tài liệu tự học toán 11 chí tiết dễ hiểu (lí thuyết và bài tập)

ÔN TẬP LƯỢNG GIÁC LỚP 10 I. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC 1. Đường tròn định hướng 2. Cung lượng giác và góc lượng giác 3. Đường tròn lượng giác 4. Số đo của cung và góc lượng giác 5. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác II. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG III. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1. Hệ thức lượng giác cơ bản sin2 x  cos2 x  1 tan x  sin x cos x cot x  cos x sin x tan x.cot x  1 1  tan2 x  1 cos 2 x 1  cot 2 x  1 sin2 x sin4 x  cos 4 x  1  2sin2 x cos2 x sin6 x  cos6 x  1  3sin2 x cos2 x 2. Cung liên kết  : 2 Cung đối nhau: x và –x Cung phụ nhau:  x và  x 2 Cung hơn kém cos( x)  cos x  sin( x)   sin x  tan( x)   tan x cot( x)   cot x    sin   x   cos x   2    cos   x   sin x  2    tan    x   cot x 2         cot  2  x   tan x       sin   x   cos x   2    cos   x    sin x  2   tan    x    cot x 2         cot  2  x    tan x    Cung bù nhau: x và x Cung hơn kém  : sin(  x)  sin x  cos(  x)   cos x  tan(  x)   tan x cot(  x)   cot x tan(  x)  tan x  cot(  x)  cot x  sin(  x)   sin x cos(  x)   cos x x và  x 2 Đặc biệt x và   x sin(x  k2)  sin x (k  )  cos(x  k2)  cos x tan(x  k)  tanx (k  Z)  cot(x  k)  cot x 3. Công thức biến đổi Công thức cộng Công thức nhân đôi sin(a  b)  sinacos b  sinb cos a sin2a  2sinacos a sin(a  b)  sinacos b  sinb cos a cos 2a  cos2 a  sin2 a cos(a  b)  cos acos b  sinasinb cos(a  b)  cos acos b  sinasinb tan(a  b)  tana  tanb 1  tana.tanb = 2 cos2 a  1 = 1  2 sin2 a tan2a  2 tan a 1  tan2 a Công thức hạ bậc cos 2 a  1  cos 2a 2 sin2 a  1  cos 2a 2 tan2 a  1  cos 2a 1  cos 2a sina cos a  1 sin2a 2 tan(a  b)  tana  tanb 1  tana.tanb cot(a  b)  cot a.cot b  1 cot a  cot b cot(a  b)  cot a.cot b  1 cot b  cot a cot2a  Công thức biến đổi tổng thành tích cos a  cos b  2 cos ab ab cos 2 2 ab ab sina  sinb  2 sin cos 2 2 cos a  cos b  2 sin sina  sinb  2 cos cot 2 a  1 2 cot a Công thức biến đổi tích thành tổng cos acos b  1 cos(a  b)  cos(a  b)  2 sinasinb  1 cos(a  b)  cos(a  b)  2 sinacos b  1 sin(a  b)  sin(a  b)  2 ab ab sin 2 2 ab ab sin 2 2   Chú ý: sin a  cos a  2 sin  a   4   Ví dụ 1: Trên đường tròn lượng giác, hãy biểu diễn các cung có số đo là: a) 2400 Ví dụ 2: Cho sina  b)  17 4 c) k (k  ) 2 4 ( 900  a  1800 ) . Tính cosa, tana. 5 Ví dụ 3: Tính sin150. Ví dụ 4: Chứng minh sin x cos3 x  sin3 x cos x  Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức: sin 4x 4 cos x sin(x  y)  sin x cos(x  y)  3  cos  y    cos y 6 2  HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I. HÀM SỐ 1. Khái niệm hàm số Cho tập hợp D  R. Một hàm số f xác định trên D là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử x  D với một và chỉ một số thực y, số này phụ thuộc vào x, kí hiệu là f(x) 2. Một số tính chất của hàm số a. Hàm số chẵn, hàm số lẻ b. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến c. Hàm số tuần hoàn II. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1. Hàm số y = sinx Tập xác định: D=R Tập giá trị: [-1;1] Tính chẵn, lẻ: Hàm số y = sinx là hàm số lẻ Tính tuần hoàn: Hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kì: T=2 Tính đồng biến, nghịch biến:   Hàm số đồng biến trên 0;   2   Hàm số nghịch biến trên  ;   2  2. Hàm số y = cosx Tập xác định: D=R Tập giá trị: [-1;1] Tính chẵn, lẻ: Hàm số y = cosx là hàm số chẵn Tính tuần hoàn: Hàm số y = cosx tuần hoàn với chu kì: T=2 Tính đồng biến, nghịch biến: Hàm số đồng biến trên  ;0  Hàm số nghịch biến trên 0; 3. Hàm số y = tanx   \   k,k   2  Tập xác định: D Tập giá trị: (-;+) Tính chẵn, lẻ: Hàm số y = tanx là hàm số lẻ Tính tuần hoàn: Hàm số y = tanx tuần hoàn với chu kì: T= Tính đồng biến, nghịch biến:    Hàm số đồng biến trên   ;   2 2 4. Hàm số y = cotx \ k,k   Tập xác định: D Tập giá trị: (-;+) Tính chẵn, lẻ: Hàm số y = cotx là hàm số lẻ Tính tuần hoàn: Hàm số y = cotx tuần hoàn với chu kì: T= Tính đồng biến, nghịch biến: Hàm số nghịch biến trên  0;      Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số y  tan  2x   3 Ví dụ 2: Tìm tập xác định của hàm số y  1  2 cos x sin x Ví dụ 3: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số y  f(x)  1  2 cos x sin x Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 3sinx + 1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN I. PHƯƠNG TRÌNH sinx = a a  1 Trường hợp 1:  a  1 Phương trình vô nghiệm. Trường hợp 2: 1  a  1 sin x  a  s inx  sin   x    k2  k   x      k2   x  arcsina  k2 sinx  a    x    arcsina  k2 k   Chú ý: Ta có thể sử dụng đơn vị độ, nhưng không được sử dụng hai đơn vị độ và radian trong cùng một phương trình. Ví dụ 1: Giải phương trình: sin x   Ví dụ 2: Giải phương trình: sin x  3 2 2 3 II. PHƯƠNG TRÌNH cosx = a a  1 Trường hợp 1:  a  1 Phương trình vô nghiệm. Trường hợp 2: 1  a  1 cos x  a  cos x  cos   x    k2  k   x    k2  x  arccos a  k2 cosx  a    x   arccos a  k2  k   Chú ý: Ta có thể sử dụng đơn vị độ, nhưng không được sử dụng hai đơn vị độ và radian trong cùng một phương trình. Ví dụ 3: Giải phương trình:  2  cos  2x    4 2    cos 2x  450  2 2 III. PHƯƠNG TRÌNH tanx = a tan x  a  tan x  tan   x    k (k  ) tan x  a  x  arctana  k (k  ) Chú ý: Ta có thể sử dụng đơn vị độ, nhưng không được sử dụng hai đơn vị độ và radian trong cùng một phương trình. Ví dụ 4: Giải phương trình: tan  x  1  3 IV. PHƯƠNG TRÌNH cotx = a cot x  a  cot x  cot   x    k (k  ) cot x  a  x  arc cot a  k (k  ) Chú ý: Ta có thể sử dụng đơn vị độ, nhưng không được sử dụng hai đơn vị độ và radian trong cùng một phương trình.   Ví dụ 5: Giải phương trình: cot   x    3 3  CÔNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT u  v  k2 sinu  sin v   (k  ) u    v  k2 u  v  k2 cos u  cos v   (k  ) u   v  k2 Chú ý: cosx  0  x  sin x  0  x  k (k  )   k (k  ) 2 tanu  tan v  u  v  k k   (Điều kiện: cos u  0 hoặc cos v  0 ) cot u  cot v  u  v  k k   (Điều kiện: sinu  0 hoặc sin v  0 )  Ví dụ 6: Giải phương trình: sin2x  sin  x   Ví dụ 7: Giải phương trình: tan3 x  tanx  4  MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC THƢỜNG GẶP (Phần 1) I. PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC 1. Định nghĩa Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng at  b  0 trong đó a, b là các hằng số ( a  0 ) và t là một trong các hàm số lượng giác. 2. Phƣơng pháp Ta chuyển về phương trình lượng giác cơ bản at  b  0  t       b a Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 sin  x    1  0 3 Ví dụ 2: Giải phương trình: 3 tan2x  3  0 II. PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC 1. Định nghĩa Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng at2  bt  c  0 trong đó a, b, c là các hằng số ( a  0 ) và t là một trong các hàm số lượng giác. 2. Phƣơng pháp Đặt t là hàm số lượng giác trong phương trình, đặt điều kiện (nếu có).  1  sin x,cos x  1 Giải phương trình bậc 2 tìm t. Chuyển về phương trình lượng giác cơ bản.   Ví dụ 3: Giải phương trình: tan2 x  1  3 tan x  3  0 III. PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX 1. Định nghĩa Phương trình bậc hai đối với sinx và cosx là phương trình có dạng a sin2 x  b sin x cos x  c cos2 x  d trong đó a, b, c, d là các hằng số 2. Phƣơng pháp Trường hợp 1: cos x  0 Trường hợp 2: cos x  0 , chia cả hai vế của phương trình cho cos2 x 2 2 Ví dụ 4: Giải phương trình: cos x  3 sin x cos x  2 sin x  1  0 2 2 Ví dụ 5: Giải phương trình: 2 sin 2x  3 sin 2x cos 2x  3 cos 2x  2 MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC THƢỜNG GẶP (Phần 2) IV. PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sinx VÀ cosx 1. Định nghĩa Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx là phương trình có dạng asin x  b cos x  c ( trong đó a, b, c là các hằng số) 2. Phƣơng pháp giải a sin x  b cos x  c Nếu a2  b2  c2 thì phương trình vô nghiệm Nếu a2  b2  c2 thì phương trình có nghiệm a2  b2 Chia cả hai vế của phương trình cho a sin x  b cos x  c  Đặt cos   a 2 a b 2 a a2  b2 sin x  a  b2 2 a b cos x  c a2  b2 phương trình trở thành 2 c 2 a2  b2 b và sin   cos  sin x  sin  cos x  b c  sin(x  )  Giải phương trình lượng giác cơ bản sin(x  )  2 a  b2 c a2  b2 Ví dụ 1: Giải phương trình sin7x  3 cos 7x  2 Ví dụ 2: Giải phương trình 3sin x  4 cos x  5 2 V. PHƢƠNG TRÌNH DẠNG TỔNG-TÍCH CỦA sinx VÀ cosx 1. Định nghĩa Phương trình dạng tổng - tích của sinx và cosx là phương trình có dạng: a  sin x  cos x   b sin x cos x  c  0 (trong đó a, b, c là các hằng số) 2. Phƣơng pháp giải   Đặt t  sin x  cos x  2 sin  x   4   t    t 2  sin2 x  cos 2 x  2 sin x cos x  sin x cos x  2; 2   t2  1 2  Thay vào phương trình, giải phương trình bậc hai tìm t Chuyển về phương trình lượng giác cơ bản Ví dụ 3: Giải phương trình sin x  cos x  sin x cos x  1 VI. PHƢƠNG TRÌNH DẠNG HIỆU-TÍCH CỦA sinx VÀ cosx 1. Định nghĩa Phương trình dạng hiệu - tích của sinx và cosx là phương trình có dạng a  sin x  cos x   b sin x cos x  c  0 (trong đó a, b, c là các hằng số) 2. Phƣơng pháp giải   Đặt t  sin x  cos x  2 sin  x   4   t    t 2  sin2 x  cos 2 x  2 sin x cos x  sin x cos x  2; 2   1  t2 2 Thay vào phương trình, giải phương trình bậc hai tìm t Chuyển về phương trình lượng giác cơ bản Ví dụ 4: Giải phương trình sin x cos x  6(sin x  cos x  1)  MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC (phần 1) I. BIẾN ĐỔI PHƢƠNG TRÌNH ĐÃ CHO VỀ CÁC DẠNG CƠ BẢN 1. Phƣơng pháp Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác để đưa phương trình về các dạng cơ bản Chú ý: Ta nhận xét các cung trong các hàm số lượng giác của phương trình. Tìm cách biến đổi để đưa về cung giống nhau. 2. Các ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình 4 cos 2x  2sin x  3  0 Ví dụ 2: Giải phương trình Ví dụ 3: Giải phương trình Ví dụ 4: Giải phương trình Ví dụ 5: Giải phương trình sin4 x  cos 4 x  sin2x  3 0 2 3 cos 5x  2sin3x cos 2x  sin x  0 2(sin6 x  cos 6 x)  sin x cos x 2  2 sin x (1  2 sin x) cos x  3 (1  2 sin x)(1  sin x) 0 MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC (phần 2) II. BIẾN ĐỔI PHƢƠNG TRÌNH ĐÃ CHO VỀ DẠNG TÍCH 1. Phƣơng pháp Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác để làm xuất hiện các nhân tử chung, đưa phương trình về dạng tích.  f(x)  0  f(x).g(x).h(x)  0  g(x)  0 (f(x), g(x), h(x) là các biểu thức lượng giác) h(x)  0 2. Các biểu thức cần chú ý trong quá trình phân tích nhân tử sin2 x  (1  cos x)(1  cos x) 1  tan x  sin x  cos x cos x cos2 x  (1  sin x)(1  sin x)   sin x  cos x  2 sin  x   4  sin2x  2sin x cos x 1  cos 2x  2cos2 x cos 2x  (cos x  sin x)(cos x  sin x) 1  cos 2x  2sin2 x 1  sin2x  (sin x  cos x)2 1  cos 2x  sin2x  2cos x(sin x  cos x) 1  sin2x  (sin x  cos x)2 1  cos 2x  sin2x  2sin x(sin x  cos x) 3. Các ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình sin2x  3cos x  0 Ví dụ 2: Giải phương trình sin x  sin2x  sin3x  0 Ví dụ 3: Giải phương trình sin x 1  cos x   1  cos x  cos2 x Ví dụ 4: Giải phương trình (1  2sin x)2 cos x  1  sin x  cos x Ví dụ 5: Giải phương trình 3 sin2x  cos 2x  2 cos x  1 ÔN TẬP CHƢƠNG 1 I. HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC 1. Hàm số y = sinx Tập xác định: D=R Tập giá trị: [-1;1] Tính chẵn, lẻ: Hàm số y = sinx là hàm số lẻ Tính tuần hoàn: Hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kì: T=2   Tính đồng biến, nghịch biến: Hàm số đồng biến trên 0;   2   Hàm số nghịch biến trên  ;   2  2. Hàm số y = cosx Tập xác định: D=R Tập giá trị: [-1;1] Tính chẵn, lẻ: Hàm số y = cosx là hàm số chẵn Tính tuần hoàn: Hàm số y = cosx tuần hoàn với chu kì: T=2 Tính đồng biến, nghịch biến: Hàm số đồng biến trên  ;0  Hàm số nghịch biến trên 0; 3. Hàm số y = tanx   \   k,k   2  Tập xác định: D Tập giá trị: (-;+) Tính chẵn, lẻ: Hàm số y = tanx là hàm số lẻ Tính tuần hoàn: Hàm số y = tanx tuần hoàn với chu kì: T=    Tính đồng biến, nghịch biến: Hàm số đồng biến trên   ;   2 2 4. Hàm số y = cotx \ k,k   Tập xác định: D Tập giá trị: (-;+) Tính chẵn, lẻ: Hàm số y = cotx là hàm số lẻ Tính tuần hoàn: Hàm số y = cotx tuần hoàn với chu kì: T= Tính đồng biến, nghịch biến: Hàm số nghịch biến trên  0;  II. PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC 1. Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản 2. Phƣơng trình lƣợng giác thƣờng gặp 3. Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình lƣợng giác Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số: y  1  cos x 1  2 sin x Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y  2 sin2 x  3cos 2x  4     Ví dụ 3: Giải phương trình: sin  2x    cos x 3 Ví dụ 4: Giải phương trình: cos 2x  3 sin2x  2sin5x  Ví dụ 5: Giải phương trình: 1  tan x  2 2 sin  x    (Đề TSĐH A-2013) 4  QUI TẮC ĐẾM I. QUY TẮC CỘNG 1. Nội dung quy tắc Để thực hiện công việc A ta có các phương án (trường hợp) A1 ; A2 ; A3 ;...Ak Phương án A1 có n1 cách thực hiện Phương án A2 có n2 cách thực hiện … Phương án Ak có nk cách thực hiện Khi đó, số cách thực hiện công việc A là: n1  n2  ...  