Kyõ naêng bieán ñoåi ñeå laøm xuaát hieän caùc yeáu toá chia heát trong bieåu thöùc soá hay bieåu thöùc ñaïi soá cuûa caùc em coøn chöa linh hoaït, coù nhöõng baøi toaùn raát ñôn giaûn[r]
(1)(2)KẾT CẤU ĐỀ TAØI
Phần thứ nhất: NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG.
1 Tên đề tài: Hướng dẫn giải dạng “toán chia hết” chương trình tốn THCS.
2 Tính cấp thiết vấn đề nghiên cứu. 2.1 Lí mặt lí luận.
2.2 Lí mặt thực tiễn. 3 Đối tượng nghiên cứu.
4 Phạm vi nghiên cứu. 5 Mục đích nghiên cứu.
Phần thứ II: NỘI DUNG
I Cơ sở lý luận thực tiễn đề tài. II Thực trạng vấn đề
III Giải vấn đeÀ. A Cơ sở lý thuyết
1 Tính chất chia hết tổng, hiệu, tích.
Dấu hiệu chia hết cho 2; 4; 5; 6; 3; 9; 8. Đồng dư.
Nguyên tắc đirichlê.
Phương pháp chứng minh quy nạp.
Chứng minh phương pháp phản chứng. Phần thứ II: NỘI DUNG
I Cơ sở lý luận thực tiễn đề tài. II Thực trạng vấn đề
III Giải vấn đeÀ. A Cơ sở lý thuyết B Các dạng toán.
Dạng 1: Tìm chữ số chưa biết số. Dạng 2: Chứng minh chia hết biểu thức số. Dạng 3: Chứng minh chia hết biểu thức chứa chữ.
Dạng 4: Tìm điều kiện để tốn chia hết cho 1 số chia hết cho biểu thức.
Phần thứ III: KẾT LUẬN, KẾT QUẢ, KIẾN NGHỊ
Trên số dạng “toán chia hết” thường gặp chương trình tốn THCS Mỗi dạng tốn có đặc điểm khác cịn chia nhỏ dạng dạng Việc phân dạng giúp học sinh dễ tiếp thu thấy toán ta nên áp dụng kiến thức cho phù hợp Mỗi dạng toán tơi chọn số tốn điển hình để học sinh hiểu cách làm từ để làm tập mang tính tương tự dần nâng cao lên
(3)Phần I: NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG CỦA ĐỀ TAØI.
1 Tên đề tài: Hướng dẫn giải dạng “toán chia hết” Hướng dẫn giải dạng “tốn chia hết”
trong chương trình tốn THCS.
trong chương trình tốn THCS.
2 Tính cấp thiết vấn đề nghiên cứu 2.1 Lí mặt lí luận:
Khả giáo dục mơn Tốn to lớn, nó có khả phát triển tư lơgíc, khái qt hố, phân tích tổng hợp, so sánh dự đốn, chứng minh bác bỏ Nó cịn có vai trò rèn luyện phương pháp suy nghĩ, suy luận, …
Ở bậc trung học sở việc dạy dạng “toán “toán chia hết”
(4)2.2 Lí mặt thực tiễn:
(5)3 Đối tượng nghiên cứu:
Hướng dẫn giải dạng “toán chia hết” cho học sinh khá, giỏi chương trình tốn bậc trung học sở.
4 Phạm vi nghiên cứu:
Thời gian nghiên cứu từ ngày 10 tháng năm 2009 đến ngày 14 tháng 10 năm 2011 Địa điểm trường THCS Số Bình Nguyên, Bình Sơn, Quảng Ngãi gồm khối lớp đến lớp 9.
5 Mục đích nghiên cứu:
(6)PHẦN THỨ II: NỘI DUNG
I Cơ sở lý luận thực tiễn đề tài
Phương pháp giải toán: Là tồn thủ thuật tốn xếp theo trình tự định vận dụng sáng tạo để tìm kết tốn
Thủ thuật: Phép giải mang tính linh hoạt, hợp lí, sáng tạo để giải khâu hay toán
Giải tốn: Là việc làm tìm ẩn số, tức tìm đáp số tốn Muốn tìm ấn số phải trình suy luận Chính nên gọi việc giải tốn q trình hoạt động trí tuệ học sinh
(7)II Thực trạng vấn đề
(8)1 Tính chất chia hết tổng, hiệu, tích.
a m
a b m b m * Neáu a m
a b m b m
* Neáu a m a.b m b m
* Neáu
(9)2 Dấu hiệu chia heát cho 2; 4; 5; 6; 3; 9; 8.
* Dấu hiệu chia hết cho 2: Một số chia hết cho khi chi số có chữ số tận chữ số chẵn (0; 2; 4; 6; 8)
* Dấu hiệu chia hết cho 5: Một số chia hết cho khi số có chữ chữ số tận 5.
