ôn tập phần đại số Chuyên đề rút gọn căn bậc hai 1. Thực hiện phép tính: + Sử dụng các công thức: . .A B A B= ; 2 . . ( 0)A B A B A = ; 2 . . ( 0)A B A B A = < 2 ( )A A= ; A A B B = ; .A A B AB B B B B = = .A A B B B = ; 2 ( )C C A B A B A B = + ; 2 ( )C C A B A B A B + = ữ ữ ( )C C A B A B A B = + ; ( )C C A B A B A B + = ữ ữ + Biến đổi về hằng đẳng thức: ( ) 2 2 2 2 1 ( ) 2 1 1 1A B B B B B B B+ = + + = + + = + = + ( ) 2 2 2 2 1 ( ) 2 1 1 1A B B B B B B B = + = + = = ( ) 2 2 2 2 . ( ) 2 . ( )A B C C D D C C D D C D C D+ = + + = + + = + = + ( ) 2 2 2 2 . ( ) 2 . ( )A B C C D D C C D D C D C D = + = + = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 ( ) 2 1 2 2 2 2 2 2 2 B B B A B A B B B B B A B + + + + + + + + + ữ + = = = = = = = ữ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 ( ) 2 1 2 2 2 2 2 2 2 B B B A B A B B B B B A B + + ữ = = = = = = = ữ Chuyên đề rút gọn biểu thức 1. Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa - Biểu thức chá căn bậc hai : Cho biểu thức dới dấu căn 0 ( nếu biểu thức d- ới dấu căn ở dới mẫu thì cho các biểu thức đó >0 ) - Biểu thức rút gọn chứa ẩn ở mẫu không chứa căn bậc hai thì cho các mẫu khác 0, nếu các mẫu trùng nhau thì xác định 1 mẫu 2. Rút gọn - Biểu thức có dấu ngoặc ta làm trong ngoặc trớc ( Quy đồng), đồng thời các phép tính làm song song 3. Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của ẩn - Ta thay giá trị của ẩn vào biểu thức đã đợc thu gọn rồi thc hiện phép tính 4. Tìm giá trị của ẩn để biểu thức : > 0, < 0, 0 , 0 - Ta cho biểu thức đã đợc thu gọn > 0, < 0, 0 , 0 rồi thc hiện giải bất ph- ơng trình 5. Tìm giá trị của ẩn để biểu thức nguyên 1 - Ta thực hiện phép chia biểu thức đã đợc thu gọn đợc kết quả gồm 1 phần nguyên và 1phần phân thức có tử là 1 số nguyên, mẫu là đa thức chứa ẩn. Sau đó ta cho mẫu là các ớc của tử, rồi tìm các giá trị của ẩn thông qua giải các phơng trình vừa tìm, so sánh giá trị của ẩn vừa tìm với ĐKXĐ để đa ra giá trị của ẩn thoả mãn , từ đó kết luận bài toán Chuyên đề Giải hệ phơng trình 1. Hệ ph ơng trình không chứa mẫu a. Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế: Khi 1 trong 4 hệ số a; a; b; b là 1 - B ớc 1: Biểu diễn x theo y hoặc y theo x. Nếu biểu diễn x hoặc y ở phơng trình 1 thì phải giữ phơng trình 2. Còn biểu diễn x hoặc y ở phơng trình 2 thì phải giữ nguyên phơng trình 1 - B ớc 2: Thế x hoặc y vừa biểu diễn vào phơng trình còn lại (Chú ý các phép biến đổi hệ phơng trình tơng đơng) - B ớc 3: Giải phơng trình 1 ẩn vừa thế để tìm giá trị của ẩn từ đó tìm giá trị còn lại - B ớc 4: Kết luận nghiệm của phơng trình B. Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng đại số + Tr ờng hợp 1: hệ số a = a; b = b; hoặc a và a đối nhau, b và b đối nhau - B ớc 1: Ta thực hiện phép trừ hoặc cộng khi hệ số a = a; b = b; hoặc a và a đối nhau, b và b đối nhau - B ớc 2: Đa ra hệ PT mới có 1 phơng trình là kết quả của phép tính ở bớc 1, phơng trình còn lại là 1 trong 2 phơng trình đã cho ( Các phép biến đổi hệ phơng trình t- ơng đơng) - B ớc 3: Giải phơng trình 1 ẩn trong hệ trên - B ớc 4: Thế giá trị của ẩn vừa tìm đợc vào phơng trình còn