Ứng dụng đồ thị giải bài toán đồng biến, nghịch biến, cực trị, tiệm cận

Vũ Văn Thiết THPT TamĐảo BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Hàm số chủ đề quan trọng xuất nhiều đề thi đại học trước đề thi THPT Quốc gia, hay đề thi học sinh giỏi Việc dạy học phần hàm số trường THPT thầy cô quan tâm đặc biệt Ngồi phục vụ cho mơn tốn cịn làm tảng cho mơn Vật lí Các chuyên đề hàm số phục vụ thi tự luận trước xuất nhiều nói đủ cho thầy học sinh tham khảo Nhưng với chuyên đề phục vụ cho thi trắc nghiệm thật cịn hạn chế phần năm thứ thi trắc nghiệm Vì tơi mong muốn làm tài liệu phục vụ cho cơng việc giảng dạy làm tài liệu cho giáo viên học sinh tham khảo Trong q trình dạy học trắc nghiệm tơi thấy muốn hỏi câu hỏi để em hiểu chất vấn đề, câu hỏi vận dụng người ta thường đưa câu hàm ẩn So với năm 2017 điểm thi cao dạng câu hỏi hàm ẩn, năm 2018 đề theo hướng em biết vận dụng không lạm dụng MTCT Ở phần tích phân, hàm số… có nhiều chuyên đề hạn chế Casio hay Với cách đề buộc em phải tự rèn luyện phát triển lực thân làm Các nội dung mơn Tốn 12 nhiều tác giả viết với mục đích giúp em phải học nắm chất vấn đề đáp số, phần hàm số trước có tài liệu vấn đề này, điều khiến suy nghĩ chọn đề tài Bản thân đề THPT sở tiếp xúc với nhiều cách hỏi phát triển lực người học, tập huấn cách đề trắc nghiệm, muốn đưa ý tưởng hỏi tập trắc nghiệm phần hàm số để đưa thảo luận trao đổi Với mong muốn để hồn thiện hệ thống phần ơn thi THPT Quốc gia nhà trường trường bạn để nâng cao chất lượng giáo dục Tỉnh nhà Với tất lý chọn chuyên đề “Ứng dụng đồ thị giải toán đồng biến, nghịch biến, cực trị, tiệm cận” Tên sáng kiến: Ứng dụng đồ thị giải toán đồng biến, nghịch biến, cực trị, tiệm cận Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Vũ Văn Thiết - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Tam Đảo- Tam Đảo - Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 0912667068 - E_mail: vuvanthiet.gvtamdao@vinhphuc.edu.vn Chủ đầu tư tạo sáng kiến Tác giả sáng kiến đồng thời chủ đầu tư cho q trình hồn thiện sáng kiến trình đưa sáng kiến vào vận dụng thực tiễn Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Vũ Văn Thiết THPT TamĐảo Sáng kiến áp dụng lĩnh vực mơn Tốn lớp 12 THPT, dành cho học sinh ơn thi THPT Quốc Gia có nguyện vọng xét tuyển Đại học, Cao đẳng học sinh ôn thi học sinh giỏi Các lớp chọn trường, học sinh say mê môn học Từ phần kiến thức học sinh áp dụng suy nghĩ sang phần khác môn học theo cách tư tương tự Qua sang kiến mong muốn chia sẻ, học tập, trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp để góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy giáo viên hiệu học tập học sinh nói chung, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường, Tỉnh nhà Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: Áp dụng thử: Tháng năm 2018 + Vũ Văn Thiết lĩnh vực ôn thi học sinh giỏi 12 ơn thi THPT Quốc gia Sau tơi áp dụng: Tháng 12 năm 2018 việc, ôn thi THPT Quốc gia + Nguyễn Thị Hiên ôn thi THPT Quốc gia + Nguyễn Thị Khánh Hịa ơn thi học sinh giỏi + Hồng Trung Hiếu ơn thi HSG, ơn thi THPT Quốc gia Mô tả chất sáng kiến 7.1 Về nội dung sáng kiến 7.7.1 Sự đồng biến nghịch biến 7.7.1.1 Định nghĩa: Gọi K khoảng hàm số f  x Hàm số số � � a;b� a;b , a;b� đoạn � �hoặc nửa khoảng �   � xác định K y  f  x y  f  x  a;b x ,x �K : x1  x2 � f  x1   f  x2  đồng biến(tăng) K Hàm x ,x �K : x1  x2 � f  x1   f  x2  nghịch biến(giảm) K : Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi hàm số đơn điệu K 7.7.1.2 Các định lí:  Định lí 1: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm  a;b  Nếu f�  x  0,x� a;b hàm số f  x đồng biến  a;b  Nếu f�  x  0,x� a;b hàm số f  x nghịch biến  a;b  Định lí 2: (Điều kiện cần đủ để hàm số đơn điệu K ) Vũ Văn Thiết Cho hàm số  Hàm số THPT TamĐảo y  f  x f  x có đạo hàm đồng biến có hữu hạn nghiệm thuộc  Hàm số f�  x  f  x  a;b  a;b � f � x �0,x� a;b phương trình f�  x   a;b nghịch biến có hữu hạn nghiệm thuộc  a;b ۣ  ۣ �f �  x 0, x  a;b phương trình  a;b (Chú ý: Dấu xảy điểm “rời nhau”)  Định lí 3: (Điều kiện cần đủ để hàm số đơn điệu K )  Nếu hàm f  x đồng biến(hoặc nghịch biến) khoảng  a;b f  x liên tục � � a;b f x a;b nửa đoạn �    đồng biến(hoặc nghịch biến) nửa đoạn �   Nếu hàm f  x nửa đoạn  Nếu hàm đồng biến(hoặc nghịch biến) khoảng  a;b� �thì f  x f  x  a;b f  x liên tục đồng biến(hoặc nghịch biến) nửa đoạn đồng biến(hoặc nghịch biến) khoảng  a;b f  x  a;b� � liên tục � � a;b� f x a;b� đoạn � �thì   đồng biến(hoặc nghịch biến) đoạn � � 7.7.1.3 Đạo hàm hàm hợp Hàm số hợp Cho hàm số y  f ( x) có tập xác định X , tập giá trị T hàm số y  g (u ) có tập xác định Y chứa tập T Khi với giá trị x �X ta có giá trị xác định y cho g Khi y  g (u )  g ( f ( x )) ta nói y hàm số h theo biến số x h( x)  g ( f ( x)) Hàm số h( x) gọi hàm số hợp hàm số f g theo thứ tự Đạo hàm hàm số hợp u  f ( x) � � Cho hàm số y  g ( f ( x)) Đặt �y  f (u ) y x '  y 'u u 'x 7.7.1.4 Bài tập với Vũ Văn Thiết THPT TamĐảo Câu hỏi mức độ nhận biết, thông hiểu y  f  x biết đề cho hàm cho hàm y f�  x Khi gặp dạng ta lưu ý cho em cần xem đồ thị nằm hay trục hoành, đề f�  x  lưu ý đồ thị trục hồnh trục hồnh f�  x  Lập bảng biến thiên hàm số Ví dụ 1: Cho hàm số y  f  x y  f ( x) , suy kết tương ứng có đồ thị y f�  x hình vẽ ( đồ thị f�  x cắt Ox điểm có hồnh độ 1, 2,5,6 Chọn khẳng định ? A f  x nghịch biến khoảng  1;  B f  x đồng biến khoảng  5;6  C f  x nghịch biến khoảng  1;5 D f  x đồng biến khoảng  4;5 Lờigiải  1;   5;  đồ thị hàm số �;1 ,  2;5  ,  6; � nằm phía trục hồnh, khoảng  đồ thị hàm số nằm phía Từ đồ thị hàm số y f�  x trục hoành Do ta có: hàm số khoảng ta nhận thấy khoảng y  f  x đồng biến khoảng  1;   5;6  , nghịch biến  �;1 ,  2;5 ,  6; � ChọnB Ví dụ 2: Cho hàm số sau sai ? y = f ( x) Đồ thị hàm số y= f � ( x) hình bên Khẳng định Vũ Văn Thiết THPT TamĐảo A.Hàm số f ( x) đồng biến ( - 2;1) B.Hàm số f ( x) đồng biến ( 1;+�) C.Hàm số f ( x) nghịch biến đoạn có độ dài D.Hàm số f ( x) nghịch biến ( - �;- 2) Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số y = f '( x) � - < x 1 � +) f '( x) > Suy A đúng, B ta thấy: đồng biến khoảng ( - � f ( x) nghịch biến khoảng ( +) f '( x) < x � � � x>5 � Ta � � - < 3- 2x < �< x < � g� �� ( x) < � f � ( 3- 2x) > � � 2 � 3- 2x > � x � � � � � � �f ( x ) > � � �>> ����� g� x ( ) � �x < � � � � �f ( x2 ) < � � � � < x �� � - < x x �( 2;+�) � x2 > ( 1) Với Từ ( 1) ( 2) , suy x2 > ������ f � ( x2 ) > theo thi f '( x) g� ( x) = 2xf ( x2 ) > Nhận thấy nghiệm Ví dụ 8: Cho hàm số g� ( x) ( 2) khoảng ( 2;+�) nên g� ( x) mang dấu + nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu y = f ( x) Đồ thị hàm số y= f � ( x) hình vẽ bên dướivà f( - 2) = ( 2) = Hàm số g( x) = � f ( x) � � � � 3� � � - 1; � � � � A � 2� nghịch biến khoảng khoảng sau ? B ( - Dựa vào đồ thị hàm số 2;- 1) y= f � ( x) , C ( - 1;1) Lời giải D ( 1;2) suy bảng biến thiên hàm số f ( x) sau Từ bảng biến thiên suy f ( x) �0, " x �� Ta có Xét g� ( x) = f � ( x) f ( x) �f � ( x) > � x