* Dấu hiệu chia hết cho 3: Một số chia hết cho khi tổng chữ số chia hết cho 3.
* Dấu hiệu chia hết cho 9: Một số chia hết cho khi tổng chữ số chia hết cho 9.
(10)2 Dấu hiệu chia heát cho 2; 4; 5; 6; 3; 9; 8.
* Dấu hiệu chia hết cho 4: Một số chia hết cho hai chữ số tận lập thành một số chia hết cho 4.
* Dấu hiệu chia hết cho 8: Một số chia hết cho số có ba chữ số tận lập thành số (có chữ số) chia hết cho 8.
* Dấu hiệu chia hết cho 10: Một số chia hết cho10 có chữ số tận đảo lại.
(11)3 Đồng dư:
* Hai số a b đồng dư với theo môđun m (mod m) a – b m.⋮
* Có thể “cộng” “trừ” đồng dư thức có mơđun Tức là: Nếu a b (mod m), c d (mod m) a c b d (mod m).
* Có thể nhân vế đồng dư thức có cùng mơ đun Tức là: Nếu a b (mod m), c d (mod m) a.c b.d (mod m).
4 Nguyên tắc đirichlê:
(12)5 Phương pháp chứng minh quy nạp:
Muốn chứng minh khẳng định An với n = 1,2,3, … ta chứng minh sau:
* Khẳng định A1
* Giả sử khẳng định Ak với k 1, ta
cũng suy khẳng định Ak+1
Kết luận : Khẳng định An với n = 1; 2; 3; … 6 Chứng minh phương pháp phản chứng
Muốn chứng minh khẳng định P phương pháp phản chứng, ta làm sau:
* Bước 1: Giả sử ngược lại P sai
(13)Bài tốn 1: Tìm chữ số a b cho chia hết cho chia hết cho
Hướng dẫn: Để tìm a b học sinh phải thấy dấu hiệu số chia hết cho cho
Vì chia hết chữ số tận b = b =
Vì chia hết suy b =
Mặt khác chia hết cho suy chia heát cho chia heát cho chia heát cho
Suy a 0, 2, 4, 6, 8}
Ta có: chia hết cho chia hết a = a =
Neáu a = b = Nếu a = b = KL: Vậy số phải 1920, 1960
19ab 19ab 19ab 19a0 19a0 19a0 19a0 9a0 a0
B CÁC DẠNG TOÁN.
(14)Bài toán 2: Chữ số a để aaaaa96 vừa chia hết cho vừa chia hết cho aaaaa96
Hướng dẫn: Vì aaaaa96 ⋮8 a96 ⋮8 100a + 96 suy
ra 100a a số chẵn Suy a ⋮ 2, 4, 6, 8} (1)
Vì aaaaa96 ⋮ (a + a + a + a + a + + ) ⋮
5a + 15 3⋮
Maø 15 ⋮ 5a vaø (5; 3) = 1⋮
Suy a vaäy a ⋮ 3, ,9} (2)
Từ (1) (2) suy a =
Kết luận: Vậy số phải tìm 6666696
(15)Bài tốn 3 : Tìm chữ số a để 1aaa1 11
Hướng dẫn:
Tổng chữ số hàng lẻ + a Tổng chữ số hàng chẵn 2a. * Nếu 2a a + a
2a – (a + 2) = a – = 7
Maø (a 2) 11 neân a ⋮ = a =
* Neáu 2a a + a
(a + 2) 2a = a không chia hết cho 11
(16)Bài tốn 4 : Tìm chữ số a, b để chia hết cho 9. 1234ab
* Cách 1:
+ Nếu 1234ab chia hết cho dấu hiệu chia hết cho ta coù 4ab hay 4ab = 400 + 10a + b = 8p (p ⋮ Z) (*)
Mặt khác 1234ab (1 + + + + a + b) ⋮ ⋮
Hay (1 + a + b) ⋮ + a + b = 9q (q Z) (2*)
Vì a b chữ số nên a + b 18
Từ (2*) suy 9q 28 (q > 1) Vậy q = q =
Trừ (*) với (2*) ta có 390 + 9a = 8p – 9q, hay p = 49 + a + q + (a + q – 2) :
Vì p nguyên nên (a + q – 2) : nguyên hay (a + q – 2)⋮ + Nếu q = a = a =
