HÌNH học VD VDC NHÓM PI lời GIẢI

Nhóm Pi – Group luyện đề thi thử nâng cao NHĨM PI – GROUP LUYỆN ĐỀ HÌNH HỌC VD – VDC NHĨM PI Sưu tầm biên soạn: Hồng Trung Tú THI THỬ NÂNG CAO NỘI DUNG ĐỀ Câu 1: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có chiều cao h , góc hai mặt phẳng (SCD) (ABCD)  Tính thể tích khối chóp S ABCD theo h  A 3h tan2  B 4h tan2  C 8h tan2  D 3h tan2  Hướng dẫn giải: Gọi O tâm mặt đáy ( ) SO ⊥ mp ABCD Từ đó, SO đường cao hình chóp.Gọi M trung điểm đoạn CD Ta có: CD ⊥ SM  (SCD )  CD ⊥ OM  (ABCD )  SMO =  CD = (SCD )  (ABCD )  V= SABCD.SO; B = SABCD = AB2; Tìm AB: AB = 2OM Tam giác SOM vng tại O, ta có: tan  =  AB = SO h h  OM = = tan  OM OM 2h 4h Suy ra: B = SABCD = SO = h tan  tan2  Vậy VS.ABCD = 4h 4h h = tan2  tan2  Hồng Trung Tú Nhóm Pi – Group luyện đề thi thử nâng cao Câu 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a , cạnh SB vng góc với đáy ( ) mặt phẳng SAD tạo với đáy góc 60 Tính thể tích khối chóp S ABCD A V = 3a 3 B V = 3a 3 C V = 8a 3 D V = 4a 3 Hướng dẫn giải: AD ⊥ AB  AD ⊥ (SAB)  AD ⊥ SB  S Ta có:  AD ⊥ SA  SAB = 600 B C SABCD = 4a Xét tam giác SAB vng B, ta có:  2a SB = AB tan 600 = 2a A D 8a 3 Vậy V = 4a 2a = 3 Câu 3: Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B 'C ' có đáy ABC tam giác vng B , BC = a , mặt ( phẳng A ' BC ) tạo với đáy góc 30 tam giác A ' BC có diện tích a Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B 'C ' a3 A 3a 3 B 3a 3 C 3a 3 D Hướng dẫn giải: V= Bh = SABC.A’B’C’.AA’ A’ C’  BC ⊥ AB  BC ⊥ AB  BC ⊥ AA   Do  BC ⊥ AB  (ABC )  Và BC ⊥ A ' B  (ABC ) BC = (ABC )  (A ' BC )  ( ) ( B’ )  (ABC ),(A ' BC ) = AB, A ' B = ABA ' A C 30o a Ta có: S ABC = AB.BC 2.S ABC 2.a  AB = = = 2a BC a B Hồng Trung Tú Nhóm Pi – Group luyện đề thi thử nâng cao AB = AB.cos ABA = 2a 3.cos 300 = 3a; AA = AB.sin ABA = 2a 3.sin 300 = a 1 3a 3  VABC A ' B 'C ' AB.BC AA = 3a.a.a = 2 Câu 4: Cho hình lăng trụ ABC A ' B 'C ' có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng = B.h = S ABC AA = ( ) ( ) góc A ' ABC trung điểm AB Mặt phẳng AA 'C 'C tạo với đáy góc 45 Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A ' B 'C ' 3a A V = 16 3a B V = 3a C V = 3a D V = Hướng dẫn giải: Gọi H, M, I lần lượt trung điểm đoạn thẳng AB, AC, AM A’ B’ VABC A ' B 'C ' = S ABC A ' H S ABC C’ a2 = Ta có IH đường trung bình tam giác AMB , MB trung tuyến tam giác ABC H A B I IH // MB  IH ⊥ AC Do đó:  MB ⊥ AC  a M C AC ⊥ A ' H  AC ⊥ A ' HI  AC ⊥ A ' I  AC ⊥ IH  AC ⊥ IH  (ABC )  Mà: AC ⊥ A ' I  (ACC ' A ')  A ' IH góc gữa hai mặt phẳng AA 'C 'C (ABC )  (ACC ' A ') = AC  ( ) ( ( ) ) ABC  A ' IH = 45 Trong tam giác A ' HI vng H, ta có: tan 45 = A'H  A ' H = IH tan 45o HI a a 3a a = = IH = MB = Vậy V = 4 16 Câu 5: ( ) Cho hình chóp S ABC , góc mặt bên mặt phẳng đáy ABC 600 , khoảng cách hai đường thẳng