Đang tải... (xem toàn văn)
Đề tài này hẳn là đã có một số tác giả nghiên cứu. Song, điểm mới của đề tài này đó là vận dụng được nhiều phương pháp khác nhau, phân loại được các dạng toán tìm nghiệm nguyên, đề tài sử dụng một số bài toán thi học sinh giỏi cấp huyện và một số bài toán trên trang Violympic.vn.
I PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Bồi dưỡng học sinh giỏi là việc cần thiết, thường xun trong nhà trường. Mỗi cấp học, mỗi lớp học với những u cầu cụ thể phải làm sao đó giúp các em có năng khiếu nâng cao kiến thức một cách hệ thống theo chương trình được tiếp thu trên lớp học hàng ngày Trong q trình giảng dạy, bản thân tơi nhận thấy mảng kiến thức “phương trình nghiệm ngun” là một đề tài lý thú của Số học và Đại số Nội dung này đã lơi cuốn nhiều người, từ các học sinh nhỏ đến các chun gia tốn học lớn. Phương trình và bài tốn với nghiệm ngun mãi mãi cịn là đối tượng nghiên cứu của Tốn học Ngồi phương trình bậc nhất hai ẩn, các bài tốn tìm nghiệm ngun thường khơng có quy tắc giải tổng qt. Mỗi bài tốn với số liệu riêng của nó địi hỏi một cách giải riêng phù hợp. Điều đó có tác dụng rèn luyện tư duy tốn học mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo. Chính vì thế mà các bài tốn tìm nghiệm ngun thường có mặt trong các kỳ thi học sinh giỏi về Tốn ở tất cả các cấp. Trong q trình bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn các khối 6; 7 và bồi dưỡng giải tốn qua mạng lớp 9, tơi thấy có nhiều bài tập về chủ đề phương trình nghiệm ngun khiến nhiều em học sinh gặp khơng ít khó khăn vì khơng nắm rõ các dạng cũng như các phương pháp giải chúng. Vì vậy, tơi nghiên cứu đề tài ‘‘Hướng dẫn học sinh khá giỏi lớp 9 giải phương trình nghiệm ngun hai ẩn" nhằm hướng dẫn các em học sinh khá giỏi có thể nắm chắc và giải tốt các bài tốn về phương trình nghiệm ngun * Điểm mới của đề tài Đề tài này hẳn là đã có một số tác giả nghiên cứu. Song, điểm mới của đề tài này đó là vận dụng được nhiều phương pháp khác nhau, phân loại được các dạng tốn tìm nghiệm ngun, đề tài sử dụng một số bài tốn thi học sinh giỏi cấp huyện và một số bài tốn trên trang Violympic.vn. Để phù hợp với đối tượng học sinh, trong đề tài này tơi chỉ đề cập đến một số phương pháp cơ bản và một số dạng tốn cơ bản về chủ đề phương trình nghiệm ngun hai ẩn. Phương trình nghiệm ngun có rất nhiều dạng khác nhau với nhiều cách giải phong phú khác nhau, vì thế trong đề tài này, tơi chủ yếu đưa ra các phương pháp giải và thể hiện qua các ví dụ được lấy từ các tài liệu nâng cao mơn Tốn, từ các đề thi học sinh giỏi cấp huyện, các bài tập giải tốn qua mạng 2.Phạm vi áp dụng của đề tài, sáng kiến, giải pháp: Phạm vi nghiên cứu của đề tài là chủ đề phương trình nghiệm ngun hai ẩn số trong chương trình mơn Tốn THCS. Trong đề tài này tơi chỉ nghiên cứu các phương trình nghiệm ngun với hai ẩn số Đối tượng áp dụng của đề tài là học sinh khá, giỏi mơn Tốn lớp 9 ở các đơn vị ( học sinh tham gia bồi dưỡng giải tốn qua mạng ) II PHẦN NỘI DUNG 1. Thực trạng nội dung cần nghiên cứu: Thực tế, qua nhiều năm giảng dạy tại đơn vị, trong q trình bồi dưỡng học sinh giỏi, tơi nhận thấy học sinh thường ngại giải phương trình nghiệm ngun, đặc biệt những phương trình khơng dạng mẫu mực, phương trình nhiều ẩn, những phương trình khơng giải được bằng những phương pháp giải cơ bản đã được giáo viên hướng dẫn. Học sinh thường lúng túng khi gặp những phương trình có dạng lạ hoặc thống nhìn thấy có vẻ phức tạp, những bài tốn kiểu như vậy làm giảm hứng thú và tính kiên nhẫn của trị trong q trình học tốn. Có nhiều ngun nhân dẫn đến học sinh gặp khó khăn khi giải các bài tốn về phương trình nghiệm ngun, trong đó phải nhắc đến những ngun nhân cơ bản, đó là: học sinh khơng hiểu thế nào là giải phương trình nghiệm ngun, khơng nắm được cách biểu diễn nghiệm của phương trình nhiều ẩn, khơng nắm chắc hoặc nắm khơng đầy đủ các phương pháp giải phương trình nghiệm ngun; khơng phân loại được các phương trình nghiệm ngun, học sinh thường mắc một số sai lầm khi giải phương trình nghiệm ngun Khi áp dụng đề tài này tại đơn vị, tơi đã tiến hành khảo sát đối với đội tuyển bồi dưỡng giải tốn qua mạng lớp 9 về chủ đề phương trình nghiệm nguyên hai ẩn, số liệu thu được như sau: Loại điểm SS : 06 Không biết cách làm SL % 02 33,3 Dưới 5,0 SL 03 % 50,0 5 – 6, 5 SL 01 % 16,7 6,5 8 SL % 8 10 SL % Trước thực tế đó, tơi mạnh dạn đề xuất sáng kiến: “Hướng dẫn học sinh khá giỏi lớp 9 giải phương trình nghiệm ngun hai ẩn” với mong muốn có thể giúp được học trị cảm thấy hứng thú hơn, tự tin hơn và giải quyết tốt hơn khi gặp các bài tốn về phương trình nghiệm ngun trong phương trình hai ẩn số 2. Các giải pháp: 2.1 Giải pháp 1: Hướng dẫn học sinh nắm vững các khái niệm, những thuật ngữ về phương trình nghiệm ngun Khi đọc đề tốn về phương trình nghiệm ngun, có nhiều học sinh khơng hiểu vấn đề là gì, tìm nghiệm ngun là như thế nào; một số khơng nắm được cách biểu diễn nghiệm của phương trình nhiều ẩn số Để giải quyết vấn đề trên, giáo viên cần chỉ rõ cho học sinh thơng hiểu những khái niệm, thuật ngữ cơ bản, biết được cách biểu diễn nghiệm của phương trình một ẩn, phương trình hai ẩn Một số khái niệm, thuật ngữ cơ bản, đó là: Phương trình hai ẩn là phương trình có dạng f(x;y) = 0 Nghiệm của phương trình hai ẩn f(x;y) = 0 là các bộ số (x; y) thỏa mãn phương trình đó Nghiệm ngun của phương trình hai ẩn f(x;y) = 0 là các bộ số ngun (x;y ) thỏa mãn phương trình đã cho Giải phương trình nghiệm ngun hai ẩn f(x;y) = 0 là tìm tất cả các bộ số ngun (x,y) thoả mãn phương trình đó 2.2. Giải pháp 2: Phân loại các dạng phương trình nghiệm ngun Dạng 1: Phương trình bậc nhất 2 ẩn Ví dụ: Tìm nghiệm ngun của phương trình: 12x – 7y = 45 (1) Giải Ta thấy: Đặt 45 3; 12x 3 nên 7y 3 y 3 y = 3k (k Z) Thay vào (1) ta có: 12x – 7 . 3k = 45 4x – 7k = 15 x = 15 7k 2k k k (t Z) k = 4t – 1 Đặt t = Do đó x = 2(4t – 1) + 4 – t = 7t + 2 y = 3k = 3(4t 1) = 12t – 3 Vậy nghiệm ngun của phương trình được biểu thị bởi cơng thức: x = 7t + 2 t y = 12t – 3 Z Dạng 2: Phương trình bậc 2 hai ẩn Ví dụ 1: Tìm các nghiệm ngun của phương trình: xy – 2y – 3 = 3x – x2 Giải Cách 1: Biểu thị một ẩn qua ẩn kia: y(x 2) = 3x – x2 +3 Dễ thấy: x = 2 khơng thoả mãn phương trình Vậy x 2 y = x 3x x x ( x 2) x x = x + 1 + Để y Z ta phải có: Vậy x 2 y x x 5 x – 2 1 1 5 3 5 3 5 nghiệm nguyên của phương trình là: (1; 5); (3; 3); ( 3; 3); (7; 5) Cách 2: Đưa về phương trình ước số: xy – 2y – 3 = 3x – x2 y(x 2) + x2 – 2x – x + 2 = 5 y(x 2) + x(x 2) – (x 2) = 5 (x – 2) (y + x 1) = 5 Ta có: x 2 x + y 1 x y 1 5 5 3 5 1 3 Vậy nghiệm ngun của phương trình là: (1; 5); (3; 3); ( 3; 3); (7; 5) Ví dụ 2: Tìm các nghiệm ngun của phương trình: 5 x2 – 2x – 11 = y2 (1) Giải x2 – 2x – 11 = y2 x2 – 2x + 1 – 12 = y2 (x 1)2 – y2 = 12 (x – 1 + y) (x – 1 y) = 12 * Vì phương trình (1) chứa y với số mũ chẵn nên có thể giả thiết rằng y 0. Thế thì: x – 1 + y x – 1 – y * Do (x – 1 + y) – (x – 1 y) = 2y nên x – 1 + y và x – 1 – y cùng tính chẵn lẻ. Tích của chúng bằng 12 nên chúng cùng chẵn Từ đó ta có: x – 1 + y x – 1 y 2 6 4 3 Suy ra: x – 1 x y Vậy nghiệm của phương trình là: (5; 2); (5; 2); ( 3; 2); ( 3; 2) Dạng 3: Phương trình dạng phân thức Ví dụ 1: Tìm các nghiệm ngun dương của phương trình: x y xy (1) Giải Nhân hai vế của phương trình với 6xy, ta có: 6y + 6x + 1 = xy Đưa về phương trình ước số ta có: x(y 6) – 6(y – 6) = 37 (x 6) (y 6) = 37 Do vai trị bình đẳng của x và y, giả sử x y 1, Thế thì x – 6 y – 6 5 Chỉ có một trường hợp xảy ra: x – 6 = 37 x = 43 y – 6 = 1 y = 7 Vậy nghiệm ngun dương của phương trình là: (43; 7); (7; 43) Dạng 4: Phương trình dạng mũ Ví dụ: Tìm các số tự nhiên x và y sao cho: 2x + 3 = y2 Giải Ta lần lượt xét các giá trị tự nhiên của x * Nếu x = 0 thì y2 = 4 suy ra y = 2 * Nếu x = 1 thì y2 = 5: Phương trình khơng có nghiệm ngun * Nếu x 2 ta có: 2x 4 Suy ra vế trái chia cho 4 dư 3; vế phải chia cho 4 dư 0 hoặc 1 ( mâu thuẫn) Vậy, phương trình có nghiệm là: (0; 2); (0; 2) 2.3 Giải pháp 3: Hướng dẫn các phương pháp thường dùng để giải phương trình với nghiệm ngun Khi giải phương trình với nghiệm ngun do phải lợi dụng các tính chất của tập hợp Z nên ngồi các biến đổi tương đương ta cịn dùng đến các biến đổi mà các giá trị của ẩn mới chỉ thoả mãn điều cần chứ chưa phải điều kiện cần và đủ của nghiệm. Trong trường hợp này ta cần kiểm tra các giá trị đó bằng cách thử vào phương trình đã cho. Vì vậy, việc giải phương trình với nghiệm ngun thường gồm 2 bước: Bước 1: Giả sử phương trình có nghiệm ngun (x0, y0, z0…) ta suy ra các ẩn phải nhận các giá trị nào đó Bước 2: Thử lại các giá trị đó của ẩn để khẳng định tập hợp nghiệm của phương trình Tuy nhiên để đơn giản khi trình bày khơng tách riêng hẳn 2 bước. Với các bài tốn mà các biến đổi đều tương đương ta khơng cần bước 2 Một phương trình với nghiệm ngun có thể vơ nghiệm, có hữu hạn nghiệm, có vơ số nghiệm. Trong trường hợp phương trình có vơ số nghiệm, các nghiệm ngun của phương trình thường được biểu thị bởi một cơng thức có chứa tham số là một số ngun Để giải các phương trình nghiệm ngun trong chương trình THCS ta thường dùng các phương pháp sau đây: 2.3. 1. Nhóm ph ương pháp dùng tính chia hết Phương pháp 1: Phát hiện tính chia hết của một ẩn Ví dụ 1: Giải phương trình với nghiệm ngun 2x + 13y = 156 (1) Giải: Giả sử x, y là các số ngun thoả mãn phương trình (1) Ta thấy 156 13 và 13y 13 suy ra 2x 13 Mà 2 13 x 13 Đặt x = 13t (t Z) thay vào (1) ta được: 2. 13t + 13y = 156 2t + y = 12 y = 12 – 2t Vậy nghiệm ngun của phương trình được biểu thị bởi cơng thức: x = 13t y = 12 – 2t (t Z) Ví dụ 2: Số nghiệm ngun của phương trình 6x – 3y = 5 là …… ? ( Đề thi Violympic Tốn 9 vịng 13 năm 2013 ) Giải Ta thấy : vì x ngun, y ngun nên 6x 3 và 3y 3 => 6x – 3y 13 Mà 6x – 3y = 5 => 5 3 Điều này là vơ lí Vậy, số nghiệm ngun của phương trình trên là 0 Phương pháp2 : Đưa về phương trình đưa về ước số: Ví dụ 1: Tìm các nghiệm ngun của phương trình: 3xy + x – y = 1 Giải: Từ: 3xy + x – y = 1 3(3xy + x – y) = 3 9xy + 3x – 3y – 1 = 2 3x(3y + 1) – (3y + 1) = 2 (3y + 1) ( 3x – 1) = 2 (phương trình ước số) Vì x và y là các số ngun nên 3x – 1 và 3y + 1 là các số ngun và là ước của 2. Ta có bảng sau: 3x – 1 3y + 1 x y 1 2 1 2 1 1 Vậy nghiệm của phương trình là: (0; 1); (1; 0) Ví dụ 2: Phương trình x + xy +y = 9 có số nghiệm ngun là ……? ( Đề thi Violympic Tốn 9 vịng 14 năm 2014 ) Giải: Từ: x + xy +y = 9 x(1+y) + y = 9 x ( 1 + y ) +(1 + y) = 10 ( x + 1) ( 1 + y ) = 10 ( phương trình ước số ) Vì x, y là các số ngun nên x + 1 và 1 + y là các số ngun và là ước của 10 Ta có bảng sau : x + 1 y + 1 x y 10 1 10 10 10 1 2 11 11 2 Vậy, số nghiệm nguyên của phương trình là 8 2 5 3 6 Phương pháp 3: Tách ra các giá trị ngun Ví dụ: Giải phương trình với nghiệm ngun xy – x – y = 2 Giải Biến đổi phương trình đã cho ta có x(y – 1) = y + 2 * Nếu y = 1 thì ta có 0x = 3 => phương trình vơ nghiệm Do đó y 1 y+2 x = y − = 1 + y Do x Z nên y Z y – 1 Ư(3) Ta có bảng sau: y 1 y x 1 0 2 3 2 5 2 6 3 Vậy nghiệm ngun của phương trình là: ( 2; 0); (4; 2); (0; 2); (2; 4) 2.3.2. Nhóm phương pháp xét số dư từng vế Ví dụ 1: Chứng minh rằng phương trình sau khơng có nghiệm ngun x2 + y2 = 1999 Giải Vì x2, y2 là các số chính phương nên khi chia cho 4 chỉ có số dư là 0; 1 cịn vế phải 1999 chia cho 4 dư 3 Vậy phương trình khơng có nghiệm ngun Ví dụ 2: Tìm các nghiệm ngun của phương trình 9x – y2 – y + 2 = 0 Giải Biến đổi phương trình ta có: 9x + 2 = y(y + 1) Ta thấy vế trái chia cho 3 dư 2 nên y(y + 1) chia cho 3 dư 2 Do đó chỉ có thể: y = 3k + 1; y +1 = 3k + 2 (k Z) Khi đó 9x + 2 = (3k + 1) (3k + 2) 9x = 9k(k + 1) x = k(k + 1) Thử lại: x = k(k + 1), y = 3k + 1 thoả mãn phương trình đã cho Vậy phương trình có nghiệm ngun là x = k(k + 1) (k Z) y = 3k + 1 2.3 . 3. Nhóm phương pháp dùng bất đẳng thức: Phương pháp 1: Sắp thứ tự các ẩn Ví dụ : Tìm 3 số ngun dương sao cho tích của chúng gấp đơi tổng của chúng Giải Gọi 3 số ngun dương phải tìm là a, b, c. Ta có: abc = 2(a + b + c) (1) Chú ý rằng các ẩn a, b,c có vai trị bình đẳng trong phương trình nên ta có thể sắp xếp thứ tự giá trị của các ẩn. Chẳng hạn: a b c Ta có: abc = 2(a + b + c) 2. 3c = 6c ab 6 * Với ab = 1 a = 1, b = 1 thay vào (1) ta có: c = 4 (loại) * Với ab = 2 a = 1, b = 2 thay vào (1) loại * Với ab = 3 a = 1, b = 3 thay vào (1) ta có: c = 8 * Với ab = 4 a = 1, b = 4 thay vào (1) ta có: c = 5 a = 2, b = 2 thay vào (1) ta có: * Với ab = 5 a = 1, b = 5 thay vào (1) ta có: c = 4 c = 4 loại vì a b c * Với ab = 6 a = 1, b = 6 thay vào (1) loại a = 2, b = 3 thay vào (1) loại Vậy bộ 3 số phải tìm là: 1; 3; 8 hoặc 1; 4; 5 hoặc 2; 2; 4 Phương pháp 2: Xét từng khoảng giá trị của ẩn Ví dụ: Số các nghiệm nguyên dương của phương trình là ( Đề thi vịng 15 Violympic Tốn 9 năm 2014 ) Giải Do vai trị bình đẳng của x, y. Giả sử 1 x y x Ta có: 4 (1) x y Do đó x y 1 + y = x x x 8 (2) Từ (1) và (2) ta có x y 20 12 Loại Vì vai trị của x và y bình đẳng nên các nghiệm ngun của phương trình là (5; 20); (20; 5); (6; 12); (12; 6); (8; 8) Vậy, số nghiệm ngun của phương trình là 5 Phương pháp 3: Chỉ ra nghiệm ngun rồi nhận xét Ví dụ: Tìm các số tự nhiên x sao cho 2x + 3x = 35 * Với x = 0 thì vế trái bằng 2 => x = 0 khơng phải là nghiệm ngun của phương trình * Với x = 1 vế trái bằng 5 => x = 1 khơng phải là nghiệm ngun của phương trình * Với x = 3 ta có 23 + 33 = 35 thoả mãn