nk 2. Các ví dụ Ví dụ 1: Trên giá sách có 12 quyển sách tiếng Việt, 7 quyển sách tiếng Anh, 6 quyển sách tiếng Pháp. Hỏi có bai nhiêu cách chọn một quyển sách? II. QUY TẮC NHÂN 1. Nội dung quy tắc Để thực hiện công việc A ta phải thực hiện các quá trình liên tiếp A1 ; A2 ; A3 ;...Ak Quá trình A1 có n1 cách thực hiện Quá trình A2 có n2 cách thực hiện … Quá trình Ak có nk cách thực hiện Khi đó, số cách thực hiện công việc A là: n1 .n2 ...nk 2. Các ví dụ Ví dụ 2: Từ nhà bạn An tới trường học có 3 con đường đi, từ trường học tới nhà Bình có 4 con đường đi. Hỏi nếu từ nhà An đến trường học, rồi từ trường học An qua nhà Bình chơi thì An có bao nhiêu cách đi? Ví dụ 3: Một đội văn nghệ có 8 bạn nữ và 6 bạn nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một đôi song ca nam – nữ? Ví dụ 4: Từ các chữ số 0, 1, 2,..., 9 ta có thể lập được bao nhiêu số: a) Gồm bốn chữ số. b) Gồm bốn chữ số khác nhau từng đôi một. c) Số chẵn có 4 chữ số. d) Số chẵn có 4 chữ số khác nhau từng đôi một. HOÁN VỊ-CHỈNH HỢP-TỔ HỢP (phần 1) I. HOÁN VỊ 1. Định nghĩa Cho tập hợp A có n phần tử (n  1) . Mỗi cách sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó 2. Số các hoán vị Kí hiệu số các hoán vị của n phần tử là Pn . Khi đó ta có định lý: Pn  n.(n  1).(n  2)...3.2.1  n! Chú ý Ta kí hiệu: n.(n  1).(n  2)...3.2.1 là n! (đọc là n giai thừa) Quy ước: 0! = 1 3. Các ví dụ Ví dụ 1: Một nhóm bạn có 5 người vào rạp xem phim, ngồi vào 5 cái ghế liên tiếp. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 5 bạn này? Ví dụ 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau? Ví dụ 3: Có 3 bạn nam, 4 bạn nữ ngồi vào một dãy ghế gồm 7 cái. Hỏi có bao nhiêu cách ngồi nếu: nam ngồi gần nhau? II. CHỈNH HỢP 1. Định nghĩa Cho tập hợp A có n phần tử (n  1) . Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho. 2. Số các chỉnh hợp Kí hiệu số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là Akn (1  k  n) . Khi đó ta có định lý: Akn  n.(n  1).(n  2)...(n  k  1)  n! n  k  ! Chú ý : Mỗi chỉnh hợp chập n của n phần tử chính là một hoán vị của n phần tử đó Ann  Pn 3. Các ví dụ Ví dụ 4: Một lớp học có 40 học sinh. Thầy giáo chủ nhiệm muốn chọn một ban cán sự lớp gồm một lớp trưởng, một lớp phó học tập và một lớp phó kỷ luật. Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách chọn? Ví dụ 5: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau từng đôi một? Ví dụ 6: Có 3 bạn nam, 4 bạn nữ xếp vào một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp nếu: hai vị trí đầu hàng và vị trí cuối hàng là nữ? Ví dụ 7: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số: Gồm 6 chữ số khác nhau từng đôi một và nhất thiết phải có số 1 và số 5? Gồm 6 chữ số khác nhau từng đôi một và tổng các chữ số hàng trăm, hàng ngàn, hàng chục ngàn là 8. HOÁN VỊ-CHỈNH HỢP-TỔ HỢP (phần 2) III. TỔ HỢP 1. Định nghĩa Cho tập hợp A có n phần tử (n  1) . Mỗi cách lấy k phần tử (k  1) từ n phần tử của tập hợp A (không cần thứ tự) được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. Chú ý: Tập hợp không có phần tử nào là tập rỗng nên ta quy ước gọi tập rỗng là tổ hợp chập 0 của n phần tử. 2. Số các tổ hợp Kí hiệu số các tổ hợp chập k của n phần tử là Ckn (0  k  n) . Khi đó ta có định lý: Ckn  n! k ! n  k  ! Chú ý: Ckn .k!  Akn (1  k  n) Ví dụ 1: Một lớp học có 40 học sinh. Thầy giáo chủ nhiệm muốn chọn 3 bạn làm vệ sinh lớp học. Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách chọn? Ví dụ 2: Trong mặt phẳng cho 10 điểm phân biệt sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi: a) Có thể tạo ra được bao nhiêu tam giác từ các điểm đã cho? b) Có thể tạo ra được bao nhiêu tứ giác từ các điểm đã cho? c) Có thể tạo ra được bao nhiêu véctơ (khác véctơ không) từ các điểm đã cho? Ví dụ 3: Trong mặt phẳng có bao nhiêu hình bình hành được tạo nên từ 4 đường thẳng song song với nhau cắt 6 đường thẳng song song khác? Ví dụ 4: Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2. Ví dụ 5: Tìm n biết An3  Cnn2  14n Ví dụ 6: Chứng minh Ckn  Cnnk (0  k  n) Ví dụ 7: Chứng minh Ckn11  Ckn1  Cnk (1  k  n) 3. Tính chất của các số C nk Tính chất 1: Ckn  Cnnk (0  k  n) Tính chất 2: Ckn11  Ckn1  Cnk (1  k  n) NHỊ THỨC NIU-TƠN I. KHAI TRIỂN NIU-TƠN 1. Khai triển ( a  b ) n (a  b)n  Cn0 an  C1nan1b  Cn2an2b2  ...  Cknankbk  ...  Cnnbn Số hạng tổng quát thứ k+1: Tk 1  Cknank bk 2. Khai triển ( a  b ) n (a  b)n  Cn0an  C1nan1b  Cn2an2b2  ...  (1)k Cknankbk  ...  (1)n Cnnbn Số hạng tổng quát thứ k+1: Tk 1  (1)k Cknank bk Ví dụ 1: Khai triển (a  b)6 Ví dụ 2: Khai triển (2x  1)4 II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ NHỊ THỨC NIU-TƠN 1. Tìm hệ số trong khai triển Niu-tơn 1026 Ví dụ 3: Tìm hệ số của x 1   trong khai triển  x 2  3  x   2013 Ví dụ 4: Tìm hệ số của x 4 trong khai triển  3x  2  7 150 3  Ví dụ 5: Tìm hệ số không chứa x trong khai triển  x 2   x  2. Chứng minh các hệ thức, tính tổng tổ hợp 0 2  315 C116  314 C16  ...  C16 Ví dụ 6: Tính tổng S  316 C16 16 Ví dụ 7: Chứng minh Cn0  2C1n  22 Cn2  ...  2n1 Cnn1  2n Cnn  3n 1  24n2 Ví dụ 8: Chứng minh C14n  C34n  C54n  ...  C2n 4n PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ I. PHÉP THỬ VÀ KHÔNG GIAN MẪU 1. Phép thử Một thí nghiệm, một phép đo hay một sự quan sát hiện tượng nào đó,… được hiểu là phép thử. Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó. 2. Không gian mẫu Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là Ω (đọc là o-mê-ga). Ví dụ 1: Gieo một đồng tiền. Mô tả không gian mẫu. Ví dụ 2: Gieo một con súc sắc. Mô tả không gian mẫu. Ví dụ 3: Gieo một con súc sắc hai lần. Mô tả không gian mẫu. Ví dụ 4: Gieo một con súc sắc. II. BIẾN CỐ 1. Định nghĩa Biến cố là một tập con của không gian mẫu Ví dụ 5: Gieo một đồng tiền 3 lần. Xác định các biến cố sau: A: “Kết quả 3 lần gieo là như nhau” B: “Hai lần đầu xuất hiện mặt sấp” C: “Lần cuối xuất hiện mặt ngửa” 2. Phép toán trên các biến cố Giả sử A, B là hai biến cố liên quan đến một phép thử. Tập  \ A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A Tập A  B được gọi là hợp của hai biến cố A và B Tập A  B được gọi là giao của hai biến cố A và B Nếu A  B   thì ta nói A và B xung khắc Ví dụ 6: Gieo một đồng tiền 3 lần. a) Mô tả không gian mẫu. b) Xác định các biến cố sau: A: “Kết quả 3 lần gieo là như nhau” B: “Hai lần đầu xuất hiện mặt sấp” C: “Lần cuối xuất hiện mặt ngửa” c) Xác định biến cố đối của biến cố A d) Xác định biến cố B  C,B  C Ví dụ 7: Trong một hộp chứa 4 cái thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ. a) Mô tả không gian mẫu. b) Xác định các biến cố sau: A: “Tổng các số trên hai thẻ là số chẵn” B: “Tổng các số trên hai thẻ là số lẻ” Ví dụ 8: Từ một hộp chứa 5 quả cầu được đánh số 1, 2, 3, 4, 5. Lấy ngẫu nhiên liên tiếp hai lần mỗi lần một quả và ghi số theo thứ tự từ trái qua phải (quả cầu được trả vào hộp sau khi lấy ra). a) Mô tả không gian mẫu. b) Xác định các biến cố sau: A: “Hai chữ số bằng nhau” B: “Chữ số sau gấp đôi chữ số trước” C: “Chữ số sau lớn hơn chữ số trước” XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ I. ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT Ví dụ 1: Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất. A: “Xuất hiện mặt có số chấm là số lẻ” B: “Xuất hiện mặt có số chấm không nhỏ hơn 2” C: “Xuất hiện mặt có số chấm là số nguyên tố” 1. Định nghĩa Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử với không gian mẫu Ω chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số n(A) là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A) n() P(A)  n(A) n() Trong đó: n(A) là số phần tử của biến cố A n() là số phần tử của không gian mẫu  Ví dụ 2: Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền cân đối và đồng chất 3 lần. Tính xác suất của các biến cố sau: A: “Kết quả 3 lần gieo là như nhau” B: “Hai lần đầu xuất hiện mặt sấp” C: “Lần cuối xuất hiện mặt ngửa” Ví dụ 3: Xếp 3 nữ, 5 nam vào một dãy ghế theo hàng ngang. Tính xác suất sau cho không có hai nữ nào ngồi gần nhau. 2. Tính chất Giả sử A, B là biến cố liên quan đến một phép thử với không gian mẫu Ω chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Khi đó ta có định lí sau: P()  0;P()  1 0  P(A)  1 , với mọi biến cố A Nếu A và B xung khắc thì P(A  B)  P(A)  P(B) (công thức cộng xác suất) P(A  B)  P(A)  P(B)  P(A  B) (công thức cộng xác suất mổ rộng) Chú ý: Với mọi biến cố A, P(A)  1  P(A) Ví dụ 4: Một hộp chứa 5 bi xanh, 6 bi đỏ và 3 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 2 bi cùng lúc. Tính xác suất của các biến cố sau: A: “cả 2 bi đều là bi xanh” B: “cả 2 bi đều là bi đỏ” C: “cả 2 bi đều là bi vàng” D: “2 bi cùng màu” E : “2 bi khác màu” Ví dụ 5: Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất của các biến cố sau: A: “Lần thứ nhất xuất hiện mặt 1 chấm” B: “Lần thứ hai xuất hiện mặt 1 chấm” C: “Cả hai lần xuất hiện mặt 1 chấm” D: “Ít nhất một lần xuất hiện mặt 1 chấm” II. BIẾN CỐ ĐỘC LẬP, CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT Hai biến cố A, B được gọi là độc lập, nếu sự xảy ra của một trong hai biến cố không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia. A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P(A  B)  P(A).P(B) Ví dụ 6: Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 5 quả cầu xanh, 3 quả cầu đỏ. Hộp thứ hai chứa 4 quả cầu xanh, 6 quả cầu đỏ. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên 1 quả. a) b) c) d) Tính Tính Tính Tính xác xác xác xác suất suất suất suất sao sao sao sao cho cho cho cho hai hai hai hai quả quả quả quả cầu lấy ra cùng màu xanh. cầu lấy ra cùng màu đỏ. lấy ra cùng màu. cầu lấy ra khác màu. ÔN TẬP CHƯƠNG 2 I. QUY TẮC ĐẾM 1. Quy tắc cộng Để thực hiện công việc A ta có các phương án (trường hợp) A1 ; A2 ; A3 ;...Ak Phương án A1 có n1 cách thực hiện Phương án A2 có n2 cách thực hiện … Phương án Ak có nk cách thực hiện Khi đó, số cách thực hiện công việc A là: n1  n2  ...  nk 2. Quy tắc nhân Để thực hiện công việc A ta phải thực hiện các quá trình liên tiếp A1 ; A2 ; A3 ;...Ak Quá trình A1 có n1 cách thực hiện Quá trình A2 có n2 cách thực hiện … Quá trình Ak có nk cách thực hiện Khi đó, số cách thực hiện công việc A là: n1 .n2 ...nk II. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP 1. Hoán vị 2. Chỉnh hợp 3. Tổ hợp Ví dụ 1: Số 1800 có bao nhiêu ước nguyên dương Ví dụ 2: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ta có thể lập được bao nhiêu số a) Gồm 4 chữ số sao cho các chữ số kề nhau thì khác nhau? b) Gồm 4 chữ số theo thứ tự giảm dần từ trái qua phải? c) Gồm 4 chữ số theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải? III. NHỊ THỨC NIU-TƠN Ví dụ 3: Cho biết tổng các hệ số trong khai triển (x 2  1)n là 1024. Tìm hệ số của x12 trong khai triển    C   C  Ví dụ 4: Chứng minh: Cn2n  Cn0 2 1 n 2 2 n 2    ...  Cnn 2 IV. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ V. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Ví dụ 5: Có 4 bạn nam, 4 bạn nữ xếp vào 8 cái ghế chia làm 2 dãy đối diện nhau. Tính xác suất sao cho: a) Ngồi đối diện nhau là khác phái? b) Ngồi đối diện là kế bên khác phái? Ví dụ 6: Một hộp có 5 bi xanh, 4 bi đỏ, 6 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên cùng lúc 4 bi. Tính xác suất sao cho: a) 4 bi lấy ra có đúng 2 bi xanh. b) 4 bi lấy ra có ít nhất 1 bi xanh c) 4 bi lấy ra cùng màu. d) 4 bi lấy ra có đủ 3 màu. Ví dụ 7: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7. Xác định số phần tử của S. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn là số chẵn. PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC I. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương n (n  * ) , ta làm như sau: II. VÍ DỤ ÁP DỤNG Ví dụ 1: Chứng minh 1  2  3  ...  n  n(n  1) , n  2 * Ví dụ 2: Chứng minh với x  1 ta có: 1  x  x 2  ...  x n  xn1  1 , n  x 1 Ví dụ 3: Chứng minh 1  2  3  4  ...  2n  (2n  1)  n  1, n  Ví dụ 4: Chứng minh 2n2  2n  5, n  Ví dụ 5: Chứng minh 1  * 1 1 1   ...  