chuyen de cuc tri HSG toan 8

Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Cực trị Chuyên đề : Cực trị A. Lí thuyết 1. Để tìm cực trị của biểu thức f(x) trong TXĐ D ta thờng làm nh sau: - C/m f(x) k hoặc f(x) k với k là hằng số. - Tìm x = a D để f(a) = k. - Kết luận GTNN hoặc GTLN của f(x) là k khi x = a. 2. Ta thờng sử dụng nhũng kiến thức cơ bản sau: + 0A + A B A B+ + . Đẳng thức xảy ra . 0A B + A B A B . Đẳng thức xảy ra khi 0A B hoặc 0A B + A 2 0 với mọi A. + Bất đẳng thức Cô-si cho hai số dơng : a+b 2 ab . Đẳng thức xảy ra a b = + Nếu hai số dơng có tổng khong đổi thì tích của chúng lớn nhất hai số đó bằng nhau. + Nếu hai số dơng có tổng không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất hai số đó bằng nhau. + (A+B) 2 4AB . Đẳng thức xảy ra A B = + 1 1 4 A B A B + + . Đẳng thức xảy ra A B = + 2 A B B A + .Đẳng thức xảy ra A B = (với A,B dơng.) + Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 a b a b a a b b+ + + Đẳng thức xảy ra 1 2 2 1 a b a b = http:/violet.vn/sonhienhoa1981 1 Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Cực trị B. Bài tập I. Tìm GTLN hoặc GTNN của tam thức bậc hai : ax 2 +bx+c 1. Tìm GTNN của : a. A = 2 1x x+ + b. B = 2 4 3 2x x + c. C = 2 3 1x x+ d. D = 2 ( a>0)ax bx c voi+ + 2. Tìm GTLN của : a. A = 2 1x x+ b. B = 2 4 3 2x x + c. C = 2 3 1x x + + d. D = 2 ( a<0)ax bx c voi+ + 3. Tìm GTNN của : a. A = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) - 2006 b. B = (x-1)(x-4)(x-5)(x- 8)+ 2006 Giải a. A = ( ) ( ) 2 2 5 6 5 6 2006x x x x+ + + = ( ) 2 2 5 2042 2042x x+ GTNN của A = -2042 2 0 5 0 5 x x x x = + = = b. GTNN của B = 1970 2 7 x x = = 4. Cho hai số x,y thoả mãn x + y = 1. Tìm GTNN của M = 5x 2 + y 2 HD: Thay y = 1 x vào M , ta đợc: M = 6x 2 2x+1 = 6(x - 1 6 ) 2 + 5 5 6 6 GTNN của M = 5 6 1 5 ; 6 6 x y = = 5. Cho hai số x, y thoả mãn x 2 + 2 xy +8(x+y) + 2y 2 + 12 = 0 . http:/violet.vn/sonhienhoa1981 2 Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Cực trị Tìm GTNN và GTLN của S = x + y + 1 II. Tìm GTLN hoặc GTNN của phân thức đại số. 1. Tìm GTLN của : a) A = 2 1 9 12 10x x + b) B = 2 2 4x x+ + ĐS: a) GTLN của A = 1 6 khi x = 2 3 b) GTLN của B = 8 15 khi x = 1 2 2. Tìm GTNN của : a) A = 2 2 2 3 ( 0) x x x x + b) B = ( ) 2 2 1 1 ( 1) x x x x + ĐS: a) A = 2 2 2 2 2 3 6 9 ( 3) 2 2 2 3 3 3 3 x x x x x x + + = + . GTNN của A = 2 3 khi x = 3 b) B = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 4 4 3( 1) ( 1) 3 ( 1) 3 ( 1) 4( 1) 4( 1) 4 4( 1) 4 x x x x x x x x x x x + + + + + = = = + GTNN của B = 3 4 khi x = -1 3. Tìm GTLN của biểu thức : M = 3 3 1 1 x y y x + + + với x,y dơng và xy = 1. HD: M = 3 3 1 1 x y y x + + + = 4 4 3 3 2 x y x y x y + + + + + Ta có : x 4 + y 4 2 2 2 2x y = x 3 + y 3 = (x+y)(x 2 xy + y 2 ) ( )(2 )x y xy xy x y + = + Do đó : M = 4 4 3 3 2 1 2 2 x y x y x y x y x y + + + + + = + + + + GTNN của A = 1 khi x = y= 1 http:/violet.vn/sonhienhoa1981 3 Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Cực trị 4. Tìm GTLN của M = 2 ( 0) ( 2006) x x x > + ĐS: GTLN của M = 1 8024 khi x = 2006 5. Tìm GTLN và GTNN của M = 2 4 3 1 x x + + ĐS : GTNN của A = -1 khi x = -2 GTLN của A = 4 khi x = 1 2 6. Tìm GTNN của A = a d d b b c c a d b b c a a d + + + + + + + , với a,b,c,d là các số dơng. HD: áp dụng BĐT : 1 1 4 A B A B + + .Dờu = xảy ra khi A =B ĐS : GTNN của M = 0 d b c a a b b c a d c d + = + = + = + = 7. Cho a,b là các số dơng và ab = 1. Tìm GTLN của biểu thức : A = 4 2 2 4 a b a b a b + + + HD: Vì ab = 1 nên ta có : (a 2 - b) 2 = a 4 + b 2 2a 2 b 0 a 4 + b 2 2a 2 b 4 2 2 1 2 2 a a a b a b = + Tơng tự: 2 4 2 1 2 2 b a a b ab = + Do đó : 4 2 a a b + + 2 4 1 b a b + GTNN của A = 1 khi 2 2 1 1 a b b a a b ab = = = = = http:/violet.vn/sonhienhoa1981 4 Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Cực trị III. Một số bài toán cực trị hình học. Bài 1. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Từ điểm M bất kì trên đờng chéo AC vẽ MH vuông góc với AB; MK vuông góc với BC. Xác định vị trí của M trên AC sao cho tổng diện tích của tam giác vuông ADH, BHK, DCK lớn nhất. HDẫn Ta có : AHM và CKM là các tam giác vuông cân nên AH = HM = BK, CK = HB. Do đó AH + CK = a. 2 1 ( . . . ) 2 1 = ( . . . ) 2 1 = ( . ) 2 ADH BHK DCK S S S AD AH BH BK DC CK a AH BH BK a CK a BH BK + + = + + + + + Vậy ADH BHK DCK S S S+ + lơn nhất khi BH.BK lớn nhất. Mà BH+BK = a không đổi nên BH.BK lớn nhất khi BH=BK= 2 a . Lúc đó M là trung điểm của AC. Bài 2. Cho tam giác ABC có đáy BC = a, chiều cao AH = h. Ngời ta muốn cắt một hình chữ nhật MNPQ có cạnh PQ nằm trên BC còn hai đỉnh M, N nằm trên hai cạnh AB và AC . Hỏi MQ phải bằng bao nhiêu để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất. Bài 3.Chứng minh rằng : nếu độ dài các cạnh của một tam giác thoả mãn 2 2 2 5a b c+ > thì là độ dài cạnh nhỏ nhất. http:/violet.vn/sonhienhoa1981 5 A B K C D M H Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Cực trị HD: Giả sử c không phảI là cạnh nhỏ nhất, chảng hạn : c a 2 2 2 4 ( )c c a b c a c b + > + > Lại có : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 5c a c c a b c a b + > + > + . Trái giả thiết. Vậy c là độ dài cạnh nhỏ nhất. Bài 3. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD lần lợt lấy các điểm M,N,P,Q . Tìm điều kiện để tứ giác MNPQ có chu vi nhỏ nhất. HD: Gọi E,F,G lần lợt là trung điểm của các đoạn MQ, MP, NP. Ta có : AE = 1 1 1 1 , , , 2 2 2 2 MQ CG NP EF PQ FG MN= = = Chu vi tứ giác MNPQ là: P = MN +NP + PQ+ QM = 2FG + 2CG + 2EF + 2AE = 2(AE + EF + FG + GC) 2AC Vởy chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất bằng 2AC khi và chỉ khi các điểm A,E,F,G,C thẳng hàng, tức là MN//PQ//AC và MQ//NP//BD. Mà AC DB nên tứ giác MNPQ nhỏ nhất bẳng 2AC MNPQ là hình chữ nhật. Bài 4. Cho hình vông ABCD có cạnh bằng a. Trên hai cạnh AB, AD, lần lợt lấy hai điểm M và N sao cho chu vi tam giác AMN bằng 2a. Xác định vị trí của M,N sao cho diện tích tam giác AMN lớn nhất. http:/violet.vn/sonhienhoa1981 6 A M B N C P D Q E F G Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Cực trị IV. Một số bài toán cực trị sốhọc. Bài 1. Tìm số nguyên dơng bé nhất n sao cho 3 2 4 20 48 125A n n n= + M HD: 3 2 4 20 48 ( 4)( 2)( 6)A n n n n n n= + = + + Xét n = 1; n = 2; n=3; n = 4 Ta thấy n = 4 thì A = 0 125M Vởy số nguyên dơng nhỏ nhất cần tìm là n = 4. Bài 2. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 29 có số d là 5, còn khi chia cho 31 thì có số d 28. Bài 3. Cho hai số dơng x,y thoả mãn 7x+143y=2002. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M = x.y Bài 4. Cho x 2 + y 2 = 1. Tìm GTLN của biểu thức 6 6 x y + HD: A = 6 6 2 2 4 2 2 4 4 2 2 4 2 2 2 2 2 (x + y )( ) ( ) 3x y x x y y x x y y x y x y + = + = + = + = 1 - 3 2 2 1x y Vậy GTLN của A = 1 2 2 0 1 0 0 1 x y x y y x = = = = = ************************************ http:/violet.vn/sonhienhoa1981 7 . nhất. http:/violet.vn/sonhienhoa1 981 6 A M B N C P D Q E F G Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Cực trị IV. Một số bài toán cực trị sốhọc. Bài 1. Tìm số nguyên dơng bé nhất n sao cho 3 2 4 20 48 125A n n n= + M HD: 3 2 4 20 48 (. 1 khi x = y= 1 http:/violet.vn/sonhienhoa1 981 3 Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Cực trị 4. Tìm GTLN của M = 2 ( 0) ( 2006) x x x > + ĐS: GTLN của M = 1 80 24 khi x = 2006 5. Tìm GTLN và GTNN của. 5 ; 6 6 x y = = 5. Cho hai số x, y thoả mãn x 2 + 2 xy +8( x+y) + 2y 2 + 12 = 0 . http:/violet.vn/sonhienhoa1 981 2 Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Cực trị Tìm GTNN và GTLN của S = x + y + 1 II. Tìm