Từ (2*) ta có b = 9q – a – 10 b = b = + Nếu q = a = suy b = 10 (vơ lí b 9)
(17)Bài tốn 4 : Tìm chữ số a, b để chia hết cho 9. 1234ab
* Caùch 2:
1234ab = 123400 + ab = 72.1713 + 64 + ab
Vì 1234ab chia hết cho nên 1234ab chia hết cho 72 Vậy 64 + ab chia hết cho 72
Vì 64 < 64 + ab 163 nên 64 + ab = 72 64 + ab = 144
* Nếu 64 + ab = 72 ab = 08 * Nếu 64 + ab = 144 ab = 80
(18)Bài tốn 5: Tìm số a, b cho: a – b = 7a5b1 3
Hướng dẫn:
Ta có: (7 + a + + b + 1) ⋮3 Hay (a + b + 13) ⋮3 (a + b) chia dö (1)
Ta coù a – b = neân a 9; b
a + b 14 (2)
Mặt khác a – b số chẵn nên a + b số chẵn(3) Từ (1); (2) (3) suy ra: a + b {8; 14}
* Với a + b = 8; a – b = ta a = 6; b = * Với a + b = 14; a – b = ta a = 9; b =
Kết luận: Vậy số phải tìm a = 6; b = vaø a = 9; b =
(19)Bài tập tương tự :
Bài 1: Phải viết số 1994 liên tiếp để số chia hết cho
Hướng dẫn: Tổng chữ số 1994 23 chia cho dư
Nếu viết k lần số 1994 liên tiếp tổng chữ số số nhận có số dư với 2k chia cho Để số nhận chia hết cho 2k phải chia hết cho 3, nên số nhỏ 3, tức phải viết lần số 1994 liên tiếp
Bài 2: Tìm chữ số tận tích số tự nhiên liên tiếp khác khơng, bết tích chia hết cho 125 Tích nhỏ bao nhiêu?
Hướng dẫn: Tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 125 nên chữ số tận 000
Trong tích số tự nhiên tiếp khơng thể có số chia hết phải có số chia hết cho 125
(20)Bài toán 1: Chứng minh rằng: 2139 + 3921 ⋮ 45.
* Cách 1: Ta có 2139 + 3921 = (2139 1) + (3921 + 1)
Vì 2139 = 20(2138+ 2137+ … + 1) chia heát cho
Vaø 3921 + = 40(3920 3919+ … +1) chia heát cho
Suy ra: (2139 1) + (3921 + 1) chia heát cho
Mặt khác 2139 3921 = (2139 339) + (3921 321) + (339 + 321)
Maø 2139 339= 18(2138 + … +338) chia heát cho
2139 339 = 36(3920 + … + 320) chia hết cho
Và 339 + 321= 321(318 + 1) = (33)7 (318+ 1) chia heát cho
Mà (5;9) = nên 2139 + 3921 ⋮ 45
(21)* Cách 2: Vì 45 = 5.32 nên để chứng minh 2139 + 3921 chia
hết cho 45 ta chứng minh 2139 + 3921 chia hết cho 5.32
Ta coù: 2139 = (20 + 1)39 = 2039 + 39 2038 + … + 39.20 +
= 10M + 1.3921 = (30 + 9)21
= 3021+ 21.3020.9 + + … + 21.30.920 + 921 = 10N +
Như vậy: 2139 + 3921 = 10K + + = 10K + 10 chia heát cho
5
Mặt khác 2139 + 3921 = (7.3)39 + (13.3)21 = 739.339 + 1321.321
= 321.739.318 + 1321.321 = 321.(739.318 + 1321)
= (33)7 (739 318+ 1321) chia hết cho
Bài tốn 1: Chứng minh rằng: 2139 + 3921 ⋮ 45.
(22)*Cách 3 Ta có: 21 1 (mod 20)
39 1 (mod 20)
Vaäy 2139 + 3921 139 + (1)21 (mod 20)
Như 2139 + 3921 chia hết cho 20; 2139 + 3921 chia
heát cho (*)
Tương tự ta chứng minh 2139 + 3921 chia hết cho
Kết luận: Vậy 2139 + 3921 chia hết cho 45
Bài tốn 1: Chứng minh rằng: 2139 + 3921 ⋮ 45.