n  n, n  3 7 2 1 * ,n  2 Ví dụ 6: Chứng minh 4n  15n  1 chia hết cho 9, n  * * * DÃY SỐ I. ĐỊNH NGHĨA 1. Định nghĩa dãy số Một hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu: u: * n * được gọi là một dãy số  u(n) 2. Định nghĩa dãy số hữu hạn Một hàm số u xác định trên tập M  {1,2,3,...,m},m  hữu hạn. Kí hiệu: u:M  n u(n) * được gọi là một dãy số II. Cách cho một dãy số Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát Dãy số cho bằng phương pháp mô tả Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi u1  1 un  un 1  2 (n  2) Ví dụ 1: Cho dãy số (un ) xác định bởi công thức  a) Viết năm số hạng đầu của dãy số b) Chứng minh un  2n  1 (bằng phương pháp quy nạp) u1  1 un  un 1  2n  1 (n  2) Ví dụ 2: Cho dãy số (un ) xác định bởi công thức  a) Viết năm số hạng đầu của dãy số b) Dự đoán công thức un và chứng minh bằng phương pháp quy nạp III. Dãy số tăng, dãy số giảm 1. Định nghĩa Dãy số (un ) được gọi là dãy số tăng nếu un 1  un với mọi n  * Dãy số (un ) được gọi là dãy số giảm nếu un 1  un với mọi n  * 2. Phương pháp khảo sát tính tăng, giảm của dãy số Ví dụ 3: Viết năm số hạng đầu và khảo sát tính tăng, giảm của các dãy số sau: a) un  n n 1 u1  1 b)  2 un  un 1  2 (n  2) Ví dụ 4: Cho dãy số (un ) xác định bởi công thức un  1  n 1 2n a) Khảo sát tính tăng giảm của dãy số b) Viết công thức truy hồi của dãy số IV. Dãy số số bị chặn u1  1  Ví dụ 5: Cho dãy số (un ) xác định bởi công thức  un 1 (n  2) un  u n 1  1  a) Chứng minh dãy số bị chặn b) Khảo sát tính tăng giảm của dãy số c) Tìm công thức tổng quát của dãy số CẤP SỐ CỘNG I. ĐỊNH NGHĨA Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. Nếu dãy số (un ) là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi sau: un1  un  d với n  * II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT - TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG 1. Số hạng tổng quát Cho cấp số cộng (un ) có số hạng đầu u1 và công sai d Khi đó số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức un  u1  (n  1)d với n  2 u1  1 Ví dụ 1: Cho cấp số cộng (un) biết  d  2 a) Tính u20 b) Số -99 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng? Ví dụ 2: Tìm số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng (un ) biết: u1  u3  u5  10 a)  u1  u6  7 u2  u7  26 b)  u2 .u4  65 2. Tính chất các số hạng của cấp số cộng Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó. uk  uk 1  uk 1 2 với k  2 Ví dụ 3: Tìm x sao cho ba số sau lập thành một cấp số cộng: 2x  3; x 2  1; 2x  1 III. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA CẤP SỐ CỘNG Cho cấp số cộng (un ) có số hạng đầu u1 và công sai d Đặt Sn  u1  u2  ...  un Khi đó: Sn  n n (u1  un )  2u1  (n  1)d 2 2 Ví dụ 4: Cho dãy số (un ) xác định bởi công thức un  2n  1 a) Chứng minh dãy số (un ) là cấp số cộng b) Tính tổng của 100 số hạng đầu của cấp số cộng c) Biết Sn  288 , tìm n Ví dụ 5: Cho cấp số cộng: 3, 6, 9,..., 3003,... . Tính tổng S  3  6  9  ...  3003 Ví dụ 6: Cho a2 ,b2 ,c2 lập thành một cấp số cộng (a,b,c  0) . Chứng minh: 1 1 1 , , cũng lập thành một cấp số cộng bc ac ab CẤP SỐ NHÂN I. ĐỊNH NGHĨA Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với một số không đổi q. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân Nếu dãy số (un ) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi sau: un1  un .q với n  * II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT - TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ NHÂN 1. Số hạng tổng quát Cho cấp số nhân (un ) có số hạng đầu u1 và công bội q Khi đó số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức un  u1 .qn1 với n  2 u  1 Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (un ) biết  1 q  2 a) Tính u11 b) Số 256 là số hạng thứ bao nhiêu của của cấp số nhân? Ví dụ 2: Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân (un ) biết:  u  u5  51 a)  1  u2  u6  102  u  u1  15 b)  5  u4  u2  6 2. Tính chất các số hạng của cấp số nhân Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó. uk2  uk 1 .uk 1 với k  2 Ví dụ 3: Hãy xác định a, b sao cho 1,a,b lập thành một cấp số cộng và 1,a2 ,b2 lập thành một cấp số nhân, biết a là số nguyên. III. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA CẤP SỐ NHÂN Cho cấp số nhân (un ) có số hạng đầu u1 và công bội q  1 Đặt Sn  u1  u2  ...  un . Khi đó: Sn  u1 . 1  qn 1q Nếu q  1 thì cấp số nhân là: u1 ,u1 ,u1 ,...,u1 ,.... Khi đó: Sn  n.u1 Ví dụ 4: Cho cấp số nhân (un ) biết u1  3, u5  48 . Tính tổng mười hai số hạng đầu tiên của cấp số nhân Ví dụ 5: Cho dãy số (un ) xác định bởi công thức un  (3) 2n1 a) Chứng minh dãy số (un ) là cấp số nhân b) Biết Sn  22143 , tìm n Ví dụ 6: Tính tổng S  1  11  111  ...  11...11 n so 1 Ví dụ 7: Cho a,b,c lập thành một cấp số nhân. Chứng minh: lập thành một cấp số cộng (b  0,a,c) 2 1 2 , , ba b bc ÔN TẬP CHƯƠNG 3 I. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương n (n  * ) , ta làm như sau: Ví dụ 1: Chứng minh 1  3  5  ...  (2n  1)  (n  1)2 , n  * II. DÃY SỐ 1. Định nghĩa dãy số Một hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N* được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu u : *  n u(n) Một hàm số u xác định trên tập M = 1,2,3,...,m ,m  N* được gọi là một dãy số hữu hạn. Kí hiệu u : M  n u(n) 2. Cách cho một dãy số Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát Dãy số cho bằng phương pháp mô tả Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi 3. Dãy số tăng, dãy số giảm 4. Dãy số bị chặn Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho: un  M, n  N* Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho: un  m, n  N* Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới tức là tồn tại số m, M sao cho: m  un  M, n  * Ví dụ 2: Cho dãy số (un ) xác định bởi công thức un  2n  3 3n  2 a) Chứng minh dãy số bị chặn b) Khảo sát tính tăng, giảm của dãy số. III. CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN Ví dụ 3: Tìm ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 15 và tổng bình phương của chúng bằng 83 Ví dụ 4: Gọi Sn là tổng của n số hạng đầu của dãy số (un ) . Biết Sn  n(n  1) , chứng minh (un ) là cấp số cộng  u1  u3  u5  65  u1  u7  325 Ví dụ 5: Cho cấp số nhân (un ) biết  a) Tìm số hạng đầu u1 và cộng bội q của cấp số nhân b) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân Ví dụ 6: Cho các số dương a1 ,a2 ,a3 ,...an lập thành một cấp số cộng Chứng minh 1 a1  a2  1 a2  a3  ...  1 an1  an  n 1 a1  an ÔN TẬP HỌC KÌ 1 I. CHƢƠNG 1 1. Hàm số lƣợng giác Hàm số y=sinx; y=cosx; y=tanx; y=cotx Tập xác định Tập giá trị Tính chẵn lẻ Tính tuần hoàn Tính đồng biến, nghịch biến 2. Phƣơng trình lƣợng giác 4 phương trình lượng giác cơ bản 6 phương trình lượng giác thường gặp II. CHƢƠNG 2 1. Quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp 2. Nhị thức Niu-tơn 3. Phép thử, biến cố, xác suất của biến cố III. CHƢƠNG 3 1. Phƣơng pháp quy nạp toán học Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương n (n  * ) , ta làm như sau: 2. Dãy số Định nghĩa dãy số Cách cho một dãy số Dãy số tăng, dãy số giảm Dãy số bị chặn 3. Cấp số cộng-Cấp số nhân IV. ĐỀ ÔN TẬP Bài 1: Tìm tập xác định của hàm số: y = x cos x 1 + tan x Bài 2: Giải phương trình: a) sin5x cos 3x = sin8x cos 6x b) cos2 x - sin2 x = sin3x + cos 4x Bài 3: Chứng minh 1 1 1 1 n + + +...+ = , n  N* 1.3 3.5 5.7 (2n  1).(2n  1) 2n  1 Bài 4: Cho n là số nguyên dương thỏa 5Cnn1 = Cn3 n  nx 2 1  -  , x  0 Tìm số hạng chứa x5 trong khai triển   14 x  Bài 5: Có bao nhiêu số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và trong đó phải có mặt chữ số 1 Bài 6: Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 5 quả cầu xanh, 4 quả cầu đỏ. Hộp thứ hai chứa 4 quả cầu xanh, 6 quả cầu đỏ. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên 1 quả. Tính xác suất để được hai bi cùng màu. Bài 7: Ba số lập thành một cấp số cộng có tổng là 24, nếu cộng thêm vào các số đó theo thứ tự là 3, 4, 11 thì ta được ba số mới tạo thành một cấp số nhân. Tìm ba số đó. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ (Phần 1) I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ 1. Định nghĩa Định nghĩa 1 Dãy số (un ) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim un  0 hoặc un  0 khi n   n  Chú ý: Dãy số có giới hạn có thể không đơn điệu Định nghĩa 2 Dãy số (v n ) có giới hạn là a (hay vn dần tới a) khi n + nếu lim  v n  a   0 n  Kí hiệu: lim v n  a hoặc vn  a khi n   n 2. Một vài giới hạn đặc biệt lim 1 0 n lim 1  0 (k là nguyên dương) nk limqn  0; q  1 limc  c (c là hằng số) Chú ý: Từ nay về sau ta sẽ viết lim un = a thay vì lim un = a n II. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN 1. Định lí a. Nếu limun = a và limvn =b thì lim  un  v n   a  b lim  un  v n   a  b lim  un v n   ab lim un a  b  0  vn b b. Nếu un  0 n và limun  a thì a  0 và lim un  a 2. Ví dụ Ví dụ 1: Tính lim 2n  3n3  1 n3  n2 Ví dụ 2: Tính lim 2n2  3n  1 n2  n4  5 Ví dụ 3: Tính lim 2n n n  2n  1 Ví dụ 4: Tính lim 1  2  3  ...  n 1  n3 Ví dụ 5: Tính lim 3n  4n  1 2.4n  2n Ví dụ 6: Tính lim 3.4n  2.3n1 5n1  2.4n 2 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ (Phần 2) III. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN 1. Định nghĩa Cho cấp số nhân vô hạn (un ) có công bội q, nếu q  1 thì (un ) được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. 2. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Cho cấp số nhân lùi vô hạn (un) có công bội q S  u1  u2  ...  un  ...  u1 1q Ví dụ 1: a)Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un ) với un  1 3n n b) Tính tổng A  1  1 1 1  1     ...     ... 2 4 8  2  Ví dụ 2: Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a=1,020202…(chu kì 02) Hãy viết a dưới dạng phân số. IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC 1. Định nghĩa Ta nói dãy (un ) có giới hạn  khi n   nếu un có thể lớn hơn số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: limun   hay un   khi n   Ta nói dãy (un ) có giới hạn  khi n   nếu lim(un )   Kí hiệu: limun   hay un   khi n   2. Một số giới hạn dặc biệt limnk   n nguyên dương limqn   nếu q>1 3. Định lí Định lí 3: a) Nếu limun=a và lim vn   thì lim un 0 vn b) Nếu limun=a >0, lim vn=0 và vn  0n thì lim un   vn c) Nếu limun   và limvn=a>0 thì limun vn    Ví dụ 3: Tính lim n3  2n2  n  1  Ví dụ 4: Tính lim n2  5n  2 Ví dụ 5: Tính lim  n3  2n  1 n2  1  Ví dụ 7: Tính lim  Ví dụ 6: Tính lim Ví dụ 8: Tính limn Ví dụ 9: Tính lim    n  n n2  n  n n2  n2 - n - n2 + n 5n  2.4n 2n  5.4n  GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (Phần 1) I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 1. Định nghĩa Định nghĩa 1 Giả sử (a; b) là khoảng chứa điểm x0 và f là một hàm xác định trên (a; b)\ {x0} Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần tới x0 (hay tại điểm x0) nếu với mọi dãy số (xn) trong tập hợp (a; b)\{x0} (tức là xn  (a; b) và xn  x0 n) mà lim xn = x0 ta đều có lim f(xn) = L. Kí hiệu: lim f(x) = L hay f(xn) L khi xn x0 x x0 Nhận xét: Nếu f(x) = c với x  R, trong đó c là hằng số thì với x0  R, lim f(x) = c x x0 Nếu f(x) = x với x  R, thì với x0  R, lim f(x) = x 0 x x0 2. Định lí về giới hạn hữu hạn của hàm số a. Giả sử lim f  x  = A và lim g  x  = B . Khi đó: x x0 x x0 lim  f  x  + g  x  = A + B lim  f  x  .g  x  = A.B x x0 x x0 lim  f  x  - g  x  = A - B x x0   f x  A lim  = x x0 g  x    B b. Nếu f(x)  0 và lim f  x  = A thì A  0 và lim x x0 x x 0 B  0  f x = A (Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn, với x  x0) x 2  3x x 1 x 2  1 Ví dụ 1: Tính lim x2  x x 1 x  1 Ví dụ 2: Tính lim x 2 2 x2  4 Ví dụ 3: Tính lim x 2 x2  8  3 Ví dụ 4: Tính lim x 1 1 x  2 3. Cách sử dụng sơ đồ Horner để phân tích đa thức thành nhân tử x3  5  2 x 1 x 4  3x 2  2 Ví dụ 5: Tính lim II. GIỚI HẠN VÔ HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 1. Định nghĩa Định nghĩa 2 Giả sử (a; b) là khoảng chứa điểm x0 và f là một hàm xác định trên (a; b)\ {x0}  lim f(x) = +   (xn ), x n  (a;b) \ x 0  x x 0 mà lim xn = x0 thì lim f(xn) =+  lim f(x) = -   (xn ), x n  (a;b) \ x 0  x x 0 mà lim xn = x0 thì lim f(xn) =- 2. Quy tắc tìm giới hạn Ví dụ 6: Tính lim f x  g x  3x - 5 x 2  x - 2 Ví dụ 7: Tính lim 3x  5 x2 x 2 2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (Phần 2) III. GIỚI HẠN MỘT BÊN 1. Định nghĩa Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (x0; b) Số A được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi x  x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, x0 < xn < b và xn  x0, ta có f(xn)  A. Kí hiệu: lim+ f  x  = A x x0 Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a; x0) Số A được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi x  x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, a < x0 < xn và xn  x0, ta có f(xn)  A. Kí hiệu: lim f  x  = A x x0 Định lí: lim f  x  = A khi và chỉ khi lim- f  x  = lim+ f  x  = A x x0 Ví dụ 1: x x 0 x x 0 5x + 2 nếu x  1 f x =  2  x - 3 nếu x  1 Tính lim f  x  ; lim f  x  ; lim f  x  (nếu có) x 1 Ví dụ 2: Tính limx 1 x 1 x 1 2x - 7 x -1 IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC 1. Định nghĩa 1 a. Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; +) Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x  + nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn  +, ta có f(xn)  L. Kí hiệu: lim f  x  = L hay f(x)  L khi x  + x  b. Cho hàm số y = f(x) xác định trên (-; a) Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x  - nếu với dãy số (xn) bất kì, xn < a và xn  -, ta có f(xn)  L. Kí hiệu: lim f  x  = L hay f(x)  L khi x  - x  Chú ý: lim c = c; lim x  x  c = 0 (c là hằng số và k là số nguyên dương) xk Định lí về giới hạn hữu hạn của hàm số khi x  x0 vẫn còn đúng khi x  + hoặc x  - 3x 2 - 5x x  -x 2 + 2 Ví dụ 3: Tính lim 2. Định nghĩa 2 Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; +) Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là + khi x  + nếu với dãy số (xn) bất kì, xn>a và x  +, ta có f(xn)  +. Kí hiệu: lim f  x  = + hay f(x)  + khi x  + x  Nhận xét: lim f  x  = +  lim  f  x   = - x  x  Một vài giới hạn đặc biệt:  Ví dụ 4: Tính lim 3x 3 - 5x x   4 - x2 x  x + 2 Ví dụ 5: Tính lim  4x  x  2x  lim  4x - x + 2x  Ví dụ 6: Tính lim 2 Ví dụ 7: Tính 2 x  x -  4x 2 - x + 2x 3x - 1 Ví dụ 8: Tính lim x -  Ví dụ 9: Tính lim x   4x 4 - x - 2x 2 + 3x - 1  HÀM SỐ LIÊN TỤC I. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM Định nghĩa 1 Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0  (a; b) Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu lim f  x  = f  x 0  x x0 Hàm số y = f(x) không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn tại điểm đó. Nhận xét: lim f  x  = f  x 0   lim+ f  x  = lim- f  x  = f  x 0  x x 0 x x0 x x0 Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = x2 tại x=1. -x 2  2  Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số f  x  =  2  2 -x  2 nếu x  -1 nếu - 1  x  1 tại x=1 nếu x  1  2x + 5 - x + 7  ;x2 x-2  3a +1; x=2  Ví dụ 3: f(x) =  Tìm a để hàm số liên tục tại x=2. II. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG Định nghĩa 2 Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó. Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục tại mọi điểm trên khoảng (a; b) và lim+ f  x  = f  a , lim- f  x  = f b  x a x b Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền nét trên khoảng đó III. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN Định lí 1 Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng. Định lí 2 Giả sử y = f(x) và y= g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0. Khi đó: Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) - g(x) và y = f(x).g(x) liên tục tại x0 Hàm số y = f x gx liên tục tại x0 nếu g(x0)  0 Ví dụ 4: Hãy xác định các khoảng mà trên đó hàm số liên tục: a) f  x  = x +1 x +x-6 2 b) g  x  = tanx + sinx  2x 2  2x ; x 1  Ví dụ 5: Cho hàm số f  x  =  x  1  5 ; x 1  Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó Định lí 3 Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0, thì tồn tại ít nhất một điểm c  (a; b) sao cho f(c) = 0. Định lí 3 được phát biểu dưới dạng khác Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0, thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a; b). Ví dụ 6: Chứng minh rằng phương trình x3 + 2x – 5 = 0 có ít nhất một nghiệm Ví dụ 7: Chứng minh rằng phương trình 2x3-6x+1=0 có ít nhất hai nghiệm Ví dụ 8: Chứng minh phương trình (m2+m+1)x3+2x-2=0 luôn có nghiệm (m là tham số) ÔN TẬP CHƯƠNG 4 I. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 1. Tính giới hạn dãy số Một số giới hạn đặc biệt lim 1 nk = 0 với k nguyên dương limqn = 0, q  1 lim c = c lim nk = + k nguyên dương lim qn = + q  1 Định lí 1 a. Nếu limun = a và limvn =b thì lim  un  v n   a  b lim  un  v n   a  b lim  un v n   ab lim un a  b  0  vn b b. Nếu un  0 n và limun  a thì a  0 và lim un  a Định lí 2 a) Nếu limun=a và lim vn   thì lim un 0 vn b) Nếu limun=a>0, lim vn=0 và vn  0 n thì lim un   vn c) Nếu limun   và limvn=a>0 thì limun vn   2. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Cho cấp số nhân lùi vô hạn (un) có công bội q. S = u1 + u2 +…+ un +…là tổng của u cấp số nhân lùi vô hạn. Khi đó: S = 1  q  1 1-q II. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Giới hạn của hàm số tại một điểm Giới hạn của hàm số tại vô cực Giới hạn một bên III. HÀM SỐ LIÊN TỤC Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, khoảng, đoạn Hàm số y = f(x) liên tục tại x0 nếu lim f  x  = f  x 0  x x0  lim+ f  x  = lim- f  x  = f  x 0  x x0 x  x0 Sử dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c  (a; b) sao cho f(c) = 0. Ví dụ 1: Tính lim 2n+1 - 3.5n + 3 3.2n + 7.4n Ví dụ 2: Tính lim  Ví dụ 3: Tính lim 1 + a + a2 +...+ an 1 + b + b2 +...+ bn Ví dụ 4: Tính lim n2 + 3n - n + 2 x3 - 1  x +1  x 2 + 3x  x  Ví dụ 7: Tính lim+ x 0 Ví dụ 8: Tính lim x 1 3 x 2 + 5x x -  Ví dụ 6: Tính lim a  1, b  1 x 2 - 5x + 3 x -  Ví dụ 5: Tính lim   x 2 + 5x + 4x 2 - 1 - 3x  x +1 - 1 4 - x 2 +16 x +3 - 3 x +7 x -1  -x 3 + 5x 2 - 5x - 3 ;x3  Ví dụ 9: Tìm a để hàm số f  x  =  x-3 a + 4x ;x3  liên tục tại x=3 Ví dụ 10: Chứng minh phương trình sau có nghiệm (m là tham số) msin6x + 3  sinx - cos6x  = 0 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM I. ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM 1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0  (a; b): Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) lim x  x0 f(x)  f(x 0 ) , thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x  x0 điểm x0 , kí hiệu là f’(x0) hay y’(x0), tức là: f(x)  f(x 0 ) y  lim (x = x – x0, y = f(x0 + x) – f(x0)) x 0 x x  x0 f '(x 0 )  lim x  x0 2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa Quy tắc 1: Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 bằng định nghĩa ta thực hiện các bước:  Bước 1: Giả sử x là số gia của đối số tại x0. Tính y = f(x0 + x) – f(x0).  Bước 2:Lập tỉ số y x y y . Kết luận f '  x 0   lim x 0 x x  0 x  Bước 3: Tính lim Quy tắc 2: Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 bằng định nghĩa ta thực hiện các bước:  Bước 1:Tính f  x 0  . Tính f  x   f  x 0   Bước 2:Tìm lim x  x0 f(x)  f(x 0 ) f(x)  f(x 0 ) .Kết luận f '(x 0 )  lim x  x0 x  x0 x  x0 Ví dụ 1: Tính bằng định nghĩa đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm đã chỉ ra f(x) = x2 + 3 tại x0 = –1 1 f(x) = tại x0 = 1 2x  1 f(x) = x  2 tại x0 = 2 f(x) = 3x 2  1 tại x0 = -1 1 f(x) = tại x0 = 1 3x  1 f(x) = x  3 tại x0 = 7 3. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó. 4. Ý nghĩa của đạo hàm Ý nghĩa hình học:  f (x0) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M  x 0 ;f(x 0 )  .  Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M  x 0 ; y 0  là: y – y0 = f (x0).(x – x0) Ý nghĩa vật lí:  Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = s(t) tại thời điểm t0 là v(t0) = s(t0).  Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q(t) tại thời điểm t0 là I(t0) = Q(t0). Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) = x3. Dùng định nghĩa tính f’(1). Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M0(1; 1) và có hệ số góc bằng f’(1) Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) = x3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(1; 1) II. ĐẠO HÀM TRÊN MỘT KHOẢNG Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a;b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó. Khi đó đạo hàm của hàm số y = f(x) trên khoảng (a;b), kí hiệu là y’ hay f’(x) Ví dụ: Hàm số y = x2 có đạo hàm y’ = 2x trên khoảng (– ; + ) QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM I. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM THƯỜNG GẶP C '  0 x'  1 (x  R)  x   n.x n ' n 1 (n  N* ; x  R) Ví dụ: Tìm đạo hàm của các hàm số sau 1) y  x5 2) y  x 20 3) y  2014 II. ĐẠO HÀM CỦA HÀM TỔNG – HIỆU – TÍCH – THƯƠNG Bảng đạo hàm Giả sử u  u  x  , v  v(x) là các hàm số có đạo hàm tại 1 điểm x thuộc khoảng xác định. u  v  '  u' v ' u  v  '  u' v ' uv  '  u' v  uv ' '  u  u' v  uv ' v  v2   ku '  k.u'  v  v(x)  0  (k là hằng số) Ví dụ 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau 1) y = 5x3 - 2x5 + 2014 2) y = -x 3 x 3) y = 6) y = x 4 2x 3 4x 2 + -1 2 3 5  4) y = 3x5 8 - 3x 2  5) y = x 2 - x x + 1 2x x2 -1 7) y = 5x - 3 2 x + x +1  8) y = x 2 + 1  2 III. ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP Bảng đạo hàm HÀM SỐ Hằng CÔNG THỨC 1 C '  0 x'  1 Lũy thừa CÔNG THỨC 2 ( x  R)  x   n.x ( n  N* ; x  R) u   n.u (   R;x  0) u   .u 1 1 x  2 x   ( x  0) 1 1  u    2  u' u   ( u  0)  x   2 1x ( x  0)  u   2u'u ( u  0) n ' n 1  x   .x '  1 ' n ' n 1 '   u' 1 .u' ' Ví dụ 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau   10 2) y = x 2 + x Ví dụ 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau 1) y = 2 - 5x - x 2 3) y = 5) y = 2) y = x 2 a -x 1+ x 1- x (   R;u  0) ' ' 1) y = x 2 + 3 ( n  N* ;u  R) x2 +1 x 4) y = 2 - 5x - x 3 2 6)y = x3 a2 - x 2 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ y = sinx, y = cosx  sin x '  cos x (x  R)  sinu'  u'.cos u (u  R)  cos x '   sin x (x  R)  cos u'  u'.sinu (u  R) Ví dụ 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau   1) y = 2 sin 3x 2 2) y = sin x 3) y = cos 5x + 1 4) y = s inx    x  + k,k    cosx  2  II. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ y = tanx, y = cotx  tan x '   tanu'  1  1  tan2 x (x    k) 2  u'.(1  tan2 u) (u    k) 2 2 cos x u' 2 cos u  cot x '    cot u'   1 2 sin x u' 2 sin u    1  cot 2 x    u'. 1  cot 2 u (x  k)  (u  k) Ví dụ 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau  1) y = tan x 2 + 1  2) y = x.cot 2x  3) y = cot 3 x 2 -1  III. VÍ DỤ ÁP DỤNG Ví dụ 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau 1) y = 1 + 2 tan x 2) y = x.cotx 3) y = tan3x - cot3x 4) y = sin x + cos x sin x - cos x 5) y = x.cos 2 + 3x 2 Ví dụ 4: Chứng minh rằng hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x: y  sin6 x  cos6 x  3sin2 x.cos2 x Ví dụ 5: Cho hàm số y  sin2 x  cos x 1) Tính y’ 2) Giải phương trình y’ = 0  Ví dụ 6: Cho hàm số y = f(x) = sin x + 2 . Tính f '  0  , f '   6   VI PHÂN VÀ ĐẠO HÀM CẤP HAI I. ĐỊNH NGHĨA VI PHÂN Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và có đạo hàm tại x  (a; b). Giả sử x là số gia của x. Ta gọi tích f’(x).x là vi phân của hàm số y = f(x) tại x ứng với số gia x, kí hiệu df(x) hoặc dy, tức là: dy = df(x) = f’(x). x Ví dụ 1: Tìm vi phân của các hàm số sau 1) y  x 3  5x  1 2) y  sin3 x 3) y  x.cot 2 x II. ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM CẤP HAI 1. Định nghĩa đạo hàm cấp hai Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mỗi điểm x  (a; b). Khi đó, hệ thức y’ = f’(x) xác định hàm số mới trên khoảng (a; b). Nếu hàm số y’ = f’(x) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của hàm số y’ là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) và kí hiệu là: y’’ hoặc f’’(x) Ví dụ 2: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: 2) y  x 3  5x 2  4x 1) y  s in3x 6 3) y   x  10  4) y = x -3 x+4 Ví dụ 3: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: a) y = x 1 + x 2 Ví dụ 4: Cho hàm số y = b) y = tanx x -3 . Chứng minh 2 y '2 = (y – 1)y’’ x+4 Cho hàm số y = cosx. Chứng minh: 2(cosx – y’) + x(y’’ + y’) 1 3 Ví dụ 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f  x  = x 3 - 2x 2 + 3x (C) tại điểm có hoành độ x 0 biết f ''  x 0   0 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f  x  = 1 4 x - 2x 2 (C) 4 tại điểm có hoành độ x 0 biết f ''  x 0   1 ( Tốt nghiệp 2012) 2. Đạo hàm cấp cao Đạo hàm cấp ba của hàm số y = f(x) được định nghĩa tương tự và kí hiệu là y’’’ hoặc f’’’(x) hoặc f(3)(x) Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp n – 1,kí hiệu là f Nếu f (n – 1) (x), (n  ,n  4) (n – 1) (x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó gọi là đạo hàm cấp n của f(x), kí hiệu là y(n) hoặc f(n)(x). Khi đó: f (n) (x) = (f (n-1) (x)) ' III. Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM CẤP HAI Xét chuyển động xác định bởi phương trình s = f(t), trong đó s = f(t) là một hàm số có đạo hàm đến cấp hai Vận tốc tức thời tại t của chuyển động là v(t) = f’(t) Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t là (t) = f’’(t)  3 Tìm gia tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động Ví dụ 6: Xét chuyển động có phương trình s(t) = 3sin(10t + ) . ÔN TẬP CHƯƠNG 5 I. BÀI TẬP VỀ ĐẠO HÀM Bài tập 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = b) y = c) y =   2  x - 1  + 3x  x   5 + 7x - x 2 x 2 - 3x t 2 + 2cost sint II. BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Bài tập 1: a) Cho hàm số y = f(x) = x3 + 3x2 – 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng –1 (Trích đề cao đẳng 2010) b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 2x - 3 C x +1 tại điểm có tung độ y0 = 7 1 3 của đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị (C) với trục tung Bài tập 2: a) Cho hàm số y = f  x  = - x 3 + 2x 2 - 3x + 1(C) . Viết phương trình tiếp tuyến x 2 - 3x + 2 (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của x +2 đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành b) Cho hàm số y = f  x  = c) Cho hàm số y = (1 - x)2 .