Khảo sát các hàm nhiệt động đặc trưng của khí Bose lí tưởng trong bẫy điều hòa ba chiều

Nghiên cứu này trình bày quy trình giải tích toán học để chỉ ra sự phụ thuộc của các hàm nhiệt động lực học, bao gồm thế hóa học, năng lượng toàn phần và nhiệt dung của khí Bose lí tưởng bị giam trong thế năng của dao động tử điều hòa ba chiều vào nhiệt độ tuyệt đối.

Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH KHẢO SÁT CÁC HÀM NHIỆT ĐỘNG ĐẶC TRƯNG CỦA KHÍ BOSE LÍ TƯỞNG TRONG BẪY ĐIỀU HÒA BA CHIỀU Trần Dương Anh Tài (Sinh viên năm 3, Khoa Vật lí) GVHD: TS Phạm Nguyễn Thành Vinh TÓM TẮT Trong báo cáo này, chúng tơi trình bày quy trình giải tích tốn học để phụ thuộc hàm nhiệt động lực học, bao gồm hóa học, lượng tồn phần nhiệt dung khí Bose lí tưởng bị giam dao động tử điều hòa ba chiều vào nhiệt độ tuyệt đối Tiếp theo, kết giải tích so sánh với kết thu từ việc lập trình giải số xác để đánh giá độ xác xác định khoảng áp dụng công thức gần Ngồi ra, cơng thức hiệu chỉnh cho hóa học lân cận nhiệt độ tới hạn lần đưa cơng trình Cuối cùng, khác biệt khí lượng tử khí cổ điển bẫy điều hòa ba chiều vùng nhiệt độ thấp thảo luận báo cáo Từ khóa: khí Bose lí tưởng, BEC, bẫy điều hịa, hàm nhiệt động lực học Giới thiệu Trong vật lí thống kê lượng tử, hạt phân loại thành fermions (tập hợp hạt có spin bán nguyên) bosons (tập hợp hạt có spin nguyên), tuân theo phân bố Fermi-Dirac Bose-Einstein, dẫn đến biểu khác họ hạt hệ vật lí Sự khác biệt rõ rệt hạt boson phép tồn trạng thái lượng tử, hạt fermion tuân theo nguyên lí Pauli nên việc khơng thể xảy Chính khác biệt dẫn đến tượng vật lí vơ quan trọng dự đốn lí thuyết vào năm 1924 Einstein, hạ nhiệt độ hệ khí lỗng (dilute gas) tạo hạt boson đến nhiệt độ tới hạn xác định, số hạt boson tồn trạng thái lượng tử đơn (single quantum state) có lượng thấp nhất, hiệu ứng lượng tử trở nên rõ ràng, quan sát cấp độ vĩ mô [6] Hiện tượng này, ngày biết đến rộng rãi với tên gọi ngưng tụ Bose – Einstein (Bose Einstein Condenstate - viết tắt BEC) Nhờ vào phát triển kĩ thuật làm lạnh laser (laser cooling) bẫy nguyên tử từ trường (magnetical traping) từ năm 1970, nhà vật lí Phịng thí nghiệm JILA - Đại học Colorado dẫn dắt Wieman Cornell, lần quan sát hình thành BEC nguyên tử 87 Rb khoảng 15 giây vào năm 1995 [1] Đây lần BEC tạo quan sát phịng thí nghiệm, kết chứng quan trọng nhằm chứng minh tiên đốn lí thuyết Einstein hồn tồn xác Từ đó, nhiều thí nghiệm khác thực thành công cho nguyên tử khác Li [2], Na [5], BEC quan sát khoảng mười hai hệ nguyên 72 Năm học 2016 - 2017 tử khác Thành cơng thí nghiệm mở thời kì phát triển mạnh mẽ ngành nghiên cứu hệ nguyên tử siêu lạnh (ultra-cold atom) vật chất ngưng tụ (condensed matter) Không dừng lại hệ nguyên tử, tượng ngưng tụ Bose-Einstein xảy hệ phân tử [16] hệ exciton [6] Thêm vào đó, nguyên tử BEC đặt mạng quang học (Optical Lattice - OL) có nhiều tính chất tương tự electron tương tác với mạng tinh thể chất rắn tạo nhiều hiệu ứng phi tuyến quan trọng vật lí, điều chứng minh cơng trình [12] Qua đó, ta thấy tượng ngưng tụ Bose-Eistein vấn đề liên quan có ý nghĩa vật lí vơ quan trọng tượng nghiên cứu lí thuyết thực nghiệm nhiều nhóm nghiên cứu giới Trong nghiên cứu thực nghiệm BEC, khí Bose cần khảo sát giam bẫy điều hòa ba chiều hai tính chất sau Thứ nhất, ngun tử chịu tác dụng bẫy điều hịa gây giúp q trình làm lạnh hệ khí dễ dàng Thứ hai, việc đặt hệ khí Bose bẫy giúp giảm số lượng nguyên tử cần thiết để tạo BEC từ tiết kiệm kinh phí cho thí nghiệm Do đó, khí Bose bẫy điều hịa ba chiều có nhiều ý nghĩa vật lí so với khí Bose tự Tuy nhiên, tài liệu [10,14], tác giả dừng lại việc mô tả hàm nhiệt động lực học đặc trưng cho khí Bose tự mà chưa đề cập đến khí Bose bẫy điều hịa Tuy có số cơng trình trình bày vấn đề [8,9], dừng lại việc đưa cơng thức giải tích gần mà thiếu tính tốn số để đánh giá độ xác xác định phạm vi áp dụng cơng thức giải tích gần Do đó, việc đưa quy trình tốn học chặt chẽ chứng minh cơng thức giải tích mơ tả hàm nhiệt động lực học đặc trưng cho khí Bose lí tưởng bẫy điều hịa tiến hành giải số xác để đánh giá độ tin cậy công thức giải tích hồn tồn cần thiết  Xuất phát từ tích phân tổng số hạt N   g ( ) f ( ,  , T )d  hàm mật độ trạng thái dao động tử điều hòa ba chiều g ( ) , chúng tơi đưa cơng thức giải tích mơ tả phụ thuộc hóa học vào nhiệt độ tuyệt đối, với kết hàm nhiệt động lực học cịn lại tính tốn giới thiệu báo cáo Trong đề tài này, khảo sát phụ thuộc vào nhiệt độ tuyệt đối hàm nhiệt động lực học khí Bose lí tưởng bẫy điều hòa ba chiều cụ thể gồm hóa học (chemical potential), lượng tồn phần (total energy), nhiệt dung riêng (specific heat capacity) Ở vùng nhiệt độ thấp nhiệt độ tới hạn, ta tìm lời giải giải tích xác mơ tả hàm nhiệt động lực đề cập Trong đó, vùng nhiệt độ cao, lời giải xác biểu diễn thơng qua hàm polylogarithm, nhiên việc có ý nghĩa mặt tốn học khơng thể rõ ý nghĩa vật lí khơng thể cách tường minh phụ thuộc vào nhiệt độ tuyệt đối [4] Do đó, chúng tơi sử dụng cơng thức khai triển Taylor-Maclaurin để tính tốn gần phụ thuộc hàm nhiệt động vào nhiệt độ tuyệt đối Để đánh giá độ tin cậy phạm vi áp dụng cơng thức giải tích gần đúng, chúng tơi tiến hành 73 Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH lập trình giải số xác hàm nhiệt động ngơn ngữ lập trình Fortran 77 Ngồi ra, trình đánh giá phạm vi áp dụng cơng thức giải tích, chúng tơi phát cơng thức mơ tả hóa học cho kết xác nhiệt độ hệ lân cận nhiệt độ tới hạn (critical temperature) Bên cạnh đó, khác biệt khí lượng tử (quantum gases) khí cổ điển (classical gases) bẫy điều hịa ba chiều vùng nhiệt độ thấp nhiệt độ tới hạn [11] trình bày cụ thể báo cáo Với đánh giá trên, đề tài “Khảo sát hàm nhiệt động khí bose lí tưởng bị bẫy điều hịa ba chiều” thực nhằm đưa quy trình tốn học chặt chẽ q trình tính tốn cơng thức giải tích gần hàm nhiệt động khí Bose lí tưởng bẫy điều hịa ba chiều, hiệu chỉnh cơng thức giải tích cho hóa Tc học lân cận nhiệt độ tới hạn Đây sở cho nghiên cứu tượng ngưng tụ Bose – Einstein tương lai Bài báo cáo trình bày với ba mục Mục hai trình bày kết nghiên cứu phụ thuộc hàm nhiệt động lực học đặc trưng cho khí Bose bẫy điều hòa ba chiều vào nhiệt độ tuyệt đối Trong mục ba, chúng tơi trình bày kết luận hướng phát đề tài Nhiệt độ tới hạn Tc tích số kTc với k số Boltzmann chọn làm đơn vị cho nhiệt độ lượng Kết nghiên cứu 2.1 Thế hóa học Thế hóa học hàm nhiệt động lực học đặc trưng cho lượng lượng tiêu tốn ta thêm hạt vào hệ khảo sát giữ entropy thể tích khơng đổi định nghĩa lượng tự Gibbs hạt [10,14] Việc xác định biểu thức tường minh hóa học vào nhiệt độ tuyệt đối đóng vai trị quan trọng việc tính tốn hàm nhiệt động khác Thế hóa học xác định biểu thức tổng số hạt hệ khảo sát  N   g ( ) f ( ,  , T )d  , (1) với g ( ) gọi hàm mật độ trạng thái đặc trưng cho số trạng thái khoảng lượng từ E đến E+dE, hàm phụ thuộc vào dạng năng, f ( ,  , T ) hàm phân phối số chiếm đóng phụ thuộc vào lượng  , nhiệt độ tuyệt đối T hóa học  Trong báo cáo này, chúng tơi khảo sát hệ khí Bose bẫy điều hịa ba chiều gây ra, đó, hàm mật độ trạng thái hàm phân phối có dạng: 74 Năm học 2016 - 2017 2 g ( )  , 2( )3 f ( ,  , T )  ,    exp   1  kT  (2) đó, k số Boltzmann Theo cơng trình [3], nhiệt độ tiến “không” độ tuyệt đối, hạt boson bắt đầu ngưng tụ trạng thái BEC, chúng có trạng thái có mức lượng thấp nhất,   , điều xảy hạt boson khơng tn theo ngun lí loại trừ Pauli Tại 0K, tất hạt trạng thái bản, đó, số trạng thái vi mơ   dẫn đến entropy hệ S  k ln   Khi thêm hạt boson vào hệ, hạt phải trạng thái để đảm bảo S  ,   , suy hóa học   Khi nhiệt độ tuyệt đối xấp xỉ “không” độ tuyệt đối, lượng nhỏ hạt boson trạng thái kích thích, entropy lượng tồn phần nhận giá trị khác “khơng” Lúc này, ta thêm hạt boson vào hệ, hạt trạng thái entropy hệ tăng nhẹ số trạng thái vi mô tăng Để entropy hệ không tăng, ta cần làm giảm lượng toàn phần hệ hay nói cách khác hệ lạnh ta thêm vào hệ hạt mới, điều yêu cầu hóa học phải nhận giá trị âm có độ lớn gần “không” lúc entropy lượng tồn phần có giá trị khơng q lớn Thế hóa học có độ lớn gần “khơng” nhiệt độ vượt qua nhiệt độ tới hạn Tc (critical tempereture), tất hạt trạng thái kích thích, trạng thái BEC khơng cịn tồn Nhiệt độ tới hạn định nghĩa là nhiệt độ thấp cho tất hạt boson trạng thái kích thích với hóa học có độ lớn cực đại,   Từ phương trình (1), thay   thực đổi biến số x   / kTc , tích phân (1) viết lại thành  kT  N  c    3 x dx 0 exp( x)  1, (3) tích phân xuất phương trình (3) tích số hàm Rieman bậc ba  (3) , Gamma bậc ba (3)  [14], từ suy biểu thức xác định nhiệt độ tới hạn kTc   N  (3) (4) Tại vùng nhiệt độ thấp nhiệt độ tới hạn, số lượng hạt trạng thái kích thích tính từ cơng thức sau N ex   (3)(kT )3 , (  ) (5) 75 Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH biểu thức biễu diễn nhiệt độ rút gọn   T / Tc , số lượng hạt boson đạt trạng thái BEC xác định N  N  N ex  N (1   ) (6) Ta thấy tỉ lệ với bậc ba theo nhiệt độ rút gọn nên nhiệt độ rút gọn giảm nhẹ tỉ lệ ngưng tụ tăng đáng kể tiến nhanh Khi nhiệt độ lớn nhiệt độ tới hạn, hạt tồn trạng thái kích thích, ta khơng thu BEC Do khác biệt hàm nhiệt động học pha ngưng tụ pha thường nên ta khảo sát hàm theo hai miền nhiệt độ tương ứng với hai pha Trong pha ngưng tụ, hạt boson trạng thái tuân theo phân phối Bose-Einstein với  0 N0  exp(  )  (7) Kết hợp biểu thức (6) (7), cơng thức mơ tả hóa học theo nhiệt độ rút gọn       ln 1  kTc  N 1     (8) Biểu thức (8) phụ thuộc vào nhiệt độ hóa học mà cịn vào số lượng hạt hệ khảo sát chứng quan trọng để chứng minh độ tụ chương trình tính tốn số chúng tơi đề tài này, biểu thức (8) thường không đề cập đến giáo trình vật lí thống kê cơng trình nghiên cứu khác Trong thực tế, tổng số hạt N dùng thí nghiệm vào cỡ 105 nên ta qua ảnh hưởng số hạng thứ hai, hóa học có giá trị   0, kTc (9) pha ngưng tụ Kết phù hợp với phần thảo luận Ở pha thường, giả thiết nhiệt độ đủ cao để  nhỏ từ áp dụng khai triển gần phương trình (1) theo cơng thức Taylor-Maclaurin Do phức tạp giải phương trình cao bậc ba nên dừng lại khai triển đến bậc hai, lúc (1) viết lại thành  N 76    exp   2( )   kT     exp     kT   2       exp   exp     kT   kT  2    d   (10) Năm học 2016 - 2017 Các tích phân (10) tính cách áp dụng cơng thức sau  n! với biến số x   / kT Thực phép tính tích phân p n1 giải phương trình bậc hai theo ẩn số  , ta thu biểu thức mơ tả hóa học pha thường theo nhiệt độ rút gọn  I n   x n exp(  px) dx    8 (3)    ln  4  16   kTc    (11) Như đề cập trên, tiến hành tính tốn số xác phương trình (1) nhằm đánh giá độ xác kết thu từ cơng thức giải tích Tần số góc tổng số hạt có giá trị   200 rad / s , N  105 , thông số sử dụng phổ biến nghiên cứu thực nghiệm BEC Trong báo cáo này, sử dụng sai số tương đối để đánh giá trực tiếp trùng khớp hai kết quả, công thức sai số tương đối cho công thức  anum  aapprox anum , (12) với anum , aapprox theo thứ tự kết giải số xác giải tích gần Hình bên trái thể kết giải số xác kết giải tích cơng thức (9), (11) tương ứng với đường màu đen, màu đỏ màu xanh với khoảng nhiệt độ rút gọn [0;2,5] Hình bên phải thể sai số tương đối giải số xác giải tích để đánh giá khoảng áp dụng cơng thức giải tích (9), (11) Ta thấy miền nhiệt độ rút gọn thấp 1, đề cập trên, có trùng khớp hồn tồn hai hướng tiếp cận Trong đó, nhiệt độ cao nhiệt độ tới hạn (   ), cơng thức giải tích mơ tả xác cho vùng có nhiệt độ tương đối lớn, cịn lân cận nhiệt độ tới hạn sai số lớn Điều giải thích sau: giả thiết nhiệt độ đủ cao (  nhỏ) để áp dụng khai triển TaylorMaclaurin, phức tạp việc giải phương trình bậc cao hai nên chuỗi ngắt bậc hai dẫn đến cơng thức giải tích mơ tả hóa học pha thường chưa tốt Đây lí mà giáo trình, cơng thức hóa học thường bị lược bỏ trình bày kết giải số Để khắc phục điều này, tiến hành hiệu chỉnh lại cơng thức hóa học lân cận nhiệt độ tới hạn xuất phát từ điều kiện tổng số giữ khơng đổi nên vi phân theo hóa học nhiệt độ 77 Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH Hình Đồ thị mơ tả phụ thuộc hóa học khí Bose lí tưởng bẫy điều hịa ba chiều vào nhiệt độ rút gọn sai số tương đối kết giải số xác kết giải tích gần Đường màu đen liền nét mơ tả kết giải số xác Đường nứt nét màu đỏ thể kết gần miền nhiệt độ cao đường gạch chấm màu xanh đại diện cho kết vùng nhiệt độ thấp dN  N N d  dT  ,  T (13) đó, 1 d  N   N       dT  T     (14) Thực hai phép tính đạo hàm phương trình (1), ta N N 3 , T Tc N  (3) N  ,   (2) kTc (15) thay kết vào biểu thức (14), ta thu công thức hiệu chỉnh cho hóa học   1 với giả thiết T  Tc  Tc   (3)  3   1 kTc  (2) (16) Với công thức hiệu chỉnh này, tiến hành so sánh lại kết xác định từ khoảng áp dụng cho công thức Kết chi tiết hình Từ hình bên phải, ta thấy sai số giảm nhiều so với chưa hiệu chỉnh, sai số tối đa lúc khoảng 15% Bằng việc thay đổi điều kiện chương trình tính tốn, chúng tơi khoảng nhiệt độ rút gọn để công thức hiệu chỉnh cho kết tốt [1:1,1] Tuy nhiên, sai số tương đối lớn Do nghiên cứu tới, chúng tơi tiếp tục hiệu chỉnh để thu công thức mơ tả tốt hóa học vùng nhiệt độ 78 Năm học 2016 - 2017 Hình Đồ thị mơ tả hóa học theo nhiệt độ rút gọn sau hiệu chỉnh 2.2 Năng lượng toàn phần Trong mục này, lượng tồn phần hệ khí Bose lí tưởng bẫy điều hịa ba chiều xây dựng hoàn toàn tương tự tiếp cận Năng lượng toàn phần hệ định nghĩa  E    g ( ) f ( ,  , T ) d  (17) Tương tự hóa học, ta khảo sát lượng toàn phần với hai miền nhiệt độ khác Trong pha ngưng tụ, hóa học có giá trị   trình bày mục 2.1, kết tích phân (17) tích số hàm Gamma bậc 4, (4)  , hàm Rieman bậc 4,  (4) , từ lượng tồn phần trung bình ngun tử hệ đơn vị NkTc theo nhiệt độ rút gọn xác định E  (4) 3  NkTc  (3) (18) Đối với miền nhiệt độ cao, áp dụng khai triển Taylor-Maclaurin đến bậc hai phương trình (17), cơng thức giải tích lượng toàn phần E 3 (3)  3  NkTc 16 (19) Trong (19), số hạng 3 trùng khớp với kết hệ khí cổ điển bẫy điều hòa ba chiều [10], số hạng thứ hai gọi hiệu chỉnh lượng tử cho lượng toàn phần Hiệu chỉnh lượng tử tồn nhiệt độ không lớn, nhiệt độ đủ lớn, (19) tiến giá trị cổ điển Lưu ý lượng tính hạt, cơng thức (18) (19) tổng qt cho khí Bose lí tưởng bẫy điều hịa ba chiều Hình thể lượng hạt theo nhiệt độ rút gọn sai số tương đối hai hướng tiếp cận 79 Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH Hình Đồ thị bên trái biểu diễn phụ thuộc lượng khí bose lí tưởng bẫy điều hịa ba chiều vào nhiệt độ rút gọn Đồ thị bên phải thể sai số tương đối kết giải số xác giải tích gần Đường chấm màu đen thể giới hạn cổ điển [11] Kết hợp với kết giải số phương trình (1), nghiệm xác phương trình (17) thể đường liền nét màu đen Kết giải tích mơ lượng hạt pha ngưng tụ pha thường biểu diễn đường gạch chấm màu xanh dương đứt nét màu đỏ Khi   cơng thức giải tích cho kết xác với sai số 3%, cịn   kết hồn tồn trùng khớp Từ hình 3, ta thấy rằng, pha ngưng tụ lượng toàn phần cho kết hoàn toàn khác với kết khảo sát quan niệm khí cổ điển [11] Đây khác biệt khí lượng tử khí cổ điển vùng nhiệt độ thấp Tại vùng nhiệt độ cao, lượng toàn phần tiến kết cổ điển hiệu ứng lượng tử trở nên mờ nhạt, khí hành xử khí cổ điển 2.3 Nhiệt dung Theo nhiệt động lực học, nhiệt dung định nghĩa lượng cần cung để nhiệt độ hệ tăng lên độ, cho công thức E (20) T Sử dụng cơng thức (20), ta tính đạo hàm trực tiếp biểu thức (18), (19), công thức mô tả thuộc nhiệt dung vào nhiệt độ rút gọn pha ngưng tụ pha thường thể qua biểu thức: C  (4)  12  , (21) Nk  (3) C C 3 (3)  3 , (22) Nk 8 Số hạng thứ hai công thức (22) hiệu chỉnh lượng tử cho nhiệt dung, nhiệt độ đủ lớn nhiệt dung tiến giới hạn cổ điển [11] lượng toàn phần Sự phụ thuộc nhiệt dung vào nhiệt độ rút gọn đánh giá độ xác cơng thức giải tích trình bày hình 80 Năm học 2016 - 2017 Hình Đồ thị biễu diễn phụ thuộc nhiệt dung vào nhiệt độ rút gọn đồ thị biễu diễn sai số tương đối hai phương pháp tính Đường chấm màu đen giới hạn cổ điển nhiệt dung khí Bose lí tưởng bẫy điều hòa ba chiều [11] Từ đồ thị thể sai số tương đối hai phương pháp tính, vùng nhiệt độ gần khơng độ tuyệt đối có sai số lớn phân kì chương trình tính đạo hàm Khi  1 , sai số tương đối lớn, 60%, tích lũy sai số tính hóa học lượng toàn phần Tuy nhiên, việc hiệu chỉnh khó khăn tốn nhiều thời gian phải trải qua hai khâu tính tốn trung gian hóa học lượng tồn phần Vì thế, thực việc nghiên cứu tới Thế hóa học lượng tồn phần (các đạo hàm bậc lượng Gibbs) biến đổi liên tục nhiệt độ tới hạn nhiệt dung (đạo hàm bậc hai lượng Gibbs) gián đốn q trình chuyển pha loại II theo phân loại Ehrenfest Lưu ý chuyển pha loại II xảy tự nhiên trình chuyển pha diễn cách liên tục, ta không cần phải cung cấp ẩn nhiệt chuyển pha (latent heat) Do đó, chuyển từ pha thường sang pha ngưng tụ BEC mang nhiều ý nghĩa vật lí Để xác định khoảng gián đoạn nhiệt dung nhiệt độ tới hạn ta xuất phát từ vi phân lượng toàn phần E E (23) d  dT  T Vi phân nhiệt độ tuyệt đối biến đổi liên tục nhiệt độ tới hạn nên số hạng thứ hai (23) đóng góp liên tục vào nhiệt dung Tại nhiệt độ tới hạn, vi phân hóa học gián đoạn nên gián đoạn nhiệt dung ảnh hưởng số hạng thứ [8] Lấy đạo hàm phương trình (17) theo hóa học, ta E  3N , (24)  khoảng gián đoạn nhiệt dung xác định dE  C  C (T  Tc )  C (T  Tc )  E   T , (25) T Tc kết hợp với phương trình (14), giá trị khoảng gián đoạn 81 Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH C  (3)  9  6.577 Nk  (2) (26) Kết hoàn toàn trùng khớp với kết cơng trình [8] nhiên cách tiếp cận báo cáo đơn giản mang nhiều ý nghĩa vật lí cách khai triển hàm poly logarithm mà Grossman cộng thực Kết luận hướng phát triển Các kết đạt đề tài gồm:  Đưa cơng thức giải tích mơ tả phụ thuộc vào nhiệt độ tuyệt hàm hóa học, lượng tồn phần, nhiệt dung riêng đặc trưng cho khí Bose lí tưởng bẫy điều hịa ba chiều  Đánh giá giới hạn sử dụng cơng thức giải tích phương pháp giải số  Lần công thức hiệu chỉnh hàm hóa học nhiệt độ lân cận nhiệt độ tới hạn đưa giới thiệu báo cáo Hạn chế đề tài khai triển chuỗi Taylor-Maclaurin tới bậc hai dẫn đến sai số lớn lân cận nhiệt độ tới hạn hóa học nhiệt dung Trong tương lai, tăng bậc khai triển Taylor-Maclaurin đến bậc ba để đưa công thức mô tả phù hợp Các kết đạt đề tài sở để tiến hành mở rộng nghiên cứu lí thuyết cơng trình nhóm tác giả Tomotake Yamakoshi Shinnichi Watanabe [16] cơng bố tạp chí Physical Review A vào năm 2015 nhằm giải thích thí nghiệm Pedersen thực vào năm 2013 [13] điều chế biên độ mạng quang học để bẫy BEC nguyên tử 87 Rb gói sóng (wave packets) Đó hướng nghiên cứu đề tài TÀI LIỆU THAM KHẢO M H Anderson et al (1995), “Observation of Bose-Einstein condensation in a dilute atomic vapor”, Science, 269 (5221), p 198 C C Bradley, C A Sackett, and R G Hulet (1997), “Bose-Einstein condensation of lithium: Observation of limited condensate number”, Physical Review Letters, 78 (6), p 985 G Cook, R H Dickerson, (1995) “Understanding the chemical petential” American Journal of Physics, 63(8), pp 737-742 Z Cheng (2015), “Exact analytical study of ideal Bose atoms in a one dimensional harmonic trap”, Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment, 2015 (9), P09011 K B Davis et al (1995), “Bose-Einstein condensation in a gas of sodium atoms”, Physical review letters, 75 (22), p 3969 82 Năm học 2016 - 2017 H Deng, H Haug, and Y.Yamamoto (2010), “Exciton-polariton Bose-Einstein Condensation”, Reviews of Modern Physics, 82 (2), p 1489 A Einstein (1924), “Quantentheorie des einatomigen idealen Gases”, Akademie der Wissenshaften, in Kommission bei W de Gruyter S Grossmann and M Holthaus (1995), “On Bose-Einstein condensation in harmonic traps”, Physics Letters A, 208 (3), pp 188–192 H Haugerud, T Haugset, and F Ravndal (1997), “A more accurate analysis of BoseEinste in condensation in harmonic traps”, Physics Letters A, 225 (1), pp 18–22 10 K Huang (2009), Introduction to statistical physics, CRC Press 11 M Ligare (2010), “Classical thermodynamics of particles in harmonic traps”, American Journal of Physics, 78 (8), pp 815–819 12 O Morsch and M Oberthaler (2006), “Dynamics of Bose-Einstein condensates in optical lattices”, Reviews of modern physics, 78 (1), p 179 13 P L Pedersen et al (2013), “Production and manipulation of wave packets from ultracold atoms in an optical lattice”, Physical Review A, 88 (2), p 023620 14 D V Schroeder (1999), An introduction to thermal physics, Addison Wesley Longman 15 H M Srivastava, C Junesang (2012), Zeta and q-Zeta functions and associated series and integrals, Elsevier 16 T Yamakoshi and S Watanabe (2015), “Wave-packet dynamics of noninteracting ultracold bosons in an amplitude-modulated parabolic optical lattice”, Physical Review A, 91 (6), p 063614 17 M W Zwierlein et al (2003), “Observation of Bose-Einstein condensation of molecules”, Physical review letters, 91 (25), p 250401 83 ... nhiệt động khí bose lí tưởng bị bẫy điều hòa ba chiều? ?? thực nhằm đưa quy trình tốn học chặt chẽ q trình tính tốn cơng thức giải tích gần hàm nhiệt động khí Bose lí tưởng bẫy điều hòa ba chiều, ... học cịn lại tính tốn giới thiệu báo cáo Trong đề tài này, khảo sát phụ thuộc vào nhiệt độ tuyệt đối hàm nhiệt động lực học khí Bose lí tưởng bẫy điều hịa ba chiều cụ thể gồm hóa học (chemical potential),... Đưa công thức giải tích mơ tả phụ thuộc vào nhiệt độ tuyệt hàm hóa học, lượng tồn phần, nhiệt dung riêng đặc trưng cho khí Bose lí tưởng bẫy điều hòa ba chiều  Đánh giá giới hạn sử dụng cơng thức