Về xấp xỉ hạng thấp động lực (luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ THU HÀ VỀ XẤP XỈ HẠNG THẤP ĐỘNG LỰC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ THU HÀ VỀ XẤP XỈ HẠNG THẤP ĐỘNG LỰC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Thanh Sơn THÁI NGUYÊN - 2019 Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phân tích SVD 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Phân tích Sơ lược đa tạp 1.2.1 Đa tạp khả vi 1.2.2 Đa tạp 12 1.2.3 Vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc 14 Một số đa tạp cụ thể 16 1.3.1 Đa tạp Stiefel 16 1.3.2 Đa tạp ma trận có hạng cố định 17 1.2 1.3 Xấp xỉ hạng thấp động lực 22 2.1 Phát biểu toán 22 2.2 Phân tích kiểu SVD 23 2.3 Phương trình vi phân xác định nhân tử 23 2.4 Phép chiếu lên không gian tiếp xúc 25 2.5 Một số ước lượng sai số 29 2.5.1 Sai số tối ưu địa phương 29 2.5.2 Sai số khoảng 30 i 2.5.3 2.6 2.7 2.8 Sai số trường hợp hay ước lượng cao 32 Ứng dụng xấp xỉ hạng thấp nghiệm phương trình vi phân ma trận 36 Tích phân phương trình vi phân ma trận dựa lược đồ tách 38 2.7.1 Tích phân phương trình vi phân 39 2.7.2 Một trường hợp nghiệm 42 Ví dụ số 44 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 ii Bảng ký hiệu Mm×n tập ma trận thực cỡ m × n có hạng k k Vm,r đa tạp Stiefel Vn,k tập ma trận thực cỡ n × k TY (t) Mm×n khơng gian tiếp xúc Mm×n Y (t) r r Y˙ (t) đạo hàm Y theo t SO(r) không gian ma trận phản đối xứng cỡ r × r U T chuyển vị ma trận U U ⊥ ma trận trực giao với U Mở đầu Giới thiệu Phân tích giá trị kì dị ma trận A ∈ Rm×n dạng A = U ΣV T , (1) U ∈ Rm×m , V ∈ Rn×n ma trận trực giao Σ = diag(σ1 , , σr ) ∈ Rm×n , r ≤ min{m, n}, công cụ xấp xỉ ma trận hữu hiệu Ta biết xấp xỉ tốt A theo Frobenius tập ma trận cỡ với A, có hạng khơng q k ≤ min{m, n} ma trận Ak = u1 σ1 v1T + + uk σk vkT , (2) ui , vi vecto cột thứ i U V Tình phức tạp A phụ thuộc vào tham số t ∈ Rn×p ∗ Khi để có xấp xỉ hạng k A với t, ta cần phải tính phân tích SVD t: A(t) = U (t)Σ(t)V (t)T , tính xấp xỉ tương ứng theo công thức (2) Cách tiếp cận cũ khơng thích hợp ma trận có kích thước lớn Trong nhiều tình thực tế, đạo hàm ˙ A(t) theo t kí hiệu A(t), lại có hạng thấp Điều dẫn đến ý tưởng thay xấp ˙ Y˙ (t) khơi phục Y (t) phương pháp xỉ A(t) Y (t), ta xấp xỉ A(t) tích phân số phương trình vi phân ma trận 2 Mục đích Trình bày chi tiết phương pháp xấp xỉ hạng thấp động lực (dynamical low-rank approximation) để xấp xỉ ma trận phụ thuộc tham số mà đạo hàm có hạng thấp Để góp phần làm sáng tỏ vấn đề này, chọn đề tài "Về xấp xỉ hạng thấp động lực" để làm đề tài luận văn thạc sĩ Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm, tính chất phân tích giá trị kì dị ma trận Đồng thời trình bày phương pháp SVD để giải phương trình vi phân ma trận Đây phương pháp giải số cho hệ phương trình vi phân ma trận tương đối kinh điển, áp dụng cho nhiều loại phương trình Đối tượng luận văn số tập ma trận có cấu trúc Những đối tượng lại lập thành đa tạp Do chúng tơi trình bày vắn tắt kiến thức liên quan đến đa tạp Chương Xấp xỉ hạng thấp động lực Chương trình bày phân tích hạng thấp ma trận, phân tích ma trận tiếp xúc, phương trình vi phân xác định nhân tử số ví dụ phương pháp tích phân dựa lược đồ tách Luận văn kết thúc với phần kết luận tài liệu tham khảo Mặc dù nghiêm túc cố gắng thực luận văn này, luận văn không tránh khỏi khiếm khuyết định Kính mong góp ý thầy để luận văn hoàn chỉnh ý nghĩa Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Thanh Sơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình đầy trách nhiệm để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả học tập nhiều kiến thức chun ngành bổ ích cho cơng tác nghiên cứu thân Nhân dịp tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo, Cô giáo tham gia giảng dạy lớp Cao học Tốn K11C; Nhà trường phịng chức Trường, Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Cuối tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, ủng hộ tạo điều kiện cho tác giả suốt thời gian nghiên cứu học tập Thái Nguyên, tháng năm 2019 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Thu Hà Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày hai mảng kiến thức tách biệt đối tượng nghiên cứu luận văn Thứ nhất, chúng tơi trình bày khái niệm phân tích giá trị kỳ dị (SVD) Đây phân tích quan trọng, phơi bày tất thông tin ma trận, chí cịn để tính số phân tích khác Sau phần hai, chúng tơi trình bày khái niệm đa tạp khả vi không gian tiếp xúc Sau đó, chúng tơi trình bày hai đa tạp ma trận với tính chất đặc biệt 1.1 Phân tích SVD Phần trình bày khái niệm tính chất quan trọng phân tích giá trị kì dị ma trận Tài liệu [8] nguồn tham khảo Luận văn [5] tài liệu tham khảo tốt tiếng Việt 1.1.1 Định nghĩa Cho ma trận A ∈ Rm×n với m ≥ n, khơng thiết có đầy đủ hạng, phân tích giá trị kỳ dị ma trận A phân tích A = U ΣV T , U ∈ Rm×m , V ∈ Rn×n ma trận trực chuẩn, Σ ∈ Rm×n ma trận đường chéo 1.1.2 Phân tích Các cột u1 , u2 , , un U gọi vectơ kỳ dị trái Các cột v1 , v2 , , V gọi vectơ kỳ dị phải σi gọi giá trị kỳ dị Khi Avj = σj uj , ≤ j ≤ n Phương trình vectơ biểu thị dạng ma trận sau  A v1 |v2 | |vn = u1 |u2 | |un σ1   σ2       σn     ,    ˆ AV = Uˆ Σ ˆ ma trận đường chéo kích thước n × n, Uˆ ma Trong phương trình ma trận trên, Σ trận kích thước n × n với cột trực chuẩn, V ma trận kích thước n × n với cột trực chuẩn Do V ma trận trực chuẩn, nhân bên phải hệ thức với V T để đạt ˆ T A = Uˆ ΣV Phân tích gọi phân tích giá trị kỳ dị thu gọn ma trận A Đây dạng thường sử dụng nhiều phân tích tiêu chuẩn Để cho tiện, ta bỏ qua dấu ˆ· đề cập đến phân tích thu gọn Định lý sau thiết lập số tính chất phân tích giá trị kỳ dị Định lí 1.1.1 Cho A = U ΣV T phân tích SVD ma trận A cỡ m × n với m ≥ n Giả sử A đối xứng, với giá trị riêng λi ứng với vectơ riêng trực chuẩn ui Nói cách khác A = U ΛU T phân tích giá trị riêng A, đó: Λ = diag(λ1 , λ2 , , λn ), 35 miễn d := Pq (Y1 )E˙ + EU V1T + U1 EVT ≤ η Chú ý từ Bổ đề 2.5.3, điều kiện (2.29) thay đổi δmin (S1 ) ≥ ρ, S2 ≤ δ, (2.34) EV ≤ 2δρ−1 A˙ , EV ≤ 2δρ−1 A˙ (2.35) ta thu đươc Kết hợp (2.26),(2.27) (2.35), ta có d(t) ≤ ε + 5ρ−1 µe2 (t) (2.36) Tiếp theo t S˙ (s) ds e(t) = S2 (t) ≤ ε0 + Bây ˙ = PU AP ˙ V ≤ P ⊥ AP ˙ ⊥ S˙ = U2T AV 2 U1 V1 = Pq⊥ (Y1 )A˙ ≤ Pq⊥ (Y1 )X˙ + ε = (Pq⊥ (Y1 )) − Pq⊥ (X)X˙ + ε = (Pq (Y1 )) − Pq (X)X˙ + ε ≤ 8ρ−1 µe1 Trong lập luận ta sử dụng Bổ đề 2.4.2 bất đẳng thức (2.26) Do đó, t e2 (t) ≤ ε0 + 8ρ −1 e1 (s)ds + tε µ Các chặn (2.33),(2.37) cho ta e2 (t) ≤ ε0 + 8ρ−1 µt2 η + tε Kết hơp (2.36), ta cần chọn η giá trị lớn t cho η ≥ ε + 5ρ−1 µε0 + 5(ρ−1 µt)ε + 40(ρ−1 µt)2 η (2.37) 36 Với ρ−1 µε0 ≤ 16 ε ρ−1 µt ≤ 2ε, bất đẳng thức thỏa mãn η = 2ε Điều dẫn đến e1 (t) ≤ 4tε, e2 (t) ≤ ε0 + 2tε, điều cần chứng minh 2.6 Ứng dụng xấp xỉ hạng thấp nghiệm phương trình vi phân ma trận Trong mục này, thay tính xấp xỉ trực tiếp A(t), ta xét A(t) dạng nghiệm phương trình vi phân ma trận (2.38) A˙ = F (A) Khi đó, thay (2.2), ta có tốn argmin Y˙ (t) − F (Y ) , Y˙ (t) ∈ TY (t) Mrm×n Như vậy, thực chất ta tính xấp xỉ hạng r nghiệm phương trình vi phân ma trận (2.38) Tương tự điều kiện (2.6) toán tiêu chuẩn, ta có điều kiện Y˙ − F (Y ), δY = 0, ∀ δY ∈ TY Mm×n r (2.39) Theo hệ thức (2.8) trở thành S˙ = U T F (Y )V, U˙ = PU⊥ F (Y )V S −1 , V˙ = PV⊥ F (Y )⊥ U S −1 Hơn nữa, kết Định lý 2.5.1, 2.5.2, 2.5.4 mở rộng cho trường hợp xấp xỉ hạng thấp phương trình vi phân ma trận Sau đây, ta xét sai số xấp xỉ Y (t) với xấp xỉ tốt X(t) Giả sử F hàm bị chặn xấp xỉ, F (X(t)) µ, F (Y (t)) µ ∀t ∈ [0, t¯], (2.40) 37 thỏa mãn điều kiện Lipschitz chiều: tồn số thực λ cho F (Y ) − F (X), Y − X λ X −Y , (2.41) với ma trận X, Y ∈ Mrm×n Hơn ta giả sử thêm xấp xỉ tốt X(t), ta có F (X(t)) − F (A(t)) L X(t)) − A(t) , ∀t ∈ [0, t¯] (2.42) Lưu ý F liên tục Lipschitz (2.42) thỏa mãn với L số Lipschitz Khi đó, ta có phát biểu sau nghiệm Định lí 2.6.1 Giả sử xấp xỉ tốt khả vi liên tục X(t) ∈ Mn×r r A(t) (2.38) tồn [0, t¯] giả sử chặn (2.40) thỏa mãn Hơn ta giả sử giá trị kỳ dị thứ r X(t) bị chặn δ(X(t)) ≥ ρ > 0, sai số xấp xỉ tốt bị chặn X(t) − A(t) ≤ ρ, 16 với t ∈ [0, t¯] Khi đó, sai số xấp xỉ (2.2) với giá trị ban đầu Y (0) = X(0) bị chặn theo chuẩn Frobenius t X(s) − A(s) ds với β = 8µρ−1 , Y (t) − X(t) ≤ (2β + L)e(2β+λ)t với t ∈ [0, t¯] miễn vế phải bị chặn ρ Chứng minh Phương trình (2.39) viết lại (2.13) sau Y˙ = P (Y )F (Y ) Như chứng minh Định lý 2.5.1 có phương trình X = P (X)F (A) + D với D ≤ 2βd, (2.43) 38 với d = X − A Trừ hai phương trình cho nhau, ta thu P (Y )F (Y ) − P (X)F (A) − D = (P (Y ) − P (X))F (X) + P (X)(F (X) − F (A)) + (F (Y ) − F (X)) − P ⊥ (Y )(F (Y ) − F (X)) − D, nhân vô hướng với Y − X Với Bổ đề (2.4.2) ta ˙ Y − X ≤β Y − X Y˙ − X, +λ Y −X + Ld Y − X +β Y −X + 2βd Y − X Cho e = Y − X cho ta bất đẳng thức e˙ ≤ (2β + λ)e + (2β + L)d, e(0) = 0, (2.44) cho ta điều cần chứng minh 2.7 Tích phân phương trình vi phân ma trận dựa lược đồ tách Theo Mệnh đề 2.3.1 xấp xỉ hạng r ma trận A(t) ∈ Rm×n phụ thuộc thời gian tính dạng Y (t) = U (t)S(t)V (t)T , với U (t) ∈ Rm×r , V (t) ∈ Rn×r có cột trực chuẩn S(t) ma trận không suy biến Các nhân tử Y (t) tính, thơng qua việc giải phương trình vi phân ma trận ˙ U˙ (t) = (I − U (t)U (t)T )A(t)V (t)S(t)−1 , ˙ V˙ (t) = (I − V (t)V (t)T )A(t)U (t)S(t)−T , ˙ ˙ S(t) = U (t)T A(t)V (t) 39 Từ kết Bổ đề 2.4.1, ta có P (Y )Z = ZV V T − U U T ZV V T + U U T Z Do U V có cột chực chuẩn nên U U T V V T ma trận phép chiếu trực giao lên Im(Y ) Im(Y T ) Do vậy, ta viết P (Y )Z = ZPIm(Y T ) − PIm(Y ) ZPIm(Y T ) + PIm(Y ) Z 2.7.1 (2.45) Tích phân phương trình vi phân Lược đồ tách cấp 1: Công thức lý thuyết Cho trước xấp xỉ hạng r, Y0 A(t0 ) xét lược đồ tách tiêu chuẩn Lie-Trotter cho phương trình ˙ Y˙ (t) = P (Y (t))A(t), (2.46) với (2.45) từ t0 đến t1 = t0 + h : ˙ Giải phương trình vi phân Y˙ I = AP Im(YIT ) với giá trị ban đầu YI (t0 ) = Y0 đoạn [t0 , t1 ] ˙ T giá trị ban đầu Giải phương trình vi phân Y˙ II = −PIm(YII ) AP Im(YII ) YII (t0 ) = YI (t1 ) đoạn [t0 , t1 ] Giải phương trình vi phân Y˙ III = PIm(YIII ) A˙ với giá trị ban đầu YIII (t0 ) = YII (t1 ) đoạn [t0 , t1 ] Cuối cùng, lấy YI = YIII (t1 ) xấp xỉ Y (t1 ), tức nghiệm (2.46) t1 Đây phương pháp xấp xỉ bậc Nghiệm bước giải đưa phát biểu sau Bổ đề 2.7.1 Nghiệm bước cho ˙ I , V˙ I = YI (t) = UI (t)SI (t)VI (t) với (UI SI )· = AV (2.47) 40 Nghiệm bước cho T ˙ YII (t) = UII (t)SII (t)VII (t) với S˙ II = −UII AVII , U˙ II = 0, VII = (2.48) Nghiệm bước cho T · ) = A˙ T UIII , U˙ III = YIII (t) = UIII (t)SIII (t)VIII (t) với (VIII SIII (2.49) Chú ý nghiệm số (2.47) − (2.49) tính xấp xỉ công thức Euler dạng UI (t)SI (t) = UI (t0 )SI (t0 ) + (A(t) − A(t0 )VI (t0 ), UII (t) = SII (t0 ) − UII (t0 )T (A(t) − A(t0 ))VII (t0 ), VIII (t)SIII (t)T = VIII (t)SIII (t)T + (A(t) − A(t0 ))T UIII (t0 ) Chứng minh Trước tiên, lưu ý số hạng bên vế phải (2.45) thuộc TY Mn×k Do đó, nghiệm phương trình bước − có hạng r, r YI (t) phân tích thành YI (t) = UI (t)SI (t)VI (t), với ma trận s × s khả nghịch SI UI , VI có cột trực chuẩn Các ma trận xác định khả vi liên tục nên ta có Y˙ I = (UI SI )· VIT + (UI SI )· VIT , ˙ I V˙ T Ta dễ dàng thấy điều kiện thỏa mà từ bước 1, ta phải có Y˙ I = AV I ˙ I (UI SI )· = AV V˙ I = Công thức nghiệm cho bước chứng minh tương tự 41 Lược đồ tách cấp 1: Thuật toán Từ Bổ đề 2.7.1, ta suy thuật toán sau Giả sử cho phân tích ban đầu Y0 = U0 S0 V0T ký hiệu ∆A = A(t1 ) − A(t0 ) Một bước tích phân đoạn [t0 , t1 ] gồm thao tác sau: Algorithm Lược đồ tách cấp 1: Đặt K1 = U0 S0 + ∆AV0 tính phân tích U1 S1 = K1 với U1 có cột trực chuẩn S1 cỡ r × r Điều thực phân tích QR hay SVD 2: Đặt S0 = S1 − U1T ∆AV0 3: Đặt L1 = V0 S0T + ∆AT U1 tính phân tích V1 S1T = L1 với V1 có cột trực chuẩn S1 cỡ r × r Điều thực phân tích QR hay SVD.Cuối chọn Y1 = U1 S1 V1T chúng xấp xỉ Y1 Như vậy, ta có thuật tốn Số hữu hiệu để thực hóa kết Mục (2.7.1) Lược đồ bậc cao Lược đồ bậc cao thu từ lược đồ bậc theo kỹ thuật Đơi khi, ta cần ý đến tính đối xứng bước Cụ thể, ta thực bước h/2 lại thực bước h/2 với bước ngược lại Ký hiệu A0 = A(t0 ), A1 = 42 A(t0 + h/2), A2 = A(t0 + h), ta có thuật tốn sau: Algorithm Lược đồ cấp 1: K1/2 = U0 S0 + (A1/2 − A0 )V0 , 2: (U1/2 , S1/2 ) = QR(K1/2 ), 3: T (A1/2 − A0 )V0 , S0 = S1/2 − U1/2 4: L1 = V0 S0T + (A1 − A0 )T U1/2 , 5: (V1 , S1 ) = QR(L1 ), 6: T S1/2 = S1 − U1/2 (A1 − A1/2 )V1 , 7: K1 = U1/2 S1 + (A1 − A1/2 )V1 , 8: (U1 S1 ) = QR(K1 ), 9: Y1 = U1 S1 V1T Như (2) gọi lược đồ cấp Tích phân phương trình vi phân ma trận Bây giờ, thay tính xấp xỉ A(t), ta tính xấp xỉ nghiệm A(t) phương trình ˙ A(t) = F (A(t)) Thay đổi Thuật toán ta phải thực thay ∆A = A(t1 ) − A(t0 ) ∆A = hF (Y0 ) Bước thay ngầm định ta sử dụng phương pháp Euler để xấp xỉ đạo hàm 2.7.2 Một trường hợp nghiệm Như trình bày Mục (2.7.1), việc giải hệ phương trình vi phân ma trận (2.8) gặp khó khăn hạng thực ma trận cần xấp xỉ A(t) nhỏ hạng ước lượng r Và phương trình (2.8) xuất nghịch đảo S(t) Tuy nhiên phương pháp tích phân kiểu trình bày Thuật tốn khơng tính trực tiếp nghịch đảo S Trên thực tế, nghịch đảo "xử lý" cách nhân vào bên phải với S S T bước Do đó, trái với (2.8), Thuật tốn Thuật tốn khơng bị hạn chế việc Trên thực tế thuật tốn cịn cho nghiệm xác thứ tự bước thực cách đắn phát biểu sau 43 Định lí 2.7.2 Giả sử A(t) có hạng cao r với t Với giá trị ban đầu Y0 = A(t0 ), Thuật tốn cho nghiệm xác Y1 = A(t1 ) Chứng minh Chúng ta phân tích A(t) = U (t)S(t)V (t)T , hai U (t) V (t) có r cột trực chuẩn, S(t) ma trận r × r Chúng ta giả sử V (t1 )⊥ V (t0 ) khả nghịch Nếu điều khơng thỏa mãn, làm cho t1 khác gần t0 nên ta ln giả sử điều xảy Bước thuật toán, Y0 = U0 S0 V0⊥ = U (t0 )S(t0 ) × V (t0 )⊥ , cho ta U1 S1 = A(t1 )V0 = U (t1 )S(t1 )(V (t1 )T V (t0 )), cho không gian sinh cột A1 = A(t1 ) = U1 S1 (V (t1 )T V (t0 ))−1 )V (t0 )T , chứa khơng gian sinh U1 , có U1 U1T A1 = A1 , , A0 V0 V0T = A0 Sử dụng cơng thức lược đồ tách sau tính Y1 = U1 S1 V1T = U1 S0 V0T + U1 U1T ∆A = U1 S1 V0T − U1 U1T ∆AV0 V0T + U1 U1T ∆A = U0 S0 V0T + ∆AV0 V0T − U1 U1T ∆AV0 V0T + U1 U1T ∆A = A0 + A1 V0 V0T − A0 − A1 V0 V0T + U1 U1T A0 + A1 − U1 U1T A0 = A1 , điều cần chứng minh 44 2.8 Ví dụ số Trong mục này, chúng tơi trình bày ví dụ số để minh họa cho phương pháp nghiên cứu Do thời gian hạn hẹp, sử dụng phương pháp dựa lược đồ tách thảo luận Mục (2.7) Trước tiên, giải thích cách tạo liệu Đầu tiên ma trận cỡ 10×10 có phần tử ngẫu nhiên từ đến 0, tạo Sau đó, cộng vào với ma trận đơn vị cỡ Ký hiệu ma trận B1 Tiếp đến, ta tạo ma trận cỡ 100 × 100 có phần tử ngẫu nhiên thuộc khoảng (0, 1) nhân với số ε < Cuối cùng, ta lấy ma trận cỡ 10 × 10 bước trước gán vào khối ma trận nằm hàng cột từ đến 10 Ký hiệu ma trận thu A1 Ta nhận thấy A1 có hạng 100 Tuy nhiên điều chỉnh ε nhỏ, chẳng hạn ε = 10−3 , 10−5 mặt lý thuyết A1 có hạng 100 khối ma trận hàng cột từ đến 10 có giá trị lớn hẳn phần cịn lại nên xấp xỉ tốt ma trận có hạng 10 Ta tạo ma trận A2 cách tương tự Tiếp đó, ký hiệu Q1 (t), Q2 (t) hai ma trận trực chuẩn thỏa mãn nghiệm phương trình vi phân Q˙ i(t) = Ti Q(t), i = 1, 2, (2.50) với Ti , i = 1, 2, ma trận phản đối xứng Khi (2.50) phương trình vi phân ma trận ma trận trực giao Để giải số (2.50), ta sử dụng phương pháp Crouch-Grossmann để bảo tồn tính trực giao nghiệm số Có thể xem phương pháp [9] [2] Sau đó, ta đặt ma trận phụ thuộc thời gian sau A(t) = Q1 (t)(A1 + et A2 )Q2 (t) Mục đích việc nhân với hai ma trận trực chuẩn Q1 (t), Q2 (t) làm cho phụ thuộc vào t thêm phức tạp khơng làm ảnh hưởng đến tính chất hạng A đề cập phần 45 Trong Hình 2.1, chúng tơi minh họa giá trị ma trận A(t) thời điểm t1 = (A1), t2 = 0.2 (A2), t3 = 0.4 (A3), t4 = 0.6 (A4), t5 = 0.8 (A5), t6 = (A6) 3 2 1 20 0 40 20 -1 60 40 50 20 80 60 40 60 80 100 80 100 100 100 (A1) (A2) 1.5 1 0.5 0 0 -0.5 40 -1 50 -1 20 60 20 20 40 40 80 60 60 80 80 100 100 100 100 (A4) (A3) 1 0.5 0.5 0 -0.5 -0.5 20 -1 40 60 20 40 80 60 80 100 (A5) 100 -1 20 -1.5 40 20 60 40 80 60 80 100 100 (A6) Hình 2.1: Giá trị ma trận A(t) thời điểm t = 0, 0.2, , 46 Để xấp xỉ A(t), chọn hạng thấp r = 10, sử dụng lưới sai phân 10−3 sử dụng lược đồ tách cấp trình bày Thuật tốn Để điều chỉnh tính xấp xỉ tốt A(t) , chạy mô hình với hai giá trị ε = 10−3 (a) ε = 10−5 (b) Chúng so sánh sai số nghiệm xấp xỉ với sai số nghiệm tốt Hình 2.2 0.22 10-3 2.2 sai so tot nhat sai so xap xi sai so tot nhat sai so xap xi 0.2 0.18 1.8 0.16 1.6 0.14 1.4 0.12 1.2 0.1 0.08 