Giải Toán dạng Chia hết Bậc THCS

1 2 KẾT CẤU ĐỀ TÀI Phần thứ nhất: NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG. 1. Tên đề tài: Hướng dẫn giải dạng “toán chia hết” trong chương trình toán THCS. 2. Tính cấp thiết của vấn đề nghiên cứu. 2.1. Lí do về mặt lí luận. 2.2. Lí do về mặt thực tiễn. 3. Đối tượng nghiên cứu. 4. Phạm vi nghiên cứu. 5. Mục đích nghiên cứu. Phần thứ II: NỘI DUNG I. Cơ sở lý luận và thực tiễn của đề tài. II. Thực trạng của vấn đề. III. Giải quyết vấn đ. A. Cơ sở lý thuyết 1. Tính chất chia hết của một tổng, một hiệu, một tích. 2. Dấu hiệu chia hết cho 2; 4; 5; 6; 3; 9; 8. 3. Đồng dư. 4. Nguyên tắc đirichlê. 5. Phương pháp chứng minh quy nạp. 6. Chứng minh bằng phương pháp phản chứng. Phần thứ II: NỘI DUNG I. Cơ sở lý luận và thực tiễn của đề tài. II. Thực trạng của vấn đề. III. Giải quyết vấn đ. A. Cơ sở lý thuyết. B. Các dạng toán. Dạng 1: Tìm các chữ số chưa biết của một số. Dạng 2: Chứng minh chia hết đối với biểu thức số. Dạng 3: Chứng minh chia hết đối với biểu thức chứa chữ. Dạng 4: Tìm điều kiện để 1 bài toán chia hết cho 1 số hoặc chia hết cho 1 biểu thức. Phần thứ III: KẾT LUẬN, KẾT QUẢ, KIẾN NGHỊ Trên đây là 1 số dạng “toán chia hết” thường gặp trong chương trình toán THCS. Mỗi dạng toán có những đặc điểm khác nhau và còn có thể chia nhỏ từng dạng trong mỗi dạng trên. Việc phân dạng như trên giúp học sinh dễ tiếp thu hơn và thấy được trong từng bài toán ta nên áp dụng kiến thức nào cho phù hợp. Mỗi dạng toán tôi chọn 1 số bài toán cơ bản điển hình để học sinh hiểu cách làm và từ đó để làm các bài tập mang tính tương tự và dần nâng cao lên. Sau một số năm làm như vậy ở các lớp 6; 7; 8; 9 trong tiết luyện tập, trong quá trìnhbồi dưỡng học sinh giỏi, trong một số tiết tự chọn lớp 9 tôi thấy học sinh có sự tiến bộ hơn rất nhiều. Các em dần thích thú say mê khi gặp dạng toán này. Số đông các em không còn lúng túng thiếu tự tin như trước nữa, trong các em đã có sự chuyển biến rõ rệt. Mặc dù đề tài đạt được một số kết quả nhất đònh song không tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế. Rất mong nhận được ý kiến góp ý của các bạn đồng nghiệp để đề tài phong phú, có hiệu quả hơn. Giải pháp này có thể sử dụng làm chủ đề tự chọn “phần nâng cao”. 3 Phần I: NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG CỦA ĐỀ TÀI. 1. Tên đề tài: Hướng dẫn giải dạng “toán chia hết” Hướng dẫn giải dạng “toán chia hết” trong chương trình toán THCS. trong chương trình toán THCS. 2. Tính cấp thiết của vấn đề nghiên cứu 2.1. Lí do về mặt lí luận: Khả năng giáo dục của môn Toán rất to lớn, nó có khả năng phát triển tư duy lôgíc, khái quát hoá, phân tích tổng hợp, so sánh dự đoán, chứng minh và bác bỏ. Nó còn có vai trò rèn luyện phương pháp suy nghó, suy luận, … Ở bậc trung học cơ sở việc dạy dạng “toán “toán chia hết” chia hết” cho học sinh là rất cần thiết nhằm mục đích phát triển cho học sinh đầy đủ các yếu tố nêu trên. 4 2.2. Lí do về mặt thực tiễn: Thực tiễn dạy và học bộ môn Toán ở Trường THCS Số 2 Bình Nguyên, có nhiều vấn đề phải quan tâm, giải quyết lâu dài, kỹ năng giải toán, các phép biến đổi cơ bản, phương pháp giải toán, của học sinh khối 6 còn yếu rất nhiều, theo cuộc điều tra về việc giải toán của học sinh hai lớp sáu vừa qua thì có tới hơn 50% học sinh đạt điểm dưới trung bình, rất nhiều học sinh yếu toán. Vậy vấn đề đặt ra là nếu chúng ta cứ lo phụ đạo học sinh yếu toán mà không chăm lo bỗi dưỡng học sinh học khá, giỏi môn toán thật là một thiệt thòi lớn đối với các em vấn đề này phải thực hiện song song với nhau. Nhận thức vấn đề trên, Tôi muốn truyền đạt cho các em nhiều dạng toán để cung cấp cho các em những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo để giải toán, … Một trong dạng toán đó là dạng “toán chia hết”. 5 3. Đối tượng nghiên cứu: Hướng dẫn giải dạng “toán chia hết” cho học sinh khá, giỏi trong chương trình toán bậc trung học cơ sở. 4. Phạm vi nghiên cứu: Thời gian nghiên cứu từ ngày 10 tháng 9 năm 2009 đến ngày 14 tháng 10 năm 2011. Đòa điểm tại trường THCS Số 2 Bình Nguyên, Bình Sơn, Quảng Ngãi gồm các khối lớp 6 đến lớp 9. 5. Mục đích nghiên cứu: Giúp các em học sinh nắm chắc các phương pháp giải dạng toán “chia hết”, hình thành cho các em các kỹ năng suy luận, biến đổi, nhận dạng và thể hiện tốt lời giải bài toán. 6 PHẦN THỨ II: NỘI DUNG I. Cơ sở lý luận và thực tiễn của đề tài Phương pháp giải toán: Là toàn bộ những thủ thuật toán được sắp xếp theo trình tự nhất đònh và vận dụng sáng tạo để tìm ra kết quả bài toán. Thủ thuật: Phép giải mang tính linh hoạt, hợp lí, sáng tạo để giải quyết một khâu hay cả bài toán. Giải bài toán: Là việc làm tìm ra ẩn số, tức tìm ra đáp số của bài toán. Muốn tìm ra ấn số phải là một quá trình suy luận. Chính vì thế nên gọi việc giải toán là một quá trình hoạt động trí tuệ của học sinh. Là một giáo viên dạy toán tôi muốn các em chinh phục được nó, và không chút ngần ngại khi gặp dạng toán này. Nhằm giúp cho các em phát triển tư duy suy luận, óc phán đoán, kỹ năng trình bày linh hoạt. Hệ thống các bài tập tôi đưa ra đều từ dễ đến khó, bên cạnh đó còn có các bài tập nâng cao cho học sinh giỏi. Lượng bài tập áp dụng tương tự cũng tương đối nhiều, nên các em có thể tự học, tự chiếm lónh tri thức thông qua hệ thống bài tập áp dụng này điều đó giúp các em hứng thú học tập hơn rất nhiều. 7 II. Thực trạng của vấn đề. Dạng toán “Chia hết” được đề cập trong sách giáo khoa ngay từ đầu lớp 6 đến lớp 9, và mỗi lớp có yêu cầu khác nhau nên làm cho người học và người dạy rất vất vả nhất là các em học sinh khối 8 và khối 9. Thông thường khi dạy dạng toán này giáo viên lại phải nhắc lại các kiến thức cơ bản học ở lớp dưới làm mất rất nhiều thời gian cho tiết dạy. Kỹ năng biến đổi để làm xuất hiện các yếu tố chia hết trong biểu thức số hay biểu thức đại số của các em còn chưa linh hoạt, có những bài toán rất đơn giản mà các em biến đổi chứng minh rất dài dòng và phức tạp, thực chất nếu các em nắm chắc các phương pháp giải dạng toán chia hết thì chứng minh rất đơn giản. Trong quá trình giảng dạy nhiều giáo viên không hay để ý tới dạng toán này, vì dạng toán này thường được đặt dưới bài toán cụ thể trong sách giáo khoa nên không nghó đó là trọng tâm của bài. Bên cạnh đó nếu có giải thì cũng chưa yêu cầu học sinh làm thêm trong sách bài tập