SA BC 3a Thể tích khối chóp S ABC theo a Hồng Trung Tú Nhóm Pi – Group luyện đề thi thử nâng cao A a3 12 B a3 18 C a3 16 D a3 24 Hướng dẫn giải: Gọi M trung điểm BC Trong mp(SAM), Kẻ MH ⊥ SA,(H  SA) BC ⊥ AM  BC ⊥ SAM  BC ⊥ MH BC ⊥ SO Do MH đường vng góc chung SA BC ( Ta có:  3a Suy MH = ) Ta có: SM ⊥ BC  Đặt OM = x  AM = 3x,OA = 2x ((SBC ) , (ABC )) = SMA = 60  SO = OM tan 600 = x SA = ( ) + (2x ) x 2 S =x Trong SAM ta có: SA.MH = SO.AM 3a a  x = x 3.3x  x = H Khi đó: AM = 3x = VS ABC Câu 6: a = C A O a  AB = a 1 a2 a a2 = S ABC SO = = 3 24 M B Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O , AC = 3a , BD = 2a , ( ) ( ) ( ) ( ) hai mặt phẳng SAC SBD vng góc với mặt phẳng ABCD Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng SAB a3 A 16 a3 B 18 a Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a a3 C a3 D 12 Hướng dẫn giải Ta có tam giác ABO vng O AO = a , Hoàng Trung Tú Nhóm Pi – Group luyện đề thi thử nâng cao S BO = a Do AO = = tan 600  ABO = 600 BO Suy ABD ( ( ( I ) ( ) ( ) ( ( ) )  SAC ⊥ ABCD   SBD ⊥ ABCD Ta có:  SAC  SBD = SO   SO ⊥ ABCD ) ) D 2a C A O B Trong tam giác ABD , gọi H trung điểm AB, K trung điểm BH, suy DH ⊥ AB DH = a ; OK / /DH OK = ( ) a DH = 2 Suy OK ⊥ AB  AB ⊥ SOK ( ) Gọi I hình chiếu O lên SK, ta có:OI ⊥ SK ; AB ⊥ OI  OI ⊥ SAB ( )  OI = d O; SAB    Tam giác SOK vuông O, OI đường cao: VS ABCD = Câu 7: 1 a = +  SO = OI OK SO 1 1 a3 S ABCD SO = 4.S ABO SO = .OAOB SO = 3 3 Cho hình chóp tứ giác S ABCD , O giao điểm AC BD Biết mặt bên hình chóp tam giác khoảng từ O đến mặt bên a Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a A 2a 3 B 4a 3 C 6a 3 Hướng dẫn giải: D 8a 3 Hồng Trung Tú Nhóm Pi – Group luyện đề thi thử nâng cao Gọi M trung điểm CD , SOM kẻ đường cao OH ( A S )  OH ⊥ SCD  OH = a Đặt CM = x Khi OM = x , SM = x , SO = SM − x = x Ta có: SM OH = SO.OM  x 3.a = x 2.x  x = VS ABCD = Câu 8: A a  CD = a 6, SO = a a D M O B H x C 1 SABCD SO = CD SO = 6a a = 2a 3 3 ( ) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SA ⊥ ABCD ABCD hình thang vng A B biết AB = 2a AD = 3BC = 3a Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a biết góc (SCD ) (ABCD ) 60 A 6a B 6a C 3a Hướng dẫn giải: D 3a Dựng AM ⊥ CD M Ta có: SMA = 600 S ABCD S AD + BC = AB = 4a 2 CD = (AD − BC ) S ABC = AB.BC = a 2 + AB = 2a A M S ACD = S ABCD − S ABC = 3a SACD Câu 9: B 2S = AM CD  AM = ACD = a CD Ta có: SA = AM tan SMA = D C ABCD = 6a a VS ABCD = SAS ( ) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SA ⊥ ABCD , ABCD hình thang vng A B biết AB = 2a AD = 3BC = 3a Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a , biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) a Hồng Trung Tú Nhóm Pi – Group luyện đề thi thử nâng cao A 6a B 6a C 3a Hướng dẫn giải: D 3a Dựng AM ⊥ CD M Dựng AH ⊥ SM H Ta có: AH = S ABCD = a S AD + BC AB = 4a 2 CD = (AD − BC ) S ABC = AB.BC = a 2 H + AB = 2a A D M S ACD = S ABCD − S ABC = 3a SACD = Ta có: B C 2S AM CD  AM = ACD = a CD 1 = +  AS = 2 AH AM AS VS ABCD = AH AM AM − AH = a SAS ABCD = 6a 3 ( Câu 10: Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B 'C ' có BB ' = a , góc đường thẳng BB ' ABC ) 60 , tam giác ABC vng C góc BAC = 60 Hình chiếu vng góc điểm ( ) B ' lên ABC trùng với trọng tâm ABC Thể tích khối tứ diện A '.ABC theo a 7a B 106 13a A 108 9a D 208 15a C 108 Hướng dẫn giải: 60 Gọi M, N trung điểm AB, AC B' C' G trọng tâm ABC ( B 'G ⊥ ABC ( ) A' )   BB ', ABC  = B ' BG = 600   VA ' ABC 1 = S ABC B ' G = AC BC B 'G Xét B ' BG vng G , có B ' BG = 60 B 60 M C G N A Hồng Trung Tú Nhóm Pi – Group luyện đề thi thử nâng cao  B 'G = a (nửa tam giác đều) Đặt AB = 2x Trong ABC vng C có BAC = 600 AB = x , BC = x  tam giác ABC tam giác  AC = Do G trọng tâm ABC  BN = 3a BG = Trong BNC vuông C : BN = NC + BC  3a AC = 9a x 9a 3a  13  = + 3x  x = x =  16 52 13 BC = 3a  13 2 Vậy, VA ' ABC = 3a 3a a 9a = 13 13 208 Câu 11: Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B 'C ' , biết đáy ABC tam giác cạnh a Khoảng cách ( từ tâm O tam giác ABC đến mặt phẳng A ' BC ) a6 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B 'C ' A 3a B 3a 28 C 3a D 3a 16 Hướng dẫn giải: Gọi M trung điểm BC , ( ) ( ) A' C' ta có A ' AM ⊥ A ' BC theo giao tuyến A' M ( ) Trong A ' AM kẻ B' OH ⊥ A ' M (H  A ' M ) (  OH ⊥ A ' BC ( ( ) Suy ra: d O, A ' BC S ABC = a )) a = OH = A C H O M B Xét hai tam giác vuông A ' AM OHM có góc M chung nên chúng đồng dạng Hồng Trung Tú Nhóm Pi – Group luyện đề thi thử nâng cao a OH OM =  = Suy ra: A'A A'M A'A  A'A = a  = 2 A ' A A ' A + AM a  A ' A2 +       a a a 3a = Thể tích: VABC A ' B 'C ' = S ABC A ' A = 4 16 Câu 12: Cho hình chóp tam giác S ABC có M trung điểm SB , N điểm cạnh SC cho NS = 2NC Kí hiệu V1,V2 lần lượt thể tích khối chóp ABMNC S AMN Tính tỉ số A V1 V2 V1 = V2 B V1 = V2 C V1 = V2 D V1 =3 V2 Hướng dẫn giải S VS AMN SM SN =  =  = ; VS ABC SB SC 3 VS AMN + VA.BMNC = VS ABC Suy ra, N M VA.BMNC = VS AMN C A B Câu 13: Cho hình chóp tam giác S ABC có M trung điểm SB , N điểm cạnh SC cho NS = 2NC , P điểm cạnh SA cho PA = 2PS Kí hiệu V1,V2 lần lượt thể tích khối tứ diện BMNP SABC Tính tỉ số A V1 = V2 B V1 = V2 C V1 V2 V1 = V2 D V1 = V2 Hướng dẫn giải Hồng Trung Tú Nhóm Pi – Group luyện đề thi thử nâng cao 10  d(N ,(SAB ))  SBMP VN BMP = ; VC SAB  d(C,(SAB ))  SSAB d (N ,(SAB )) NS = = , d (C,(SAB )) CS S P N M 1 SBPS =  SSAB 2 VN BMP 1 =  = Suy ra, VC SAB SBPM = C A B Câu 14: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy 2a , góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) 45 , M , N P lần lượt trung điểm cạnh SA, SB AB Tính thể tích V khối tứ diện DMNP A V = a3 B V = a3 C V = a3 12 D V = a3 Hướng dẫn giải Ta có: SSMN SM SN =  = SSAB SA SB Tương tự, Suy S BNP S = , AMP = SSAB SSAB S S MNP = (có thể khẳng định SSAB M N S MNP = nhờ hai tam giác MNP SSAB A BAS hai tam giác đồng dạng với tỉ số k = ) V Do D MNP = (1) VD SAB P D 45° O B C VD SAB = VS DAB = VS ABCD (2) VS ABCD VDMNP 1 4a = SO.S ABCD = OP tan 45.SABCD = (3) Từ (1), (2) (3): 3 1 4a a = = Hồng Trung Tú Nhóm Pi – Group luyện đề thi thử nâng cao 11 Câu 15: Cho lăng trụ ABC ABC  có đáy ABC tam giác vuông cân B , AC = 2a ; cạnh bên AA = 2a Hình chiếu vng góc A mặt phẳng (ABC ) trung điểm cạnh AC Tính thể tích V khối lăng trụ ABC ABC  a3 B V = 3 A V = a D V = C V = a 2a Hướng dẫn giải B' A' Vì ABC tam giác vuông cân B nên trung tuyến BH đường cao nó, C' HB = HA = HC = AC = a a AH = AA2 − AH = 2a − a = a VABC AB C  = AH  SABC = AH  BH  AC = a B A a a H a C Câu 16: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, AC AD đơi vng góc với Gọi G1,G2,G3 G lần lượt trọng tâm mặt ABC , ABD, ACD BCD Biết AB = 6a, AC = 9a , AD = 12a Tính theo a thể tích khối tứ diện G1G2G3G4 A 4a B a C 108a Hướng dẫn giải D 36a Trong trường hợp tổng quát, ta chứng minh được VG G G G = V 27 ABCD D Thật vậy, ta có (G2G3G4 ) (CBA) G2G3G4 ) G3 CBA (tỉ số đồng dạng SG G G G2 1 k = ) Từ đó: = k = SCBA d (G1,(G2G3G )) = d (G ,(ABC )) 1 = d (D,(ABC )) (do G 4M = DM ) B 3 VG G G G d (G1,(G2G3G4 )) SG2G3G4 1  =  = Suy = VABCD d (D,(ABC )) SCBA 27  VG G G G = G4 A C G1 M 1 VABCD =  AB.AC AD = 4a 27 27 Hồng Trung Tú Nhóm Pi – Group luyện đề thi thử nâng cao 12 Câu 17: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 11m , BC = AD = 20m , BD = AC = 21m Tính thể tích khối tứ diện ABCD B 720m A 360m C 770m Hướng dẫn giải Dựng tam giác MNP cho C, B, D lần lượt trung điểm cạnh MN, MP, NP Do BD đường trung bình tam giác MNP nên BD = A MN hay z x 11 y Tam giác AMN vng A (do có trung tuyến nửa cạnh tương ứng), hay AM ⊥ AN Tương tự, AP ⊥ AN AM ⊥ AP Từ đó, VABCD 21 20 AC = MN Ta có S MBC = D 340m B M P 20 21 11 D C N 1 1 SMNP , S NCD = S MNP , S BPD = S MNP Suy S BCD = S MNP 4 4 x + y = 4.202  = VAMNP Đặt x = AM , y = AN , z = AP Ta có y + z = 4.212 , x + z = 4.112  x = 160  1 Suy y = 1440  xyz = 1440  VABCD = VAMNP = 360m z = 324  (AM, AN, AP đơi vng góc nên VAMNP = V = AM AN AP ) (a + b − c )(a − b + c )(−a + b + c ) 12 Câu 18: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy vng; mặt bên (SAB) tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) 7a Tính thể tích V khối chóp S ABCD A V = a B V = a C V = a D V = 3a Hướng dẫn giải Hồng Trung Tú Nhóm Pi – Group luyện đề thi thử nâng cao 13 Gọi H trung điểm AB, suy SH chiều cao khối chóp cho Kí hiệu x độ dài cạnh đáy Ta có SH = S x 3 x Kẻ HK ⊥ CD (K  CD) ; L VS ABCD = A D H Kẻ HL ⊥ SK (L  SK ) K X Suy HL ⊥ (SCD) B C d (A,(SCD )) = d (H ,(SCD )) = HL = HS  HK HS + HK = 21 x 21 7a 3 3 x =  x = a Suy VS ABCD = x = (a 3)3 = a 7 6 Theo gt, Câu 19: Cho tứ diện S ABC , M N điểm thuộc cạnh SA SB cho MA = 2SM , SN = 2NB , ( ) mặt phẳng qua MN song song với SC Kí hiệu (H ) (H ) khối đa diện có được chia khối tứ diện S ABC mặt phẳng ( ) , đó, (H ) chứa điểm S , (H ) chứa điểm A ; V1 V2 lần lượt thể tích (H ) (H ) Tính tỉ số A B C D V1 V2 Hướng dẫn giải Kí hiệu V thể tích khối tứ diện SABC Gọi P , Q lần lượt giao điểm ( ) với đường thẳng BC , AC Ta có NP//MQ//SC Khi chia khối (H ) mặt phẳng (QNC ) , ta được hai khối chóp N SMQC N QPC Ta VN SMQC VB ASC có: = d(N ,(SAC )) SSMQC ;  d(B,(SAC )) SSAC Hoàng Trung Tú Nhóm Pi – Group luyện đề thi thử nâng cao 14 d (N ,(SAC )) NS = = ; d (B,(SAC )) BS SAMQ  AM  =  =  SASC  AS  V Suy N SMQC =  = VB ASC VN QPC S SSMQC SASC = M 10 27 d (N ,(QPC )) SQPC =  VS ABC d (S,(A BC )) S ABC NB CQ CP 1 2 =   ==   = SB CA CB 3 27 N C A Q P B V1 VN SMQC VN QPC 10 V1 V 4 = + = + =  =  5V1 = 4V2  = V2 V VB ASC VS ABC 27 27 V1 + V2 Câu 20: Cho hình chóp S ABC có chân đường cao nằm tam giác ABC ; mặt phẳng (SAB) , (SAC ) (SBC ) tạo với mặt phẳng (ABC ) góc Biết AB = 25 , BC = 17 , AC = 26 ; đường thẳng SB tạo với mặt đáy góc 45 Tính thể tích V khối chóp S ABC A V = 408 B V = 680 C V = 578 D V = 600 Hướng dẫn giải Gọi J chân đường cao hình chóp S.ABC; H, K L lần lượt hình chiếu J S cạnh AB, BC CA Suy ra, SHJ , SLJ SKJ lần lượt góc tạo mặt phẳng (ABC ) với mặt phẳng (S AB) , (SBC ) (SAC ) Theo giả thiết, ta có SHJ = SLJ = SKJ , suy tam giác vuông SJH , SJL SJK Từ đó, JH = JL = JK Mà J nằm tam giác ABC nên J tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC Áp dụng cơng thức Hê-rơng, ta tính được diện tích S tam giác ABC S = 204 z=17 y=9 K C A J z=17 y=9 H L x=8 x=8 B Hoàng Trung Tú Nhóm Pi – Group luyện đề thi thử nâng cao 15 Kí hiệu p nửa chu vi tam giác ABC, r bán kính đường tròn nội tiếp ABC Ta có S 204 = = Đặt x = BH = BL , p 34 y = CL = CK , z = AH = AK x + y = 17  Ta có hệ phương trình x + z = 25 y + z = 26  Giải được (x; y; z ) = (8;9;17) z K y C A r = y J z L H x x B JB = JH + BH = 62 + 82 = 10 Ta có SBJ = (SB,(ABC )) = 45 , suy SJB tam giác vuông cân J SJ = JB = 10 Thể tích V khối chóp S.ABC V = SJ S ABC = 680 Hoàng Trung Tú ... Do D MNP = (1) VD SAB P D 45° O B C VD SAB = VS DAB = VS ABCD (2) VS ABCD VDMNP 1 4a = SO.S ABCD = OP tan 45.SABCD = (3) Từ (1), (2) (3): 3 1 4a a = = Hồng Trung Tú Nhóm Pi – Group luyện.. .Nhóm Pi – Group luyện đề thi thử nâng cao Câu 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a , cạnh SB vng góc với đáy ( ) mặt phẳng... V = 4 16 Câu 5: ( ) Cho hình chóp S ABC , góc mặt bên mặt phẳng đáy ABC 600 , khoảng cách hai đường thẳng SA BC 3a Thể tích khối chóp S ABC theo a Hồng Trung Tú Nhóm Pi – Group luyện đề thi