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 t (a) 0.6 0.7 0.8 0.9 0.8 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 t (b) Hình 2.2: So sánh sai số nghiệm xấp xỉ với sai số nghiệm tốt 47 Kết luận Luận văn đạt kết sau: Luận văn trình bày phân tích SVD cho ma trận nhắc lại số kiến thức đa tạp phần kiến thức chuẩn bị Sau đó, luận văn trình bày phương pháp xấp xỉ hạng thấp động lực để giải toán Điểm phương pháp thay việc xấp xỉ trực tiếp đa tạp ma trận hạng thấp, người ta xấp xỉ không gian tiếp xúc Việc dẫn đến việc giải phương trình vi phân ma trận, vốn nhân tử phân tích hạng thấp Việc thực cách dễ dàng qua lược đồ tách Luận văn kết thúc ví dụ số để minh họa cho phương pháp trình bày 48 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Khu Quốc Anh, Nguyễn Dỗn Tuấn (2005), Lí thuyết liên thơng hình học Riemann, NXB Đại học Sư Phạm [2] Đặng Mạnh Hùng, Giải số phương trình vi phân ma trận với ràng buộc đa tạp, Luận văn thạc sỹ toán học, Đại học Thái Nguyên, 2019 [3] Nguyễn Thị Tuyết Thanh, Một số đa tạp đại số tuyến tính, Luận văn thạc sỹ toán học, Đại học Thái Nguyên, 2017 [4] Hoàng Ngọc Thế, Về tối ưu đa tạp Rieman, Luận văn thạc sỹ toán học, Đại học Thái Nguyên, 2018 [5] Vũ Thị Hương Trang, Phân tích ma trận số ứng dụng, Luận văn thạc sỹ toán học, Đại học Thái Nguyên, 2016 Tiếng Anh [6] P.-A Absil, R Mahony, R Sepulchre (2008), Optimization Algorithms on Matrix Manifolds, Princeton University Press [7] U M Ascher, L R Petzold (1998), Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations, SIAM, Philadelphia [8] J W Demmel (1997), Applied Numerical Linear Algebra, SIAM, Philadelphia 49 [9] E Hairer, G Wanner, C Lubich (auth), Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Diff erential Equations, Springer, November 2001 [10] Rogenr A Horn, Charles R Johnson (2013), Matrix Analysis, Cambridge University press [11] O Koch, C Lubich (2007), “Dynamical low-rank approximation”, SIAM J Matrix Anal Appl, 29, No 2, 434-454 [12] C Lubich, I V Oseledets (2014), “A projector-splitting integrator for dynamical low-rank approximation”, BIT Numer Math, 54, 171-188 ... xấp xỉ hạng thấp động lực (dynamical low-rank approximation) để xấp xỉ ma trận phụ thuộc tham số mà đạo hàm có hạng thấp Để góp phần làm sáng tỏ vấn đề này, chọn đề tài "Về xấp xỉ hạng thấp động. .. 0, V T δV = khơng gian tiếp xúc TY Mrm×n 22 Chương Xấp xỉ hạng thấp động lực 2.1 Phát biểu toán Trong mục này, ta xét tốn tính xấp xỉ hạng thấp ma trận A(t) ∈ Rm×n phụ thuộc liên tục khả vi vào... 2.5.2, 2.5.4 mở rộng cho trường hợp xấp xỉ hạng thấp phương trình vi phân ma trận Sau đây, ta xét sai số xấp xỉ Y (t) với xấp xỉ tốt X(t) Giả sử F hàm bị chặn xấp xỉ, F (X(t)) µ, F (Y (t)) µ ∀t ∈