hay ra ngoài phạm vi sách giáo khoa để rèn luyện kỹ năng, phát triển tư duy cho học sinh. Mặt khác tài liệu tham khảo viết về dạng toán này hầu như không có trong thư viện nhà trường, các chủ đề tự chọn cũng chưa được giáo viên nào đề cập tới mà yêu cầu về bồi dưỡng học sinh giỏi lại có dạng toán “Chia hết” trong chương trình. Từ những suy nghó đó và thực tế giảng dạy tôi đã mạnh dạn viết đề tài này. 8 1. Tính chất chia hết của một tổng, một hiệu, một tích. a m a b m b m  ⇒ +   M M M * Nếu a m a b m b m * Nếu  ⇒ −   M M M a m a.b m b m * Nếu  ⇒   M M M * Nếu a m ⇒ a n m (n là số tự nhiên). M M 9 2. Dấu hiệu chia hết cho 2; 4; 5; 6; 3; 9; 8. * Dấu hiệu chia hết cho 2: Một số chia hết cho 2 khi và chỉ chi số ấy có chữ số tận cùng là chữ số chẵn (0; 2; 4; 6; 8) * Dấu hiệu chia hết cho 5: Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi số ấy có chữ chữ số tận cùng là 0 hoặc 5. * Dấu hiệu chia hết cho 3: Một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số đó chia hết cho 3. * Dấu hiệu chia hết cho 9: Một số chia hết cho 9 khi và chỉ khi tổng các chữ số đó chia hết cho 9. * Dấu hiệu chia hết cho 6: Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó đồng thời chia hết cho 2 và cho 3. 10 2. Dấu hiệu chia hết cho 2; 4; 5; 6; 3; 9; 8. * Dấu hiệu chia hết cho 4: Một số chia hết cho 4 khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng lập thành một số chia hết cho 4. * Dấu hiệu chia hết cho 8: Một số chia hết cho 8 khi và chỉ khi số đó có ba chữ số tận cùng lập thành một số (có 3 chữ số) chia hết cho 8. * Dấu hiệu chia hết cho 10: Một số chia hết cho10 thì có chữ số tận cùng bằng 0 và đảo lại. * Dấu hiệu chia hết cho 11: Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số của nó “đứng ở vò trí lẻ” và tổng các chữ số “đứng ở vò trí chẵn” (kể từ trái sang phải) chia hết cho 11. [...]... CÁC DẠNG TOÁN 1 Dạng 1: Tìm các chữ số chưa biết của một số Bài toán 1: Tìm các chữ số a và b sao cho 19ab chia hết cho 5 và chia hết cho 8 Hướng dẫn: Để tìm được a và b học sinh phải thấy được 2 dấu hiệu cơ bản đó là số đó chia hết cho 5 và cho 8 Vì 19ab chia hết cho 5 nên chữ số tận cùng b = 0 hoặc b = 5 19ab Vì chia hết cho 8 nên suy ra b 19a0 = 0 19a0 19a0 Mặt khác chia hếta0 8 suy ra cho chia hết. .. + 1) chia hết cho 5 Và 3921 + 1 = 40(3920 − 3919+ … +1) chia hết cho 5 Suy ra: (2139 − 1) + (3921 + 1) chia hết cho 5 Mặt khác 2139 − 3921 = (2139 − 339) + (3921 − 321) + (339 + 321) Mà 2139 − 339= 18(2138 + … +338) chia hết cho 9 2139 − 339 = 36(3920 + … + 320) chia hết cho 9 Và 339 + 321= 321(318 + 1) = (33)7 (318+ 1) chia hết cho 9 Mà (5;9) = 1 nên 2139 + 3921 M 45 20 Dạng 2: Chứng minh chia hết. .. (739 318+ 1321) chia hết cho 9 21 Dạng 2: Chứng minh chia hết đối với biểu thức số Bài toán 1: Chứng minh rằng: 2139 + 3921 M 45 *Cách 3 Ta có: 21 ≡1 (mod 20) 39 ≡ −1 (mod 20) Vậy 2139 + 3921 ≡ 139 + (−1)21 ≡ 0 (mod 20) Như vậy 2139 + 3921 chia hết cho 20; do đó 2139 + 3921 chia hết cho 5 (*) Tương tự ta chứng minh 2139 + 3921 chia hết cho 9 Kết luận: Vậy 2139 + 3921 chia hết cho 45 22 Bài toán 2: Chứng... tích này chia hết cho 125 Tích này nhỏ nhất bằng bao nhiêu? Hướng dẫn: Tích 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 8 thì tích 4 số tự nhiên liên tiếp cũng chia hết cho 125 nên 3 chữ số tận cùng là 000 Trong tích của 4 số tự nhiên tiếp không thể có 2 số chia hết cho 5 nên phải có một số chia hết cho 125 Tích nhỏ nhất là: 125.126.127.128 19 Dạng 2: Chứng minh chia hết đối với biểu thức số Bài toán 1: Chứng... 