Chuyên đê Bồi dưỡng HSG Toán 9 (Chọn lọc)

17 1.2K 23
Chuyên đê Bồi dưỡng HSG Toán 9 (Chọn lọc)

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

PHẦN I KIẾN THỨC CƠ BẢN PHẦN I.I PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG HOẶC MỘT SỐ CUỐI CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN Phương pháp 1: Dùng cấu tạo số: I Cơ sở lí thuyết: Để tìm chữ số tận số người ta thường tìm số dư phép chia số cho 10 Nhận xét 1: Nếu số nguyên a có tận chữ số: 0; 1; 5; an có tận 0; 1; 5; Nhận xét 2: ta có: 24k = 16k ≡ ( mod 10) 34k = 81k ≡ ( mod 10) 74k = 492k ≡ (mod 10) Nhận xét 3: Các số tự nhiên bất kì, nâng lên luỹ thừa 4n + chữ số tận khơng thay đổi Các nhận xét hiển nhiên Nhận xét dễ dàng chứng minh Xem số tự nhiên : A=nk với n, k  N 1.Muốn tìm chữ số tận A cần biểu diễn A dạng: A = 10a + b = ab  b chữ số cuối A Ta viết: A = nk = (10q + r)k = 10t + rk với r  N;  r  Chữ số cuối A chữ số cuối số rk - Nếu A = 100a + bc = abc bc hai chữ số cuối A - Nếu A = 1000a + bcd = abcd bcd ba chữ số cuối A a = a a a a a - Nếu A=10m.am + a m chữ số cuối A 2.Vận dụng nhị thức Newtơn: (a+b)n= c n0 a  c1n a n  1b  c nn  .a.b n   c nn b n m m II Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm chữ số cuối số: A= 9 Giải: Xem số M = 9k ; k  N - Nếu k chẵn  k 2m ta có: M =92m = 81m = (80+1)m =(10q +1)m = 10 t + ( với m, q, t  N) Vậy: M có chữ số cuối k chẵn - Nếu k lẽ  k=2m+1 ta có: m  M =92m+1 = 92m.9 = (10t + 1).9 =10q + ( với m, t, q  N) Vậy: M có chữ số cuối k lẻ, ta có 99 số lẻ Do đó: A = 9 có chữ số cuối Bài 2: tìm chữ số cuối số: B = Giải: B = = 281 = (25)16 = 3216.2 = (30+2)16.2 = 10q +217 = 10q + (25)3.22 = 10q + (10q + 2)3 22 = 10t + 25 = 10t + Vậy B có chữ số cuối 4 Phương pháp 2: Nhận xét lũy thừa I Cơ sở lý thuyết: nhận xét lũy thừa n - a lũy thừa Các trường hợp đặt biệt: 1.các số có dạng: + ( a )n tận + ( a1`)n; ( a5 )n; ( a )n tận lần lược 1; 5; + ( a3 )4; ( b7 )n; ( b9 )n tận lần lược + ( a )4; ( a )4; ( a8 )4 tận lần lược Các số 320, 815, 74, 512, 992 tận 01 264, 65, 184, 242, 684, 742 có hai chữ số tận 76 125n, 25n, 52 tận 25 Các số có dạng: ( a 01` )n; ( a 25 )n; ( a 76 )n có hai chữ số tận là: 01, 25, 76 Bài 1: tìm chữ số cuối số A = 9 Giải: Ta có: 92m tận 92m+1 tận 9 Suy ra: 99 tận 9, (9 số lẻ.) Vậy A= 9 tận 9 Bài 2: Tìm chữ số tận của: C = 62002, D = 22001 Giải: Ta có: 61 tận 62 tận 63 tận Vậy 6n tận suy 62002 tận Ta có: 24 = 16 tận Suy 22002 = (24)500.22 = (a 6).4 k với a, k  N  22002 tận Bài 3: Tìm chữ số cuối số: M = 71999, G = 18177 Giải: *Ta có 74 = 2401 tận M = 71999 = (74) = ( n1 ).343 = c3  tận Vậy M = 71999 tận *Ta có 184 = n6 tận Suy ra: G = 18177 = (184 )44 181 = t 18 = k Vậy G = 18177 tận Bài 4: Tìm chữ số tận số sau: a/ 9 b/ 14 14 14 c/ 3567 Giải: a/ có: 99 = (8+1)9 = 4k + nên = 74k+1 = 7.74k = 492k có chữ số tận 7.1 = b/ ta có 1414 = 1967 = (49.4)7 = 4k nên: 14 = 24k.74k = 16k.2401k nên tận 1414 c/ có 567 = (4+1) 67 = 4k+1 nên 3567 = 34k+1 = 3.34k = 3.81k có tận 3.1 = Bài 5: Tìm chữ số tận tổng sau: T = 21 + 35 + 49 + .+ 20048009 Giải: Chú ý tất số mũ có dạng 4(n-2) +1 với n 2 nên tất số hạng tổng có tận tận số khơng lấy luỹ thừa Mặt khác ta có: T = 21 + 35 + 49 + .+ 20048009 = 21 + 35 + 49 + 513 +617 + 721 + 825 + 929 33 37 7992    11         2000    + + 20048009 + 10 1990sè nên T có chữ số tận chữ số tổng sau T’ = ( 2+3+ +9) +199(0+1+2+ +9) + (1+2+3+4) = 9009 Vậy chữ số tận T Bài 6: Tìm chữ số tận tổng: T = 23 + 37 + 411 + .+ 20048011 Giải: Nhận xét số mũ số hạng tổng có dạng 4(n-2) +3 với n 2 Vậy nên ta tìm quy luật chữ số tận số a4k+3 với a = {0, 9} Ta có : số có tận : 0; 1; 5; ak có tận 0; 1; 5; xét 24k+3 = 8.24k = 8.16k có tận 34k+3 = 27.81k có tận 44k+3 = 64.28k =64.162k có tận 74k+3 = 343.2401k có tận 84k+3 = 512.162k có tận Vậy chữ số tận T chữ số tận T’ = (8+7+4+5+6+3+2+9)+199(1+8+7+4+5+6+3+2+9) +1+8+7+4 = 9019 Vậy chữ số tận T Bài 7: Tồn hay không số tự nhiên n cho số n2 + n + chia hết cho 20052005 Giải: Số 20052005 có tận nên chia hết cho ta có n2 + n + = n(n+1) +1 có chữ số tận 1, 3, nên không chia hết cho Vậy không tồn n Bài 8: chứng minh tổng sau số phương a/ M = 19k + 5k + 1995k +1996k ( với k tự nhiên chẵn) b/ N = 20042004k - 2003 Giải: a/ k chẵn nên k = 2n 19k = 192n =361n có tận 5k + 1995k có tận 1996k có tận tổng M có tận nên khơng số phương số phương có tận 0; 1;4;9;6;5 b/ ta có: 20042004k = (2000 + 4)2004k = 10n + 42004k = 10n + 161002k có tận Nên N có tận nên N số phương Bài 9: cho P số nguyên tố lớn chứng minh ( P8n + 3p4n - )⋮5 Giải: Vì P số nguyên tố lớn nên tận p chữ số: 1; 3; 7; Nếu P có tận P8n + 3p4n – có tận nên chia hết cho Nếu P có tận p4n = 10k+ 34n = 10k + 81n có tận p8n có tận nên: P8n + 3p4n – có tận nên chia hết cho Nếu p có tận tương tự tận p4n p8n có tận nên tổng chia hết cho Nếu p có tận thì:p4n = 10k + 94n = 10k + 812n có tận p8n = ( p n ) có tận Nên tổng chia hết cho Tóm lại với p ngun tố lớn tổng ln chia hết cho Nhận xét chung phương pháp: Tách an dạng (10k + a1)n với a1 = {0, 1, .9} Viết n dạng n = 4q + r ( r = 0, 1, 2, 3) Sử dụng nhận xét 1, 2, chứng minh Phương pháp 3: Dùng đồng dư I.Cơ sở lý thuyết: Định nghĩa: Cho số nguyên M>0, hai số nguyên a chia cho m có số dư ta nói a đồng dư với b theo mô đun m viết a  b(mod m) Định lý: Ba mệnh đề sau tương đương với nhau: a.a đồng dư với b theo mô đun m b.a-b chia hết cho m c.có số nguyên t cho a = b + m.t 3.Tính chất: a  a(mod m) a  b(mod m); b c (mod m) Suy ra: a  c (mod m) a b (mod m )  c  d (mod m ) suy ra: a  b d (mod m) ac bd (mod m) Hệ quả: a+c b (mod m)  a  b - c (mod m) a b (mod m)  am bn (mod m) Nếu a b (mod m); k  ƯC(a,b), (k,m) = a b (mod m )  k  , k  suy ka a b  (mod m) k k  kb (mod m) d  ƯC(a,b,m) : a b (mod m) suy a b m  (mod ) d d d Nếu a b (mod m1) a b (mod m2) suy a b (mod m) M = BCNN(m1,m2) Hệ quả: (m1, m2, …, mn ) = nguyên tố đôi Suy ra: a b (mod m1), a b (mod m2),……a b (mod mn) a b (mod m1, m2, ….Mn) II Bài tập Bài 1: Tìm chữ số tận 6195 21000 Giải: Tìm chữ số tận số N có nghĩa phải tìm số dư phép chia số N cho 10, Tức tìm số tư nhiên nhỏ 10 dồng dư với N theo mod 10 * Ta có: 62 = 36  mod 10 suy 6n = mod 10 * Với N số tự nhiên khác * Suy ra: 6195  (mod 10) vây cữ số tận 6195 *Tacó: 21000 = 24 250 = (2n)250 Vì 2n  16  (mod 10) Suy ra: (2n)250  16250  (mod 10) Do đó: 21000  6250  6(mod 10) Nghĩa hữ số tận 21000 Vậy ta tận dụng đồng dư vào tìm chữ số tận có nghĩa tìm chữ số tận số N với: Một chữ số tận N  a (mod 10) suy ra: tận a: a

Ngày đăng: 22/10/2013, 07:11

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan