Tài liệu tự học Toán 11

Tài liệu tự học Toán 11 cung cấp các bài tập vận dụng để củng cố kiến thức về tập giá trị và Max - Min của hàm số lượng giác. Đây là tư liệu tham khảo hỗ trợ học sinh trong quá trình ôn luyện, hệ thống kiến thức. Mời các bạn cùng tham khảo!

NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 TẬP GIÁ TRỊ VÀ MAX - MIN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG PHÁP Các kiến thức giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Cho hàm số y  f  x  xác định miền D  R  f  x   M , x  D a Số thực M gọi giá trị lớn hàm số y  f  x  D  x0  D, f  x0   M  f  x   m, x  D b Số thực N gọi giá trị nhỏ hàm số y  f  x  D  x0  D, f  x0   m Một số kiến thức ta sử dụng toán  1  sin x    sin x  a) Dựa vào tập giá trị hàm số lượng giác, chẳng hạn :    1  cos x  0  cos x  b) Bảng biến thiên hàm số lượng giác c) Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay  MỨC ĐỘ BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài Tìm giá trị lớn nhỏ đồ thị hàm số y   sin x Lời giải Tập xác định D   Ta có: 1  sin x  x      sin x  1 x       sin x    1 x     y  x   Ta có: y  sin x  1 y  sin x  Vậy y  max y  Bài Tìm tập giá trị T hàm số y  3cos x  LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Lời giải Tập xác định D   Ta có: 1  cos x   3  3cos x   3   3cos x     8  y  2 Vậy tập giá trị hàm số y  3cos x  T   8; 2 Bài Tìm tập giá trị T hàm số y  sin x  cos x  khoảng  Lời giải Ta có: y  sin x  cos x   sin x  1  sin x     sin x Với x    sin x     sin x  1    sin x    Vậy tập giá trị hàm số y  sin x  cos x   T   ; 3 Bài Tìm giá trị nhỏ m hàm số y  cos x  Lời giải ĐKXĐ: cos x  -1  x    k2 TXĐ: D   /   k 2  Ta có: x  D : 1  cos x     cos x   Ta có: y  1   cos x cos x  Vậy, y    Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  sin  x    3  Lời giải       Ta có: sin  x    1  sin  x    2  sin  x     1 3 3 3      Dấu " = " xảy sin  x    1 3  Vậy giá trị nhỏ biểu thức P 1 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 10   Câu Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: y  2017 cos8  x    2016 2017   A y  1; maxy  4033 B y  1 ; maxy  4033 C y  ; maxy  4022 D y  1; max y  4022 Lời giải Chọn B Hàm số xác định  10   Ta có 1  cos8  x    1, x   2017   10    2017  2016  2017 cos8  x    2016  2017  2016, x   2017   10    1  2017 cos8  x    2016  4033, x   2017   10  10    Ta có y  1 cos  x    1 ; y  4033 cos8  x    2017  2017    Vậy y  1 ; maxy  4033 Câu Giá trị nhỏ lớn hàm số y  cos x là: A B  C Lời giải D  Chọn B Tập xác định: D   ;    Ta có: 1  cos x  , x   ;     4  cos x  , x   ;    Ta có y  4 cos x  1 y  cos x  Vậy y  4 ; max y    Câu Cho hàm số y  sin  x   Giá trị lớn hàm số là: 4  B A 1 C D  Lời giải Chọn C     Ta có: 1  sin  x    Suy giá trị lớn hàm số y  sin  x   4 4   Câu Giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y   cos x  là: A 1 B 1 1 C 2 1 D 1 Lời giải LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TỐN 11 Chọn C Ta có y   cos x   sin x   sin x  Mặt khác  sin x   2  sin x   1  2  y  1 Ta có: y  2 sin x  y  1 sin x  Vậy giá trị lớn nhỏ hàm số 2 1   Câu Cho hàm số y  2sin  x    Mệnh đề sau đúng? 3  A y  4 , x   B y  , x   C y  , x   D y  , x  Lời giải Chọn C   Ta có 1  sin  x    , x   3      2sin  x    2 , x   3      2sin  x     , x   3      Ta có: y  sin  x    1 y  sin  x    3 3   Suy chọn đáp án C  MỨC ĐỘ BÀI TẬP TỰ LUẬN 10   Bài Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: y  2017 cos  x    2016 2017   Lời giải Cách 1: Hàm số xác định  10   Ta có : 1  cos  x    , x   2017   10    2017  2017 cos  x    2017 , x   2017   10    1  2017 cos  