lại để tìm giá trị ẩn kia - B ớc 5: Kết luận nghiệm của phơng trình + Tr ờng hợp 2: Hệ số a khác a; b khác b - Nhân cả 2 vế của 1 phơng trình với 1 số khác 0 để đa về cùng hệ số a = a; hoặc b = b. Rồi đa hệ phơng trình về trờng hợp 1 - Các bớc tiếp theo giải nh trờng hợp 1 2. Hệ Ph ơng trình có mẫu không chứa ẩn - Nhân cả 2 vế của phơng trình với mẫu chung để khử mẫu rồi đa về trờng hợp 1 hoặc 2 sau đó giải hệ phơng trình vừa tìm đựơc 3. Hệ Ph ơng trình chứa ẩn ở mẫu ( Thờng là những hệ phơng trình phải đặt ẩn phụ ) Cách giải - Bớc 1: Đa hệ về dạng 1 1 1 1 ' c x y c x y + = = hoặc 1 1 1 1 ' c x a y b c x a y b + = + + = + + - Bớc 2: Đặt 1 1 ;u v x y = = ta có hệ phơng trình mới ' u v c u v c + = = - Bớc 3: Giải hệ phơng trình tìm u, v 2 - Bớc 4: Thay giá trị u, v vừa tìm đợc vào bớc 2 ta vừa đặt 1 1 ;a b x y = = =>x; y - Bớc 5: Kết luận nghiệm của hệ Chuyên đề Giải và biện luận hệ phơng trình - Thờng là những hệ phơng trình chứa tham số m ( Xác định chính xác hệ số a; a; b; b) Dạng 1: Tìm m để hệ trên có nghiệm duy nhất, vô nghiệm, vô số nghiệm Câu 1: Giải hệ phơng trình với m = a. Thay giá trị a của m vào hệ phơng trình rồi giải hệ nh phần trên Câu 2: Loại 1: Tìm giá trị của m để hệ ph ơng trình có nghiệm duy nhất: Cách giải : Để hệ có nghiệm duy nhất thì . ' '. ' ' a b a b a b a b từ đó suy ra giá trị m cần tìm Loại 2: Tìm giá trị của m để hệ ph ơng trình có nghiệm duy nhất là các số d ơng thoả mãn x > y; x < y; . Cách giải: Bớc 1: Để hệ có nghiệm duy nhất thì . ' '. ' ' a b a b a b a b từ đó suy ra giá trị m cần tìm Bớc 2: Giải hệ phơng trình với tham số m rồi tìm nghiệm (x, y)dới dạng tham số m Bớc 3: Cho nghiệm x > 0 tìm giá trị m Kết hợp 2 giá trị của m để tìm giá trị Cho nghiệm y > 0 tìm giá trị m chung của m Loại 3: Tìm giá trị của m để hệ sau vô nghiệm, vô số nghiệm Cách giải: Bớc 1: Để hệ có vô số nghiệm ( vô nghiệm) thì 0 . ' . ' 0 ' ' a b a b b a a b = = từ đó suy ra giá trị m cần tìm Bớc 2: Thay lần lợt giá trị m vào hệ phơng trình rồi kết luận hệ vô nghiệm hay có vô số nghiệm Loại 4: Tìm giá trị của m để hệ sau có nghiệm nguyên Cách giải: Bớc 1: Giải hệ phơng trình với tham số m rồi tìm nghiệm (x, y)dới dạng tham số m bằng cách dùng phơng pháp thế hoặc cộng đại số Bớc 2: Thực hiên phép chia ở x hoặc y kết quả thu đợc gồm 1 phần nguyên và 1 phần phân thức có tử là 1 số nguyên, mẫu là đa thức chứa ẩn. Sau đó ta cho mẫu là các ớc của tử, rồi tìm các giá trị của ẩn thông qua giải các phơng trình vừa tìm từ đó kết luận bài toán Dạng 2: Giải và biện luận hệ ph ơng trình theo m Cách giải : Bớc 1: Dùng phơng pháp thế hoặc cộng để tìm x hoặc y theo m Bớc 2: Tìm điều kiện của m 0 ở x hoặc y hệ có nghiệm duy nhất, tìm nghiệm đó Trờng hợp còn lại là vô số nghiệm tìm nghiệm tổng quát của hệ hoặc vô nghiệm Chuyên đề Giải hàm số đồ thị y= ax +b (a khác 0) Dạng 1 : Tìm a để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R Cách giải: Hàm số đồng biến khi a > 0; Nghịch biến khi a < 0 3 Dạng 2: Cho hàm số y = ax + b (a khác 0; b là số cho trớc) Tìm a để đồ thị ( đờng thẳng ) đi qua gốc toạ độ Cách giải: Đồ thị đi qua gốc toạ độ O(0;0) nên x = 0; y = 0 thay vào hàm số tìm a Dạng 3: Cho hàm số y = ax + b (a khác 0) và đờng thẳng y = ax + b Đờng thẳng y = ax + b và y = ax + b song song khi a = a và b khác b Đờng thẳng y = ax + b và y = ax + b trùng nhau khi a = a và b = b Đờng thẳng y = ax + b và y = ax + b cắt nhau khi a khác a Đờng thẳng y = ax + b và y = ax + b vuông góc với nhau khi a.a = -1 Dạng 4: Xác định hàm số y = ax + b ( Viết phơng trình đờng thẳng) Đồ thị hàm số ( phơng trình đờng thẳng ) đi qua điểm A( x 0 ;y 0 ) cho trớc và song song hoặc trùng với đờng thẳng y = ax hoặc có hệ số góc là k : y = k(x x 0 ) + y 0 Dạng 5: Xác định hàm số y = ax + b ( Viết phơng trình đờng thẳng) đi qua 2 diểm A(x 0 ;y 0 ); B(x 1 ;y 1 ) : 0 0 1 0 1 0 y y x x y y x x = Dạng 6: Xỏc nh a v b ng thng y = ax + b i qua hai im A(x 0 ; y 0 ) v B(x 1 ; y 1 ). Thay điểm A(x 0 ; y 0 ) vào đồ thị hàm số ta có phơng trình 1 Thay điểm B(x 1 ; y 1 ) vào đồ thị hàm số ta có phơng trình 2 Kết hợp phơng trình 1 và phơng trình 2 ta có hệ phơng trình Giải hệ phơng trình ta tìm đợc a và b. Từ đó suy ra phơng trình đờng thẳng cần tìm PHNG TRèNH CHA THAM S GII V BIN LUN A/ Lý thuyết cần nhớ Phơng trình bậc hai : ax 2 + bx + c = 0 (a 0) = b 2 4ac > 0 phơng trình có hai nghiệm phan biệt x 1 = a b 2 + và x 2 = a b 2 = 0 phơng trình có nghiệm kép x 1,2 =- a b 2 < 0 phơng trình vô nghiệm Nếu b = 2b(b chẵn) ' = b 2 - ac ' > 0 phơng trình có hai nghiệm phan biệt x 1 = a b '' + và x 2 = a b '' ' = 0 phơng trình có nghiệm kép x 1,2 = a b' ' < 0 phơng trình vô nghiệm * Nếu : a+ b+ c = 0 thì PT có hai nghiệm x 1 =1 ; x 2 = a c * Nếu : a- b+ c = 0 thì PT có hai nghiệm x 1 =-1 ; x 2 =- a c * Hệ thức Viet Phơng trình bậc hai : ax 2 + bx + c = 0 (a 0) có hai nghiệm x 1 ,x 2 thì: 4 S = x 1 + x 2 = - a b , P = x 1 .x 2 = a c Chú ý: S và P chỉ đợc dùng khi phơng trình bậc hai có nghiệm tức là 0 * u + v =S u.v =P u và v là hai nghiệm của phơng trình x 2 - Sx + P = 0 Dấu các nghiệm của phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a 0) (1) Phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu P = a c <0 Hay x 1 .x 2 <0 Phơng trình (1) có hai nghiệm cùng dấu 0 P>0 Hay x 1 .x 2 >0 Các hệ quả: cho phơng trình: ax 2 + bx + c = 0 (a 0)thì -Pt có ít nhất một nghiệm dơng 0 và - b/a 0 Hay x 1 + x 2 0 -Pt có ít nhất một nghiệm âm 0 và -b/a 0 Hay x 1 + x 2 0 -Pt có hai nghiệm cùng dấu 0 và c/a > 0 Hay x 1 .x 2 >0 -Pt có hai nghiệm cùng dơng 0 và c/a > 0; -b/a > 0 -Pt có hai nghiệm cùng âm 0 và c/a > 0; -b/a < 0 -Pt có hai nghiệm khác dấu a.c <0 5 . ẩn thông qua giải các phơng trình vừa tìm từ đó kết luận bài toán Dạng 2: Giải và biện luận hệ ph ơng trình theo m Cách giải : Bớc 1: Dùng phơng pháp thế hoặc cộng để tìm x hoặc y theo m Bớc. nghiệm Chuyên đề Giải hàm số đồ thị y= ax +b (a khác 0) Dạng 1 : Tìm a để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R Cách giải: Hàm số đồng biến khi a > 0; Nghịch biến khi a < 0 3 Dạng 2: Cho hàm. 1 - Các bớc tiếp theo giải nh trờng hợp 1 2. Hệ Ph ơng trình có mẫu không chứa ẩn - Nhân cả 2 vế của phơng trình với mẫu chung để khử mẫu rồi đa về trờng hợp 1 hoặc 2 sau đó giải hệ phơng trình