(4 - x)  C  . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị (C) với: - Trục hoành - Trục tung Bài tập 3: Cho hàm số y = x +2 C 3- x 1) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song đường thẳng d: y = 5x – 6 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng d: x + 5y – 2013 = 0 Bài tập 4: 1) Cho hàm số y = -x 4 - x 2 - 6  C  . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng d: y = 1 x -1 6 2x + 3  C  . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) x +1 biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng: y = x + 2 2) Cho hàm số y = ÔN THI HỌC KÌ 2 I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. Giới hạn 2. Hàm số liên tục 3. Đạo hàm II. BÀI TẬP Bài tập 1: Tính: 1 - n94 1 - 2n2  3 a)lim 5n100 + 4 b)lim 5n+2 - 3.3n+1 3n+2 + 5n+3 n 1 Bài tập 2: a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (uN) với un =   2 b) Tính tổng A = 1 + 0,9 + (0,9)2+ … + (0,9)n + … Bài tập 3: Tính: a) lim x 1 x 2 + 3x - 2 3 - x2 + x + 7 -3x + 5 b) lim + x -3 x 3 → c)lim  4x 2 - 5x - 2x + 7  x +∞    x³ - x² + 2x - 2 khi x  1  x -1 Bài tập 4: Cho hàm số f(x) =  . 2x 2 + a2 x khi x = 1  Tìm a để hàm số liên tục tại x = 1 Bài tập 5: Tính đạo hàm của các hàm số sau:  2 a) y = 2x + 5x + 1 c) y ' =  2 x +2  2x + 12  2x 2 - 6x + 1 x 2 -x  2 9  2   1 1  b) y ' = 10  + x  .+   x   x x 2 x d) y = cos2  sin3x  x 2 - 3x + 2  C  . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) x +1 biết tiếp tuyến song song đường thẳng d: y = –5x – 2014 Bài tập 6: Cho hàm số f(x) = ĐẠI CƢƠNG VỀ ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG (PHẦN 1) I. KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 1. Mặt phẳng Mặt phẳng không có bề dày và không có giới hạn. Ta dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hy Lạp đặt trong dấu ngoặc () để ghi tên mặt phẳng. Cách biểu diễn trong không gian: Dùng hình bình hành hay một miền góc và ghi tên mặt phẳng vào một góc của hình biểu diễn. 2. Điểm thuộc mặt phẳng Điểm A thuộc mặt phẳng    được kí hiệu: A     . Điểm B không thuộc mặt phẳng    được kí hiệu: B     . 3. Một số quy tắc cơ bản biểu diễn hình học trong không gian Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng. Hình biểu diễn của 2 đường thẳng cắt nhau là 2 đường thẳng cắt nhau. Hình biểu diễn của 2 đường thẳng song song là 2 đường thẳng song song. Hình biểu diễn của đoạn thẳng là đoạn thẳng. Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng. Đường nhìn thấy được vẽ bằng nét liền. Đường bị che khuất được vẽ bằng nét đứt. II. CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHẬN Tính chất 1. Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt. Tính chất 2. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng. Tính chất 3. Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó. Nếu mọi điểm của đường thẳng d đều thuộc mặt phẳng    thì ta nói đường thẳng d nằm trong    hay    chứa d. Kí hiệu d     . Tính chất 4. Tồn tại 4 điểm không thuộc cùng một mặt phẳng. Những điểm cùng thuộc một mặt phẳng là những điểm đồng phẳng. Những điểm không cùng thuộc một mặt phẳng là những điểm không đồng phẳng. Tính chất 5. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa. Đường thẳng chung d của hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Tính chất 6. Trên một mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng. III. CÁC CÁCH XÁC ĐỊNH MẶT PHẲNG 3 điểm không thẳng hàng xác định một mặt phẳng. Kí hiệu mp(ABC). 1 điểm và 1 đường thẳng không chứa nó xác định một mặt phẳng. Kí hiệu mp(A, d). 2 đường thẳng cắt nhau xác định một mặt phẳng. Kí hiệu mp(d’, d). Ví dụ 1: Trong mp () lấy bốn điểm A, B, C, D sao cho ABCD là tứ giác lồi có các cặp cạnh đối không song song. Gọi S là điểm nằm ngoài mp(). Tìm giao tuyến của các mặt phẳng a) (SAD) và (SCD) b) (SBD) và (SAC) Ví dụ 2: Trong không gian cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi O là một điểm ở miền trong của tam giác BCD; M, N lần lượt là hai điểm trên các cạnh AD, AC sao cho MN không song song với CD. a) Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD). b) Tìm giao điểm của BC và (OMN). IV. HÌNH CHÓP VÀ HÌNH TỨ DIỆN 1. Hình chóp Hình gồm đa giác A1 A2 ...An và n tam giác SA1 A2 , SA2 A3 ,..., SAn A1 được gọi là hình chóp SA1 A2 ...An Đỉnh S, mặt đáy là A1 A2 ...An . Các cạnh của đa giác đáy là cạnh đáy. n tam giác SA1 A2 , SA2 A3 ,..., SAn A1 là các mặt bên. Các đoạn thẳng SA1 , SA2 ,...,SAn là các cạnh bên. 2. Hình tứ diện Hình chóp tam giác còn được gọi là hình tứ diện (tứ diện). Tứ diện có các cạnh bằng nhau được gọi là tứ diện đều. ĐẠI CƢƠNG VỀ ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG (PHẦN 2) I. XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN GIỮA HAI MẶT PHẲNG 1. Phƣơng pháp Tìm 2 điểm chung của 2 mặt phẳng. Đường thẳng đi qua 2 điểm đó là giao tuyến cần tìm. 2. Ví dụ Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song. M là điểm trên đoạn SD. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng: a) (SAB) và (SCD). b) (MBC) và (SAD). Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của hai đoạn AD và BC. a) Tìm giao tuyến của (IBC) và (KAD). b) Gọi M, N lần lượt là hai điểm lấy trên hai đoạn thẳng AB và AC. Tìm giao tuyến của (IBC) và (DMN). (Bài 7/54 – SGK Hình học 11) Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm trên BC, CD và SO. a) Tìm giao tuyến của (MNP) và (SAC). b) Tìm giao tuyến của (MNP) và (SAD). II. XÁC ĐỊNH GIAO ĐIỂM GIỮA ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 1. Phƣơng pháp Để tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P), ta làm như sau: Chọn mặt phẳng (Q) chứa d (giao tuyến của (Q) và (P) có sẵn hoặc dễ tìm). d’ d Tìm giao tuyến d’ của 2 mặt phẳng (P) và (Q) (nếu chưa có sẵn giao tuyến). Giao điểm của d và d’ là giao điểm của d và (P). P Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD có các cặp cạnh đối không song song. Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên SD và SB sao cho MN không song song với BD. Tìm giao điểm của: a) MN và (ABCD). b) MN và (SAC). Q Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai đoạn AC và BC. Trên đoạn BD, lấy P sao cho NP và CD cắt nhau. Tìm giao điểm của: a) CD và (MNP). b) AD và (MNP). Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm trên AB và SC. a) Tìm giao điểm I của AN và (SBD). b) Tìm giao điểm K của MN và (SBD). ĐẠI CƢƠNG VỀ ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG (PHẦN 3) III. XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN TẠO BỞI MẶT PHẲNG VÀ HÌNH CHÓP 1. Phƣơng pháp Để xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) và hình chóp, ta làm như sau: Xác định các giao tuyến của (P) với các mặt bên hoặc mặt đáy của hình chóp. Khi các giao tuyến khép kín tạo thành một đa giác thì đa giác đó là thiết diện cần tìm 2. Ví dụ Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, BC. Trên đoạn thẳng CD, lấy điểm M sao cho KM không song song với BD. Tìm thiết diện của mặt phẳng (HKM) và tứ diện ABCD. Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD. P là một điểm bất kì trên đoạn SA. Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD và mp(PMN). Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Trong mặt phẳng đáy, vẽ đường thẳng d đi qua A và không song song với các cạnh hình bình hành, d cắt BC tại E. Gọi C’ là một điểm nằm trên cạnh SC. a) Tìm giao điểm M của CD và (C’AE). b) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (C’AE). (Bài 9/54 – SGK Hình học 11) IV. CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG 1. Phƣơng pháp Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta chứng minh chúng là điểm chung của 2 mặt phẳng phân biệt. 2. Ví dụ Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC. Mặt phẳng (Q) cắt các cạnh bên SA, SB, SC lần lượt tại A’, B’, C’. Giả sử AB cắt A’B’ tại I , BC cắt B’C’ tại J , AC cắt A’C’ tại K. Chứng minh rằng I, J, K thẳng hàng. Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thang có đáy lớn là AD. Gọi I là trung điểm của SC. Một mặt phẳng (Q) qua AI cắt SB, SD lần lượt tại M, N. IM cắt BC tại P, IN cắt CD tại K. Chứng minh rằng PK qua một điểm cố định. V. CHỨNG MINH BA ĐƢỜNG THẲNG ĐỒNG QUI 1. Phƣơng pháp Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ta chứng minh giao điểm của hai đường này thuộc đường thẳng thứ ba. 2. Ví dụ Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là ba điểm trên ba cạnh AB, AC, BD sao cho EF cắt BC tại I, EG cắt AD tại H. Chứng minh rằng CD, IG, HF đồng quy. Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại A’, B’, C’, D’. Giả sử AB cắt CD tại E, A’B’ cắt C’D’ tại E’. a) Chứng minh S, E, E’ thẳng hàng. b) Chứng minh A’C’, B’D’, SO đồng quy. HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG (PHẦN 1) I. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1. Định nghĩa Cho a, b là hai đường thẳng trong không gian. Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa a và b (a và b đồng phẳng).  a và b cắt nhau tại M. Kí hiệu a  b  M .  a và b không có điểm chung hay a và b song song. Kí hiệu a // b.  a trùng b. Kí hiệu a  b . Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa a và b. Ta nói a và b chéo nhau. II. TÍNH CHẤT Định lí 1 Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó. Nhận xét: a // b xác định một mặt phẳng. Kí hiệu: mp (a, b) hay (a, b). Định lí 2 Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song. Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q, R, S lần lượt là bốn điểm trên các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng nếu P, Q, R, S đồng phẳng thì: a) PQ, RS, AC hoặc song song hoặc đồng quy. b) PS, RQ, BD hoặc song song hoặc đồng quy. Hệ quả Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó. Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình bình hành. Xác định giao tuyến của (SAD) và (SBC). Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và BD, (P) là mặt phẳng qua IJ và cắt AC, AD lần lượt tại M, N. a) Chứng minh IJNM là hình thang. b) Nếu M là trung điểm AC thì IJNM là hình gì ? Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang, đáy lớn AB. Gọi M là một điểm bất kì trên SC. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (ABM). Hỏi thiết diện là hình gì ? Định lí 3 Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. Kí hiệu a, b, c song song với nhau: a // b // c. Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AC, BD, AB, CD, AD và BC. Chứng minh MN, PQ, RS đồng quy tại trung điểm mỗi đoạn. Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang, đáy lớn AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA, SB. a) Chứng minh MN // CD. b) Tìm giao điểm P của SC với (ADN). c) I là giao điểm của AN và DP. Chứng minh SI // AB // CD. HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG (PHẦN 2) I. XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN GIỮA HAI MẶT PHẲNG (TRƯỜNG HỢP 2) 1. Phương pháp Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song a và b, ta làm như sau: Tìm 1 điểm chung của 2 mặt phẳng (Giả sử là I). a Giao tuyến cần tìm là đường thẳng d đi qua I và song song với a, b.  d b  2. Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD và các điểm P, Q, R lần lượt nằm trên ba cạnh AB, CD, BC. Tìm giao tuyến của (PQR) và (ACD) trong các trường hợp: a) PR cắt AC. b) PR song song với AC. E A P D B R Q C Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thang có đáy lớn là AB. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm SAB. a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJG). b) Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJG) là hình gì? Tìm điều kiện của AB và CD để thiết diện là hình bình hành. S N G M A B E I J II. CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG HOẶC ĐỒNG QUY 1. Phương pháp Sử dụng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng phân biệt. Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song. 2. Các ví dụ S Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi H, I, J, K lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB, SC, SD. I H J K a) Chứng minh HIJK là hình bình hành. B A b) Chứng minh HJ, KI, SO đồng quy. O D BÀI TẬP TỔNG HỢP Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD, ABCD là hình chữ nhật. a) Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC), (SAB) và (SCD). b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB và E là điểm tùy ý trên SC. Tìm giao điểm F của SD và (MNE). c) Chứng minh rằng khi E di động trên SC thì giao điểm I của ME và NF di động trên đường thẳng cố định. S N M F I D E A O B C C Ví dụ 5: Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a. I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Gọi K là một điểm trên cạnh BD sao cho KB = 2KD. Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK). Chứng minh thiết diện là hình thang cân. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG (PHẦN 1) I. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Trường hợp 1. d và (P) không có điểm chung. Ta nói d song song (P). Kí hiệu d // (P). Trường hợp 2. d và (P) có một điểm chung duy nhất. Ta nói d cắt (P) tại I. Kí hiệu d  P   I . Trường hợp 3. d và (P) có nhiều hơn hai điểm chung. Ta nói d chứa trong (P) hay (P) chứa d. Kí hiệu d  P  . II. ĐỊNH LÍ VÀ TÍNH CHẤT 1. Định lí 1 Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và a song song với đường thẳng b nằm trong (P) thì đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Phương pháp Để chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P), ta thường làm như sau: Tìm b  (P) sao cho b // a Khẳng định a  (P) Kết luận a // (P) Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Chứng minh MN // (BCD). 2. Định lí 2 Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Nếu mặt phẳng (Q) chứa a và cắt (P) theo giao tuyến d thì d song song với a. 3. Hệ quả 3 Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó. Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC. Một mặt phẳng (P) song song với BC lần lượt cắt các cạnh SB, SC, AC, AB tại M, N, I, K. Chứng minh MN // IK. 4. Định lí 3 Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia. Phương pháp Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (Trường hợp 3) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q), trong đó (Q) chứa đường thẳng a song song với (P): Tìm điểm chung I của (P) và (Q). d = (P)  (Q) (d qua I và d // a). Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, M là một điểm bất kì trên cạnh SA (M khác S và A). a) Biết () chứa MB song song với SD. Tìm giao tuyến của () và (SAD), từ đó tìm thiết diện tạo bởi mp() và hình chóp S.ABCD. b) Biết () qua M đồng thời song song với SB và AD. Tìm giao tuyến của () với các mặt (SAB), (SAD), (ABCD), từ đó tìm thiết diện tạo bởi mp () và hình chóp S.ABCD. Thiết diện tìm được là hình gì? Vì sao? ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG (PHẦN 2) I. VẤN ĐỀ 1 Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Để chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P), ta thường làm như sau: a // b  b  P   a // P   a  P  Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N là trung điểm của các cạnh AB, CD. a) Chứng minh rằng MN // (SBC). b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh SC // (MNP). Bài tập 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm CD, G và H lần lượt là trọng tâm của tam giác ACD và tam giác BCD. Chứng minh rằng GH // (ABD). II. VẤN ĐỀ 1 Phần A: xác định giao tuyến của hai mặt phẳng Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q), trong đó (Q) chứa đường thẳng a song song với (P): I  P    Q    P    Q   d  I  d, d // a  a   Q   a // P  Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của BC. Gọi () là mặt phẳng chứa SM và song song với CD. Xác định giao tuyến của () với đáy (ABCD). Phần B: xác định thiết diện của mặt phẳng và hình chóp. Bài tập 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn là AD và M là một điểm nằm trên cạnh SA. Mặt phẳng () qua M và song song với SD, AC. Xác định thiết diện của () và hình chóp S.ABCD. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG (PHẦN 1) I. ĐỊNH NGHĨA Hai mặt phẳng (P), (Q) được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung. Kí hiệu: (P) // (Q) hay (Q) // (P). II. TÍNH CHẤT Định lí 1. Nếu (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với (Q) thì (P) song song với (Q). Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, AD. Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng (BCD). Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ABD. Chứng minh rằng mặt phẳng (G1G2G3) song song với mặt phẳng (BCD). Định lí 2. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho. Hệ quả 1 Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) thì trong (P) có một đường thẳng song song với d và qua d có duy nhất một mặt phẳng song song với (P). Hệ quả 2 Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau. Hệ quả 3 Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng (P). Mọi đường thẳng đi qua A và song song với (P) đều nằm trong mặt phẳng đi qua A và song song với (P). Ví dụ 3: Cho tứ diện SABC có SA = SB = SC. Gọi Sx, Sy, Sz lần lượt là phân giác ngoài của các góc S trong ba tam giác SBC, SCA, SAB. Chứng minh rằng: a) Mặt phẳng (Sx, Sy) song song với mặt phẳng (ABC). b) Sx, Sy, Sz cùng nằm trên một mặt phẳng. Định lí 3. Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau. Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi I là điểm bất kì trên đoạn OC. (P) là mặt phẳng qua I và song song với (SBD).Xác định thiết diện tạo bởi hình chóp và mặt phẳng (P)? Hệ quả Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau. III. ĐỊNH LÍ TA-LÉT Định lí 4 Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn tương ứng tỉ lệ. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG (PHẦN 2) IV. HÌNH LĂNG TRỤ VÀ HÌNH HỘP Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Trên (P) cho đa giác lồi A1A2 ...An . Qua các đỉnh A1 , A2 , ..., A n ta vẽ các đường thẳng song song với nhau và cắt (Q) lần lượt tại A '1 , A '2 , ..., A 'n Hình gồm hai đa giác A1 A2 ...An , A '1 A '2 ...A 'n và các hình bình hành A1A '1 A '2 A2 , A 2A '2 A '3 A 3 ,..., A nA ' n A '1 A 1 được gọi là hình lăng trụ. Kí hiệu: A1A2...An.A '1 A '2 ...A 'n . Hai đa giác A1 A2 ...An , A '1 A '2 ...A 'n : mặt đáy của lăng trụ. A1 A '1 , A2 A '2 ,..., An A 'n : cạnh bên của lăng trụ. A1 A '1 A '2 A2 , A2 A '2 A '3 A 3 ,..., AnA 'n A '1 A1 : mặt bên của lăng trụ. Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ là hình bình hành. Các cạnh bên của hình lăng trụ song song và bằng nhau. Hai đáy của hình lăng trụ bằng nhau. V. HÌNH CHÓP CỤT Cho hình chóp SA1A2…An. Một mặt phẳng song song với A1A2…An và không qua S cắt SA1A2…An theo thiết diện A’1A’2…A’n. Hình gồm A1A2…An, A’1A’2…A’n và A1 A’1A’2A2, …, An A’n A’1 A1 là hình chóp cụt. Hình chóp cụt A1A2…AnA’1A’2…A’n có: Mặt đáy: A1A2…An và A’1A’2…A’n. Mặt bên: A1 A’1A’2A2, …, An A’n A’1 A1. Cạnh bên: A1 A’1, A2A’2,…, An A’n. . VI. LUYỆN TẬP Ví dụ 1: Trong mặt phẳng (P), cho hình bình hành ABCD. Dựng các nửa đường thẳng song song nhau ở cùng một phía với mặt phẳng (P) lần lượt đi qua các điểm A, B, C, D. Mặt phẳng (Q) cắt 4 nửa đường thẳng trên tại A1, B1, C1, D1. Chứng minh rằng: a) (AA1, BB1) // (CC1, DD1). b) A1B1C1D1 là hình bình hành. c) AA1 + CC1 = BB1 + DD1. Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. a) Tìm giao tuyến của (AB’C’) và (BA’C’). b) Gọi M, N là hai điểm bất kì trên AA’ và BC. Tìm giao điểm của B’C’ và (AA’N). c) Tìm giao điểm của MN và (AB’C’). Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’. a) Chứng minh rằng (BDA’) // (B’D’C). b) Chứng minh rằng AC’ đi qua trọng tâm G1, G2 của ∆BDA’ và ∆B’D’C. c) Chứng minh rằng G1, G2 chia AC’ thành 3 đoạn bằng nhau. PHÉP CHIẾU SONG SONG. HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH KHÔNG GIAN I. PHÉP CHIẾU SONG SONG Cho (P) và d cắt (P). M là một điểm trong không gian, d’ qua M và song song hoặc trùng d, cắt (P) tại M’. M’ là hình chiếu song song của M trên (P) theo phương d. (P) là mặt phẳng chiếu. Phương d là phương chiếu. Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với hình chiếu M’ của nó trên (P) được gọi là phép chiếu song song lên (P) theo phương d. Cho (P) và phương chiếu d. H là một hình trong không gian. Tập hợp các hình chiếu M’ của tất cả các điểm M thuộc H sẽ tạo thành hình H’. H’ là hình chiếu của H qua phép chiếu song song nói trên. Chú ý: Nếu một đường thẳng có phương trùng với phương chiếu thì hình chiếu của đường thẳng đó là một điểm. II. CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CHIẾU SONG SONG Định lí 1a. Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó. Định lí 1b. Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng. Định lí 1c. Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Định lí 1d. Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng. Ví dụ 1: Hình chiếu song song của hình vuông có thể là hình bình hành được không? Vì sao? Ví dụ 2: Hình vẽ sau có thể là hình chiếu song song của hình lục giác đều được không? Vì sao? A B C F E D III. HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH KHÔNG GIAN TRÊN MẶT PHẲNG Hình biểu diễn của một hình H trong không gian là hình chiếu song song của hình H trên một mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó. HÌNH BIỂU DIỄN CỦA CÁC HÌNH THƯỜNG GẶP Tam giác: Một tam giác bất kì là hình biểu diễn của một tam giác có dạng tùy ý cho trước (có thể là tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông…) Hình bình hành: Một hình bình hành bất kì là hình biểu diễn của một hình bình hành tùy ý cho trước (có thể là hình bình hành, hình vuông, hình thoi, hình chữ nhật…) Hình thang: Một hình thang bất kì là hình biểu diễn của một hình thang tùy ý cho trước, miễn là tỉ số độ dài hai đáy của hình biểu diễn phải bằng tỉ số độ dài hai đáy của hình thang ban đầu. Hình tròn: Người ta thường dùng hình elip để biểu diễn cho hình tròn. Ví dụ 3: Các hình sau là hình biểu diễn của các tam giác nào? (a) (b) (c) Ví dụ 4: Các hình sau là hình biểu diễn của các hình nào? (a) (b) (c) ÔN TẬP CHƢƠNG 2 (PHẦN 1) I. NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Các cách xác định mặt phẳng. 2. Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng trong không gian. 3. Vị trí tƣơng đối của đƣờng thẳng và mặt phẳng. 4. Khái niệm hai mặt phẳng song song. 5. Định lí Ta-lét 6. Phép chiếu song song. Hình biểu diễn. II. NHỮNG KĨ NĂNG CƠ BẢN 1. Xác định giao tuyến giữa hai mặt phẳng.   A  P    Q   P    Q   d  d qua A, B    B   P    Q  I  P    Q    a  P  , b   Q   P    Q   d  Id, d // a // b    a // b I  P    Q     P    Q   b P  // a    Q  // a Ib, b // a I  P    Q     P    Q   b  I b, b // a  a   P    a //  Q  P  //  Q    R   P   a  R    Q   b  I  b, b // a    I  R    Q  2. Tìm giao điểm giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng. Để tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P), ta làm như sau: Tìm (Q) chứa d. Tìm giao tuyến d’ của (P) và (Q). Giao điểm của d và d’ là giao điểm của d và (P). 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng. Chứng minh ba đƣờng đồng quy. Cách 1: Vận dụng các định lí trong hình học phẳng. Cách 2: Chứng minh ba điểm đó là điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt. Phương pháp chung Chứng minh giao điểm của hai đường thuộc đường thẳng còn lại. 4. Vận dụng các định lí trong hình học phẳng. Chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng. Vận dụng định lí trong hình học không gian liên quan đến quan hệ song song. 5. Chứng minh đƣờng thẳng song song với mặt phẳng. a  (P)  a // b  a // (P) b  (P)   P  // (Q)  a // (P)   a  (Q) 6. Chứng minh mặt phẳng song song với mặt phẳng. a, b  P    P  //  Q  a  b  I a // Q ,b // Q      a,b  P  , a  b  I   P  //  Q  a // a',a'   Q    b // b ',b'   Q   P  // (R)  P  //  Q     Q  // (R) 7. Xác định thiết diện của mặt phẳng với hình chóp, hình lăng trụ, hình hộp. Xác định giao tuyến của mặt phẳng lần lượt với các mặt của hình chóp (hình lăng trụ, hình hộp). Khi các giao tuyến khép kín tạo thành một đa giác thì đa giác đó là thiết diện cần tìm. ÔN TẬP CHƯƠNG 2 (PHẦN 2) Ví dụ 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Mặt bên SAB là tam giác đều, SAD  900 , Dx là đường thẳng song song với SC. a) Tìm giao điểm I của Dx và (SAB)? Chứng minh AI // SB. b) Tìm thiết diện tạo bởi hình chóp SABCD và (AIC). c) Tính chu vi thiết diện. Ví dụ 2: Cho hình chữ nhật ABCD cạnh a 2 , S   ABCD  sao cho SAB đều. Cho SC  SD  a 3 . Gọi H, K lần lượt là trung điểm của SA, SB và M là một điểm thuộc cạnh AD. Mặt phẳng (HKM) cắt BC tại N. a) Chứng minh rằng HKNM là hình thang cân. b) Giao điểm của HM và KN, HN và KM di chuyển trên những đường nào? Ví dụ 3: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I, J, K lần lượt là tâm các hình bình hành ACC’A’, BCC’B’, ABB’A’. a) Chứng minh rằng mặt phẳng (IJK) song song với hai đáy của lăng trụ. b) Chứng minh rằng AJ, CK, BI đồng quy tại O. c) Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm ABC, A’B’C’. Chứng minh rằng G, O, G’ thẳng hàng. ÔN TẬP HỌC KÌ 1 Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA và CD. a) Tìm giao điểm E và giao điểm F của (BMN) lần lượt với các đường thẳng AD và SD. Chứng minh FS = 2FD. b) Gọi I là trung điểm ME; AN cắt BD tại G. Chứng minh FG // (SAB) và (CDI) // (SAB). c) Gọi H là giao điểm MN và SG. Chứng minh OH // GF. (THPT chuyên Lê Hồng Phong 2011 – 2012) Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm AB, CD và SD. a) Chứng minh SB // (EFG) và EG // (SBC). b) Chứng minh (SEC) // (AFG) và tìm giao tuyến của (SAB) và (AFG). c) Gọi H, K lần lượt là giao điểm của BD với EC và AF; SK cắt GH tại M và cắt GO tại N. Chứng minh MH = 2MG và N là trung điểm đoạn GO. (THPT chuyên Lê Hồng Phong 2012 – 2013) Ví dụ 3: Cho tứ diện S.ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, SC, BC và K là trọng tâm tam giác SBC. a) b) c) d) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SMC) và (ABN). Tìm giao điểm của đường thẳng SA và mặt phẳng (MNP). Hai đường thẳng AN và MK cắt nhau tại I. Chứng minh SI // (ABC). Gọi G là trung điểm MN. Chứng minh A, G, K thẳng hàng. (THPT chuyên Trần Đại Nghĩa 2012 – 2013) Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi E, I lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng SA, BC và M là một điểm tùy ý trên CD. a) Tìm giao tuyến của (SDI) và (SAC); tìm giao điểm Q của SB và (DEC). Suy ra thiết diện của (DEC) và hình chóp. b) Chứng minh (OEI) // (SCD). Tìm giao tuyến của (EIM) và (SCD). c) K là điểm đối xứng của A qua C. Gọi F là giao điểm của KE và SC, N là giao điểm của KI và AB, H là giao điểm của EN và SB. Chứng minh H, I, F thẳng hàng và tính tỉ số IF IH (Trung Học Thực Hành 2012 – 2013) VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN I. CÁC ĐỊNH NGHĨA LIÊN QUAN ĐẾN VECTƠ 1. Khái niệm vectơ Vectơ là một đoạn thẳng có hướng Ví dụ 1: Cho hình tứ diện ABCD. Chỉ ra các vectơ có điểm đầu A, điểm cuối là các đỉnh còn lại của tứ diện. Các vectơ đó có cùng nằm trong một mặt phẳng không? 2. Giá của vectơ Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. 3. Hai vectơ cùng phương – cùng hướng Hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau gọi là hai vectơ cùng phương. Nếu hai vectơ cùng phương có cùng hướng mũi tên thì gọi là hai vectơ cùng hướng. Nếu cùng phương và ngược hướng mũi tên thì gọi là hai vectơ ngược hướng. 4. Độ dài vectơ Độ dài vectơ là khoảng cách từ điểm đầu đến điểm cuối của vectơ đó. Kí hiệu AB  AB . 5. Hai vectơ bằng nhau Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài. Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.EFGH. Xét sự cùng phương, cùng hướng, ngược hướng giữa các cặp vectơ: AB, HG , BD, HF , AB, BD , BD, EG . Hãy kể tên các vectơ bằng với BC . 6. Vectơ-không Vectơ-không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Kí hiệu 0 . II. CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ 1. Tổng hai vectơ Tổng của hai vectơ a và b là một vectơ được kí hiệu là a  b . Tính chất: Cho ba vectơ a, b, c tùy ý  ab  ba     ab c  a bc   a0  0a  a 2. Hiệu hai vectơ Vectơ ngược hướng và có cùng độ dài với a được gọi là vectơ đối của vectơ a . Kí hiệu a .   Hiệu của hai vectơ a và b là một vectơ a  b  a  b . Quy tắc 3 điểm : Cho 3 điểm A, B, C tùy ý, ta có AB  BC  AC . Quy tắc trừ : Cho 3 điểm A, B, C tùy ý, ta có AB  AC  CB . Quy tắc hình bình hành: Cho ABCD là hình bình hành, ta có AB  AD  AC . Quy tắc hình hộp: AB  AD  AA '  AC 3. Tích của vectơ với một số Định nghĩa: Tích của vectơ a và số k là một vectơ kí hiệu là k.a . Nếu k > 0 thì k.a và a cùng hướng. Nếu k < 0 thì k.a và a ngược hướng. Độ dài k.a  k. a . Quy ước: 0.a  k.0  0 . Các tính chất: Cho hai vectơ a, b và mọi số h, k, ta có k.(a  b)  k.a  k.b (h  k).a  h.a  k.a h.(k.a)  (hk).a 1.a  a,  1 .a  a Tính chất trung điểm: Nếu I là trung điểm AB và với điểm M bất kì thì MA  MB  2MI Tính chất trọng tâm: Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì GA  GB  GC  0 Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các canh AD, BC và G là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh rằng: a) 2MN  AB  DC b) AB  AC  AD  3AG . III. ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VECTƠ 1. Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian Ba vectơ a, b, c gọi là đồng phẳng nếu chúng có giá song song với một mặt phẳng. 2. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng Định lí 1: Trong không gian cho ba vectơ a, b, c , trong đó a, b không cùng phương. Điều kiện cần và đủ để ba vectơ a, b, c đồng phẳng là có duy nhất cặp số m, n sao cho c  ma  nb . Định lí 2: Trong không gian cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng. Khi đó với vecto x bất kì, ta đều tìm được duy nhất bộ ba số m, n , k sao cho x  ma  nb  kc . Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh rằng ba vectơ BC, AD,MN đồng phẳng. Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là các điểm trên cạnh AB, CD sao cho AM = 2BM, ND  2ND . Chứng minh b avectơ BC, AD,MN đồng phẳng. Ví dụ 6: Cho hình hộp ABCD. EFGH có AB  a, AD  b, AE  c . Gọi I là trung điểm của đoạn BG. Hãy biểu thị vectơ AI qua ba vectơ a,b,c . HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC I. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 1. Góc giữa hai vectơ   Góc giữa hai vectơ u và v được kí hiệu là u, v .   00  u, v  1800 . Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có H là trung điểm của cạnh AB. Hãy tính góc giữa       các cặp vectơ: AB, AC , CD,DA , CH,BC . 2. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian Tích của hai vectơ u và v khác 0 là một số, kí hiệu u.v , được xác định bởi   u.v  u . v .cos u, v . Nếu u  0 hoặc v  0 thì u.v  0 . Ví dụ 2: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = 1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Tính góc giữa hai vectơ OM,BC . II. VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG 1. Định nghĩa Vectơ a  0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vecto a song song hoặc trùng với đường thẳng d. 2. Nhận xét Nếu a là vecto chỉ phương của đường thẳng d thì k.a,k  0 cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng d. Ta xác định được duy nhất đường thẳng d đi qua điểm A cho trước và nhận a làm vecto chỉ phương. Hai đường thẳng a và b song song khi và chỉ khi hai vecto chỉ phương của chúng cùng phương. III. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1. Định nghĩa Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b. Nếu gọi  là góc giữa hai đường thẳng thì 00    900 . 2. Nhận xét Ta có thể xác định góc giữa hai đường thẳng a và b như sau: Chọn điểm O trên đường thẳng b, qua điểm O dựng đường thẳng a’ song song với a. Khi đó góc giữa hai đường thẳng a và b bằng với góc giữa hai đường thẳng a’ và b. Gọi u, v lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b. Nếu       00  u, v  900 thì góc giữa a và b bằng góc u, v . Nếu u, v  90 0 thì   góc giữa a và b bằng 1800  u, v . Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau đây: AB và B’C’; AC và B’C’. Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a, BC = a 2 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC. IV. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 1. Định nghĩa Hai đường thẳng a và b được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900. Kí hiệu a  b . 2. Nhận xét: Gọi u, v lần lượt là vecto chỉ phương của hai đường thẳng a và b. Khi đó: a  b  u.v  0 . Cho hai đường thẳng b và c song song, nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng c thì hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau. Hai đường thẳng vuông góc trong không gian có thể chéo nhau hoặc cắt nhau. Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD có AB  AC; AB  BD . Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh hai đường thẳng AB và PQ vuông góc với nhau ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG I. ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG 1. Định nghĩa Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng    nếu d vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng    . Kí hiệu d     . d  ()  a  (), d  a d  () da Nhận xét:  a  () a  (), d  a  d  () 2. Định lí: Nếu đường thẳng d vuông góc với 2 đường thẳng a, b chứa trong mặt phẳng    và a, b cắt nhau thì d vuông góc với    . Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có SA   ABCD  , đáy ABCD là hình vuông. Chứng minh: a) BC   SAB  b) BC  SB II. TÍNH CHẤT Tính chất 1: Có duy nhất một mặt phẳng    đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng d cho trước. Đặc biệt: Nếu mặt phẳng    đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và vuông góc với AB thì    được gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Tính chất 2: Có duy nhất một đường thẳng d qua O và vuông góc với mặt phẳng    III. LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC 1. Tính chất 1: Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau 2. Tính chất 2: Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. 3. Tính chất 3: Cho đường thẳng a và mặt phẳng    song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với    thì vuông góc với đường thẳng a. Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng(không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau. Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, AC. Chứng minh MN vuông góc với mặt phẳng (SAB). IV. ĐỊNH LÍ BA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC 1. Phép chiếu vuông góc Cho đường thẳng   () . Phép chiếu song song theo phương của  lên mặt phẳng () được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng () . 2. Định lí ba đường thẳng vuông góc Gọi a’ là hình chiếu vuông góc của a lên mặt phẳng () và d là đường thẳng chứa trong mặt phẳng () . Khi đó: điều kiện cần và đủ để d  a là d  a' . d  a  d  a' 3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Cho đường thẳng d và mặt phẳng () . Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng () thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng () bằng 900. Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng () thì góc giữa d và hình chiếu d’ của nó lên () gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng () . Nếu gọi  là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng () thì 00    900 . 4. Phương pháp xác định góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng () Bước 1: Xác định giao điểm O  d  () . Bước 2: Chọn điểm A tùy ý trên d (A khác O). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng () . Bước 3:   AOH . Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA  a 2 , SA   ABCD  . Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD. a) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD). b) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (MNP). HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC I. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG 1. Định nghĩa Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 00. 2. Phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau Bước 1: Xác định giao tuyến d  ()  () . Bước 2: Chọn điểm I  d . Trong mặt phẳng () , vẽ đường thẳng a qua I và a  d Trong mặt phẳng () , vẽ đường thẳng b qua I và b  d . Bước 3: Góc giữa hai mặt phẳng () và () bằng góc giữa hai đường thẳng a và b 3. Diện tích hình chiếu của một đa giác. Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng    và    . S là diện tích của đa giác (H) trong mặt phẳng    . Gọi đa giác (H’) là hình chiếu vuông góc của đa giác (H) lên mặt phẳng    . S’ là diện tích của đa giác (H’). Ta có: S'  S.cos  . Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABC) và SA = a . 2 a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC). b) Tính diện tích tam giác SBC. II. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC 1. Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó là 900. Hai mặt phẳng    và    vuông góc với nhau được kí hiệu       . 2. Các định lí Định lí 1: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. Hệ quả 1: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia. Hệ quả 2: Cho hai mặt phẳng    và    vuông góc với nhau. Nếu từ một điểm thuộc mặt phẳng    ta dựng một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng    thì đường thẳng này nằm trong mặt phẳng    . Định lí 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó. III. HÌNH LĂNG TRỤ – HÌNH HỘP CHỮ NHẬT – HÌNH LẬP PHƯƠNG Hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy gọi là hình lăng trụ đứng. Khi đó, chiều cao của hình lăng trụ đứng bằng với độ dài cạnh bên. Hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều gọi là hình lăng trụ đều. Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp. Hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật gọi là hình hộp chữ nhật. Hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông và các mặt bên đều là hình vuông gọi là hình lập phương. IV. HÌNH CHÓP ĐỀU – HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU 1. Hình chóp đều: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu nó có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy. Nhận xét: Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau. Các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau. 2. Hình chóp cụt đều Phần của hình chóp đều nằm giữa đáy và một thiết diện song song với đáy cắt các cạnh bên của hình chóp đều được gọi là hình chóp cụt đều. Nhận xét: Hai đáy của hình chóp cụt đều là hai đa giác đều và đồng dạng với nhau. Hình chóp cụt đều có các mặt bên là những hình thang cân và các cạnh bên có độ dài bằng nhau. KHOẢNG CÁCH I. KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG – MẶT PHẲNG 1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a bằng khoảng cách từ điểm O đến hình chiếu vuông góc H của O lên đường thẳng a. Kí hiệu d  O,a   OH d  O,a  là khoảng cách ngắn nhất từ điểm O đến một điểm M bất kì trên a. 2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng    bằng khoảng cách từ điểm O đến hình chiếu vuông góc H của O lên mặt phẳng    . Kí hiệu d  O,      OH . d  O,     là khoảng cách ngắn nhất từ điểm O đến một điểm M bất kì trên mặt phẳng    . II. KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG – GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 1. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng    . Khoảng cách từ đường thẳng a đến mặt phẳng    bằng khoảng cách từ điểm A trên đường thẳng a đến hình chiếu vuông góc A’ của A lên mặt phẳng    . Kí hiệu: d  a,      d  A,      AA ', A     . d  a,     là khoảng cách ngắn nhất kể từ một điểm M trên đường thẳng a đến một điểm N nằm trên mặt phẳng    . 2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song Cho hai mặt phẳng    và    song song. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng    và    bằng khoảng cách từ điểm M     đến hình chiếu vuông góc M’ của M lên mặt phẳng    . Kí hiệu: d     ,    d M,     MM',M     d     ,    là khoảng cách ngắn nhất kể từ một điểm A     đến một điểm B   . 3. Phương pháp tìm hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng    : Bước 1: Tìm mặt phẳng    chứa M và       . Bước 2: Xác định giao tuyến d        . Bước 3: Từ điểm M trong mặt phẳng    , vẽ MM'  d tại M’. Khi đó: MM'    và suy ra M’ là hình chiếu vuông góc của M lên    . Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt (ABCD), SA = 2a. a) Tính khoảng cách từ A đến SC, từ A đến mặt (SCD). b) Tính khoảng cách từ AD đến (SBC). III. ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG – KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG CHÉO NHAU 1. Định nghĩa: Đường thẳng  cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của a và b. Nếu đường vuông góc chung  cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt tại M, N thì độ dài đoạn MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b 2. Cách tìm đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b Bước 1: Tìm mặt phẳng    chứa b và a  . Bước 2: Tìm a’ là hình chiếu vuông góc của a trên mặt phẳng    . Vì a  nên a // a’. Bước 3: Gọi mặt phẳng    chứa 2 đường thẳng a, a’        . Bước 4: Gọi N  a' b và  là đường thẳng qua N và     . Đường thẳng      nên   a  M . Đường thẳng  cắt a, b và vuông góc với cả a và b nên  là đường vuông góc chung của a và b. 3. Cách tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b: Cách 1: Tìm đoạn vuông góc chung. Khoảng cách bằng đoạn vuông góc chung. Cách 2: Tìm mặt phẳng chứa b và song song với a. Khoảng cách giữa a và b bằng khoảng cách từ a đến mặt phẳng song song. Cách 3: Tìm hai mặt phẳng song song lần lượt chứa a và b. Khoảng cách giữa a và b bằng khoảng cách giữa hai mặt song song. Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt (ABCD), SA = a. a) Chứng minh BD vuông góc (SAC). b) Xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng cách giữa BD và SC ÔN TẬP CHƯƠNG 3 I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Chứng minh vuông góc a. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc  Phương pháp 1: a  b  u.v  0 ( với u, v lần lượt là các VTCP của a và b).  Phương pháp 2: b c và a  c  a  b .  Phương pháp 3: d     và a      d  a .  Phương pháp 4: Áp dụng tính chất hình học phẳng. b. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  Phương pháp 1: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng nằm trong mặt phẳng    thì d vuông góc với    .  Phương pháp 2: a b và a      b     .  Phương pháp 3:     và a      a   . c. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Phương pháp: Nếu mặt phẳng    chứa đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng   thì    vuông góc với    . Ví dụ: Các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai? a     2)  ab b       a  d 1)  a b b  d  a   a     b   3)   b  a  a 4)   b  a     b 5)   b  a                6)                      7)            b 2. Phương pháp xác định góc a. Phương pháp xác định góc giữa hai đường thẳng  Phương pháp 1: Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua điểm O và lần lượt song song với hai đường a và b.  Phương pháp 2: Nếu gọi u,v lần lượt là VTCP của hai đường thẳng a và b thì   cos u, v  u.v u.v b. Phương pháp xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng    không vuông góc với nhau bằng góc giữa đường thẳng d và hình chiếu vuông góc d’ của d lên    c. Phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng  Phương pháp 1: Góc giữa hai mặt phẳng    và    bằng góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua điểm I trên giao tuyến d        , đồng thời a và b lần lượt chứa trong hai mặt phẳng    ,    và a, b cùng vuông góc với d.  Phương pháp 2: Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng    và    . Ta có: S '  S.cos  3. Phương pháp xác định các loại khoảng cách a. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a bằng khoảng cách từ điểm O đến hình chiếu vuông góc H của O lên đường thẳng a. Kí hiệu: d  O,a  OH b. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng    bằng khoảng cách từ điểm O đến hình chiếu vuông góc H của O lên mặt phẳng    . Kí hiệu: d  O,      OH . c. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng    . Khoảng cách từ đường thẳng a đến mặt phẳng    bằng khoảng cách từ điểm A trên đường thẳng a đến hình chiếu vuông góc A’ của A lên mặt phẳng    . Kí hiệu: d  a,      d  A,      AA ', A     . d. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song Cho hai mặt phẳng    và    song song. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng    và   bằng khoảng cách từ điểm M     đến hình chiếu vuông góc M’ của M lên mặt phẳng    . Kí hiệu: d     ,    d M,    MM',M     e. Đường vuông góc chung – khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau  Đường thẳng  cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của a và b.  Nếu đường vuông góc chung  cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt tại M, N thì độ dài MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b. II. BÀI TẬP Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a, các mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD), cạnh bên SC hợp với đáy một góc 300. a) Chứng minh SA vuông góc với mặt đáy (ABCD). b) Chứng minh các mặt bên là các tam giác vuông. c) Chứng minh hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) vuông góc với nhau. d) Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). e) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC). Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh 2a, mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD). Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Chứng minh SE vuông góc với (ABCD). Tính tan của góc giữa SC và mặt phẳng(ABCD). b) Chứng minh (SEF) vuông góc (SCD). Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SCD). c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). d) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SCD). Bài tập 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi I, J lần lượt là tâm hình vuông ABCD và A’B’C’D’. a) Chứng minh IJ vuông góc với (A’B’CD). b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm B’C’, C’D’. Chứng minh MD’ vuông góc (AA’N). c) Xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DD’ và A’C. [...]... phần tử chính là một hoán vị của n phần tử đó Ann  Pn 3 Các ví dụ Ví dụ 4: Một lớp học có 40 học sinh Thầy giáo chủ nhiệm muốn chọn một ban cán sự lớp gồm một lớp trưởng, một lớp phó học tập và một lớp phó kỷ luật Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách chọn? Ví dụ 5: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau từng đôi một? Ví dụ 6: Có 3 bạn nam, 4 bạn nữ xếp vào một... một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2 Ví dụ 5: Tìm n biết An3  Cnn2  14n Ví dụ 6: Chứng minh Ckn  Cnnk (0  k  n) Ví dụ 7: Chứng minh Ckn 11 ... Khi đó, số cách thực hiện công việc A là: n1 n2 nk 2 Các ví dụ Ví dụ 2: Từ nhà bạn An tới trường học có 3 con đường đi, từ trường học tới nhà Bình có 4 con đường đi Hỏi nếu từ nhà An đến trường học, rồi từ trường học An qua nhà Bình chơi thì An có bao nhiêu cách đi? Ví dụ 3: Một đội văn nghệ có 8 bạn nữ và 6 bạn nam Hỏi có bao nhiêu cách chọn một đôi song ca nam – nữ? Ví dụ 4: Từ các chữ số 0, 1, 2,... Có 3 bạn nam, 4 bạn nữ xếp vào một hàng dọc Hỏi có bao nhiêu cách xếp nếu: hai vị trí đầu hàng và vị trí cuối hàng là nữ? Ví dụ 7: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số: Gồm 6 chữ số khác nhau từng đôi một và nhất thiết phải có số 1 và số 5? Gồm 6 chữ số khác nhau từng đôi một và tổng các chữ số hàng trăm, hàng ngàn, hàng chục ngàn là 8 HOÁN VỊ-CHỈNH HỢP-TỔ HỢP (phần 2)... THỬ VÀ BIẾN CỐ I PHÉP THỬ VÀ KHÔNG GIAN MẪU 1 Phép thử Một thí nghiệm, một phép đo hay một sự quan sát hiện tượng nào đó,… được hiểu là phép thử Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó 2 Không gian mẫu Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và kí... “Hai lần đầu xuất hiện mặt sấp” C: “Lần cuối xuất hiện mặt ngửa” 2 Phép toán trên các biến cố Giả sử A, B là hai biến cố liên quan đến một phép thử Tập  \ A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A Tập A  B được gọi là hợp của hai biến cố A và B Tập A  B được gọi là giao của hai biến cố A và B Nếu A  B   thì ta nói A và B xung khắc Ví dụ 6: Gieo một đồng tiền 3 lần a) Mô tả không gian... liên tiếp hai lần mỗi lần một quả và ghi số theo thứ tự từ trái qua phải (quả cầu được trả vào hộp sau khi lấy ra) a) Mô tả không gian mẫu b) Xác định các biến cố sau: A: “Hai chữ số bằng nhau” B: “Chữ số sau gấp đôi chữ số trước” C: “Chữ số sau lớn hơn chữ số trước” XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ I ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT Ví dụ 1: Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất A: “Xuất hiện mặt có... biến cố A Nếu A và B xung khắc thì P(A  B)  P(A)  P(B) (công thức cộng xác suất) P(A  B)  P(A)  P(B)  P(A  B) (công thức cộng xác suất mổ rộng) Chú ý: Với mọi biến cố A, P(A)  1  P(A) Ví dụ 4: Một hộp chứa 5 bi xanh, 6 bi đỏ và 3 bi vàng Lấy ngẫu nhiên 2 bi cùng lúc Tính xác suất của các biến cố sau: A: “cả 2 bi đều là bi xanh” B: “cả 2 bi đều là bi đỏ” C: “cả 2 bi đều là bi vàng” D: “2 bi... chữ số theo thứ tự giảm dần từ trái qua phải? c) Gồm 4 chữ số theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải? III NHỊ THỨC NIU-TƠN Ví dụ 3: Cho biết tổng các hệ số trong khai triển (x 2  1)n là 1024 Tìm hệ số của x12 trong khai triển    C   C  Ví dụ 4: Chứng minh: Cn2n  Cn0 2 1 n 2 2 n 2     Cnn 2 IV PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ V XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Ví dụ 5: Có 4 bạn nam, 4 bạn nữ xếp vào 8 cái ghế chia... nhiên gồm 3 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7 Xác định số phần tử của S Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn là số chẵn PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC I PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương n (n  * ) , ta làm như sau: II VÍ DỤ ÁP DỤNG Ví dụ 1: Chứng minh 1  2  3   n  n(n  1) , n  2 ... tổng S   11  111   11 11 n so Ví dụ 7: Cho a,b,c lập thành cấp số nhân Chứng minh: lập thành cấp số cộng (b  0,a,c) 2 , , ba b bc ÔN TẬP CHƯƠNG I PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Để chứng... Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác suất để số chọn số chẵn PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC I PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) mệnh đề với số nguyên dương n (n  *... n2 nk Các ví dụ Ví dụ 2: Từ nhà bạn An tới trường học có đường đi, từ trường học tới nhà Bình có đường Hỏi từ nhà An đến trường học, từ trường học An qua nhà Bình chơi An có cách đi? Ví dụ 3: