tài liệu tự học toán 11 chí tiết dễ hiểu (lí thuyết và bài tập)

Phương pháp Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác để đưa phương trình về các dạng cơ bản Chú ý: Ta nhận xét các cung trong các hàm số lượng giác của phương trình.. Không gian mẫu

ÔN TẬP LƯỢNG GIÁC LỚP 10

I CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

1 Đường tròn định hướng

2 Cung lượng giác và góc lượng giác

3 Đường tròn lượng giác

4 Số đo của cung và góc lượng giác

5 Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác

II GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

III CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1 Hệ thức lượng giác cơ bản

sin x cos x 1 2sin x cos x

tanx.cot x 1 sin x cos x 1 3sin x cos x6  6   2 2

Cung hơn kém

2

 :

x và x2

cos x sin x2

tan x cot x2

3 Công thức biến đổi

Công thức cộng Công thức nhân đôi Công thức hạ bậc



2 tanatan2a

1 tan a





2 1 cos 2acos a

2





2 1 cos 2asin a

1 cos 2a

1

sinacos a sin2a

2



tana tanbtan(a b)

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

I HÀM SỐ

1 Khái niệm hàm số

Cho tập hợp D  R Một hàm số f xác định trên D là một quy tắc cho tương ứng mỗi

phần tử x  D với một và chỉ một số thực y, số này phụ thuộc vào x, kí hiệu là f(x)

Tính đồng biến, nghịch biến: Hàm số đồng biến trên ;0

Hàm số nghịch biến trên 0; 

Tính đồng biến, nghịch biến: Hàm số nghịch biến trên  0;

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

III PHƯƠNG TRÌNH tanx = a

tan x a tan x tan

Ví dụ 4:Giải phương trình: tan x 1   3

IV PHƯƠNG TRÌNH cotx = a

cot x a cot x cot

 

tanu tanv    u v k k (Điều kiện: cosu 0 hoặc cos v 0 )

 

cotu cot v    u v k k (Điều kiện: sinu 0 hoặc sinv 0 )

Ví dụ 6:Giải phương trình: sin2x sin x

Ví dụ 2:Giải phương trình: 3 tan2x 3 0 

II PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Chuyển về phương trình lượng giác cơ bản

Ví dụ 3:Giải phương trình: tan x2  1 3 tan x  3 0

III PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

1 Định nghĩa

Phương trình bậc hai đối với sinx và cosx là phương trình có dạng

a sin x b sin x cos x c cos x 2   2  d

trong đó a, b, c, d là các hằng số

2 Phương pháp

Trường hợp 1: cos x 0

Trường hợp 2: cos x 0 , chia cả hai vế của phương trình cho cos x2

Ví dụ 4:Giải phương trình: cos x 3 sin x cos x 2 sin x 1 02   2  

Ví dụ 5:Giải phương trình: 2 sin 2x 3 sin 2x cos 2x 3 cos 2x 22   2 

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP (Phần 2)

IV PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sinx VÀ cosx

1 Định nghĩa

Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx là phương trình có dạng

asinx bcos x c  ( trong đó a, b, c là các hằng số)

2 Phương pháp giải a sin x b cos x c Nếu a2b2 c2 thì phương trình vô nghiệm Nếu a2b2 c2 thì phương trình có nghiệm Chia cả hai vế của phương trình cho a2 b2

 

bsin

  

Ví dụ 1:Giải phương trình sin7x 3 cos 7x  2

Ví dụ 2:Giải phương trình 3sin x 4 cos x 5

Thay vào phương trình, giải phương trình bậc hai tìm t

Chuyển về phương trình lượng giác cơ bản

Ví dụ 3:Giải phương trình sinx cos x sinx cos x 1  

VI PHƯƠNG TRÌNH DẠNG HIỆU-TÍCH CỦA sinx VÀ cosx

Thay vào phương trình, giải phương trình bậc hai tìm t

Chuyển về phương trình lượng giác cơ bản

Ví dụ 4:Giải phương trình sinx cos x 6(sinx cos x 1)  

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (phần 1)

I BIẾN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH ĐÃ CHO VỀ CÁC DẠNG CƠ BẢN

1 Phương pháp

Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác để đưa phương trình về các dạng cơ bản

Chú ý:

Ta nhận xét các cung trong các hàm số lượng giác của phương trình

Tìm cách biến đổi để đưa về cung giống nhau

Ví dụ 3:Giải phương trình 3 cos5x 2sin3x cos 2x sinx 0  

Ví dụ 4:Giải phương trình 2(sin x cos x) sin x cos x6 6 0

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (phần 2)

II BIẾN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH ĐÃ CHO VỀ DẠNG TÍCH

(f(x), g(x), h(x) là các biểu thức lượng giác)

2 Các biểu thức cần chú ý trong quá trình phân tích nhân tử

sin2x 2sinx cos x 1 cos 2x 2cos x  2

cos 2x (cos x sinx)(cos x sinx)   1 cos 2x 2sin x  2

Ví dụ 1:Giải phương trình sin2x 3cos x 0 

Ví dụ 2:Giải phương trình sinx sin2x sin3x 0  

Ví dụ 3:Giải phương trình sinx 1 cos x   1 cos x cos x 2

Ví dụ 4:Giải phương trình (1 2sinx) cos x 1 sinx cos x 2   

Ví dụ 5:Giải phương trình 3 sin2x cos 2x 2cos x 1  

Tính đồng biến, nghịch biến: Hàm số đồng biến trên 0;

Tính đồng biến, nghịch biến: Hàm số đồng biến trên ;0

4 Hàm số y = cotx

Tập giá trị: (-;+)

Tính chẵn, lẻ: Hàm số y = cotx là hàm số lẻ

Tính đồng biến, nghịch biến: Hàm số nghịch biến trên  0;

II PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1 Phương trình lượng giác cơ bản

2 Phương trình lượng giác thường gặp

3 Một số phương pháp giải phương trình lượng giác

Ví dụ 1:Tìm tập xác định của hàm số:  



1 cos xy

1 2sin x

Ví dụ 2:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y 2sin x 3cos 2x 4  2  

Ví dụ 3:Giải phương trình: sin 2x cos x

QUI TẮC ĐẾM

I QUY TẮC CỘNG

1 Nội dung quy tắc

Để thực hiện công việc A ta có các phương án (trường hợp) A ; A ; A ; A 1 2 3 k

Ví dụ 1:Trên giá sách có 12 quyển sách tiếng Việt, 7 quyển sách tiếng Anh, 6 quyển

sách tiếng Pháp Hỏi có bai nhiêu cách chọn một quyển sách?

II QUY TẮC NHÂN

1 Nội dung quy tắc

Để thực hiện công việc A ta phải thực hiện các quá trình liên tiếp A ; A ; A ; A 1 2 3 k

2 Các ví dụ

Ví dụ 2:Từ nhà bạn An tới trường học có 3 con đường đi, từ trường học tới nhà Bình

có 4 con đường đi Hỏi nếu từ nhà An đến trường học, rồi từ trường học An qua nhà Bình chơi thì An có bao nhiêu cách đi?

Ví dụ 3:Một đội văn nghệ có 8 bạn nữ và 6 bạn nam Hỏi có bao nhiêu cách chọn một

đôi song ca nam – nữ?

Ví dụ 4:Từ các chữ số 0, 1, 2, , 9 ta có thể lập được bao nhiêu số:

a) Gồm bốn chữ số

b) Gồm bốn chữ số khác nhau từng đôi một

c) Số chẵn có 4 chữ số

d) Số chẵn có 4 chữ số khác nhau từng đôi một

HOÁN VỊ-CHỈNH HỢP-TỔ HỢP (phần 1)

I HOÁN VỊ

1 Định nghĩa

Cho tập hợp A có n phần tử (n 1) Mỗi cách sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A 

được gọi là một hoán vị của n phần tử đó

Ví dụ 1:Một nhóm bạn có 5 người vào rạp xem phim, ngồi vào 5 cái ghế liên tiếp

Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 5 bạn này?

Ví dụ 2:Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số

khác nhau?

Ví dụ 3:Có 3 bạn nam, 4 bạn nữ ngồi vào một dãy ghế gồm 7 cái Hỏi có bao nhiêu

cách ngồi nếu: nam ngồi gần nhau?

II CHỈNH HỢP

1 Định nghĩa

Cho tập hợp A có n phần tử (n 1) Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n 

phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh

3 Các ví dụ

Ví dụ 4:Một lớp học có 40 học sinh Thầy giáo chủ nhiệm muốn chọn một ban cán sự

lớp gồm một lớp trưởng, một lớp phó học tập và một lớp phó kỷ luật Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách chọn?

Ví dụ 5:Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác

nhau từng đôi một?

Ví dụ 6:Có 3 bạn nam, 4 bạn nữ xếp vào một hàng dọc Hỏi có bao nhiêu cách xếp

nếu: hai vị trí đầu hàng và vị trí cuối hàng là nữ?

Ví dụ 7:Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số:

Gồm 6 chữ số khác nhau từng đôi một và nhất thiết phải có số 1 và số 5?

Gồm 6 chữ số khác nhau từng đôi một và tổng các chữ số hàng trăm, hàng ngàn, hàng chục ngàn là 8

HOÁN VỊ-CHỈNH HỢP-TỔ HỢP (phần 2)

III TỔ HỢP

1 Định nghĩa

Cho tập hợp A có n phần tử (n 1) Mỗi cách lấy k phần tử  (k 1) từ n phần tử của 

tập hợp A (không cần thứ tự) được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho

n!

Ck! n k !

Ví dụ 1:Một lớp học có 40 học sinh Thầy giáo chủ nhiệm muốn chọn 3 bạn làm

vệ sinh lớp học Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách chọn?

Ví dụ 2:Trong mặt phẳng cho 10 điểm phân biệt sao cho không có 3 điểm nào

thẳng hàng Hỏi:

a) Có thể tạo ra được bao nhiêu tam giác từ các điểm đã cho?

b) Có thể tạo ra được bao nhiêu tứ giác từ các điểm đã cho?

c) Có thể tạo ra được bao nhiêu véctơ (khác véctơ không)

từ các điểm đã cho?

Ví dụ 3:Trong mặt phẳng có bao nhiêu hình bình hành được tạo nên từ 4 đường thẳng

song song với nhau cắt 6 đường thẳng song song khác?

Ví dụ 4:Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10

câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu

đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề phải có

đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2

II MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ NHỊ THỨC NIU-TƠN

1 Tìm hệ số trong khai triển Niu-tơn

Ví dụ 3:Tìm hệ số của x1026 trong khai triển   

2013 2

3

1x

Ví dụ 4:Tìm hệ số của x trong khai triển 4 3x 2  7

Ví dụ 5:Tìm hệ số không chứa x trong khai triển   

150

2 3x

Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc

dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó

2 Không gian mẫu

Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của

phép thử và kí hiệu là Ω (đọc là o-mê-ga)

Ví dụ 1:Gieo một đồng tiền Mô tả không gian mẫu

Ví dụ 2:Gieo một con súc sắc Mô tả không gian mẫu

Ví dụ 3:Gieo một con súc sắc hai lần Mô tả không gian mẫu

Ví dụ 4:Gieo một con súc sắc

II BIẾN CỐ

1 Định nghĩa

Biến cố là một tập con của không gian mẫu

Ví dụ 5:Gieo một đồng tiền 3 lần Xác định các biến cố sau:

A: “Kết quả 3 lần gieo là như nhau”

B: “Hai lần đầu xuất hiện mặt sấp”

C: “Lần cuối xuất hiện mặt ngửa”

2 Phép toán trên các biến cố

Giả sử A, B là hai biến cố liên quan đến một phép thử

Tập \ A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A

Tập A B được gọi là hợp của hai biến cố A và B

Tập A B được gọi là giao của hai biến cố A và B

Nếu A B   thì ta nói A và B xung khắc

Ví dụ 6:Gieo một đồng tiền 3 lần

a) Mô tả không gian mẫu

b) Xác định các biến cố sau:

A: “Kết quả 3 lần gieo là như nhau”

B: “Hai lần đầu xuất hiện mặt sấp”

C: “Lần cuối xuất hiện mặt ngửa”

c) Xác định biến cố đối của biến cố A d) Xác định biến cố B C,B C 

Ví dụ 7:Trong một hộp chứa 4 cái thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4 Lấy ngẫu nhiên hai thẻ

a) Mô tả không gian mẫu

b) Xác định các biến cố sau:

A: “Tổng các số trên hai thẻ là số chẵn”

B: “Tổng các số trên hai thẻ là số lẻ”

Ví dụ 8:Từ một hộp chứa 5 quả cầu được đánh số 1, 2, 3, 4, 5 Lấy ngẫu nhiên liên

tiếp hai lần mỗi lần một quả và ghi số theo thứ tự từ trái qua phải (quả cầu được trả vào hộp sau khi lấy ra)

a) Mô tả không gian mẫu

b) Xác định các biến cố sau:

A: “Hai chữ số bằng nhau”

B: “Chữ số sau gấp đôi chữ số trước”

C: “Chữ số sau lớn hơn chữ số trước”

XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

I ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT

Ví dụ 1:Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất

A: “Xuất hiện mặt có số chấm là số lẻ”

B: “Xuất hiện mặt có số chấm không nhỏ hơn 2”

C: “Xuất hiện mặt có số chấm là số nguyên tố”

1 Định nghĩa

Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử với không gian mẫu Ω chỉ có một số

hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện

Ta gọi tỉ số n(A)

n( ) là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A)

n(A)P(A)

n( )





Trong đó:

n(A) là số phần tử của biến cố A

n( ) là số phần tử của không gian mẫu 

Ví dụ 2:Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền cân đối và đồng chất 3 lần

Tính xác suất của các biến cố sau:

A: “Kết quả 3 lần gieo là như nhau”

B: “Hai lần đầu xuất hiện mặt sấp”

C: “Lần cuối xuất hiện mặt ngửa”

Ví dụ 3:Xếp 3 nữ, 5 nam vào một dãy ghế theo hàng ngang

Tính xác suất sau cho không có hai nữ nào ngồi gần nhau

2 Tính chất

Giả sử A, B là biến cố liên quan đến một phép thử với không gian mẫu Ω chỉ có một số

hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện

Khi đó ta có định lí sau:

P( ) 0;P( ) 1   

0 P(A) 1  , với mọi biến cố A Nếu A và B xung khắc thì P(A B) P(A) P(B)   (công thức cộng xác suất) P(A B) P(A) P(B) P(A B)     (công thức cộng xác suất mổ rộng)

Chú ý: Với mọi biến cố A, P(A) 1 P(A) 

Ví dụ 4:Một hộp chứa 5 bi xanh, 6 bi đỏ và 3 bi vàng Lấy ngẫu nhiên 2 bi cùng lúc

Tính xác suất của các biến cố sau:

Ví dụ 5:Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần

Tính xác suất của các biến cố sau:

A: “Lần thứ nhất xuất hiện mặt 1 chấm”

B: “Lần thứ hai xuất hiện mặt 1 chấm”

C: “Cả hai lần xuất hiện mặt 1 chấm”

D: “Ít nhất một lần xuất hiện mặt 1 chấm”

II BIẾN CỐ ĐỘC LẬP, CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT

Hai biến cố A, B được gọi là độc lập, nếu sự xảy ra của một trong hai biến cố không ảnh

hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia

A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P(A B) P(A).P(B) 

Ví dụ 6:Có hai hộp chứa các quả cầu Hộp thứ nhất chứa 5 quả cầu xanh, 3 quả cầu

đỏ Hộp thứ hai chứa 4 quả cầu xanh, 6 quả cầu đỏ Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên 1 quả

a) Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra cùng màu xanh

b) Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra cùng màu đỏ

c) Tính xác suất sao cho hai quả lấy ra cùng màu

d) Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra khác màu

II HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP

1 Hoán vị

2 Chỉnh hợp

3 Tổ hợp

Ví dụ 1:Số 1800 có bao nhiêu ước nguyên dương

Ví dụ 2:Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ta có thể lập được bao nhiêu số

a) Gồm 4 chữ số sao cho các chữ số kề nhau thì khác nhau?

b) Gồm 4 chữ số theo thứ tự giảm dần từ trái qua phải?

c) Gồm 4 chữ số theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải?

III NHỊ THỨC NIU-TƠN

Ví dụ 3:Cho biết tổng các hệ số trong khai triển (x2 1)n là 1024

Tìm hệ số của x trong khai triển 12

Ví dụ 4:Chứng minh: n      0 2 1 2 2 2  n 2

C  C  C  C   C

IV PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ

V XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

Ví dụ 5:Có 4 bạn nam, 4 bạn nữ xếp vào 8 cái ghế chia làm 2 dãy đối diện nhau

Tính xác suất sao cho:

a) Ngồi đối diện nhau là khác phái?

b) Ngồi đối diện là kế bên khác phái?