phương trình. * Với x > 3 ta có 2x + 3x > 23 + 33 = 35 => 2x + 3x > 35 Vậy, số tự nhiên x duy nhất thỏa mãn phương trình là x = 3 Phương pháp 4 : Sử dụng điều kiện 0 để phương trình bậc 2 có nghiệm Ví dụ: Số nghiệm ngun của phương trình x + y + xy = x 2 + y2 (1) là …. ? ( Đề thi vịng 16 – Violympic Tốn 9 năm 2014 ) Giải Viết (1) thành phương trình bậc 2 đối với x x2 – (y + 1)x + (y2 – y) = 0 (2) Điều kiện để cần phương trình bậc 2 có nghiệm là 0 = (x + 1)2 – 4(y2 y) = y2 + 2y + 1 – 4y2 + 4y = 3y2 + 6y + 1 = (3y2 – 6y 1) 0 3x2 – 6y – 1 0 3y2 – 6y +3 – 4 0 3(y 1)2 4 (y – 1)2 1 Vì y ngun nên y – 1 ngun, Vậy ta có bảng sau : y – 1 1 y * Với y = 0 thay vào (2) ta có: x2 – x = 0 x1 = 0; x2 = 1 * Với y = 1 thay vào (2) ta có: x2 – 2x = 0 x3 = 0; x4 = 2 * Với y = 2 thay vào (2) ta có: x2 – 3x + 2 = 0 x5 = 1; x6 = 2 Thử lại các giá trị trên nghiệm đúng (1) Do đó, nghiệm ngun của phương trình là: (0;0); (1; 0); (0; 1); (2; 1); (1; 2); (2;2) Vậy, phương trình (1) có 6 nghiệm ngun 2.3.4. Nhóm phương pháp dùng tính chất về chia hết của một số chính phương Phương pháp 1: Sử dụng tính chất về chia hết của một số chính phương * Các tính chất thường dùng Các số chính phương khơng có tận cùng là 2; 3; 7; 8 Số chính phương chia hết cho số ngun tố p thì chia hết cho p2 Số chính phương chia cho 3 có số dư là 0; 1 Số chính phương chia cho 4 có số dư là 0; 1 Số chính phương chia cho 8 có số dư là 0; 1; 4 Ví dụ: Tìm các số ngun x để 9x + 5 là tích của 2 số ngun liên tiếp Giải Giả sử 9x + 5 = n(n + 1) với n Z n2 + n – (9x + 5) = 0 Để phương trình bậc 2 đối với n có nghiệm ngun, điều kiện cần là là số chính phương. Nhưng = 1 + 4(9x + 5) = 36x + 21 3 nhưng khơng chia hết cho 32 Vậy 36x + 21 khơng phải là số chính phương Do đó khơng tồn tại số ngun n nào để 9n + 5 = n(n + 1) tức là khơng tồn tại số ngun x để 9x + 5 là tích của 2 số ngun liên tiếp Phương pháp 2: Tạo ra bình phương đúng Ví dụ: Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm ngun ? 3x2 + 4y2 = 6x + 13 (1) ( Đề thi vịng 17 – Violympic Tốn 9 năm 2013 ) Giải Biến đổi: 3x2 + 4y2 = 6x + 13 3x2 – 6x + 3 = 16 – 4y2 3(x – 1)2 = 4(4 – y2) (2) Từ (2) ta thấy: 4 – y2 0 hay y2 4 và 4 – y2 3 nên y2 = 1 hoặc y2 = 4 * Với y2 = 1 khi đó (2) có dạng 3(x – 1)2 = 12 (x 1)2 = 4 x – 1 = 2 x = 3 hoặc x = 1 * Với y2 = 4 khi đó (2) có dạng 3(x 1)2 = 0 x = 1 Các cặp số: (3;1); ( 1; 1); (3; 1); (1; 1); (1; 2) tho ả mãn (2) nên là nghiệm của phương trình đã cho Vậy, phương trình (1) có 5 nghiệm ngun Phương pháp 3 : Xét các số chính phương liên tiếp Hiển nhiên giữa 2 số chính phương liên tiếp khơng có số chính phương nào. Do đó với mọi số ngun a, x ta có: Khơng tồn tại x để a2