Bài báo trình bày những kết quả nghiên cứu lí luận và tổng kết kinh nghiệm của chúng tôi về việc vận dụng lí thuyết Realistic Mathematics Education (RME) ở nước ta. Chúng tôi đã tiếp cận những công trình đầu tiên về RME từ nguồn khởi phát lí thuyết cùng một số công bố trong nước gần đây để bàn luận về cách hiểu sao cho đúng nghĩa, cách vận dụng RME sao cho phù hợp thực tiễn của Việt Nam.
HNUE JOURNAL OF SCIENCE Educational Sciences, 2020, Volume 65, Issue 7, pp 162-173 This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn DOI: 10.18173/2354-1075.2020-0087 BÀN VỀ TIẾP CẬN VÀ MỘT SỐ BIỆN PHÁP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT RME TRONG DẠY HỌC MƠN TOÁN Ở VIỆT NAM Lê Tuấn Anh Trần Cường* Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tóm tắt Bài báo trình bày kết nghiên cứu lí luận tổng kết kinh nghiệm chúng tơi việc vận dụng lí thuyết Realistic Mathematics Education (RME) nước ta Chúng tiếp cận cơng trình RME từ nguồn khởi phát lí thuyết số cơng bố nước gần để bàn luận cách hiểu cho nghĩa, cách vận dụng RME cho phù hợp thực tiễn Việt Nam Bài báo đề xuất số biện pháp vận dụng RME vào dạy học mơn Tốn Việt Nam Mỗi biện pháp vận dụng RME ví dụ minh hoạ lựa chọn tham khảo bổ ích cho giáo viên tốn trường phổ thơng Từ khố: lí thuyết RME, dạy học mơn Tốn, biện pháp, tập thực tiễn Mở đầu Trong 50 năm hình thành phát triển, RME phát triển mạnh mẽ nhà giáo dục toán học (GDTH) Hà Lan [1] Với nhiều điểm ưu việt, RME khai thác, vận dụng cách rộng rãi nhiều nước giới [2] RME giới thiệu vào Việt Nam từ năm 2005, 2006 [3, 4] Nguyen Phu Loc Mai Hoan Hao vận dụng RME dạy học (DH) hàm số y = ax + b [5]; Trần Cường Nguyễn Thuỳ Duyên làm rõ khái niệm tập thực tiễn đề xuất phương án xây dựng lớp tập [6]; Nguyen Tien Trung cộng phân tích mối quan hệ RME với lí thuyết tình huống, tư tưởng RME chương trình tốn phổ thông Việt Nam, đưa số gợi ý - thơng qua vài tình cụ thể cho thấy khả vận dụng thực tiễn DH toán nước ta [7-9] Mặc dù kết phong phú, nhận thấy khoảng trống cần bàn luận kỹ hơn: ý tưởng nguyên gốc nhà sáng lập lí thuyết RME với số nhìn nhận, diễn giải nhà nghiên cứu nước; ý tưởng có phần thiên lí luận hàn lâm RME với biện pháp thực thi đảm bảo tính thần RME, đủ khái quát để định hướng hành động cách phổ quát đủ tường minh để GV vận dụng Bài báo trình bày luận điểm ngun tắc RME, khẳng định phù hợp RME với quan điểm đạo, định hướng DH mơn Tốn Việt Nam, số khó khăn cần khắc phục vận dụng lí thuyết Từ chúng tơi đề xuất số biện pháp vận dụng RME vào DH mơn Tốn Việt Nam Ngày nhận bài: 15/4/2020 Ngày sửa bài: 20/7/2020 Ngày nhận đăng: 27/7/2020 Tác giả liên hệ: Trần Cường Địa e-mail: trancuong@hnue.edu.vn 162 Bàn tiếp cận số biện pháp vận dụng lí thuyết RME dạy học mơn Toán Việt Nam Nội dung nghiên cứu 2.1 Cơ sở lí luận, tiền đề điều kiện để vận dụng RME Việt Nam 2.1.1 Những luận điểm nguyên tắc RME * Nguồn gốc thuật ngữ RME Theo Treffers [10, tr 243], “Toán học hóa theo chiều ngang” gắn với việc chuyển từ toán thực tiễn sang toán Toán học, cịn “Tốn học hóa theo chiều dọc” liên quan tới việc “vận hành hệ thống Toán học” hai loại tốn học hóa có mối quan hệ chặt chẽ với De Lange liệt kê hoạt động chứa thành tố chúng [11, tr 43] Thuật ngữ “Realistic” RME bắt nguồn từ việc Treffers sử dụng tiêu chí “Tốn học hóa theo chiều ngang” “Tốn học hóa theo chiều dọc” để phân loại xu hướng khác GDTH, bao gồm xu hướng máy móc (“mechanistic”), xu hướng cấu trúc (“structuralist”), xu hướng kinh nghiệm (“empiricist”) xu hướng “realistic”, minh họa Bảng [10, tr 251] Bảng Phân loại xu hướng giáo dục toán học Thuật ngữ “realistic” RME dễ gây hiểu nhầm xu hướng tập trung vào thực tiễn tính xác thực (authentic) vấn đề Thực ra, theo Van den Heuvel-Panhuizen, “realistic” xuất phát từ động từ Tiếng Hà Lan “zich realiseren” có nghĩa “tưởng tượng” [12] Bà giải thích rõ hơn: “thuật ngữ realistic đề cập tới việc học sinh đặt vào tình vấn đề mà họ tưởng tượng việc đề cập tới tính thực tế thực tiễn vấn đề câu chuyện cổ tốn túy ngữ cảnh phù hợp miễn chúng có thực suy nghĩ, trải nghiệm học sinh” [12] * Những luận điểm RME Những luận điểm RME đề xuất chủ yếu Freudenthal, có liên quan chặt chẽ với để trả lời câu hỏi ông đặt “Tại cần DH môn Toán theo cách thực có ích?” [13, tr 10] (i) Tốn học hoạt động người Freudenthal phân biệt hai quan niệm toán học: “Toán học hoạt động người” “Toán học sản phẩm làm sẵn” [14] Freudenthal phản đối việc cách dạy mơn Tốn bắt đầu với sản phẩm tốn học làm sẵn, ơng gọi cách “sự đảo ngược phi sư phạm” [15, tr ix] Trái lại, ơng ủng hộ quan điểm “Tốn học hoạt động người” DH mơn Tốn, tốn học hóa đặc điểm hoạt động Tốn học (ii) Phát minh lại có hướng dẫn Freudenthal nhấn mạnh vai trò việc giúp học sinh (HS) phát minh lại có hướng dẫn (khám phá lại phát lại có hướng dẫn) mơi trường DH [14, tr 46] Tất nhiên, HS không mong đợi nhắc lại tồn q trình nhận thức nhân loại, họ cần tạo hội để phát minh lại Toán học trợ giúp giáo viên (GV) tài liệu học tập Ơng dùng ngun lí Treffers đề xuất để hướng dẫn HS phát minh lại (iii) Hiện tượng học DH cấu trúc toán học Theo Freudenthal [15, tr ix], “hiện tượng học khái niệm (một cấu trúc ý tưởng) toán học mơ tả mối quan hệ với tượng mà sáng tạo mở rộng trình nhận thức nhân loại; mơ tả liên quan tới q trình 163 Lê Tuấn Anh Trần Cường học tập hệ trẻ, trở thành tượng học DH - đường cho GV đặt HS vào đâu để họ bước vào trình nhận thức nhân loại” Ý tưởng “hiện tượng học” khái niệm (một cấu trúc ý tưởng) tốn học khơng thật thường áp dụng để tìm ứng dụng toán học số xu hướng DH khác, nhiên Treffers đề cao ý tưởng “hiện tượng học DH” [10, tr 246] Freudenthal trình bày “hiện tượng học DH” cấu trúc toán học cho nhiều mạch kiến thức toán học khác [15] * Những nguyên tắc RME (i) Sử dụng ngữ cảnh/ bối cảnh Những vấn đề gắn với ngữ cảnh “những vấn đề mà tình vấn đề có thực theo kinh nghiệm HS” [16, tr 111] Ở đây, vấn đề gắn với ngữ cảnh không gắn với nội dung thực tiễn (theo nghĩa hẹp), mà xuất nội mơn Tốn [16, tr 111; 1, tr 4] Các nhà nghiên cứu hàng đầu RME khẳng định vai trị có tính định việc vấn đề gắn với ngữ cảnh sử dụng từ đầu trình DH [12, tr 9; 16, tr 111] Freudenthal phân biệt rõ việc sử dụng vấn đề gắn với ngữ cảnh ứng dụng Toán học [17] De Lange đưa cấp độ sử dụng ngữ cảnh: để giới thiệu phát triển mô hình khái niệm Tốn học (cấp độ thứ 3, quan trọng nhất), tìm kiếm tri thức tốn học có liên quan để giải vấn đề từ giới thực (cấp độ thứ 2, quan trọng) HS cần thực phép biến đổi đơn giản để chuyển từ vấn đề có nội dung thực tiễn sang vấn đề toán học đủ (cấp độ thứ 1, thường gặp sách giáo khoa mơn Tốn truyền thống) [11, tr 76-77] Trên sở nghiên cứu De Lange, Meyer, Dekker Querelle trình bày vai trị ngữ cảnh DH mơn Tốn [18, tr 523] (ii) Sử dụng mơ hình Cần lưu ý, mơ hình xác định Freudenthal khác với mơ hình tốn học mơ hình hóa tốn học Các ý tưởng mơ hình RME tiếp tục phát triển nhà nghiên cứu Streefland, Gravemeijer, Van den Heuvel-Panhuizen… Theo Van den Heuvel-Panhuizen [12, tr 14], từ tình vấn đề, mơ hình dựa tình thiết lập phát triển gắn chặt với tình gọi “mơ hình của” tình cụ thể, sau đó, mơ hình phát triển khái qt hóa khơng cịn phụ thuộc vào tình xuất phát gọi “mơ hình cho” khơng tình xuất phát mà cịn cho tình khác - “Mơ hình tự phát triển” (xem Hình 1a) Ban đầu Gravemeijer đề xuất “mơ hình tự phát triển” cách phân biệt cấp độ mơ hình bao gồm: cấp độ tình huống, cấp độ “mơ hình của”, cấp độ “mơ hình cho” cấp độ tốn học hình thức [19, tr 101] (1a)- Mơ hình “tự phát triển” (1b)- Mơ hình “tự phát sinh” tiền thân mơ hình Tốn học Hình Mơ hình “tự phát triển” “tự phát sinh” 164 Bàn tiếp cận số biện pháp vận dụng lí thuyết RME dạy học mơn Tốn Việt Nam Về sau, ơng dùng thuật ngữ “emergent models” (tạm dịch “mơ hình tự phát sinh”, Hình 1b) giải thích cấp độ “mơ hình tự phát sinh” sau [19, tr 101]: cấp độ tình (kiến thức cụ thể gắn với tình phương hướng giải sử dụng phạm vi bối cảnh tình huống), cấp độ tham chiếu (trong mơ hình phương hướng giải liên quan tới tình vấn đề), cấp độ khái quát (ở trọng tâm đặt vào phương hướng giải có tính khái qt khơng phụ thuộc vào tình huống) cấp độ Tốn học hình thức (trong người ta làm việc với thủ tục ký hiệu thông thường Tốn học) - Mơ hình trực quan, mơ hình Tốn học “mơ hình tự phát sinh” Theo Gravemeijer [19, tr 100-101], mơ hình trực quan dùng để cụ thể hóa tốn học trừu tượng, hình thức Mơ hình có điểm hạn chế tốn học gắn với có tính cụ thể (đối với kiến thức), lại chưa đủ cụ thể HS, khơng thực đảm bảo giúp HS nắm chất bên toán học Cịn với mơ hình tốn học, mơ hình tốn học tình mơ hình hố lại thường xem thực thể tách biệt cách rõ rệt Từ đó, ơng đề xuất “mơ hình tự phát sinh” xem tiền thân mơ hình tốn học (Hình 1b) (iii) Sản phẩm xây dựng HS Theo RME, HS khuyến khích phát minh lại toán học với hướng dẫn GV mơi trường học tập Trong q trình học tập, HS khuyến khích sáng tạo sản phẩm xây dựng thân để học sử dụng để tiếp cận với nhiệm vụ Theo Treffers [10, p 260], sản phẩm xây dựng có liên quan chặt chẽ với nhau, nhấn mạnh hành động xây dựng, cịn nhấn mạnh phản ánh sản phẩm Treffers Streefland phân tích chức sản phẩm xây dựng HS q trình DH đưa nhiều ví dụ minh họa [10, tr 260-261; 21, tr 33-35] (iv) Nguyên tắc tương tác HS cần tạo hội để tham gia, thảo luận, hợp tác… Tuy nhiên, điều khơng có nghĩa việc học tập cá nhân khơng coi trong RME (v) Nguyên tắc xoắn bện mạch kiến thức Freudenthal khẳng định không nên dạy phần cô lập, việc liên kết phần giúp việc học nhanh kiến thức lưu lại lâu [17, tr 74-75] Những GV ưa thích tính cấu trúc DH thường cho việc xoắn bện mạch kiến thức khơng đảm bảo tính cấu trúc dẫn tới “hỗn độn” Tuy nhiên RME, xoắn bện “hỗn độn” lại tổ chức tốt mặt sư phạm hỗ trợ đắc lực cho HS phát minh lại tri thức với hướng dẫn [14, p 119] 2.1.2 RME Việt Nam * Mối tương đồng triết lí, quan điểm đạo từ trước tới chương trình giáo dục phổ thơng (CTGDPT) mơn Tốn 2018 với lí thuyết RME Ngun lí học đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lí luận gắn liền với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình giáo dục xã hội nêu cao kim nam cho giáo dục nói chung, GDTH nói riêng nước ta có nhiều điểm phù hợp với RME (i) Khi triển khai CTGDPT tổng thể, có nhiều điểm thuận lợi cho việc áp dụng RME mơn Tốn: - Theo CTGDPT năm 2018, sách giáo khoa (SGK) khác tài liệu tham khảo Thay đổi tạo điều kiện thuận lợi cho GV áp dụng RME DH mơn Tốn, khơng q phụ thuộc vào SGK - Tính “mở” nhấn mạnh xây dựng chương trình giáo dục phổ thông Sự thay đổi giúp cho việc áp dụng RME vào DH mơn Tốn thuận lợi 165 Lê Tuấn Anh Trần Cường - Nguyên tắc “xoắn bện mạch kiến thức” RME phù hợp quan điểm “tích hợp cao lớp học dưới, phân hoá dần lớp học trên” [22, tr 5] Nguyên tắc “tương tác” RME phù hợp với việc phát triển lực giao tiếp hợp tác RME phù hợp với “phương pháp tích cực hóa hoạt động HS”, “hoạt động khám phá vấn đề” “trải nghiệm thực tế” [22, tr 32] (ii) CTGDPT mơn Tốn năm 2018 có nhiều điểm phù hợp với tinh thần RME: - Trong quan điểm xây dựng chương trình, điều nhấn mạnh “tinh giản, thiết thực, đại”: đáp ứng nhu cầu hiểu biết giới hứng thú, sở thích HS; trọng tính ứng dụng, gắn kết với thực tiễn môn học, hoạt động giáo dục khác, với xu hướng phát triển đại kinh tế, khoa học, đời sống xã hội, [23] - Trong xây dựng nội dung, tất mạch hướng tới thực tiễn theo RME, đặc biệt chương trình dành thời lượng thích đáng cho hoạt động thực hành trải nghiệm (xấp xỉ 35% ) [23, 24] - Trong đạo phương pháp DH [23], cần ý cách tiếp cận dựa vốn kinh nghiệm trải nghiệm HS, tổ chức DH theo hướng kiến tạo, HS tham gia tìm tòi, phát hiện, kết hợp hoạt động DH lớp với hoạt động thực hành, trải nghiệm, vận dụng kiến thức tốn vào thực * Những khó khăn, thách thức vận dụng RME vào DH mơn Tốn Việt Nam (i) Thói quen/ kinh nghiệm HS, GV nhà quản lí giáo dục Một số thói quen kinh nghiệm HS, GV nhà quản lí giáo dục chưa thuận lợi cho việc áp dụng RME DH mơn Tốn Việt Nam, chẳng hạn việc chưa sẵn sàng chấp nhận toán học tiền thức chưa thức cấp Trung học sở Trung học phổ thông, GV HS thường có khuynh hướng chuyển nhanh sang làm việc với tốn học hình thức (ii) Sự hiểu biết GV nhà quản lí RME RME chưa giới thiệu rộng rãi Việt Nam: RME chủ yếu biết đến cộng đồng nhà nghiên cứu GDTH, chưa nhiều GV nhà quản lí biết đến (iii) Một số cách hiểu chưa thống số điểm RME - Đồng RME với việc liên hệ, vận dụng Toán học vào thực tiễn ứng dụng Toán học Một số nhà nghiên cứu tiêu biểu RME phân biệt RME với việc liên hệ vận dụng Toán học vào thực tiễn, ứng dụng Tốn học Đã có nhiều cơng trình nghiên cứu số nước, chí Hà Lan xem việc liên hệ, vận dụng Toán học ứng dụng Toán học tư tưởng RME - Đồng mơ hình lí thuyết RME với mơ hình hóa tốn học Như trình bày ngun tắc sử dụng mơ hình, mơ hình sử dụng RME khác chất với mơ hình Tốn học mơ hình hóa toán học 2.2 Đề xuất số biện pháp vận dụng RME dạy học mơn Tốn Việt Nam 2.2.1 Bắt đầu dạy nhiệm vụ gắn với ngữ cảnh để giúp HS khám phá lại tri thức “Bài dạy”, hiểu đơn vị kiến thức quy mô bất kỳ: chương, bài, mục tình điển hình (khái niệm, định lí quy tắc - phương pháp, không đề cập tới tình DH giải tập tốn học) Để thực biện pháp này, GV tìm kiếm thiết kế nhiệm vụ gắn với ngữ cảnh phù hợp với dạy nhờ luận điểm “Hiện tượng học DH” tất tình xuất tri thức mơn Tốn cần dạy Nhiệm vụ khơng thiết phải tốn thực tiễn (theo nghĩa hẹp), nhiên cần HS cần chấp nhận thấy cần thiết phải giải Các nhiệm vụ thiết kế cài đặt để tạo hội cho HS khám phá lại tri thức Toán học (từ chưa thức tới thức) xuất phát từ vốn sống, kinh nghiệm, tri thức sống 166 Bàn tiếp cận số biện pháp vận dụng lí thuyết RME dạy học mơn Tốn Việt Nam tri thức mơn Tốn thân Các câu trả lời giải pháp HS ban đầu giải vấn đề cụ thể tình (“mơ hình của”), sau khái quát hóa, phát triển, điều chỉnh để giải vấn đề khác (“mơ hình cho”) GV linh hoạt tổ chức cho HS làm việc cá nhân hợp tác Cách khác chất với cách GV thường làm đặt vấn đề đầu giảng nội dung có liên hệ với thực tiễn, dạy kiến thức toán học, hướng dẫn HS vận dụng kiến thức vừa học để giải vấn đề đặt ban đầu Biện pháp thể luận điểm “Toán học hoạt động người”, “Khám phá lại có hướng dẫn” “Hiện tượng học DH” Freudenthal tuân thủ nguyên tắc sử dụng ngữ cảnh, sử dụng mơ hình, sản phẩm HS, ngun tắc tương tác RME Ví dụ Dạy Chương Đường thẳng mặt phẳng không gian Quan hệ song song, bắt đầu tình huống: Để quay video DH trực tuyến mùa dịch nCovid-19, thầy giáo Phượng phải thử phương án bố trí camera điện thoại đến lần thứ hai ưng ý: Khn hình lần bị “méo”, khn hình lần hai ngắn đẹp Đồng nghiệp hỏi kĩ thầy Phượng cho biết, phương án lần hai thầy ưng ý nên sử dụng, với thiết bị bố trí từ vật dụng có sẵn đơn giản, dễ làm Em thử giải thích tượng tình nói trên: Thiết bị bố trí mà lại tạo khung hình “méo”? Tại thầy Phượng không ưng với phương án này? Bố trí thiết bị làm giúp thầy Phượng có khung hình ưng ý? Đây tình khơng thân thuộc với kiến thức, kinh nghiệm HS (realistic) mà cịn có thật (authentic) cơng việc tác giả (có thể xem ảnh thực tế khung hình “méo” https://bit.ly/3hz3CFe, khung hình “ngay ngắn, đẹp” https://bit.ly/2CPNuAD phương án bố trí điện thoại làm camera https://bit.ly/2ByqLZb) Các đồng nghiệp quan tâm dễ dàng tạo hình ảnh tương tự để sử dụng lớp học Tình có tiềm sư phạm phong phú giúp: gợi động hoạt động - tích cực hóa hoạt động HS, phát triển lực mơ hình hố tốn học, lực 2.2.2 Giải hợp lí mối quan hệ “tốn học vị toán học” “toán học vị nhân sinh” Cuộc tranh luận toán học vị toán học toán học vị nhân sinh xuất vào năm 80 trào lưu Toán học lan rộng khắp giới Theo quan điểm vị toán học, người ta dạy trường phổ thông từ sớm nội dung tốn có sẵn, tốn hình thức, theo tinh thần Bourbaki Là nhóm nhà tốn học hàng đầu Pháp (trong có Henri Cartan, André Weil, Jean Dieudonné, Lorent Schwartz, Jean-Pierre Serre, Alexander Grothendieck, Serge Lang, Jean-Christophe Yoccoz), Bourbaki chủ trương viết lại cho hoàn chỉnh toàn sở toán học đại nhằm phục vụ cho đào tạo chun ngành tốn bậc đại học Đóng góp lớn lao, có tính cách mạng nhóm Bourbaki nghiên cứu toán học GDTH bậc đại học phủ nhận Tuy nhiên, dường theo cách khơng chủ định, nhiều lí xã hội, lịch sử, tinh thần Bourbaki lại trở thành nguồn khởi phát quan trọng trào lưu Tốn học GDTH bậc phổ thơng Những tín đồ Tốn học có xu hướng phủ định đường từ trực quan đến trừu tượng nhận thức HS (dù từ lớp nhỏ), ngược lại nhấn mạnh giá trị hệ thống ký hiệu hồn tồn hình thức phép suy diễn logic chặt chẽ, hoàn hảo Các khái niệm phải định nghĩa, định lí phải chứng minh - ngôn ngữ tập hợp, mệnh đề cấu trúc đại số Dường họ, dạy tốn phổ thơng hồn tồn khơng có chỗ cho mơ tả, trực quan, thực nghiệm [25] 167 Lê Tuấn Anh Trần Cường Ngược lại, nhà viết sử RME nhận định, lí thuyết giúp cho GDTH Hà Lan tránh ảnh hướng cực đoan Tốn học [26] Lí thuyết RME tất nhiên khơng phủ định hồn tồn giá trị “toán học vị toán học” New Math mềm dẻo nhiều, nói đề cao “tốn học vị nhân sinh”, hiểu dạng toán học xuất phát từ sống thường nhật người, giải nhu cầu sống hữu ích cách trực tiếp - Khi cố gắng đo chiều cao để định xem dùng làm cột nhà hay không, người thợ mộc tiến hành hoạt động sống, thông thường bị vào hoạt động chặt hạ (nếu ưng ý) tìm khác (nếu không ưng) Mọi kiến thức, kinh nghiệm mà người thợ huy động (mặc dù chưa phải tri thức tinh tuý nhân loại) dạng toán hoạt động sống, khơng phép tuyệt đối hố cũng có giá trị giáo dục đáng tơn trọng lí thuyết RME - Giả sử có người thợ mộc thơng minh Trong tất phương pháp ước lượng, đo trực tiếp thất bại, ngược lại óc quan sát tinh tường lại giúp người thợ để ý thấy có thời điểm, bóng chiều cao xấp xỉ Anh ta đo bóng cây, đốn chiều cao thấy phù hợp, định chặt hạ thành cơng (kiểm tra lại thấy ưng ý) Người thợ có kinh nghiệm nhờ phát minh lại tính chất tam giác đồng dạng cách ẩn tàng, mà hồn tồn khơng dùng đến khái niệm toán học song song, tam giác, vng góc, đồng dạng, khơng có phép chứng minh để đảm bảo thu định lí tốn học - Câu chuyện giả định người thợ mộc phù hợp với quan niệm tượng học DH lí thuyết RME Một GV toán định sử dụng ngữ cảnh câu chuyện người thợ mộc để dạy tam giác đồng dạng, dừng lại sau giải vấn đề đo cây, dĩ nhiên chưa dạy tri thức toán học thực (vị toán học) Bù lại, tin người thầy xuất phát từ học trò với kinh nghiệm, hiểu biết họ để tới gần đáp án câu hỏi cốt lõi Freudenthal đặt ra: Tại cần DH mơn Tốn theo cách thực có ích? [13, p 10], dạy dạng tốn học “vị nhân sinh” Chúng tơi tin rằng, muốn đảm bảo thực mục tiêu phát triển lực người học GDTH phổ thông, cần phải giải hợp lí mối quan hệ “tốn học vị toán học” “toán học vị nhân sinh” * Chấp nhận mô tả thay cho định nghĩa chặt chẽ số trường hợp Ví dụ Khái niệm Tọa độ điểm (Hình học 12) định nghĩa kiến thiết dựa định lí biểu diễn vectơ Hiểu phát biểu ý nghĩa định lí chướng ngại thật sự, sinh viên ngành toán Dùng phương tiện trực quan truyền thống vidéo tạo phần mềm mô phỏng, (có sẵn phong phú Internet, chẳng hạn: Extramarks, https://www.youtube.com/ watch?v=LCYyisXSpio; Designmate, https://www.youtube.com/ watch?v=3dNL_aOVuQ4) giúp HS dễ dàng tiếp cận khái niệm “tọa độ điểm khơng gian” theo cách hồn tồn tự nhiên Theo chúng tôi, cách sử dụng phương tiện trực quan để mơ tả hồn tồn chấp nhận được, không thiết dạy kỹ định lý biểu diễn vectơ (mà thực chất tính chất không gian vectơ hữu hạn chiều đại học) * Vận dụng hợp lí phép “chứng minh khơng lời” Chứng minh không lời (PWW: Proof Without Words) khái niệm đưa tác giả Brown JR ([27], 1999) dùng để cách biểu diễn toán học tập hợp liệu (thiên kênh hình: ảnh, hình vẽ minh hoạ, sơ đồ, video,…) với (thậm chí khơng có) kí hiệu, biểu thức tốn học, diễn giải lời, người xem hiểu thông điệp ẩn chứa mà không cần nhiều kiến thức chuẩn bị toán Tự cách xếp, liên kết liệu biểu diễn, phiên dịch ngơn ngữ tốn học thu phần tương đối hoàn chỉnh phép chứng minh 168 Bàn tiếp cận số biện pháp vận dụng lí thuyết RME dạy học mơn Tốn Việt Nam Chứng minh khơng lời với chứng minh tao nhã hai dạng thức mang nhiều vẻ đẹp tốn học, khơng chặt chẽ đầy đủ chứng minh tiêu chuẩn có giá trị lớn DH hình học (Sigler, Segal, Stupel, [28]) Một phép chứng minh khơng lời thích hợp khơng mang vẻ đẹp tốn học mà bối cảnh mà định lí tốn học thể nghĩa (hình học trực quan) nó; mơ hình trực quan, mơ hình định lí; GV khéo léo tổ chức hoạt động phù hợp, định lí tốn học cuối sản phẩm tự nhiên, tất yếu thu nhờ hoạt động, cịn hoạt động giàu Hình Chứng minh khơng lời cho cơng thức cộng cung (nguồn http://trigonography.com/2015/09/28/ angle-sum-and-difference-for-sine-and-cosine/) tính tương tác HS, nguyên liệu không môn Tốn hay phân mơn riêng biệt, gần gũi với trải nghiệm họ; Việc vận dụng hợp lí phép chứng minh khơng lời, chí số trường hợp chấp nhận thay cho chứng minh tiêu chuẩn (gọn gàng, chặt chẽ trừu tượng, khó hiểu với đa số HS), theo chúng tơi thể nguyên tắc DH lí thuyết RME Ví dụ (Hình 2) Phép chứng minh không lời cho Công thức cộng cung (Đại số 10) Có thể dùng trống có đánh số che bớt nhãn hình vẽ (chỉ để lại số 1) u cầu HS dần hồn thiện theo thứ tự Muốn sinh động hấp dẫn dạng thi nhóm, hướng tới việc HS tự nhận (tự phát biểu được) công thức cộng cung sau biểu diễn cạnh đối diện hình chữ nhật theo hai cách * Trong số trường hợp, chấp nhận “lời giải” thực nghiệm máy tính điện tử Trong hàm ý tính từ “realistic” lí thuyết RME gắn với có thực suy nghĩ, trải nghiệm người học, ý tới trải nghiệm với thiết bị số tràn ngập đời sống nay: người học hàng liên tục tiếp xúc với máy tính điện tử (laptop, PC), máy tính bảng, điện thoại thơng minh Với phát triển vũ bão hệ tính tốn hình thức (CAS: Computer Algebra System), máy tính điện tử có khả giải lớp tốn có thuật giải cách nhanh chóng, hiệu Những hệ thống ngày trở nên dễ tiếp cận: với trình duyệt máy tính xách tay máy tính để bàn, đặc biệt điện thoại thông minh Hơn nữa, trước phần mềm tính tốn, cho kết ngày nhiều lớp toán (đặc biệt phổ thơng) CAS giải trọn vẹn: khơng cho kết tính tốn mà cịn chi tiết bước giải; không cho đáp số gần mà cịn cho kết hình thức Chú ý dạy tốn học vị nhân sinh, khơng thể bỏ qua tính thực dụng cơng cụ giúp giải nhanh chóng, hiệu hàng loạt vấn đề, tiết kiệm thời gian, công sức Chúng cho rằng, không thể, không nên cấm HS sử dụng CAS Vì tập trung nhiều vào dạy tính, GV dễ dàng trở nên lạc hậu Điều nên làm hơn, khó khăn vất vả nhiều hướng dạy toán: giúp HS hiểu ý nghĩa toán, hiểu khả năng, hạn chế làm chủ công cụ Tận dụng hợp lí CAS khơng mâu thuẫn với lí thuyết RME, trái lại cịn biện pháp có triển vọng tăng cường hứng thú học tập cho HS, tạo động lực cho GV tự hồn thiện phải cạnh tranh lành mạnh với thiết bị số giúp tạo thêm không gian, thời gian tổ chức hoạt động học tập 169 Lê Tuấn Anh Trần Cường Ví dụ Tìm ngun hàm (SGK Giải tích 12 nâng cao, tr 145) Với phần mềm Photomath cài đặt điện thoại thông minh, việc phải làm quét tập caméra điện thoại mở Photomath (video: https://bit.ly/3g6wsNc) Theo quan điểm chúng tôi, nên chấp nhận lời giải thực nghiệm kiểu này, kết hợp với số yêu cầu khác như: Nhận dạng tính chất sử dụng bước giải (mặc dù số có giải thích chi tiết phần mềm); Viết lại lời giải hồn chỉnh, ngắn gọn; Giải thích hợp lí phần mềm lại cho lời giải vậy; Nhận xét, bình luận, nghiên cứu sâu lời giải 2.2.3 Tăng cường nhiệm vụ, tập thực tiễn Để tránh gây tranh cãi quan niệm tính thực tiễn tập thực tiễn, khảo sát SGK THPT hành (bộ bản), thống kê cách học tập có chất liệu ngồi mơn Tốn, nghĩa đề có sử dụng dù từ vựng khơng thuộc nội dung mơn Tốn Kết cho thấy chương trình tốn 2006 dành 9,6% hoạt động củng cố - luyện tập, thông qua giải tập toán học, cho toán dạng (Đại số 10: 39/188 = 20,7%; Hình học 10: 5/118 = 4,2%; Đại số Giải tích 11: 37/182 = 20,3%; Hình học 11: 1/116 = 0,9%; Giải tích 12: 0/143 = 0,0%; Hình học 12: 0/107 = 0,0%!) Nói cách khác, bình diện kĩ vận dụng tri thức tốn học (trong nội mơn Tốn, vận dụng thức mơn học khác vận dụng mơn Tốn thực tiễn), tới 90,4% dung lượng học dành cho bình diện Có thể nói, tập nhiệm vụ giao cho HS mơn Tốn cịn q nặng kĩ thuật tính tốn, xa rời chất sáng toán học dễ gây cảm xúc tiêu cực, nhàm chán cho HS Chúng tin cần tinh giản kiểu yêu cầu - nhiệm vụ nặng nề, hàn lâm vậy, ngược lại phải đa dạng hóa nhiệm vụ học tập HS với tăng cường yếu tố thực tiễn (realistic) Bài tập thực tiễn, Bài tập giải thích tượng Nhiệm vụ có thực hành - vận dụng gợi ý giàu tiềm năng, minh hoạ * Tăng cường tập, nhiệm vụ với chất liệu ngồi mơn Tốn Các tập thực tiễn tuân thủ nguyên tắc RME gần với tình sở, nơi mà tri thức thể nghĩa nó, chắn tồn theo giả thuyết xuất phát lí thuyết tình Ví dụ Bài tập thực tiễn Hình không gian (lớp 11) Tọa độ không gian (lớp 12): Trong phòng học, với đồ dùng học tập thông thường (không dùng thước laser chuyên dụng!!!), ước tính khoảng cách từ điểm (những) mặt bàn học tới điểm trung tâm mặt bảng theo đơn vị mét Có thể hướng HS tới hai giải pháp: theo phương pháp “hình học tổng hợp”, sử dụng nhiều lần định lí Pythagore; gắn hệ tọa độ Descartes để áp dụng cơng thức khoảng cách Tình triển khai phịng học thực tế bình đồ (GV tự chuẩn bị, khai thác Internet, chẳng hạn nguồn Alexandra Santiago https://sites.google.com/ site/classroomfordynamicliteracy/part-i), cách có ưu thế, tiềm định * Bổ sung thích hợp dạng nhiệm vụ “giải thích tượng thực tiễn kiến thức toán học” Nhiều tượng thực tiễn thường gặp tưởng chừng đơn giản, hiển nhiên để hiểu tới ngành, giải thích thực thấu đáo lại cần tới kiến thức toán học sâu sắc Tình nhìn thấy đơn giản mà nội dung (tốn) sâu sắc thường thuận lợi để gợi động học tập tích cực, giúp HS thấy vẻ đẹp, ý nghĩa, giá trị tri thức toán học 170 Bàn tiếp cận số biện pháp vận dụng lí thuyết RME dạy học mơn Tốn Việt Nam Ví dụ Hình ảnh đường ellipse cốc nước SGK Hình học 10 (ban bản, NXB Giáo dục, 2010) mở đầu dạy hình ảnh vệt nước in thành cốc bóng biển báo giao thơng in mặt đường để giới thiệu có mặt hình ellipse thực tế (Hình 3.18 tr 84, gọi tắt 3.18) Vấn đề là, trang sau, đường ellipse định nghĩa hoàn tồn mặt phẳng, khơng có yếu tố khơng gian tập hợp điểm có tổng khoảng cách không đổi tới hai điểm cho trước Tại vệt nước thành cốc hình 3.18a có dạng ellipse? Hình ellipse thành cốc (3.18a) tạo thành có cách với ellipse in bóng mặt đường (3.18b) hay không? * Tăng cường tập thực hành - vận dụng thực tiễn Không thể phủ nhận vai trò, giá trị tập thực hành, vận dụng tất mơn học mơn Tốn nói riêng Sở dĩ chúng tơi giữ lại, chí nhấn mạnh loại nhiệm vụ liên quan tới thực hành vận dụng khuyến cáo cộng đồng GDTH nhận thức tầm quan trọng việc triển khai thực tế dạng nhiệm vụ lớp học cịn nhiều hạn chế, khó khăn, từ bước đầu tiên: có (lấy đâu ra) tập thực hành - vận dụng có giá trị? Ví dụ Ứng dụng tích phân (Giải tích 12) / Mặt trịn xoay (Hình học 11) GV phát cho nhóm (cặp) HS cốc giấy dùng lần (loại trắng khơng hoa văn, thường có hình dạng hình nón cụt), u cầu nhóm (i) kiểm tra dung tích cốc so với công bố nhà sản xuất (ii) vạch vạch đánh dấu nửa dung tích cốc (iii) báo cáo kết Dụng cụ cho phép sử dụng hạn chế tuỳ theo dụng ý GV nên yêu cầu HS làm nhiều phương án, lập bảng biểu để đối chiếu: dùng bình chia độ với nước (cát) dùng thước centimet đồ dùng học tập thông thường Rất nhiều hoạt động chuyển giao, nhiều tượng làm để u cầu giải thích, tranh luận: làm chấp nhận hình chóp cụt mơ hình cốc (chỉ nhìn giống?!); Làm đo xác chiều cao cốc ta hồn tồn khơng có “đường cao” vẽ sẵn mơ hình? Làm đo bán kính đáy miệng cốc? Cơng thức thích hợp? Tương quan vị trí vạch thành cốc với dung tích nước chứa tới đó? Kết luận RME xu hướng DH có nhiều điểm tích cực, phù hợp với CTGDPT mơn Tốn năm 2018 Việc tiếp cận triển khai ý tưởng lí thuyết GDTH thực tiễn nước ta thời điểm phù hợp, cần thiết Tuy nhiên có số vấn đề cần bàn thảo kỹ chuyển ngữ RME sang tiếng Việt, việc đồng RME với vận dụng, liên hệ ứng dụng Tốn học, đồng mơ hình hóa tốn học với mơ hình RME Bài báo khảo cứu thư mục tài liệu gốc, nghiên cứu công bố nhà khoa học nước để đưa cách hiểu gần với nguyên lí thuyết RME Xuất phát từ hiểu biết lí thuyết RME, tư tưởng CTGDPT mơn Tốn 2018, tổng kết kinh nghiệm nghiên cứu, đào tạo, đề xuất biện pháp (được trình bày nhóm với ví dụ minh hoạ thuộc chương trình tốn THPT) nhằm vận dụng đúng, hiệu tinh thần RME DH mơn Tốn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Van den Heuvel-Panhuizen, M., 2000 Mathematics education in the Netherlands: A guided tour Freudenthal Institute CD Rom for ICME Utrecht: Utrecht University 171 Lê Tuấn Anh Trần Cường [2] Van den Heuvel-Panhuizen, M (Editors), 2020 International Reflections on the Netherlands Didactics of Mathematics: Visions on and Experiences with Realistic Mathematics Education (ICME-13 Monograph) Springer Open [3] Nguyen Thuy Thanh, 2005 Learning to teach Realistic Mathematics in Vietnam (dissertation) University of Amsterdam [4] Le Tuan Anh, 2006 Applying Realistic Mathematics Education in Vietnam: Teaching middle school geometry (dissertation) University of Potsdam [5] Nguyen Phu Loc, Mai Hoan Hao, 2016 Teaching Mathematics based on “Mathematization” of Theory of Realistic Mathematics Education: A Study of the linear function z = ax + b The International Journal of Engineering and Science, Volume 5, Issue 6, pp 20- 23 [6] Trần Cường, Nguyễn Thùy Dun, 2018 Tìm hiểu lí thuyết Giáo dục Toán học gắn với thực tiễn vận dụng xây dựng tập thực tiễn dạy học mơn Tốn Tạp chí Giáo dục, Số đặc biệt, kì 2, tháng [7] Nguyen Tien Trung, 2018 Some suggestion on the application of the Realistic Mathematics Education and the Didactical situations in mathematics teaching in Vietnam HNUE Journal of Science Vol 63, Issue 9, pp 24-33 [8] Nguyen Tien Trung, Trinh Phuong Thao, Tran Trung, 2018 Realistic mathematics education (RME) and didactical situation in mathematics (DSM) in the context of education reform in Vietnam Journal of Physics: Conference Series, Volume 1340, International Annual Meeting on STEM Education (I AM STEM) 2018 13-15, Avani Khon Kaen Hotel, Thailand [9] Tien-Trung Nguyen, Thao Phuong Thi Trinh, Hang Thu Vu Ngo, Ngoc Anh Hoang, Trung Tran, Hiep Hung Pham, Van Nghi Bui, 2020 Realistic Mathematics Education in Vietnam: recent policies and practices International Journal of Education and Practice, 8(1): 57-71 [10] Treffers, A., 1987 Three dimensions: A model of goal and theory and theory description in mathematics instruction- The Wiskobas project Dordrecht: Kluwer [11] De Lange, J., 1987 Mathematics, insight and meaning: Teaching, learning and testing of mathematics for the life and social sciences Utrecht: OW & OC [12] Van den Heuvel - Panhuizen, M., 2003 The didactical use of models in Realistic Mathematics Education: An example from a longitudinal trajectory on percentage Educational Studies in Mathematics, 54 (1), 9-35 [13] Van den Heuvel - Panhuizen, M., 1996 Assessment and Realistic Mathematics Education CD-β Press [14] Hans Freudenthal, 1991 Revisiting Mathematics Education: China Lectures Springer [15] Freudenthal, H., 1983 Didactical phenomenology of mathematical structures Dordrecht: Reidel [16] Gravemeijer, K.; Doorman, M., 1999 Context problems in Realistic Mathematics Education: a calculus course as an example Educational Studies in Mathematics, 39, 111-129 [17] Freudenthal, H., 1973 Mathematics as an educational task Dordrecht: Reidel [18] Meyer, M R.; Dekker, T.; Querelle, N., 2001 Context in mathematics curricula Mathematics Teaching in the Middle School, (9), 522-527 [19] Gravemeijer, K.P.E., 1994 Developing Realistic Mathematics Education (Dissertation) CD-ß Press / Freudenthal Institute [20] Gravemeijer, K.P.E., 2004 Emergent modeling as a precursor to mathematical modeling In H W Henn; W Blum (Eds.) ICME 14: Applications and Modelling in Mathematics Education, Pre-Conference Volume (pp 97-102) Dortmund: University of Dortmund 172 Bàn tiếp cận số biện pháp vận dụng lí thuyết RME dạy học mơn Toán Việt Nam [21] Streefland, L., 1990 Free productions in teaching and learning mathematics In K Gravemeijer; M Van den Heuvel-Panhuizen; L Streefland (Eds.) Contexts, free productions, tests and geometry in Realistic Mathematics Education (pp 33-52) Utrecht: OW & OC [22] Bộ Giáo dục Đào tạo, 2018a Chương trình Giáo dục phổ thơng Chương trình tổng thể [23] Bộ Giáo dục Đào tạo, 2018b Chương trình Giáo dục phổ thơng mơn Tốn [24] Đỗ Đức Thái, Đỗ Đức Bình, 2019 Về hình học trực quan cấp trung học sở chương trình mơn Tốn Tạp chí khoa học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, số 4, tr 111-120 [25] Jeremy Kilpatrick, 2012 The new math as an international phenomenon ZDM, 44(4), pp 563-571 [26] Marja Van den Heuvel-Panhuizen and Paul Drijvers, 2014 Realistic Mathematics Education, in S Lerman (ed.) Encyclopedia of Mathematics Education, Springer [27] Brown JR, 1999 Philosophy of mathematics: an introduction to the world of proofs and pictures New York, (NY) Routledge [28] Avi Sigler, Ruti Segal & Moshe Stupel, 2016 The standard proof, the elegant proof, and the proof without words of tasks in geometry, and their dynamic investigation International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, Vol 47(8), pp 1226-1243 [29] Bui Van Nghi, 2010 Connecting mathematics with real life Journal of Science of HNUE, Vol 55, No 1, pp 3-7 ABSTRACT Approaching and proposing some measures for applying RME theory in teaching and learning mathematics in Vietnam Le Tuan Anh and Tran Cuong Faculty of Mathematics, Hanoi National University of Education This article presents our theoretical research and experience-based results related to exploring and applying Realistic Mathematics Education (RME) in Vietnam We approach original RME researches as well as recent RME literature to discuss the full understanding of RME and propose didactical measures for applying RME in teaching and learning mathematics so that they have been suitable for a fundamental and comprehensive innovation in mathematics education in Vietnam since 2018 Together with some well-selected illustrated examples, the measures expressing our ideas are useful and helpful for high school mathematics teachers who want to apply RME to their teaching Keywords: Realistic Mathematics education, teaching and learning mathematics, measures, realistic problems 173 .. .Bàn tiếp cận số biện pháp vận dụng lí thuyết RME dạy học mơn Tốn Việt Nam Nội dung nghiên cứu 2.1 Cơ sở lí luận, tiền đề điều kiện để vận dụng RME Việt Nam 2.1.1 Những luận điểm nguyên tắc RME. .. chưa thống số điểm RME - Đồng RME với việc liên hệ, vận dụng Toán học vào thực tiễn ứng dụng Toán học Một số nhà nghiên cứu tiêu biểu RME phân biệt RME với việc liên hệ vận dụng Toán học vào thực... phá lại tri thức Toán học (từ chưa thức tới thức) xuất phát từ vốn sống, kinh nghiệm, tri thức sống 166 Bàn tiếp cận số biện pháp vận dụng lí thuyết RME dạy học mơn Tốn Việt Nam tri thức mơn