x    2016  4033 , x   2017   10  10    Ta có y  1 cos  x    1 ; y  4033 cos  x    2017  2017    Vậy y  1; maxy  4033 Bài Tìm giá trị nhỏ hàm số: y  cos x  sin x  LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TỐN 11 Lời giải   Ta có y  cos x  sin x   cos x  sin x   cos  x    4      Do   cos  x    nên    cos  x      4 4   Vậy giá trị nhỏ hàm số y  cos x  sin x   Bài Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  sin x  cos x Tính P  M  m Lời giải   Ta có y  sin x  cos x  sin  x   4   M      Mà 1  sin  x       sin  x      P2 4 4   m   Vậy P  2 Bài Tìm giá trị nhỏ hàm số y  sin x  cos x  Lời giải Cách : cos x   , x   Vậy y  sin x   sin x   y  cos x   cos x   sin x  y cos x   y  2 Ta có 12    y   1  y   y   y  y   y  y    y  Vậy y  sin x    y   y   sin x  1 Cách : Ta có  cos x   Bài Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: y  cos x  sin x cos x  Lời giải Cách 1: y  cos x  sin x cos x   cos x   sin x   cos x  sin x  1      cos x  sin x    cos  x    3  2    Mặt khác  cos  x     , x     y  , x   3  Cách 2: y  cos x  sin x cos x   cos x   sin x   cos x  sin x  * Ta có     y      y  LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Tìm giá trị lớn M giá trị nhỏ m hàm số y  sin x  cos x A M  , m  B M  , m  C M  , m  D M  , m  Lời giải Chọn B Ta có: y  sin x  cos x   sin x  cos x   cos x   cos x Câu M  Do 1  cosx    cos2 x    cos2 x  Suy  m  Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  8sin x  3cos x Tính Tính P  2M  m2 A P  B P  D P  130 C 112 Lời giải Chọn A Ta có: y  8sin x  3cos x  8sin x  1  sin x   sin x  M  Mà 1  sinx    sin x    2sin x     y  Suy ra:  m  Câu Do đó: P  2M  m2  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y  3sin x  cos x  A max y  , y  6 B max y  , y  6 C max y  , y  8 D max y  , y  4 Lời giải Chọn B Ta có y  3sin x  cos x   3sin x  cos x  y  * Ta coi * phương trình cổ điển với a  , b  , c  y  Phương trình * có nghiệm a  b  c   16   y  1  6  y  Vậy max y  , y  6 Chú ý: Ta áp dụng bất đẳng thức BCS sau: y   3sin x  cos x  Câu 3  42  sin x  cos x   Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số y  sin x  sin x  7 A y  ; max y  B y  ; max y  4 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU C y  1; max y  TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 D y  ; max y  Lời giải Chọn A Đặt sin x  u ; u   1;1 Xét hàm số: y  u  u   1;1 Ta có: b    1;1 Từ có bảng biến thiên 2a max y   u  1 1;1 1;1 Hay y   sin x  max y   sin x  1 sin x  cos x  Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y   cos x 2 A y   ; max y  B y  ; max y  3 3 B y  ; max y  D y   ; max y  2 2 Lời giải Chọn B Cách 1: Ta có cos x   , x   sin x  cos x   sin x  cos x   y  y cos x  sin x    y  cos x   y  y  cos x 2 Ta có: 12    y     y   y  12 y   y  y     y  y     y  Cách : sử dụng máy tính cầm tay sin x  cos x  Tương tự ví dụ ta sử dụng SHIFT SOLVE:  phương trình  cos x có nghiệm Do số lớn phương án A; B; C; D nên ta không cần thử trường hợp max  2 Lúc A B Thử với y   khơng có nghiệm Ta kết luận: f  u   Câu LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11  MỨC ĐỘ BÀI TẬP TỰ LUẬN   Bài Tìm tập giá trị hàm số sau: y  3cos  x    3  Lời giải     Vì 1  cos  x    nên 3  3cos  x     3   y    1  y  3 2   Vậy tập gái trị hàm số  1;5 Bài Tìm tập giá trị hàm số sau: y   sin x Lời giải Ta có: 1  sin x   2  sin x     2sin x     sin x  Vậy tập giá trị hàm số 1;  Bài Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau: y  4sin x cos x  Lời giải Ta có y  2sin x  Do 1  sin x   2  2sin x   1  2sin x    1  y  * y  1  sin x  1  x   * y   sin x   x     k 2  x     k  