Ví dụ 6:Một hộp có 5 bi xanh, 4 bi đỏ, 6 bi vàng Lấy ngẫu nhiên cùng lúc 4 bi

Tính xác suất sao cho:

a) 4 bi lấy ra có đúng 2 bi xanh

b) 4 bi lấy ra có ít nhất 1 bi xanh

c) 4 bi lấy ra cùng màu

d) 4 bi lấy ra có đủ 3 màu

Ví dụ 7:Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt được chọn từ

các chữ số 1,2,3,4,5,6,7 Xác định số phần tử của S Chọn ngẫu nhiên một số

từ S, tính xác suất để số được chọn là số chẵn

PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC

I PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Để chứng minh mệnh đề chứa biếnA(n) là mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương n

DÃY SỐ

I ĐỊNH NGHĨA

1 Định nghĩa dãy số

Một hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương * được gọi là một dãy số

vô hạn (gọi tắt là dãy số) Kí hiệu:

u : *

n u(n)



2 Định nghĩa dãy số hữu hạn

Một hàm số u xác định trên tập M {1,2,3, ,m},m  * được gọi là một dãy số

II Cách cho một dãy số

Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát

Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi

Ví dụ 1:Cho dãy số (u ) xác định bởi công thức n 1

Dãy số (u )n được gọi là dãy số tăng nếu un 1 un với mọi n *

Dãy số (u )n được gọi là dãy số giảm nếu un 1 un với mọi n *

2 Phương pháp khảo sát tính tăng, giảm của dãy số

Ví dụ 3:Viết năm số hạng đầu và khảo sát tính tăng, giảm của các dãy số sau:

CẤP SỐ CỘNG

I ĐỊNH NGHĨA

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số

hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng

Nếu dãy số (u ) là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi sau: n

un 1 un d với n *

II SỐ HẠNG TỔNG QUÁT - TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG

1 Số hạng tổng quát

Cho cấp số cộng (u ) có số hạng đầu n u và công sai d 1

Khi đó số hạng tổng quát u được xác định bởi công thức n

b) Số -99 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng?

Ví dụ 2:Tìm số hạng đầu u và công sai d của cấp số cộng 1 (u ) biết: n

Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng

của hai số hạng đứng kề với nó

  

 k 1 k 1 k

III TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA CẤP SỐ CỘNG

Cho cấp số cộng (u ) có số hạng đầu n u và công sai d 1

CẤP SỐ NHÂN

I ĐỊNH NGHĨA

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai,

mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với một số không đổi q

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân

Nếu dãy số (u ) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi sau: n

un 1 u qn với n *

II SỐ HẠNG TỔNG QUÁT - TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ NHÂN

1 Số hạng tổng quát

Cho cấp số nhân (u )n có số hạng đầu u và công bội q 1

Khi đó số hạng tổng quát u được xác định bởi công thức n

b) Số 256 là số hạng thứ bao nhiêu của của cấp số nhân?

Ví dụ 2:Tìm số hạng đầu u và công bội q của cấp số nhân 1 (u ) biết: n

Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều

là tích của hai số hạng đứng kề với nó

2   

k k 1 k 1

u u u với k 2 

Ví dụ 3:Hãy xác định a, b sao cho 1,a,b lập thành một cấp số cộng và 1,a ,b 2 2

lập thành một cấp số nhân, biết a là số nguyên

III TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA CẤP SỐ NHÂN

Cho cấp số nhân (u ) có số hạng đầu n u và công bội 1 q 1 

Ví dụ 4:Cho cấp số nhân (u ) biết n u1 3, u5 48 Tính tổng mười hai số hạng

đầu tiên của cấp số nhân

Ví dụ 5:Cho dãy số (u ) xác định bởi công thức n 2n 1

n

u  ( 3)  a) Chứng minh dãy số (u )n là cấp số nhân

ÔN TẬP CHƯƠNG 3

I PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Để chứng minh mệnh đề chứa biếnA(n) là mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương n

Một hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N* được gọi là một dãy số

vô hạn (gọi tắt là dãy số)

Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát

Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi

3 Dãy số tăng, dãy số giảm

4 Dãy số bị chặn

Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho: un M, n  N*

Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho: un  m, n  N*

Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới tức là tồn

3n 2 a) Chứng minh dãy số bị chặn

b) Khảo sát tính tăng, giảm của dãy số

Ví dụ 5:Cho cấp số nhân (u ) biết n    

a) Tìm số hạng đầu u và cộng bội q của cấp số nhân 1

b) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân

Ví dụ 6:Cho các số dương a ,a ,a , a lập thành một cấp số cộng 1 2 3 n