Biên soạn: ThS. Đoàn Vương Nguyên CHUYÊNĐỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỊNH LÝ LAGRANGE A. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Định lý 1 Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và có / f (x) 0> (hoặc / f (x) 0< ) trong khoảng (a; b) thì phương trình f(x) 0= có không quá 1 nghiệm trong khoảng đó. Ví dụ 1. Giải phương trình 2 2 log x x = . Giải Điều kiện: x > 0. Xét hàm số ( ) 2 2 f(x) log x , D 0; x = - = +¥ ta có: / 2 1 2 f (x) 0, x 0 xln2 x = + > " > Suy ra phương trình f(x) = 0 có không quá 1 nghiệm trong (0; )+¥ . Mặt khác f(2) = 0. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2. Định lý 2 Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và có / / f (x) 0> (hoặc / / f (x) 0< ) trong khoảng (a; b) thì phương trình f(x) 0= có không quá 2 nghiệm trong khoảng đó. Ví dụ 2. Giải phương trình x x 2 3 3x 2+ = + . Giải Xét hàm số x x f(x) 2 3 3x 2, D= + -- = ¡ ta có : / x x f (x) 2 ln2 3 ln3 3= + - , / / x 2 x 2 f (x) 2 (ln2) 3 (ln3) 0 x= + > " Î ¡ . Suy ra phương trình f(x) = 0 có không quá 2 nghiệm. Mà f(0) = 0, f(1) = 0. Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 0, x = 1. Chú ý: i) Hàm số f(x) liên tục và đồng biến trên khoảng (a; b), g(x) liên tục và nghịch biến trong khoảng (a; b) đồng thời f(c) = g(c) (với c thuộc (a; b)) thì phương trình f(x) = g(x) có nghiệm duy nhất x = c. ii) Hàm số f(x) liên tục và đơn điệu trong (a; b) thì f(u) f(v) u v (a; b)= Û = Î . Ví dụ 3. Phương trình 3 log x 4 x= - có nghiệm duy nhất x = 3. 1 Ví dụ 4. Giải phương trình 2 x 1 2x 2 3 3 x 2x 1 + - = - + - (1). Giải Đặt 2 u x 1,v 2x= + = , ta có : u v u v (1) 3 3 v u 3 u 3 vÛ - = - Û + = + (2). Xét hàm số t / t f(t) 3 t f (t) 3 ln3 1 0 t= + Þ = + > " Î ¡ (2) f(u) f(v) u v v u 0Þ Û = Û = Û - = 2 x 2x 1 0 x 1.Û - + - = Û = Vậy (1) có nghiệm duy nhất x = 1. Chú ý: Nếu f(x) đơn điệu trên hai khoảng rời nhau thì không áp dụng f(u) f(v) u v= Û = được. Chẳng hạn: 1 f(t) t t = - và 1 1 x y x y - = - x y 0Þ = ¹ là sai. B. GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ – ĐỊNH LÝ LAGRANGE I. GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ 1. Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) có MXĐ D và X là tập hợp con của D. i) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên X nếu 0 0 f(x) m x X f(x ) m, x X ì ³ " Î ï ï ï í ï = Î ï ï î , ký hiệu: x X m minf(x) Î = . ii) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của f(x) trên X nếu 0 0 f(x) M x X f(x ) M, x X ì £ " Î ï ï ï í ï = Î ï ï î , ký hiệu: x X M max f(x) Î = . 