Hiệu chỉnh bài toán cân bằng giả đơn điệu

Trong bài toán hiệu chỉnh, nếu f là một song hàm đơn điệu thì bài toán hiệu chỉnh luôn có duy nhất nghiệm. Bài viết trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp hiệu chỉnh điểm gần kề cho bài toán cân bằng giả đơn điệu.

NGHIÊN CỨU KHOA HỌC HIỆU CHỈNH BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU CALIBRATE THE EQUATION OF EQUILIBRIUM Nguyễn Thị Thanh Hải1, Nguyễn Thị Huệ2, Lê Nam Trung1 Email: minhhuesaodo@gmail.com Trường Sĩ quan Phịng hóa, Binh chủng Hóa học Trường Đại học Sao Đỏ Ngày nhận bài: 21/5/2018 Ngày nhận sửa sau phản biện: 22/9/2018 Ngày chấp nhận đăng: 28/9/2018 Tóm tắt Trong tốn hiệu chỉnh, f song hàm đơn điệu tốn hiệu chỉnh ln có nghiệm Tuy nhiên, f song hàm giả đơn điệu tốn hiệu chỉnh khơng cịn đơn điệu mạnh hay đơn điệu, chí khơng giả đơn điệu Do tốn hiệu chỉnh nói chung khơng có nghiệm nhất, chí tập nghiệm khơng lồi Bài báo trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phương pháp hiệu chỉnh điểm gần kề cho toán cân giả đơn điệu Chúng khẳng định tốn hiệu chỉnh xấp xỉ có nghiệm tốn gốc có nghiệm tốn hiệu chỉnh khơng có nghiệm quỹ đạo nghiệm có giới hạn Từ khóa: Giả đơn điệu; tốn cân bằng; toán hiệu chỉnh Abstract In the calibration problem, if f is a monotonic function, the calibration problem is unique solution However, if it is a monotone denture, the calibration problem is not monotonous or monotonous, not even monotone Therefore the calibration problem generally has no single solution, even the experiment is not convex.This article presents Tikhonov’s method of calibration and the approach to calibration for the monotone equilibrium problem We assert that the calibration problem approximates the solution when the original problem has the solution and although the problem there is no single solution, but every fund of its own has the same limit Keywords: Simplified; equilibrium problem; calibration problem GIỚI THIỆU Bài toán cân lần đưa vào năm 1955 H Nikaido, K Soda nhằm tổng qt hóa tốn cân Nash trị chơi khơng hợp tác, vào năm 1972 xét đến dạng bất đẳng thức minimax tác giả Ky Fan Bài toán thường sử dụng để thiết lập điểm cân lý thuyết trò chơi (Games Theory) Các hướng nghiên cứu trọng toán cân là: Nghiên cứu vấn đề định tính tồn nghiệm, cấu trúc tập nghiệm, tính ổn định định lượng phương pháp giải, tính hội tụ Trong việc nghiên cứu vấn đề này, phương pháp giải đóng vai trị quan trọng Đến có số kết đạt cho số lớp toán cân với giả thiết lồi đơn điệu, chủ yếu sử dụng phương pháp điểm gần kề, phương Người phản biện: PGS.TS Khuất Văn Ninh TS Đào Trọng Quyết pháp nguyên lý toán phụ, phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Bài tốn cân hàm