k Vậy giá trị lớn hàm số , đạt x  giá trị nhỏ 1 , đạt x      k  k Bài Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau: y   3sin 2 x Lời giải Ta có:  sin x     3sin x  * y   sin x   cos x   x    k LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 * y   sin x   x  k Vậy giá trị lớn hàm số , đạt x  k giá trị nhỏ 1, đạt x    k Bài Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y  sin x  Lời giải Ta có  sin x     y  Vậy giá trị lớn hàm số max y  , đạt sin x   x  Giá trị nhỏ y  , đạt x  1  x      k 2  k 2 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM   Câu Tìm tập giá trị hàm số sau y   3sin  x   4  A  2; 4 B  2; 2 C  1; 4 D  2;3 Lời giải Chọn A       Ta có: 1  sin  x     3  3sin  x     2   3sin  x    4 4 4     2  y  Vậy tập giá trị hàm số  2; 4   Câu Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y  cos  x    3  A y  , max y  B y  , max y  C y  , max y  D y  , max y  Lời giải Chọn C       Ta có: 1  cos  x     2  cos  x      cos  x       y  3 3 3    4 2 y  đạt x  k  2 max y  đạt x   k Câu Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y   cos x  A max y  , y   B max y  , y   C max y  , y   D max y  , y   LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Lời giải Chọn D Ta có  cos x      y    k Giá trị nhỏ hàm số y   , đạt x  k Vậy giá trị nhỏ hàm số max y  , đạt x    Câu Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y   3sin  x   4  A y  2 , max y  B y  , max y  C y  2 , max y  D y  1 , max y  Lời giải Chọn A   Ta có: 1  sin  x     2  y  4      y  2  sin  x    1  x    k  y  2 4   3   y   sin  x     x   k  max y  4  Câu Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y   cos x A y  , max y  B y  , max y  C y  , max y  D y  1 , max y  Lời giải Chọn C Ta có:  cos x    y   y   cos x   x   y   cos x   x  k  y    k  max y  LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 10 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11  MỨC ĐỘ BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài    Tìm giá trị lớn hàm số y  3sin  x    12   Lời giải          Ta có sin  x     3sin  x     3sin  x     12  12  12     Vậy giá trị lớn hàm số Bài Tìm giá trị lớn hàm số f  x   2sin x  sin x  10 Lời giải   Ta có f  x   2sin x  sin x  10  11  sin x  cos x  11  sin  x   4        Do 1  sin  x       sin  x    nên 11  sin  x    11  4 4 4     3  Dấu "  '' xảy sin  x    1  x    k ,  k    Vậy max f  x   11  4  Bài Tìm giá trị nhỏ hàm số y  2cos x  sin x  Lời giải   Ta có y  2cos2 x  sin x   cos x  sin x   cos  x    4      Do   cos  x    nên    cos  x      4 4   Vậy giá trị nhỏ hàm số y  2cos x  sin x   Bài   Giả sử M giá trị lớn m giá trị nhỏ hàm số y   sin x  cos x Tính M m Lời giải Ta có:  2  3      sin x  cos x  2  3 1 Vậy M  m  Bài Cho hàm số y  12   5  có giá trị lớn M giá trị nhỏ m đoạn   ; Tìm  4sin x  6  M ,m Lời giải Ta có:    x 5 1    sin x   1   sin x   4  4 sin x     sin x  2 12   Hay  y   4sin x LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 11 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Vậy M  , m  Bài TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11   5  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  2sin x đoạn   ;   6  Lời giải y   cos x   x    k , k      5  Với x    ;  suy ra: x   6       5  y     1 , y    , y   1  6 2   Vậy giá trị lớn hàm số giá trị nhỏ hàm số 1 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM  MỨC ĐỘ Câu Tìm tập giá trị hàm số y  sin x  cos x  A  2;  B    3;  1 C  4;0 D  2;0 Lời giải Chọn C      Xét y  sin x  cos x    sin x.cos  cos x.sin    sin  x    6 6       Ta có 1  sin  x     4  2sin  x      4  y  với x   6 6   Vậy tập giá trị hàm số  4;0 Câu Giá trị nhỏ m giá trị lớn M hàm số y  A m   ; M 1 B m  ; M  sin x  cos x  sin x  cos x  C m  2 ; M  D m  1 ; M  Lời giải Chọn C Ta có y  sin x  cos x    y  1 sin x   y   cos x   y * sin x  cos x  2 2 Phương trình * có nghiệm   y  1   y    1  y   y  y    2  y  Vậy m  2 ; M  Câu Giá trị lớn M giá trị nhỏ m hàm số y  12 đoạn  4sin x LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/   5    ;  Trang 12 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A M  12 ; m TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 B M  ; m  C M  12 12 ; m D M  ; m  12 11 Lời giải Chọn B 12   5    Do x    ;   sin x    ;1  y  0;  sin x  6    y 12 y  12   4   y  y sin x  12  sin x     ;1  y   ;   4sin x 4y   3   1 Do M  max f  t   f 1  m  f  t   f     1      2  ;1   ;1  Câu       Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  sin x đoạn   ;    3 A  ;  2 B  ; 1 C  ; 2 D  ;  2 Lời giải Chọn B Ta có:   x      sin     sin x  sin     1  sin x    2  3      Vậy max y  sin      ; y  sin     1      ;    3  2  ;   Câu    Gọi M , m tương ứng giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  sau đúng? A M  9m  B M  m  C M  m  Lời giải cos x  Khẳng định cos x  D M  m  Chọn C Ta có y  cos x   2 cos x  cos x  1  cos x   3  cos x   1   Mà 5   5     3  cos x  cos x   y  3 Vậy M  1  cos x   M  m  LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 13 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11  MỨC ĐỘ BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 10   Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: y  2020 cos  x    2021 2019   Lời giải 10   Ta có 1  cos  x    1, x   2019   10  10    Nên 2020  2020 cos  x    2020   2020 cos  x    2021  4041 2019  2019    10   Vậy y  đạt cos  x    1 , 2019   10   max y  4041 đạt cos  x    2019   Bài Tìm GTNN hàm số y  cos x   cos x Lời giải Ta có cos x  1 , dấu “  ” xảy cos x  1 (1) Mặt khác  cos x   1   cos x     cos x    cos x  , dấu “  ” xảy cos x  1 (2) Từ (1) (2) ta có cos x   cos x  Suy y  , đạt cos x  1  x    k 2  k    Bài Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: y  cos x  sin x  Lời giải Ta có 1  y  cos x  sin x    cos x  sin x   2 2          cos cos x  sin sin x    cos  x    3 3          Mặt khác 1  cos  x     2  cos  x      cos  x     3 3 3        Vậy y  đạt cos  x    1 , max y  đạt cos  x    3 3   Bài  7  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y  cos x  sin x.cos x  đoạn 0;   12  LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 14 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Lời giải   Ta có y  cos x  sin x   cos  x    3  Đặt t  x   7    3  Theo giả thiết x   0;   t   ;   12  3     3  Ta lập BBT hàm số f  t   2cos t   ;  3  Từ bảng biến thiên ta có y  f  t   , đạt t    x   7  0; 12  đạt t  Bài   3   ;   max y  max f  t   ,  7  0; 12      3   3;      x0 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số y  cos x  cos x  Lời giải Đặt cos x  t ; t   1;1 Xét hàm số bậc hai: f  t   t  t   1;1 Ta b    1;1 2a có: Ta kết luận: y  f  t   1;1 Từ có bảng biến thiên , đạt cos x  ; max y  max f  t   , đạt cos x  1 1;1 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 15 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TỐN 11 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y  2sin x  cos 2 x A max y  , y  B max y  , y  C max y  , y  D max y  , y  Lời giải Chọn D Đặt t  sin x,  t   cos x   2t  y  2t  1  2t  1   4t  2t    2t    2  2 1 1  Cách 1: Do  t     2t      2t      y  2 2  Cách 2: Có y '  8t   y    t    0;1 1 Ta có: y    ; y    ; y 1  4  Vậy max y  đạt x   k 1  cos x y  đạt sin x    4    cos x   x    k 2  x    k Câu Tìm giá trị nhỏ hàm số sau y  tan x  cot x   tan x  cot x   A y  2 B y  4 C y  5 D y  1 Lời giải Chọn C Ta có: y   tan x  cot x    tan x  cot x   Đặt t  tan x  cot x   t  sin x Suy y  t  3t   f  t  Bảng biến thiên Vậy y  5 đạt x     k LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 16 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Gọi giá trị lớn nhỏ hàm số y  sin x   sin x M , m Tính M  m A B C D Lời giải Chọn D Ta có y   sin x  , x y   2sin x  sin x Mà sin x  sin x  sin x   sin x  Suy  y    y  Vậy y  đạt x   max y  đạt x     k 2  k 2 Vậy M  2, m  hay M  m  Câu sin x  cos x   cos x B y  ; max y  3 D y   ; max y  2 Lời giải Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y  A y   ; max y  3 C y  ; max y  2 Chọn B Cách 1: Ta có cos x   , x   y sin x  cos x   sin x  cos x   y  y cos x  s in x    y  cos x  y   cos x Ta có  y  3 2    s in x    y  cos x      y   s in x  cos x    y  y  y  12 y   y  y    y  y     y2 Cách 2: (dùng sau học xong phương trình bậc theo sin cos) Ta có cos x   , x   y sin x  cos x   sin x  cos x   y  y cos x  sin x    y  cos x   y   cos x 2 Ta có 12    y     y   y  12 y   y  y     y  y     y2 Cách 3: sử dụng máy tính cầm tay LINK NHĨM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 17 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 sin x  cos x   phương trình  cos x có nghiệm Do số lớn phương án A; B; C; D nên ta không cần thử trường hợp max  Tương tự ví dụ ta sử dụng SHIFT SOLVE: Lúc A B Thử với y   khơng có nghiệm Từ chọn B Câu Cho hàm số h  x   sin x  cos x  2m sin x.cos x Tất giá trị tham số m để hàm số xác định với số thực x (trên toàn trục số) 1 1 A   m  B  m  C   m  D m  2 2 Lời giải Chọn A 2 Xét hàm số g  x    sin x    cos x   m sin x   sin x  cos x   2sin x cos x  m sin x   sin 2 x  m sin x Đặt t  sin x  t   1;1 Hàm số h  x  xác định với x    g  x   0, x     t  mt   0, t   1;1  t  2mt   0, t   1;1 Đặt f  t   t  2mt   1;1 Đồ thị hàm số ba đồ thị Ta thấy max f  t   f 1 max f  t   f  1 1;1 Ycbt 1;1 f  t   t  2mt   , t   1;1  f 1   1  2m    max f  t     1;1  1  2m   f  1  1  m 2 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 18 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11  MỨC ĐỘ BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài Tìm giá trị nhỏ hàm số y  sin x cos x  cos x sin x Lời giải sin x  Điều kiện xác định:   cos x  Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số không âm sin x cos x cos x sin x ta có : 1 sin x sin x  2 k Dấu xảy sin x   x  k , k    x  ,k  sin x cos x  cos x sin x  sin x cos x sin x cos x  y  Bài Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y  s inx  cos x   cos x Lời giải Ta có: cos x   0, x  R s inx  cos x  Khi đó: y   s inx  cos x   y  y cos x  s inx    y  cos x   y   cos x 2 Phương trình * có nghiệm  12    y     y   y  12 y   y  y     y  y    *  y 2 Vậy y  ; max y  Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  cot a  cot b  tan a tan b  Lời giải Ta có: P   cot a  cot b   cot a.cot b  tan a.tan b  2   cot a  cot b    cot a.cot b  tan a.tan b      cot a  cot b    cot a.cot b  tan a.tan b  cot a.cotb.tan a.tan b   2   cot a  cot b    cot a.cot b  tan a.tan b    cot a  cot a  cot b  k  ab  , ( k  ) Vậy y  , đạt  cot a.cot b  tan a.tan b cot b  1  2sin x Bài Tìm giá trị nhỏ hàm số y   cos x  2 Lời giải LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 19 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 1 5  2sin x  y   cos x   sin x Ta có y   cos x  2  sin x ta có: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakopvsky cho số: 1; 1;  cos x ; 1 22 1  cos x   sin x  12  12  cos x   sin x    2 4 2.1  22 Vậy y  , xảy  cos x   sin x  x    k , k   2 4 Bài Tìm giá trị lớn hàm số y  sin x  cos x  sin x cos x Lời giải 1 Ta có y  sin x  cos x  sin x cos x  y   2sin x cos x  sin x cos x  y   sin 2 x  sin x 2 2   1 1 1  y    sin x      y    sin x       2 2 Vậy max y  , đạt sin x  BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Cho x, y , z  x  y  z   Tìm giá trị lớn y   tan x.tan y   tan y.tan z   tan z.tan x A ymax   2 B ymax  3 C ymax  Lời giải D ymax  Chọn D tan x  tan y     z  tan  x  y   tan   z    tan x.tan y tan z 2 2   tan x tan z  tan y tan z   tan x tan y  tan x tan z  tan y tan z  tan x tan y  Ta thấy tan x.tan z; tan y.tan z; tan x.tan y xuất hàm số đề cho Khi đó, áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho số ta có: 1  tan x.tan y  1  tan y.tan z  1  tan z.tan x  Ta có x  y  z    x y    12  12  12 1  tan x.tan z   1  tan y.tan z   1  tan x.tan y   3   tan x.tan z  tan y.tan z  tan x.tan y   Vậy ymax  Câu 2:   tan x Hàm số y  3cot x  A 1 tan x B   đạt giá trị nhỏ C  2 Lời giải D Chọn A Ta có cot x   tan x tan x Từ suy y  3cot x    tan x tan x   3cot 2 x  cot x LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 20 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU    TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 cot x    1, x     Hàm số y  cos x  sin  x   đạt giá trị lớn 4  Vậy y  1  cot x  Câu 3: A  2 B  2 C Lời giải 5 2 D 52 Chọn C Ta có:     y  cos x  sin  x    cos x  sin  x    cos x   sin x  cos x  4 4 2      2 sin x  cos x  2  2     Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có: y        y  5 2 2  2  Do   2  y   2 Vậy giá trị lớn hàm số Câu 4: 5 2 Có giá trị nguyên tham số m để giá trị lớn hàm số y  B A C Lời giải m sin x  nhỏ cos x  D Chọn B Ta có: y  m sin x   y cos x  y  m sin x   m sin x  y cos x  y  * cos x  2  * có nghiệm m  y   y  1  y  y   m     3m 2   3m  y 3   3m    3m   m  Do m    m  2; 1;0; 2;1 Vậy có giá trị m thỏa ycbt  ymax  Câu 5: Số có ánh sáng thành phố A ngày thứ t năm 2020 cho hàm số  y  sin  t  60   10 , với t  Z  t  366 Vào ngày năm thành phố A có 178 nhiều ánh sáng mặt trời ? A 28 tháng B 29 tháng C 30 tháng Lời giải D 31 tháng Chọn A   Vì sin  t  60    y  4sin  t  60   10  14 178 178 Khi đó, ngày có ánh nắng mặt trời chiếu nhiều LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 21 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU y  14  sin  178  t  60    TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11  178  t  60   Mà  t  366   149  356k  366     k 2  t  149  356k 149 217 k 356 356 Vì k  nên k  Với k   t  149 tức rơi vào ngày 28 tháng (vì ta biết tháng có 31 ngày, tháng có 30 ngày, riêng năm 2020 năm nhuận nên tháng có 29 ngày dựa vào kiện  t  366 ta biết năm tháng có 29 ngày) LINK NHĨM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 22 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Trang 23 ... https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11  MỨC ĐỘ BÀI TẬP TỰ LUẬN   Bài Tìm tập giá trị hàm số sau: y  3cos  x    3  Lời... https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 10 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11  MỨC ĐỘ BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài    Tìm giá trị lớn hàm số y  3sin  x    12   Lời... https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 11 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Vậy M  , m  Bài TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11   5  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  2sin x