có nứt Gần đây, nhóm tác giả Phuc P.M Duc N.D [3] nghiên cứu ảnh hưởng vết nứt tới ổn định FGM chiều dày thay đổi, có vết nứt tâm Khi nghiên cứu chữ nhật có chiều dày thay đổi, nhóm tác giả Shufrin I [4] phân tích dao động tự lý thuyết biến dạng cắt bậc lý thuyết biến dạng cắt bậc cao Michele Bacciocchi cộng [5] sử dụng phương pháp vi phân tổng quát để phân tích dao động vỏ có chiều dày thay đổi Nhóm tác giả Phuc P.M cộng [6] sử dụng lý thuyết Phase-Field phương pháp phần tử hữu hạn để tính ổn định cho chữ nhật (bằng vật liệu đồng nhất) chiều dày thay đổi có vết nứt Theo hiểu biết tác giả chưa có tác giả nghiên cứu dao động tự FGM chiều dày thay đổi có vết nứt tâm Bài báo tập trung tính tốn tham số tần số dao động phụ thuộc vào tỉ lệ cạnh tấm, chiều dài góc nghiêng vết nứt số mũ vật liệu LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC NHẤT CỦA TẤM FGM VÀ LÝ THUYẾT PHASE FIELD Ở đây, vật liệu FGM phân bố theo quy luật hàm lũy thừa [7] Mô đun đàn hồi hệ số poisson phân bố theo chiều dày theo công thức: n n z z 1 1 E ( z ) = Em + ( Ec − Em ) + , υ ( z ) = υm + (υc − υm ) + với n ≥ (1) h( x ) h( x ) Sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc Reissner-Mindlin, chuyển vị mặt cắt tính theo cơng thức [8]: u ( x, y, z ) = u0 ( x, y ) + zθ x ( x, y ) v( x, y, z ) = v0 ( x, y ) + zθ y ( x, y ) w( x, y, z ) = w0 ( x, y ) (2) Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải, Tập XX, Số (MM/YYYY), 10-24 Trong u , v, w tương ứng chuyển vị điểm theo trục x, y, z; θ x , θ y góc quay mặt xz yz; u0 , v0 , w0 chuyển vị mặt Trường biến dạng sau: ε ε p zεb = + γ γ s (3) Quan hệ ứng suất biến dạng: σ Dm = τ (4) ε Ds γ Năng lượng biến dạng tấm: U (δ ) = Trong đó: {εTp Aε p + εTp Bεb + εTb Bε p + εTb Dbεb + γTs Ds γ s }d Ω ∫Ω 1 ν E Dm = ν 1 − v2 0 ; (1 − ν ) Ds = (5) kEh 2(1 + v ) h/2 Với ( A, B , Db ) = ∫ (1, z , z ) Dm dz −h/2 Trong học phá hủy, lý thuyết Phase-field với biến Phase-field [3, 6, 8, 10], s, nhận giá trị liên tục từ đến Trong đó, giá trị biến Phase-field trạng thái vật liệu bị phá huỷ hoàn toàn; giá trị trạng thái vật liệu bình thường Khi biến nhận giá trị ta nói vật liệu khu vực trạng thái mềm hoá (softening) Trạng thái hiểu trình hình thành micro-crack vật liệu làm giảm độ cứng vật liệu Do đó, lý thuyết Phase-field, vết nứt biểu diễn vùng hẹp có biến đổi trạng thái liên tục từ phá huỷ - mềm hố - bình thường thông qua biến đổi liên tục biến Phase-field từ đến Chính nhờ thể này, vật liệu không xuất vùng bất liên tục, cho phép ta tính đạo hàm, tích phân cách dễ dàng tồn miền giải tích Biến phasefield đưa vào cơng thức tính lượng biến dạng thơng qua hàm s phương trình (6 - 9) với ngụ ý giảm lượng đàn hồi vùng có vết nứt Năng lượng biến dạng có vết nứt [9]: Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải, Tập XX, Số (MM/YYYY), 10-24 (1 − s )2 + l ∇s d Ω U ( δ, s ) = ∫ s2 {εTp Aε p + εTp Bεb + εTb Bε p + εTb Dεb + γTs Ds γ s }d Ω + ∫ GC h Ω Ω 4l (6) (1 − s ) + l ∇s dΩ = ∫ s2ϕ ( δ) d Ω + ∫ GC h Ω Ω 4l Động [8]: Te = 1 s 2u T ρud Ω = δ T M eδ ∫ Ωe Biến phân hàm Lagrang L ( δ, s ) tính: (7) L(δ , s) = T (δ , s ) − U (δ , s ) (1 − s )2 → L(δ , s) = ∫ s Ψ ( δ ) d Ω − ∫ GC h + l ∇s d Ω Ω Ω 4l (8) Từ đó, ta có hệ phương trình xác định tần số dao động tự có vết nứt: ( ∑ K e + ω ∑ M e ) δ = (1 − s ) δ s + l∇s∇ (δ s ) d Ω = ∫Ω sΨ ( δ ) δ sd Ω − ∫Ω 2GC h − 4l (9) Trong hàm Ψ ( δ ) sau [6, 11] : Ψ (δ) = B Gc H ( x, y ); 4l (10) d ( x, y ) L−a L+a H −l H +l ≤x≤ and ≤ y≤ 1 − if V ới H ( x, y ) = l 2 2 else Ở l chiều rộng vết nứt; số B=103; d ( x, y ) khoảng cách gần từ điểm tọa độ ( x, y ) tới đường biên vùng nứt; Gc tốc độ giải phóng lượng tới hạn lý thuyết Griffith Giải hệ phương trình (9) tìm tần số dao động tự KẾT QUẢ SỐ Ở phần này, phần tử hữu hạn sử dụng phần tử tam giác với hàm dạng : Tạp chí Khoa học Giao thơng vận tải, Tập XX, Số (MM/YYYY), 10-24 = ( x j yk − xk y j ) / ( 2Ωe ) ai Ni = {1 x y} bi c i với bi = ( y j − yk ) / ( 2Ωe ) ci = ( xk − x j ) / ( 2Ωe ) Ma trận độ cứng phần tử: K e = ∫ hBT D B dA = h Ωe BT D B Ωe a1 a2 a3 Với ma trận biến dạng – chuyển vị nút phần tử: B = 0 b1 b2 b3 b a b a b a 1 2 3 D ma trận liên hệ ứng suất – biến dạng N1 N N3 0 N1 N N Ma trận khối lượng phần tử: M e = ∫ hNT ρ N dA ; N = Ωe b) a) Hình a) Phần tử tam giác; b) Phần tử tam giác làm giàu lân cận vùng nứt Hình 1a thể phần tử tam giác với diện tích Ωe đỉnh: 1(x1 , y1); 2(x2 , y2) 3(x3 , y3) Hình 1b gồm phần tử tam giác có vết nứt (với chiều dài a= 0,4L) lận cận vùng nứt số phần tử làm giàu với tổng phần tử 4678 b) a) Hình a) Tấm chữ nhật có chiều dày thay đổi tuyến tính; b) Tấm FGM có vết nứt tâm Tạp chí Khoa học Giao thơng vận tải, Tập XX, Số (MM/YYYY), 10-24 3.1 So sánh với tốn chữ nhật có chiều dày thay đổi Trong phần này, thông số L=H=0.5m, E = 70GPa, chiều dày thay đổi theo hàm bậc h = h0 (1 − β x / L ) với β = ( h0 − ) / h0 , bốn cạnh liên kết tựa (hình 2a) Cơng thức xác định tần số dao động tự λ = ω H ρ h0 / D0 / π với D0 = Eh03 / (12(1 −ν )) Kết so sánh với báo Shufrin [4], sai khác nhỏ bảng chứng tỏ độ tin cậy chương trình tính Bảng Tần số dao động tự chiều dày thay đổi tuyến tính Điều kiện biên SSSS SSFF h0/L 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 0.4 Shufrin [4] 1.4504 1.3738 1.1664 0.7201 0.6999 0.6368 Bài báo 1.45041 1.37381 1.16645 0.72019 0.69996 0.63676 Sai khác 0.001% 0.001% 0.004% 0.012% 0.009% 0.006% 3.2 So sánh kết với báo FGM có vết nứt Trên sở chương trình tính mục 3.1 với làm vật liệu FGM chiều dày khơng đổi β = có vết nứt chiều dài a góc nghiêng α (hình 2b) Thơng số vật liệu FGM (Si3N4/SUS304) [1]: Em=201.04GPa, Ec=348.43GPa, hệ số poisson ν m = ν c = 0.28, khối lượng riêng ρ m = 8166kg / m , ρ c = 2370kg / m , liên kết tựa cạnh (SSSS), tỉ lệ chiều dài vết nứt (a/L) thay đổi 0.4; 0.6; 0.8, tần số dao động tự khơng thứ ngun tính theo công thức λ = ω H / h ρ c / Ec bảng Bảng Tần số dao động tự không thứ nguyên FGM vng có vết nứt tâm với góc nghiêng α = 00 n a/L 0.4 0.6 0.8 0.4 0.6 0.8 0.4 0.6 0.8 0.4 Natarajan [1] 5.0502 4.7526 4.5636 3.0452 2.8657 2.7518 2.7383 2.5769 2.4747 2.4833 Bài báo Sai số 5.2399 4.9405 4.7555 3.08596 2.90947 2.80035 2.75239 2.59507 2.49788 2.49091 3.76% 3.95% 4.21% 1.34% 1.53% 1.76% 0.51% 0.71% 0.94% 0.31% Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải, Tập XX, Số (MM/YYYY), 10-24 0.6 0.8 2.3371 2.2445 2.34866 2.2609 0.49% 0.73% Theo bảng sai số chương trình tính với báo Natarajan [1] nhỏ, chứng tỏ chương trình tính có độ tin tưởng cao Từ đó, chương trình tính phát triển để tính tần số dao động tự FGM chiều dày thay đổi có vết nứt mục 3.3 3.3 Dao động tự FGM chiều dày thay đổi có vết nứt Các thơng h = h0 (1 − β x / L ) 0.8 (hình 3); Ec=348.43GPa, số chiều dày thay đổi tuyến tính theo hàm bậc với β = ( h0 − ) / h0 , tỉ lệ chiều dài vết nứt (a/L) thay đổi từ 0.2 đến vật liệu FGM (Si3N4/SUS304): Em=201.04GPa, hệ số poisson khối lượng riêng ν m = ν c = 0.28, ρ m = 8166kg / m , ρ c = 2370kg / m , liên kết tựa cạnh (SSSS), tần số dao động tự không thứ nguyên tính λ = ω H ρ h0 / D0 / π với D0 = Eh03 / (12(1 −ν )) Hình Tấm FGM chiều dày thay đổi tuyến tính có vết nứt tâm Bảng cho ta thấy, tỉ lệ cạnh (L/H) cao tần số dao động tự giảm Vết nứt dài (a/L tăng) làm độ cứng giảm dẫn đến tần số dao động giảm Bảng Tần số dao động tự FGM chiều dày thay đổi có vết nứt tỉ lệ cạnh thay đổi với h0/ha=1.5; n=5; α=00; SSSS a/L 0.2 0.4 0.6 0.8 0.5 6.9543 6.91277 6.82548 6.72786 6.65664 Tỉ lệ cạnh L/H 1.5 2.78873 2.00244 1.71769 2.7234 1.90559 1.59396 2.58532 1.71326 1.35752 2.44396 1.5337 1.15336 2.34822 1.41984 1.02981 1.49418 1.33055 1.02979 0.80705 0.67835 Tham số tần số λ tính cho FGM hình vng chiều dày (h) số mũ (n) thay đổi (hình 4) Tạp chí Khoa học Giao thơng vận tải, Tập XX, Số (MM/YYYY), 10-24 Hình Tần số dao động tự FGM chiều dày thay đổi có vết nứt phụ thuộc số mũ n; chiều dài vết nứt tỉ lệ chiều dày Ta thấy rằng, tỉ lệ chiều dày (h0/ha) tăng, làm độ cứng giảm, tần số dao động (tỉ lệ thuận với tham số tần số λ ) giảm theo Khi chiều dài vết nứt tăng, làm độ cứng giảm dẫn tới tần số dao động giảm theo Rõ ràng Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải, Tập XX, Số (MM/YYYY), 10-24 rằng, vật liệu FGM số mũ (n) cao vật liệu FGM có tỉ lệ kim loại nhiều (theo biểu thức (1)), n tăng độ cứng giảm làm cho tần số dao động giảm tương ứng Một số hình ảnh dạng FGM chiều dày thay đổi có vết nứt: Mode Mode Mode Mode Mode Hình Hình ảnh dạng dao động FGM chiều dày thay đổi, có nứt (L=1.25H; h0/ha=1.5; n=5; a/L=0.8; α=0; SSSS) KẾT LUẬN Bài báo sử dụng lý thuyết Phase-field học phá hủy lý thuyết biến dạng cắt bậc để nghiên cứu dao động tự FGM chiều dày thay đổi có vết nứt Kết số với trường hợp xét: (i) tăng chiều dài vết nứt tần số dao động tự bị giảm xuống; (ii) tăng số mũ vật liệu (n) tần số dao động tự giảm; (iii) tăng tỉ lệ chiều dày (h0/ha), tần số dao động tự giảm Kết định hướng cho nghiên cứu dao động tự FGM vết nứt phát triển LỜI CẢM ƠN Nghiên cứu tài trợ Trường đại học giao thông vận tải (ĐH GTVT) đề tài mã số T2020-CB-006 10 Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải, Tập XX, Số (MM/YYYY), 10-24 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] S.Natarajan, P.M Baiz, S.Bordas, T.Rabczuk, P Kerfriden, Natural frequencies of cracked functionally graded material plates by the extended finite element method, Composite Structures 93 (2011) pp.3082–3092 [2] Loc V Tran, Hung Anh Ly, M Abdel Wahab, H.Nguyen-Xuan, Vibration analysis of cracked FGM plates using higher-order shear deformation theory and extended isogeometric approach, International Journal of Mechanical Sciences, 96 (2015), pp.6578, http://dx.doi.org/10.1016/j.ijmecsci.2015.03.003 [3] Phuc P.M, Duc N.D, The effect of cracks on the stability of the functionally graded plates with variable-thickness using HSDT and phase-field theory, Composites Part B: Engineering 175 (2019), https://doi.org/10.1016/j.compositesb.2019.107086 [4] Shufrin I, Eisenberger M, Vibration of shear deformable plates with variable thickness – first-order and higher-order analyses, J Sound Vib, 290 (2006), pp.465–89 [5] Michele Bacciocchi, Moshe Eisenberger, Nicholas Fantuzzi, Francesco Tornabene, Erasmo,Vibration analysis of variable thickness plates and shells by the Generalized Differential Quadrature method, Composite Structures 156 (2016), pp.218-237 [6] Phuc P.M, Thom D.V, Duc D.H, Duc N.D, The stability of cracked rectangular plate with variable thickness using phase field method Thin-Walled Structures 129 (2018), pp 157-65 [7] Yang J, Liew K, Kitipornchai S, Second-order statistics of the elastic buckling of functionally graded rectangular plates, Compos Sci Technol, 65 (2005), pp.1165–1175 [8] Duc HD, Thom VD, Phuc MP, Duc ND, Validation simulation for free vibration and buckling of cracked Mindlin plates using phase-feld method, Mech Adv Mater Struct 26 (2018), pp 1018–1027 [9] Ulmer H, Hofacker M, Miehe C, Phase feld modeling of fracture in plates and shells, Proc Appl Math Mech, 12 (2010), pp 171–172 [10] Duc HD, Tinh BQ, Thom VD, Duc ND, A rate-dependent hybrid phase field model for dynamic crack propagation, J Appl Phys, 122 (2017), pp 102-115 [11] M.J Borden, C.V Verhoosel, M.A Scott, T.J.R Hughes, and C.M Landis, A phasefield description of dynamic brittle fracture, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 217-220 (2012), pp 77–95 11 ... (MM/YYYY), 10-24 Tạp chí Khoa học Giao thơng Vận tải PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA TẤM CƠ TÍNH BIẾN THIÊN CĨ VẾT NỨT VỚI CHIỀU DÀY THAY ĐỔI THEO LÝ THUYẾT PHASE-FIELD Phạm Minh Phúc1,2* Trường Đại... dày thay đổi có vết nứt mục 3.3 3.3 Dao động tự FGM chiều dày thay đổi có vết nứt Các thông h = h0 (1 − β x / L ) 0.8 (hình 3); Ec=348.43GPa, số chiều dày thay đổi tuyến tính theo hàm bậc với β... dụng lý thuyết Phase-field học phá hủy lý thuyết biến dạng cắt bậc để nghiên cứu dao động tự FGM chiều dày thay đổi có vết nứt Kết số với trường hợp xét: (i) tăng chiều dài vết nứt tần số dao động