257) chia hết cho 15 Kết luận: Vậy A chia hết cho 3; 7 và 15 24 Bài tập tương tự: Bài1 Cho B = 3 + 33 + 35 + …+ 31991 Chứng minh rằng B chia hết cho 13 và 41 Bài 2 Cho C = 119 + 118 + 11 7 + … + 11 + 1 Chứng minh rằng C chia hết cho 5 Bài 3 Chứng minh rằng A chia hết cho B với: A = 13 + 23 + 33 + …+ 993 + 1003; B = 1 + 2 + 3 + …+ 99 + 100 25 Dạng 3: Chứng minh chia hết đối với biểu thức chứa chữ Bài toán. .. 0 19a0 19a0 Mặt khác chia hếta0 8 suy ra cho chia hết cho 4 chia hết cho 4 ⇔ chia hết cho 4 Suy ra a ∈{ 0, 2, 4, 6, 8} 9a0 19a0 Ta có: chia hết cho 8 ⇔ chia hết cho 8 nên a = 2 hoặc a = 6 Nếu a = 2 thì b = 0 Nếu a = 6 thì b = 0 KL: Vậy số phải là 1920, 1960 13 Bài toán 2: Chữ số a là bao nhiêu để aaaaa96 vừa chia hết aaaaa96 cho 3 vừa chia hết cho 8 aaaaa96 Hướng dẫn: Vì aaaaa96 M8 ⇔ a96 M8 ⇔ 100a +... 123408 16 Bài toán 4 : Tìm các chữ số a, b để 1234ab chia hết cho 8 và 9 * Cách 2: 1234ab = 123400 + ab = 72.1713 + 64 + ab Vì 1234ab chia hết cho 8 và 9 nên 1234ab chia hết cho 72 Vậy 64 + ab chia hết cho 72 Vì 64 < 64 + ab ≤ 163 nên 64 + ab = 72 hoặc 64 + ab = 144 * Nếu 64 + ab = 72 thì ab = 08 * Nếu 64 + ab = 144 thì ab = 80 Kết luận: Vậy có số thoả mãn đề bài là: 123480, 123408 17 3 Bài toán 5: Tìm... Vậy 4343 − 1717 chia hết cho 5 23 Bài toán 3: Cho A = 2 + 22 + 23+ … + 260 Chứng minh rằng: A chia hết cho 3;7 và 15 Ta có: A = 2 + 22 + 23+…+ 260 = 2(1 + 2) + 23(1 + 2) + … + 259(1 + 2) = 3(2 + 22 + 23 +…+ 259) = 3(2 + 22 + 23 +…+ 259) chia hết cho 3 Ta có: A = 2 + 22 + 23 +…+ 260 = 2(1 + 2 + 22) + 24(1 + 2 + 22) + … + 258(1 + 2 + 22) = 2.7 + 24.7 + … + 258.7 = 7(2 + 24 + … + 258) chia hết cho 7 Ta có:... tập tương tự : Bài 1: Phải viết ít nhất mấy số 1994 liên tiếp nhau để được một số chia hết cho 3 Hướng dẫn: Tổng các chữ số của 1994 là 23 khi chia cho 3 thì dư 2 Nếu viết k lần số 1994 liên tiếp nhau thì tổng các chữ số của số nhận được có cùng số dư với 2k khi chia cho 3 Để số nhận được chia hết cho 3 thì 2k phải chia hết cho 3, nên số nhỏ nhất là 3, tức là ít nhất phải viết 3 lần số 1994 liên tiếp... đối với biểu thức số Bài toán 1: Chứng minh rằng: 2139 + 3921 M 45 * Cách 2: Vì 45 = 5.32 nên để chứng minh 2139 + 3921 chia hết cho 45 thì ta chứng minh 2139 + 3921 chia hết cho 5.32 Ta có: 2139 = (20 + 1)39 = 2039 + 39 2038 + … + 39.20 + 1 = 10M + 1.3921 = (30 + 9)21 = 3021+ 21.3020.9 + 9 + … + 21.30.920 + 921 = 10N + 9 Như vậy: 2139 + 3921 = 10K + 1 + 9 = 10K + 10 chia hết cho 5 Mặt khác 2139 + . số dạng toán chia hết thường gặp trong chương trình toán THCS. Mỗi dạng toán có những đặc điểm khác nhau và còn có thể chia nhỏ từng dạng trong mỗi dạng. đó chia hết cho 3. * Dấu hiệu chia hết cho 9: Một số chia hết cho 9 khi và chỉ khi tổng các chữ số đó chia hết cho 9. * Dấu hiệu chia hết cho 6: Một số chia