CỰC TRỊ hàm số VD HOÀNG TRUNG tú

Nhóm Pi – Group luyện đề thi thử nâng cao NHĨM PI – GROUP LUYỆN ĐỀ ĐỀ ƠN LUYỆN CỰC TRỊ HÀM SỐ THI THỬ NÂNG CAO Sưu tầm biên soạn: Hoàng Trung Tú NỘI DUNG ĐỀ Câu 1: ( ) Gọi  đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x − 3x − 9x + Giá trị tham số m dương gần giá trị để ba đường thẳng (d ) : 2x + y − = 0, (d ) : (m + 1) x − y + m 2 A B (  ) , (d ) , (d ) với − = đồng quy C D Lời giải Xét hàm số y = x − 3x − 9x + , ta có y ' = 3x − 6x − 9, x  ()  (  ) : 8x + y + = x = −1 → y ( −1) = x = → y = −26 Phương trình y ' =   ( ) ( ) Tọa độ giao điểm  d1  8x + y + =   x = −    M  − ;2    2x + y − = y =  ( )( )( ) ( ) m  + 73 m →m 2m − m − = Vì  , d1 , d2 đồng quy nên M  d2 suy  gần giá trị Chọn C Câu 2: Cho hàm số y = x − 2x + 2x + Gọi (d) đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị Tính tổng tất giá trị tham số m để đường thẳng (d) song song với đường thẳng ( ) : 36m x − 9y + 9m + 10 = Hồng Trung Tú Nhóm Pi – Group luyện đề thi thử nâng cao A m = B m = C m = − D m = Lời giải Xét hàm số y = x − 2x + 2x + , ta có y ' = 3x − 4x + y '' = 6x − 4; x  Tuy nhiên, dễ thấy phương trình y ' = có nghiệm vơ tỷ (nghiệm xấu) nên việc viết phương trình đường thẳng (d) theo cách thơng thường dài tốn thời gian Vậy trường hợp ( ) ta dụng công cụ tổng quát CT  : g x = y − () Ta có g x = x − 2x ( 3x + 2x + − ( ) Gán x = 100 → g 100 = y '.y '' 18a )( − 4x + 6x − 18 ) 413 4.100 + 13 13 13 = = x+ y = x + đường thẳng 9 9 9 qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số  9m = 4m =   m =− Theo ra, ta có d / /    m + 10  13 m    9 () ( ) Chọn A Câu 3: () Gọi a, b, c giá trị cho hàm số f x = x + ax + bx + c đạt cực trị điểm ( ) x = −2 đồ thị hàm số qua điểm M 1; Tính tổng a + b + c A 36 B 29 C 25 D 40 Lời giải ( ) Đồ thị hàm số qua điểm M 1; suy () f =  a + b + c + =  a + b + c = −1 () () (1) Xét hàm số f x = x + ax + bx + c , ta có f ' x = 3x + 2ax + b; x  ( ) Hàm số đạt cực trị x = −2 f −2 = suy Hồng Trung Tú Nhóm Pi – Group luyện đề thi thử nâng cao ( ) ( )  f ' −2 = 12 − 4a + b =   f −2 = 4a − 2b + c − =  (2 ) a + b + c = −1 a =   Từ (1),(2) ta 4a − b = 12  b =  a + b + c = 25 4a − 2b + c = c = −4   Chọn C Câu 4: ( ) ( ) Biết hai điểm M 0;2 , N 2; −2 điểm cực trị đồ thị hàm số y = ax + bx + cx + d Tính giá trị hàm số x = −2 ( ) ( ) A y −2 = ( ) B y −2 = 22 C y −2 = ( ) D y −2 = −18 Lời giải Xét hàm số y = ax + bx + cx + d , ta có y ' = 3ax + 2bx + c; x  ( ) ( ) Đồ thị hàm số qua hai điểm cực trị M 0;2 , N 2; −2 c = 0; d =   y ' = y ' =   a = 1;b = −3  12a + 4b + c =   y = x − 3x +  c = 0; d =  y = 2; y = −2 8a + 4b + 2c + d = −2    () () () () ( ) Vậy giá trị hàm số x = −2 f −2 = −18 Chọn D Câu 5: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = 4x + mx − 12x đạt cực tiểu điểm x =2 A m = −9 B m = C m = −2 D m = Lời giải 2 Xét hàm số y = 4x + mx − 12x , ta có y ' = 12x + 2mx − 12 y '' = 24x + 2m; x  () () y ' = 12.22 + 2m.2 − 12 = 4m + 36 =    m = −9 Theo ra, ta có  m + 24  24.2 + m  y ''       Hồng Trung Tú Nhóm Pi – Group luyện đề thi thử nâng cao Chọn A Câu 6: ( ( ) ) Cho hàm số y = −2x + 2m − x − m − x + Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m để hàm số cho có hai điểm cực trị A B C D Lời giải () ( ) Xét hàm số y = f x , ta có y ' = −6x + 2m − x − m + 1; x  ( ) (* ) Phương trình y ' =  6x − 2m − x + m − = Để hàm số cho có hai điểm cực trị  phương trình y ' = có hai nghiệm phân biệt ()  * có hai nghiệm phân biệt ( ( ) )   '   2m − − m −   2m + 4m −  − 2+3 2−3 m − Mà m  2   suy m = −3; −2; −1; 0;1 Chọn B Câu 7: Cho hàm số y = x + ax + bx + Biết hàm số đạt cực tiểu x = , tìm giá trị nhỏ biểu thức T = a + b A B C 10 D 10 Lời giải Xét hàm số y = x + ax + bx + , ta có y ' = 3x + 2ax + b y '' = 6x + 2a; x  () () y ' = 3 + 2a + b = b = −2a −   6 + 2a  a  −3 y ''  Hàm số đạt cực tiểu x =   ( Khi T = a + b = a + −2a − ) = a + 4a + 12a + = 5a + 12a + () Xét hàm số f a = 5a + 12a + với a  −3 ta có () () f ' a = 10a + 12; f ' a =  a = − Hồng Trung Tú Nhóm Pi – Group luyện đề thi thử nâng cao  6  5 Tính f  −  = 9 ; f −3 = 18; lim f a = + → f a =  Tmin = a →+ 5 ( ) () () Chọn B Câu 8: () Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số f x = 2x − 3x − m có giá trị cực trị trái dấu ( A −1 ) ( ) ( ) D 0;1 B −;  −1; + C −1; Lời giải x =  Ta có f ' x = 6x − 6x ; f ' x =   x = ( ) ( ) ( () ()  f = −m   f = −m − ) Yêu cầu toán  m m +   −1  m  Chọn C Câu 9: ( ) 2 Gọi x1, x hai điểm cực trị hàm số y = x − 3mx + m − x − m + m Giá trị tham số m để x 12 + x 22 − x 1x = B m =  A m = C m =  D m = 2 Lời giải ( ) ( ) Ta có y ' = 3x − 6mx + m − = x − 2mx + m −   Do  ' = m − m + =  0, x  nên hàm số ln có hai điểm cực trị x1, x x + x = 2m x 1x = m − Theo hệ thức Viet, ta có  u cầu tốn (  x1 + x ) ( ) − 3x 1x =  4m − m − =  m =  m = 2 Chọn D Hoàng Trung Tú Nhóm Pi – Group luyện đề thi thử nâng cao Câu 10: Hàm số y = ax + bx + cx + d đạt cực trị hai điểm x1, x nằm hai phía trục tung A a  0, b  0, c  B a,c trái dấu C b − 12ac  D b − 12ac  Lời giải Đạo hàm: y ' = 3ax + 2bx + c Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung phương trình y ' = có hai nghiệm x1, x trái dấu Suy a c trái dấu Chọn B Câu 11: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = ( ) x − mx + m + x có hai điểm cực trị ( ) nằm khoảng 0; + ? A m  B m  C m = D  m  Lời giải Ta có y ' = x − 2mx + m + Yêu cầu toán  y ' = có hai nghiệm dương phân biệt ( )( )  m   ' = m − m −   m +1 m −2      S = x + x   2m    m  −1  m  P = x x  m +  m     Chọn A ( ) Câu 12: Cho hàm số y = 2x − m + x + 6mx + m Tìm giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cho độ dài AB = A m = B m = m = C m = D m = Lời giải ( ) ( ) x = x = m Ta có y ' = 6x − m + x + 6m, y ' =  x − m + x + m =   Hoàng Trung Tú Nhóm Pi – Group luyện đề thi thử nâng cao Để hàm số có hai điểm cực trị  m  ( ) ( ) Tọa độ điểm cực trị A 1; m + 3m − B m; 3m ) + (m ( Suy AB = m − ) ( ) ( ) − 3m + 3m − = m − + m − Theo ta có ( ) ( ) AB =  m − + m − ( ) ( ) ( ( ) ( ) 2 =   m −  − +  m − − 1 =     ) (   m − − 1  m − + m − +  =  m −     ) m = =1  (thỏa m =  mãn) Chọn B ( ) Câu 13: Cho hàm số y = x + 3x + mx + m − với m tham số, có đồ thị C m Xác định tham ( ) số m để C m có điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía trục hoành? A m  B m  C m  D m  Lời giải Đạo hàm y ' = 3x + 6x + m Với y' ' = − 3m Đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu khi: y' '   m  1 3 Ta có y =  x +  2m   2m  1 − 2 x +  − 2  y '+  3       2m   2m  −  x1 +  − 2 y1 =       Gọi x1, x hoành độ điểm cực trị đó:  y =  2m −  x +  2m −       Hai điểm cực trị nằm hai phía trục hoành khi:  2m  y1.y2    −  x1 + x +    ( )( ) Hồng Trung Tú Nhóm Pi – Group luyện đề thi thử nâng cao   2m   2m  m  m   −  x 1x + x + x +    −   − 1    m3     2    ( ) Chọn C Câu 14: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = ( )( ) x − x + ax + đạt cực trị x1, x thỏa mãn điều kiện x12 + x + 2a x 22 + x + 2a = A a = B a = −4 C a = −3 D a = −1 Lời giải Xét hàm số y = x − x + ax + , ta có y ' = x − x + a; x  Phương trình y ' =  x − x + a = (*) , có  = ( −1) − 4a = − 4a Để hàm số cho có hai điểm cực trị có hai nghiệm phân biệt  a  Khi đó, gọi x1, x hoành độ điểm cực đại, cực tiểu hàm số ( )(x Ta có x + x + 2a (  x 1x ) 2 ) + x + 2a = ( ( ) ( Mà x 13 + x 23 = x + x  x + x ( ) + x 1x + x 13 + x 23 + 2a x 12 + x 22 + x + x + 4a = x12 + x 22 = x1 + x ) ) − 3x 1x  = − 3a  − 2x1x = − 2a ( ) a = a = −4 Suy a + a + − 3a + 2a − 2a + 4a =  a + 2a − =   Kết hợp với điều kiện a  → a = giá trị cần tìm Chọn A Hồng Trung Tú Nhóm Pi – Group luyện đề thi thử nâng cao Câu 15: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x − m + x + mx có cực đại, ( ) cực tiểu thỏa mãn điều kiện xCD − xCT = A m =   B m = −6  C m = 0;6  D m = 0; −6 Lời giải x − m + x + mx , ta có y ' = x − m + x + m; x  ( Xét hàm số y = ) ( ( ) Phương trình y ' =  x − m + x + m = ( ) (*) , có )  = m + − 4m = m + 6m + 10 Để hàm số cho có hai điểm cực trị  y ' = có hai nghiệm phân biệt ( () )  * có hai nghiệm phân biệt   ' = m + 6m + 10 = m + +  0; m  Khi đó, gọi xCD, xCT hoành độ điểm cực đại, cực tiểu hàm số xCD + xCT = m + x x = m  CD CT Theo hệ thức Viet, ta có  ( Mặt khác xCD − xCT =  xCD − xCT (  xCD + xCT ) ) = 25 m = − 4.xCD xCT = 25  m + − 4m = 25  m + 6m =   m = −6 (  )  Vậy giá trị cần tìm m m = 0; −6 Chọn D ( ) ( ) Câu 16: Cho hàm số y = x + 2m − x + m + x Tập hợp tất giá trị tham số thực m cho đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị đồng thời hồnh độ điểm đại không nhỏ −1  1 4  A  −; −     B  −; −   1 1   2; + C  −; −  4 4  ( )  D  −; −  1  4  Lời giải Hoàng Trung Tú Nhóm Pi – Group luyện đề thi thử nâng cao ( ) ( ) ( ) ( 10 ) Xét hàm số y = x + 2m − x + m + x , ta có y = x + 2m − x + m + x ( ) (* ) Phương trình y ' =  3x + x 2m − x + m + = Để hàm số cho có hai điểm cực trị  y ' = có hai nghiệm phân biệt m   * có hai nghiệm phân biệt   ' = 4m − 7m −    m  −  () (1) Vì hệ số a =  nên xCD  xCT suy xCD = −b +  ' − 2m − 4m − 7m − = a Theo ra, ta có xCD  −1   − 2m − 4m − 7m −  −1  − 2m − 4m − 7m −  −3   m 1  4m − 7m −  − 2m  Kết hợp (I), ta m   −; −   4  m = 2 ( ) ( ) Câu 17: Cho hàm số y = x − 2x + m có đồ thị C Gọi A điểm cực đại đồ thị hàm số C , ( ) điểm B m − 1; m − m với m  −1 Gọi m1, m2 hai giá trị cho độ dài AB ngắn nhất, tổng m1 + m2 A B D − C 1 Lời giải ( x = x = 1 ) Xét hàm số y = x − 2x + m ta có y ' = 4x − 4x ; y ' =  x x − =   ( ) Vì hệ số a =  nên A 0; M điểm cực đại đồ thị hàm số ( ) ( ) ( m − 1) + ( m Ta có B m − 1; m − m  AB = m − 1; m − 2m  AB = ( ) Đặt t = m − 2m + = m − 2 (  0, AB = t + t − ) 2 − 2m ) 2  1 3 = t −  +  2  Hồng Trung Tú Nhóm Pi – Group luyện đề thi thử nâng cao Suy AM = 11 1 , dấu “=” xảy  t =  m − 2m + =  m1 + m2 = 2 2 Chọn B ( ) Câu 18: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số P = a − m − b có cực trị A  m  B m  m  m  C m  D  Lời giải TH1 Với m = 0, hàm số trở thành y = − x hàm số bậc hai nên có điểm cực trị, hệ số a = −1  nên hàm số có điểm cực đại ( ) TH2 Với m  0, xét hàm số y = mx + m − x + 3m + , ta có ( ) y ' = 4mx + m − x ( ) x = Phương trình y ' =  y ' = 4mx + m − x =   2mx = − m (*) Để hàm số có cực trị  Phương trình (*) có nghiệm x =  m = 1 − m =   m   phương trình (*) vơ nghiệm Khi  − m 0  m   2m  m   m  m  giá trị tham số m để hàm số cho có cực trị m   Vậy  Chọn D Câu 19: Cho hàm số y = x − 2x Gọi  đường thẳng qua điểm cực đại đồ thị hàm số cho có hệ số góc m Tập hợp tất giá trị tham số thực m cho tổng khoảng cách từ hai điểm cực tiểu đồ thị hàm số  nhỏ A m = B m = C m   D m = 1 Lời giải () () Xét hàm số y = x − 2x , ta có −  , Hồng Trung Tú Nhóm Pi – Group luyện đề thi thử nâng cao ( ) ( ) ( 12 ) Suy A 0; , B 1; −1 , C −1; −1 ba điểm cực trị đồ thị hàm số Phương trình đường thẳng  có hệ số góc m qua điểm A y = mx  mx − y = ( ( )) Ta có d B;  m +1 = m +1 T = dB → + dC → = T = ( ( )) ; d C;  m −1 m +1 , m +1 + m −1 m2 + m +1 + m −1 (m = ) ( + + m2 − a +b = ) a + b2  a = m +   ab  b = m −1    với  Mặt khác (a + b )  ( 2ab   a + b )  a +b 2 a +b 2 1 T   T   Tmin = a = m +1 =   m = 1 b =  m − = Dấu “=” xảy  Chọn D ( ) 2 Câu 20: Tìm m để đồ thị hàm số y = x − m − m + x + m − có điểm cực đại, điểm cực tiểu thỏa mãn khoảng cách hai điểm cực tiểu ngắn A m = − B m = C m = D m = − Lời giải ( ) ( ) Ta có y ' = 4x − m − m + x = 4x x − m − m +   ( ) x = Phương trình y ' =  x x − m − m +  =    ( x =  m − m + Suy đồ thị có hai điểm cực tiểu A − m − m + 1; yCT ) B ( m − m + 1; yCT ) Hồng Trung Tú Nhóm Pi – Group luyện đề thi thử nâng cao 13  1  3 Khi AB = m − m + =  m −  +   Dấu “=” xảy  m = 2  4    ( ) Chọn B Câu 21: Tìm tất giá trị thực m cho đồ thị hàm số m = có ba cực trị tạo thành tam giác vuông cân A m = − B m = −1 C m = D m = Lời giải Xét hàm số y = x + 2mx + 1, ta có y ' = 4x + 4mx ; x  ( )  x =0 Phương trình y ' =  4x x + m =   x = −m (*) Để đồ thị hàm số cho có ba điểm cực trị (*) có hai nghiệm phân biệt khác −m   m  ) ( ) hàm số  AB = ( −m ; −m ) , AC = ( − −m ; −m ) ( ) Khi đó, gọi A 0;1 , B ( −m ;1 − m , C − −m ;1 − m ba điểm cực trị đồ thị 2 Tam giác ABC vuông cân A  AB.AC =  m + m =  m = −1 Hoặc sử dụng công thức tính nhanh với hàm số a = c = y = ax + bx2 + c = x + 2mx2 +    b = 2m ( ) Tam giác ABC vuông cân 8a + b =  + 2m =  m = −1  m = −1 Chọn B ( ) Câu 22: Cho hàm số cho đồ thị