2. Phương pháp giải toán 2.1. Hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Để tìm giá trị lớn nhất (max) và giá trị nhỏ nhất (min) của f(x) trên đoạn [a; b] ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Giải phương trình / f (x) 0= (tìm điểm dừng). Giả sử có n nghiệm x 1 ; x 2 ; …; x n thuộc đoạn [a; b] (ta loại các nghiệm nằm ngoài đoạn [a; b]). Bước 2. Tính f(a), f(x 1 ), f(x 2 ), …, f(x n ), f(b). Bước 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị đã tính ở trên là các giá trị tương ứng cần tìm. Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 f(x) x 4x 5= - + trên đoạn [ 2;3]- . Giải Ta có: 2 f(x) x 4x 5= - + liên tục trên đoạn [ 2;3]- [ ] / 2 x 2 f(x) 0 x 2 2;3 x 4x 5 - = = Û = Î -- + ( ) f( 2) 17, f 2 1, f(3) 2- = = = . Vậy [ ] [ ] x 2;3 x 2;3 min f(x) 1 x 2, max f(x) 17 x 2 Î - Î - = Û = = Û = - . 2 Chú ý: i) Để cho gọn ta dùng ký hiệu minmax f , f thay cho [ ] [ ] x 2;3 x 2;3 min f(x), max f(x) Î - Î - . ii) Nếu đề bài chưa cho đoạn [a; b] thì ta phải tìm MXĐ của hàm số trước khi làm bước 1. iii) Có thể đổi biến số t t(x)= và viết y f(x) g(t(x))= = . Gọi T là miền giá trị của hàm t(x) (thường gọi là điều kiện của t đối với x) thì x X t T minf(x) ming(t) Î Î = , x X t T max f(x) max g(t) Î Î = . Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 6 4 2 9 1 y x 3x x 4 4 = - + + trên đoạn [ 1; 1]- . Giải Hàm số 6 4 2 9 1 y x 3x x 4 4 = - + + liên trên đoạn [ 1; 1]- Đặt [ ] 2 t x t [0; 1] x 1; 1= Þ Î " Î - , ta có: 3 2 9 1 y t 3t t 4 4 = - + + liên tục trên đoạn [0; 1] / 2 9 1 3 y 3t 6t 0 t t 4 2 2 Þ = - + = Û = Ú = (loại). ( ) 1 1 3 1 y(0) , y , y(1) . 4 2 4 2 = = = Vậy min 1 y t 0 x 0 4 = Û = Û = , max 3 1 2 y t x 4 2 2 = Û = Û = ± . Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 f(x) x 5x 6= - + + . Giải Ta có điều kiện: 2 x 5x 6 0 1 x 6 D [ 1; 6]- + + ³ Û - £ £ Þ = - Hàm số 2 f(x) x 5x 6= - + + liên tục trên D / 2 2x 5 5 f(x) 0 x D 2 2 x 5x 6 - + = = Û = Î - + + . ( ) ( ) 5 7 f( 1) f 6 0, f 2 2 - = = = . Vậy min f 0 x 1 x 6= Û = - Ú = , max 7 5 f x 2 2 = Û = . Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 sin x 1 y sin x sinx 1 + = + + . Giải Đặt 2 t 1 t sinx y , t [ 1; 1] t t 1 + = Þ = Î - + + 2 / / 2 2 t 2t y y 0 t 0 [ 1; 1] (t t 1) -- = Þ = Û = Î - + + ( ) ( ) 2 y( 1) 0, y 0 1, f 1 3 - = = = . 3 Vậy min y 0 sinx 1 x k2 , k 2 p = Û = - Û = - + p Î Z max y 1 sin x 0 x k , k= Û = Û = p Î Z . Ví dụ 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 y x 3x 2= - + trên đoạn [–3; 2]. Giải Hàm số 3 y x 3x 2= - + liên tục trên đoạn [ ] 3; 2- . Đặt 3 f(x) x 3x 2= - + liên tục trên đoạn [ ] 3; 2- . / 2 f (x) 3x 3 0 x 1 [ 3; 2]= - = Û = ± Î - . f( 3) 16, f( 1) 4, f(1) 0, f(2) 4- = -- = = = 16 f(x) 4 x [ 3; 2]Þ - £ £ " Î - 0 f(x) 16 x [ 3; 2]Þ £ £ " Î - 0 y 16 x [ 3; 2]Þ £ £ " Î - . Vậy maxmin y 16, y 0= = . 2.2. Hàm số liên tục trên khoảng (a; b) hoặc trên ¡ Cho hàm số y = f(x) liên tục trên D (a;b)= hoặc D = ¡ ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Giải phương trình / f (x) 0= (tìm điểm dừng). Giả sử có n nghiệm x 1 ; x 2 ; …; x n thuộc D (ta loại các nghiệm không thuộc D). Bước 2. Tính 1 x a lim f(x) L + ® = , f(x 1 ), f(x 2 ), …, f(x n ), 2 x b lim f(x) L - ® = . Bước 3. + Nếu { } { } 1 2 n 1 2 min f(x ),f(x ), .,f(x ) min L , L< thì { } min 1 2 n f min f(x ),f(x ), .,f(x )= (1). + Nếu { } { } 1 2 n 1 2 max f(x ),f(x ), .,f(x ) max L , L> thì { } max 1 2 n f max f(x ),f(x ), .,f(x )= (2). + Nếu không thỏa (1) (hoặc (2)) thì hàm số không đạt min (hoặc max). Chú ý: i) Có thể lập bảng biến thiên của hàm số f(x) thay cho bước 3. ii) Nếu hàm số không có điểm dừng (điểm dừng khác điểm tới hạn) thì không đạt min, max. Ví dụ 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số 2 x 1 f(x) x 1 + = + . Giải Hàm số f(x) liên tục trên R. Ta có: / / 2 2 1 x f (x) f (x) 0 x 1 (x 1) x 1 - = Þ = Û = + + ( ) x x x 2 1 x 1 x lim f(x) lim lim f(x) 1 1 x 1 x ®¥ ®¥ ®±¥ + = Þ = ± + Bảng biến thiên 4 Vy hm s khụng t min v x R max f(x) 2 x 1 ẻ = = . Nhn xột: 2 x m x 1 1 0- + + = cú nghim thc 1 m 2 - < Ê . Vớ d 7. Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht (nu cú) ca hm s 2 f(x) x x 2x 2= -- + . Gii Hm s f(x) liờn tc trờn Ă . Ta cú: / 2 2 x 1 f (x) 1 0 x 2x 2 x 1 x 2x 2 - = - = - + = -- + 2 2 x 1 x 2x 2 (x 1) ỡ ù ù ớ ù - + = - ù ợ (vụ nghim). Vy hm s khụng t min v max (vỡ khụng cú im dng). Vớ d 8. Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s 2 x y x 2 1 = + - . Gii Ta cú 2 2 x 2 2 1 x 2 1 0 D+ > ị + - > ị = Ă . ( ) 2 2 2 / 2 2 x x 2 1 x 2 y x 2 1 + -- + ị = + - ( ) 2 2 2 2 2 x 2 x 2 x 2 1 - + = + + - ( ) / 2 y 0 x 2 2 x 2 y 2 2= + = = ị = , Gii hn x x x 2 x lim y lim lim y 1 2 1 x 1 x x đƠ đƠ đƠ = ị = ổ ử ữ ỗ + - ữ ỗ ữ ỗ ố ứ . Vy maxmin y 2, y 2= = - . Nhn xột: 2 m x 2 x m+ = + cú nghim thc 2 m 2 - Ê Ê . Vớ d 9. Tỡm m phng trỡnh 2 x 2x 1 m+ + = cú nghim. Gii Xột hm s 2 y x 2x 1= + + liờn tc trờn Ă . Ta cú: / 2 2 2x y 1 0 2x 1 2x 2x 1 = + = + = - + 5 2 2 2x 0 2 x 2 2x 1 4x - ỡ ù ù = - ớ ù + = ù ợ . x 2 2 y , lim y , 2 2 đ+Ơ ổ ử ữ ỗ - = = +Ơ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ ( ) ( ) 2 2 2 x x 2x 1 x 2x 1 x lim y lim 2x 1 x đ- Ơ đ- Ơ + + + - = + - 2 x x 2 2 1 x x 1 x lim lim 1 1 x 2 1 2 1 x x đ- Ơ đ- Ơ + + = = = +Ơ ổ ử ổ ử ữ ữ ỗ ỗ - + + - + + ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ . min 2 2 y y x 2 2 ị = ị " ẻ Ă . Vy vi 2 m 2 thỡ phng trỡnh cú nghim. Chỳ ý: Cú th dựng bt ng thc tỡm min, max ca hm s. II. NH Lí LAGRANGE Hm s y = f(x) liờn tc trờn on [a; b] (a < b) v cú o hm trờn khong (a; b) thỡ tn ti s c trong khong (a; b) sao cho / f(b) f(a) (b a)f (c)- = - . Vớ d 10. Chng t rng phng trỡnh 3 2 4x 3x 2x 3 0+ + - = cú nghim trong khong (0; 1). Gii Xột hm s 4 3 2 f(x) x x x 3x= + + - liờn tc trờn [0; 1] v cú o hm trờn (0; 1). p dng nh lý Lagrange, ta cú : / 3 2 f(1) f(0) c (0;1) : f (c) 0 4c 3c 2c 3 0 1 0 - $ ẻ = = ị + + - = - . Vy phng trỡnh cú nghim x = c trong (0; 1). Vớ d 11. Chng t rng phng trỡnh 2 ax bx c 0+ + = cú nghim trong khong (0; 1), trong ú a b c 0 m 2 m 1 m + + = + + v m > 0. Gii a) Khi m = 1 thỡ ta cú bi toỏn quen thuc. Xột hm s 3 2 ax bx F(x) cx 3 2 = + + liờn tc trờn [0; 1] v cú o hm trờn (0; 1). p dng nh lý Lagrange, ta cú : / F(1) F(0) a b c (0; 1) : F (c) c 0 1 0 3 2 - $ ẻ = = + + = - 2 ax bx c 0ị + + = cú nghim x = c. b) Khi m > 0 thỡ ta ch cn gii tng t vi s m tng ng. Xột hm s m 2 m 1 m ax bx cx F(x) m 2 m 1 m + + = + + + + liờn tc trờn [0; 1] v cú o hm trờn (0; 1). 6 Áp dụng định lý Lagrange, ta có : / m 1 2 F(1) F(0) a b c (0; 1) : F ( ) x (ax bx c) 0 1 0 m 2 m 1 m -- $a Î a = Û + + = + + = - + + 2 ax bx c 0Þ + + = có nghiệm x = a . Ví dụ 12. Chứng minh rằng với mọi a, b thì sinb sina b a- £ - . Giải Dễ thấy với a = b ta có đẳng thức xảy ra. Giả sử a b< , áp dụng định lý Lagrange cho hàm số f(x) sinx= trên [a; b] ta có c (a; b) : sinb sina (b a)cosc$ Î - = - sinb sina b a cosc b aÞ - = - £ - Vậy sinb sina b a- £ - với mọi a, b. Ví dụ 13. Chứng minh rằng nếu 0 a b< < thì ( ) b a b b a ln b a a -- < < . Giải Xét hàm số f(x) lnx= liên tục trên [a; b] và có / 1 f (x) x = trên (a; b). Áp dụng định lý Lagrange, ta có : ( ) b a b b a c (a; b) : lnb lna ln c a c -- $ Î - = Þ = (1). Mặt khác 1 1 1 b a b a b a 0 a b b c a b c a --- < < Þ < < Þ < < (2). Vậy từ (1) và (2) ta có ( ) b a b b a ln b a a -- < < . Ví dụ 14. Chứng minh rằng ( ) 1 x 1 1 ln x 1 x x + < < + với x 0> . Giải Xét hàm số f(t) ln t= liên tục trên [x; x + 1] và có / 1 f (t) t = trên (x; x + 1). Áp dụng định lý Lagrange, ta có : ( ) (x 1) x x 1 1 c (x; x 1) : ln(x 1) ln x ln c x c + - + $ Î + + - = Þ = . Mặt khác 1 1 1 0 x c x 1 x 1 c x < < < + Þ < < + . Vậy ( ) 1 x 1 1 ln x 1 x x + < < + . Ví dụ 15. Chứng minh rằng 2 2 b a b a tgb tga cos a cos b -- £ - £ với 0 a b 2 p < < < . Giải 7 Xét hàm số f(x) tgx= liên tục trên [a; b] và có / 2 1 f (x) cos x = trên (a; b). Áp dụng định lý Lagrange, ta có : 2 b a c (a; b) : tgb tga cos c - $ Î - = . Mặt khác 0 a c b 0 cosb cosc cosa 2 p < < < < Þ < < < 2 2 2 2 2 2 b a b a b a 0 cos b cos c cos a cos a cos c cos b --- Þ < < < Þ < < . Vậy 2 2 b a b a tgb tga cos a cos b -- £ - £ . 8 . f(1) 0, f(2) 4- = - - = = = 16 f(x) 4 x [ 3; 2]Þ - £ £ " Î - 0 f(x) 16 x [ 3; 2]Þ £ £ " Î - 0 y 16 x [ 3; 2]Þ £ £ " Î - . Vậy max min y 16,. (x) 1 0 x 2x 2 x 1 x 2x 2 - = - = - + = - - + 2 2 x 1 x 2x 2 (x 1) ỡ ù ù ớ ù - + = - ù ợ (vụ nghim). Vy hm s khụng t min v max (vỡ khụng cú im dng).