f khơng có tính đơn điệu mạnh, nói chung tốn đặt khơng chỉnh theo nghĩa tốn khơng có nghiệm nghiệm khơng ổn định theo kiện ban đầu Trong báo, chúng tơi trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phương pháp điểm gần kề cho toán cân hàm f song hàm giả đơn điệu Ý tưởng phương pháp là: Xây dựng toán hiệu chỉnh cách thêm vào toán tử toán gốc toán tử đơn điệu mạnh phụ thuộc vào tham số cho tốn hiệu chỉnh có nghiệm Khi đó, với điều kiện phù hợp, dãy lặp nhận cách giải toán hiệu chỉnh, có giới hạn nghiệm toán gốc cho tham số dần tới điểm giới hạn thích hợp 64 Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 3(62).2018 NGÀNH TOÁN HỌC MỘT SỐ KẾT QUẢ MỞ ĐẦU Trong báo này, sử dụng số kí hiệu, kiến thức, kết trình bày [1, 2, 3] Kí hiệu: H không gian Hilbert thực Giả sử C ⊂ H tập lồi, đóng, khác rỗng thỏa mãn f ( x,x ) = với x ∈ C Khi ta gọi hàm f song hàm cân C Song hàm song hàm giả đơn điệu nếu: f ( x, y ) ≥ ⇒ f ( y,x ) ≤ 0, ∀x, y ∈ C Bài toán cân bằng: Cho f song hàm cân C Tìm x* ∈ C cho f ( x* , y ) ≥ 0, ∀y ∈ C Ta kí hiệu toán EP ( C, f ) gọi tốn cân bằng, tập nghiệm kí hiệu S ( C, f ) Một số giả thiết xét tồn nghiệm toán cân Cho C ⊂ H tập lồi, đóng, khác rỗng Giả thiết: (A1) f ( , y ) hàm nửa liên tục trên, yếu H x ∈ C (A2) f ( x,.) hàm lồi, nửa liên tục yếu H khả vi domf ( x,.) x ∈ C Mệnh đề 2.1 Giả sử f thỏa mãn giả thiết (A1), (A2) Xét mệnh đề sau: Tồn vectơ cho tập bị chặn y0 ∈ C Tồn hình cầu đóng B ⊆ H vectơ cho f ( x, y ) < 0, ∀x ∈ C \ B Tập nghiệm S ( C, f ) toán khác rỗng compact yếu song hàm hiệu chỉnh, sau xét tốn cân với song hàm fε Xét toán cân bằng: Tìm x* ∈ C cho C tập lồi đóng H song hàm giả đơn điệu C Khi tốn hiệu chỉnh xây dựng sau: Tìm x ∈ C cho ( ) g ( x, y ) song hàm đơn điệu mạnh gọi song hàm hiệu chỉnh, ε > tham số hiệu chỉnh Định lý sau cho thấy, song hàm cân f giả đơn điệu, toán hiệu chỉnh EP ( C, fε ) có nghiệm tốn ban đầu EP ( C, f ) có nghiệm khơng có nghiệm quỹ đạo nghiệm hội tụ đến nghiệm tốn EP ( C, fε ) gần với nghiệm dự đoán xg Định lý 3.1: Giả sử f giả đơn điệu C thỏa mãn giả thiết (A1), (A2) Khi khẳng định sau tương đương: x (ε ) khác rỗng với ε > εlim →0 + tồn tại, với x ( ε ) chọn tùy ý khác rỗng với ε >0 lim+ sup x ( ε ) < ∞ với x ( ε ) chọn tùy ý ε →0 Hơn nữa, khẳng định * thỏa mãn x nghiệm toán cân với song hàm đơn điệu mạnh thỏa mãn HIỆU CHỈNH BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU Bài toán cân trường hợp f song hàm giả đơn điệu tốn đặt khơng chỉnh Vấn đề đặt tìm cách hiệu chỉnh để xét tính nghiệm, tính ổn định nghiệm toán cân 3.1 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phương pháp thường sử dụng để giải tốn đặt khơng chỉnh Ý tưởng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho toán cân thay song hàm f song hàm fε =: f + ε g , ε > tham số hiệu chỉnh g song hàm đơn điệu mạnh gọi Ngoài ra, g song hàm khoảng cách x* hình chiếu xg tập nghiệm tốn EP ( C, f ) Tuy nhiên, nhiều tốn hiệu chỉnh cịn khó giải tốn ban đầu, để hạn chế phần nhược điểm nói ta thay bất đẳng thức toán EP ( C, fε ) bất đẳng thức fε ( x, y ) ≥ -δ δ ≥ số cho trước Khi tốn EP ( C, fε ) với song hàm hiệu chỉnh song hàm khoảng cách trở thành tốn hiệu chỉnh: Tìm x ∈ C cho fε = ( x, y ) : f ( x, y ) + ε x - x g , y - x ≥ -δ , ∀y ∈ C ( EPδ ( C, fε ) ) Kí hiệu EPδ ( C, fε ) tập nghiệm toán Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 3(62).2018 65 NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Nhận xét: Nếu x thỏa mãn fε ( x, y ) ≥ với y ∈ C thỏa mãn fε ( x, y ) ≥ -δ với y ∈ C , Sδ ( C, fε ) ⊆ Sδ ( C, fε ) Bổ đề 3.1: Giả sử f giả đơn điệu C Khi với ε > 0,δ ≥ 0,x ∈ S ( C, f ) , x ∈ Sδ C , f x g ∈ C ta có: 2 δ g g 1) x - x ( ε ) + x ( ε ) - x ≤ x - x + ε (  g 2) Sδ ( C, fε ) ⊂ B  0, x + x +   3) x ( ε ) - x x + xg ≤ + g x - xg + x - xg + δ ε )   ∩ C   g xx ( εε ) - xx g x - x gg g g ,x - x g g + x-x x x ε ( ) - x ε - x ,x - x + 2 2 g - xx g + δδ xx ≤ ≤ + εε Khi đó: 2), 3) chứng minh Bổ đề cho biết tính chất cấu trúc tập δ - nghiệm tốn hiệu chỉnh tốn gốc có nghiệm Bổ đề 3.2: Giả sử f giả đơn điệu C thỏa mãn giả thiết (A1), (A2) Khi đó, tập nghiệm S ( C, f ) khác rỗng với ε > 0,δ > tập δ nghiệm Sδ ( C, fε ) khác rỗng compact yếu δ ε Chứng minh: kí hiệu B ( x,r ) hình cầu đóng tâm x, bán kính r Chứng minh Giả thiết x ∈ S ( C, f ) f giả đơn điệu nên ta có ( ) == ( ) (1) f x, y ≥ ⇒ f y,x ≤ 0, ∀y ∈ C Do x ( ε ) ∈ Sδ ( C, fε ) nên f ( x ( ε ) , y ) + ε x ( ε ) - x g , y - x ( ε ) ≥ -δ , ∀y ∈ C (2) Thay y = x ( ε ) vào bất đẳng thức thứ hai công thức (1) thay y = x vào công thức (2) ta Theo Mệnh đề 2.1, ta ln tìm vectơ y ∈ C cho tập Lδ ( y , fε )=: {x ∈ C : f ( x, y ) ≥ -δ } bị chặn ε Lấy y ∈ S ( C, f ) x ∈ Lδ ( y , fε ) Từ định nghĩa Lδ ( y , fε ) ta có fε (= x, y ) : f ( x, y ) + ε x - x g , y - x ≥ -δ Từ điều kiện f ( y ,x ) ≥ , f giả đơn điệu nên ta có f ( x, y ) ≤ δ Do đó: x - x g , y - x ≥ ε Khi đó: Từ ta có Từ x g - x + x - y0 ≤ x g - y0 2 ≤ x g - y0 +2 δ ε +2 δ ε Trong Do x - x (ε ) g 2 x g - x + x - y0 δ + x (ε ) - x ≤ x - x + ε 2 g suy x ≤ xg + Vậy 1) chứng minh x (ε ) - x g +  x ( ε ) - x g  -  x - x g  Trong x (ε ) - x g - x ( ε ) - x g ,x - x g ≤ ≤ x - xg δ ε Do g x+x = x (ε ) - x g - y0 - x g Vậy tập Lδ ( y , fε ) Mặt khác, ta có x (ε ) - x-x g 2 δ ε +2 δ , ∀x ∈ Lδ ( y , fε ) ε bị chặn +2 Định lý cho thấy dãy σ - nghiệm toán hiệu chỉnh hội tụ mạnh nghiệm toán gốc gần với nghiệm ,σ → →00 Điều cho đoán xg εε,σ thấy rằng, phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov xấp xỉ ổn định tốn cân giả đơn điệu khơng gian Hilbert Định lý 3.2: Giả sử f giả đơn điệu C , thỏa mãn giả thiết (A1), (A2) tập nghiệm toán E (C, f ) khác rỗng Cho {ε k } ,{σ k } hai dãy số dương đơn điệu giảm thỏa mãn 66 Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 3(62).2018 NGÀNH TOÁN HỌC ε k → 0,σ k → k → ∞ Khi a) Với k ∈ ¥ , tập δ k - nghiệm SEδ ( C, fε k khác rỗng, compact yếu g x -x δ + x -x ≤ x -x +2 k εk k 2 k g k ) (3) ( ) x ∈ SE ( C, f ) , x k ∈ SEδ k C, fε k , x g ∈ C {x } x chọn tùy ý ( C, f ) , hội tụ mạnh nghiệm x b) Dãy SEδ k k k * εk toán cân , với * g g ( x, y ) :=x - x , y - x Hơn nữa, x g hình chiếu x SE ( C, f ) Chứng minh: a) Chỉ cần áp dụng bổ đề 3.1 -1), k bổ đề 3.2 với x= ,ε ε k δ = δ k (ε ) x= b) Vì SE ( C, f ) khác rỗng nên ta lấy tùy ý x := SE ( C, f ) Theo khẳng định a), tập δ k nghiệm E C, fε k khác rỗng với k ∈ ¥ Lấy tùy ý x k ∈ SEδ ( C, fε ) Khi đó: với k ∈ ¥ , ta có:  f x,x k ≥   x,x k : f x,x k + ε k x k - x g ,x - x k ≥ -δ k  fε k = ( ) k ( ) ( ) k ( ) Do k ∈ giả đơn điệu nên từ bất đẳng thức thứ suy f x k ,x ≤ Do đó, từ bất đẳng thức thứ hai, ta nhận ( ( ) g x k ,x=: ) x k - x g ,x - x k ≥ - δk ,∀k εk (4) δ Mặt khác, k → nên bị chặn, tức εk (   x + xg  0,    C , fε k ⊂ B  ∩C g  δk  x-x + +   ε k     x + xg  0,    ⊂ B  ∩ C ,∀k g   x-x +M  +     xk - x g ≤ Vì  x + xg + B  0,   x - xg x-x g ≤ lim fε k k j →∞ 2 + ) nên kj ) k * k j →∞ Hơn nữa, sử dụng k x j - x g ,x - x g x j ,x=: k kj ≥- δk j εk j ,∀k j k x j - x g ,x j - x ≥ x* - x g ,x* - x ≥ klim →∞ j ( ) nên g x* ,x := x* - x g ,x* - x ≥ Vì x phần tử tùy ý nên suy x* nghiệm toán Do g đơn điệu mạnh C chứa , tốn có nghiệm { } k Như vậy, ta chứng minh x bị chặn điểm giới hạn yếu ngiệm * x tốn Do toàn k * x dãy phải hội tụ yếu x Thay x = x* vào bất đẳng thức (5), ta { } Vì g x* - x g ≤ + 2 x* - x g + δk → k→∞ nên εk  x* - x g   ≤ lim  k →∞  x* - x g +  k →∞ { δk ,∀k εk    * g = x -x δ  + k  εk  } Do dãy x k - x g hội tụ mạnh x* - x g , x k hội tụ mạnh x* Hơn nữa, từ (3) ta có { } xk - x g δk ,∀k εk (5)  + M  ∩ C ,∀k   compact yếu nên có dãy cho kj Chứng tỏ (4) với k = k j ta có ( kj ( x , y ) ≤ lim f ( x , y ) ≤ f ( x , y ) , ∀y ∈ C j lim x k - x g ) x + xg + δ k j - nghiệm toán E K , fε f ( , y ) nửa liên tục yếu x -x Áp dụng tính chất 2) 3) bổ đề 3.1 với k x= ,ε ε= δ k , ta có (ε ) x= k ,δ ( kj Bởi nên k δ ∃M > : ≤ k ≤ M , ∀k εk x k ∈ SEδ k Do x tập {x } ⊂ {x } kj k ≤ x - xg +2 δk ,∀k εk Cho k → ∞ ta nhận xk - x g ≤ x - x g (6) Khi tập nghiệm SE ( C, f ) lồi, đóng khác rỗng nên hình chiếu x g SE ( C, f ) xác định nhất, từ (6) ta thấy, hình chiếu x* Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 3(62).2018 67 NGHIÊN CỨU KHOA HỌC 3.2 Phương pháp điểm gần kề Trong phần này, nghiên cứu phương pháp điểm gần kề cho toán cân giả đơn điệu Kết hội tụ phương pháp cho thấy phương pháp điểm gần kề sử dụng cho toán cân giả đơn điệu Điểm khác biệt với phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phương pháp điểm gần kề bước lặp, toán hiệu chỉnh phụ thuộc vào điểm lặp bước trước tham số hiệu chỉnh ck > không cần dần đến Xuất phát từ điểm x0=: x g ∈ C cho trước, bước lặp k = 1, 2, xét tốn hiệu chỉnh: Tìm x k ∈ C cho: f k ( x k , y )=: f ( x k , y ) + ck x k - x k -1 , y - x k ≥ -δ k , ∀y ∈ C k Định lý sau rằng, toán cân giả đơn điệu, toán hiệu chỉnh khơng có nghiệm quỹ đạo xấp xỉ có giới hạn Định lý 3.3: Giả sử f giả đơn điệu C thỏa mãn giả thiết (A1), (A2) toán EP ( C, f ) có lời giải Lấy {ck } {δ k } hai dãy số dương cho ck ≤ c < ∞ ,∀k ∑ δ k < +∞ Khi đó: ∞ k =1 ck Đối với k ∈ ¥ tập nghiệm Sδ ( C, f k ) khác rỗng, đóng bị chặn Khi ta có: k 2 x k - x ≤ x k -1 - x + ∞ δk ∑c Từ k =1 2 + x k - x ≤ x k -1 - x + δk ck (7) δk ck (8) < +∞ ta có k lim x k - x = µ < ∞ (9) x →∞ Dùng bất đẳng thức (7) ta viết lại sau x k - x k -1 2 ≤ x k -1 - x - x k - x + δk Khi đó, (9) ck = lim x k - x k -1 k →∞ tham số x k > sai số δ k ≥ cho trước Ta gọi nghiệm toán hiệu chỉnh δ k nghiệm kí hiệu tập tất δ k - nghiệm k k Sδ ( C, f k ) Gọi dãy { x } với x ∈ Sδ k ( C, f k ) quỹ đạo xấp xỉ gần kề x k -1 - x k Gọi x điểm bất động tập nghiệm toán EP ( C, f k ) , lấy x k ∈ Sδ k ( C, f k ) với k ≥ Từ (7) ta có ∞ δj j =1 cj Đặt = M : 2∑ δk ck →¥∞ , ta có → k ∈ (10) ta thấy, với k=1; 2; tập nghiệm toán cân EP ( C, f k ) đóng, rỗng bị chặn g k -1 Áp dụng ý 1) Bổ đề 3.1 Do { x k } δ k j - nghiệm toán cân EP C , f k j với k j , ta có fk j ( ) ( x , y) + c kj k kj x j -x k j -1 k j →∞ ( k ) k j →∞ Ta Ta cần { x k } x -x k + x -x ≤ x k -1 điều phải chứng minh -x +2 δk ck ≥ -δ k j , ∀y ∈ C (11) ( ) ≤ lim f k j x j , y ≤ lim f x j , y ≤ f ( x* , y ) , ∀y ∈ C cho thấy x* ∈ S ( C, f ) k kj Kết hợp với (10), với f nửa liên tục yếu, điều kiện với (11), k = ε ck= ,x g x k -1 ,x= ,δ δ k với (ε ) x= k -1 ,y - x * x* k điểm tụ yếu * Thật vậy, giả sử x1 ,x2 hai điểm tụ yếu phân biệt * * { x k } Khi x1 ,x2 ∈ S ( C, f ) 68 Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 3(62).2018 NGÀNH TOÁN HỌC * * Áp dụng (9) với x1 ,x2 đóng vai trị x ta lim x k - x1* = µi , = i 1; 1,2 (12) k →∞ Rõ ràng k * * * 2 k x - x ,x1 - x = x - x * k - x -x * Do x điểm tụ yếu dẫn đến * * 2 - x -x { x } từ (12), (13) k →∞ (13) k = lim x k - x1* ,x1 - x*2 = µ 22 - µ 12 - x1* - x*2 Do µ 22 - µ 12 = x1* - x*2 > * * Thay đổi vai trò x x2 cho lập luận tương tự ta thu kết µ12 - µ = x*2 - x1* > k hay { x } hội tụ mạnh x*, ta có điều cần chứng minh Kết luận: Chúng ta chứng tỏ rằng, toán hiệu chỉnh xấp xỉ có nghiệm tốn gốc có nghiệm dãy nghiệm toán hiệu chỉnh xấp xỉ hội tụ nghiệm tốn gốc, nghiệm hình chiếu nghiệm đoán lên tập nghiệm toán E ( C, f ) trường hợp sử dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov hay phương pháp điểm gần kề Xét tính ổn định phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phương pháp điểm gần kề toán cân giả đơn điệu Điều vô lý Vậy x* { } k Giả sử dãy x ⊆ { x } hội tụ mạnh tới x* ∈ H * Khi x ∈ S ( C, f ) kj * Áp dụng công thức (8) với x = x ta Với ∞ δk ∑c γ >0 bất kỳ, * lim x - x = k j →∞ < +∞ , lấy cho k =1 k ∞ δi γ γ < ∑ x kl - x* ≤ =i kl + ci Do đó, với k > kl + , từ (14) ta x k - x* ≤ x k - x* ≤ xk - x* +2 δ δ  + 2 k + k  c  k ck  ≤ * ≤ x -x ≤ γ 2 + γ 2 δ  δ k +  k + k + +   ck ck -1 ck +1   = Do x k - x* ≤ γ , ∀k > kl + Vậy, với tùy ý ta có lim x k - x* = k →∞ [1] Đỗ Văn Lưu (2009) Giải tích hàm NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội (14) kj TÀI LIỆU THAM KHẢO [2] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền, Nguyễn Hữu Điển (2015) Giáo trình giải tích lồi ứng dụng NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2005) Bài tốn đặt khơng chỉnh NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Bui V Dinh, Pham G Hung, Le D Muu (2014) Bilevel optimization as a regularization approach to pseudomonotone equilibrium problems, Numerical Functional Analysis and Optimization 35:539-563 [5] Pham G Hung, Le D Muu (2011) The Tikhonov regularization extended to equilibrium problems involving pseudomontone bifunctions Nonlinear Analysis 74:6121-6129 [6] M Bianchi and S Schaible (1996) Generalized monotone bifunctions and equilibrium problems Journal of Optimization Theory and Applications 90:31-43 [7] G Mastroeni (2003) On auxiliary priciple for equilibrium problems Kluwer Academic, Dordrecht, pp 289-298 [8] L D Muu (1984) Stability property of a class of variational inequality Optimization 15:347-351 Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 3(62).2018 69 ... nghiệm tốn cân với song hàm đơn điệu mạnh thỏa mãn HIỆU CHỈNH BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU Bài toán cân trường hợp f song hàm giả đơn điệu toán đặt khơng chỉnh Vấn đề đặt tìm cách hiệu chỉnh để... sau rằng, toán cân giả đơn điệu, tốn hiệu chỉnh khơng có nghiệm quỹ đạo xấp xỉ có giới hạn Định lý 3.3: Giả sử f giả đơn điệu C thỏa mãn giả thiết (A1), (A2) toán EP ( C, f ) có lời giải Lấy {ck... g ( x, y ) song hàm đơn điệu mạnh gọi song hàm hiệu chỉnh, ε > tham số hiệu chỉnh Định lý sau cho thấy, song hàm cân f giả đơn điệu, tốn hiệu chỉnh EP ( C, fε ) có nghiệm toán ban đầu EP ( C,