hàm số y = −x + 2mx − có đồ thị C m Tìm tất giá trị ( ) thực m để tất cực trị C m nằm trục tọa độ A m  B m = C m  D m   m = Hoàng Trung Tú Nhóm Pi – Group luyện đề thi thử nâng cao 14 Lời giải ( x =0 ) Ta có y ' = −4x + 4mx = 4x −x − m , y ' =   x = m Để hàm số có cực trị  m  ( ( B − m ; m −  Tọa độ điểm cực trị đồ thị hàm số A 0; −4  Oy,  C m ; m −  ( ) ) ) ( ) (tm ) m = −2 L Yêu cầu toán  B,C  Ox  m − =   m = Chọn B x − 3m + x + m + có ba điểm cực trị tạo thành tam ( Câu 23: Tìm m để đồ thị hàm số y = ) ( ) C m = − giác có trọng tâm gốc tọa độ A m = − B m = D m = Lời giải ( ) ( x = ) Ta có y ' = x − 3m + x = x x − 3m +  ; y ' =    ( ) Để hàm số có cực trị  3m +   m  − ( x = 3m + ) Khi đồ thị có cực trị ( ( )) ( ( ) ( ) A 0;2 m + , B − 3m + ; −9m − 4m + ,C ( ) 3m + ; −9m − 4m + ) ( (  m + + −9m − 4m + Suy tọa độ trọng tâm tam giác ABC G =  0;   ) )     m= tm  Yêu cầu toán G  O  m + + −9m − 4m + =   m = − L  ( ) ( ) ( ) ( ) Hồng Trung Tú Nhóm Pi – Group luyện đề thi thử nâng cao 15 Chọn D Câu 24: Để đồ thị hàm số y = x − mx + m − có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường trịn nội tiếp giá trị m A m = −2 B m = C m = D m = Lời giải Xét hàm số y = x − mx + m − 2, ta có y ' = 4x − 2mx; x  x = Phương trình y ' =  4x − 2mx =   2x = m (*) Để đồ thị hàm số cho có ba điểm cực trị (*) có hai nghiệm phân biệt khác m  ( ) ( ) ( ) Khi đó, gọi A 0; m − , B x B ; y ,C xC ; y ba điểm cực trị đồ thị hàm số Với x B , xC nghiệm phương trình (*)  x B = −xC = Tam giác ABC cân A có AB = AC suy p = m m2 vaø y = − +m −2 AB + AC + BC 2AB + BC = 2 Gọi H trung điểm BC suy AH ⊥ BC  S ABC = AH BC Mặt khác, bán kính đường trịn nội tiếp ABC suy S ABC = p Ta có AB = m m4 m2 m m4 m 2m + , AH = , BC = 2m suy + + 2m = 16 16 Thay giá trị m đáp án, ta thấy m = giá trị cần tìm Chọn D ( ) ( ) Câu 25: Đồ thị hàm số y = ax + bx + c có hai điểm cực trị A 0;2 ; B 1; m Biểu thức ( ) P = a − m − b đạt giá trị lớn a + b + c + m A B C −1 D −2 Lời giải Hoàng Trung Tú Nhóm Pi – Group luyện đề thi thử nâng cao 16 Xét hàm số y = ax + bx + c ta có y ' = 4ax + 2bx , x  ( ) ( Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A 0;2 , B 1, m () () () c = y =    y ' =  2a + b = y = m   a + b = m − () () ( (1) (2 ) ) − a +b ( ) Lấy −  , ta 2a + b ( Khi P = 2a − b − 2m = −2 m − 2 ) ( = −2 m − ( ) (  2a − b = −2 m − ) ) − 2m = −4 − m −  −4  Pmax = −4  2a + b =  a + b = −   Dấu “=” xảy  m = Vậy  )  a =1  P = a +b +c + m =  b = −   Chọn B Hoàng Trung Tú ...  D  Lời giải TH1 Với m = 0, hàm số trở thành y = − x hàm số bậc hai nên có điểm cực trị, hệ số a = −1  nên hàm số có điểm cực đại ( ) TH2 Với m  0, xét hàm số y = mx + m − x + 3m + , ta có... 19: Cho hàm số y = x − 2x Gọi  đường thẳng qua điểm cực đại đồ thị hàm số cho có hệ số góc m Tập hợp tất giá trị tham số thực m cho tổng khoảng cách từ hai điểm cực tiểu đồ thị hàm số  nhỏ... Vậy giá trị hàm số x = −2 f −2 = −18 Chọn D Câu 5: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = 4x + mx − 12x đạt cực tiểu điểm x =2 A m = −9 B m = C m = −2 D m = Lời giải 2 Xét hàm số y =