(23)Bài toán 2: Chứng minh rằng: 4343 1717 chia hết cho 5
Ta coù: 4343 = 4340 433 = (434)10.433
Vì 433 có tận chữ số (34 có tận 1) nên
(434) có tận chữ số hay 4340 có tận chữ
số
4343 có tận chữ số
Vậy 4340.433 có tận chữ số
Hay 4343 có tận chữ số
Ta coù 1717 = 1716.17 = (174)4.17
Vì 174 có chữ số tận nên (174)4 có chữ số tận
cùng chữ số hay 1716 có chữ số tận
Suy ra: 1716.17 có chữ số tận
Hai số 4343 1717 có chữ số tận giống
nên 4343 1717 có chữ số tận chữ số
(24)Bài toán 3: Cho A = + 22 + 23+ … + 260
Chứng minh rằng: A chia hết cho 3;7 15 Ta có: A = + 22 + 23+…+ 260
= 2(1 + 2) + 23(1 + 2) + … + 259(1 + 2)
= 3(2 + 22 + 23 +…+ 259)
= 3(2 + 22 + 23 +…+ 259) chia heát cho
Ta coù: A = + 22 + 23 +…+ 260
= 2(1 + + 22) + 24(1 + + 22) + … + 258(1 + + 22)
= 2.7 + 24.7 + … + 258.7
= 7(2 + 24 + … + 258) chia hết cho
Ta có: A = 2(1 + + 22 + 23) + 25(1 + + 22 + 23) +
+ … + 257(1 + + 22 + 23)
= 15 + 25.15 + …+ 257.15
= 15(2 + 25 + … + 257) chia heát cho 15
(25)Bài tập tương tự:
Baøi1 Cho B = + 33 + 35 + …+ 31991
Chứng minh B chia hết cho 13 41 Bài 2 Cho C = 119 + 118 + 11 + … + 11 +
Chứng minh C chia hết cho Bài 3Chứng minh A chia hết cho B với:
A = 13 + 23 + 33 + …+ 993 + 1003;
(26)Dạng 3: Chứng minh chia hết biểu thức chứa chữ.
Bài toán 1 Chứng minh rằng: (n3 – n)⋮ với n Z
*Cách 1: Vì (2; 3) = nên cần chứng minh n3 – n chia hết
cho chia hết cho
Ta coù n3 – n = n(n2 – 1) = n(n + 1)(n 1)
Mà n; n + 1; n – số tự nhiên liên tiếp nên n(n+1)(n1) ⋮2
Mặt khác: n biểu diễn thành dạng sau 3k; 3k + 1; 3k +2 (k Z)
+ Nếu n = 3k n3 – n = (3k)2 3k = 3k (9k2 – 1) ⋮3 + Neáu n = 3k + n3 – n = n(n + 1)(n 1)
= 3k(3k + 1)(3k + 2) ⋮3
+ Neáu n = 3k + n3 – n = n(n + 1)(n 1) = (3k + 1)(3k + 2)(3k + 3)
(27)*Cách 2: Nếu n số nguyên biểu diễn thành dạng sau 6p; 6p + 1; 6p + 2; 6p + 3; 6p + 4; 6p + (do phép chia số cho 6)
+ Nếu n = 6p n3 – n = 6p(6p + 1)(6p 1) ⋮6
+ Neáu n = 6p + n3 – n = 6p(6p + 1)(6p + 2) ⋮6
+ Neáu n = 6p + n3 – n = 6(3p + 1)(2p + 1)(6p + 1)
⋮6
+ Nếu n = 6p + n3 – n = 6(36p3+ 54p2 + 26p – 4) ⋮6
+ Nếu n = 6p + n3 – n = 6(36p3+ 54p2 + 26p – 4) ⋮6
+ Neáu n = 6p + n3 – n = 6(36p3+ 54p2 + 26p – 4) ⋮6
Vậy (n3 – n) với n ⋮ Z
(28)Bài toán 1 Chứng minh rằng: (n3 – n)⋮ với n Z
*Cách 3: Ta chứng minh n3 – n chia hết cho chia hết
cho
Nếu n (mod 2) n3 – n 03 – (mod 2)
Nếu n (mod 2) n3 – n 13 – (mod 2)
Như với n Z, n3 – n (mod 2) nghĩa n3 – n ⋮
2
Mặt khác:
+ Nếu n (mod 3) n3 – n 03 – (mod 3)
+ Nếu n (mod 3) n3 – n 13 – (mod 3)
+ Nếu n (mod 3) n3 – n 23 – (mod 3)
Với n Z n3 – n (mod 3) nghĩa (n3 – n) ⋮
(29)Bài toán 2: Chứng minh chia hết cho 2n 1.1.1 1.1
n chữ số
• Chú ý: Số n số có tổng chữ số n có số dư phép chia cho 9,
• Ta có:2n 1.1.1 1.1 3n 1.1.1 1.1 n 3
n chữ số n chữ số
1.1.1 1.1 n 9
n chữ số
Bài toán 3: Chứng minh A = 10n + 18n – ⋮ 27
* Caùch 1: A = 10n + 18n – = 10n 9n + 27n –
=
Mà 27n ⋮ 27 nên
Vậy 10n + 18n – chia heát cho 27
9.9.9 9.9 9n 27n 9(1.1.1 1.1 n) 27n
n chữ số n chữ số
1.1.1 1.1 n 9(1.1.1 1.1 n) 27
n chữ số n chữ số
(30)Bài toán 3: Chứng minh A = 10n + 18n – ⋮ 27
Cách 2: (Phương pháp quy nạp tốn học)
+ Nếu n = A = 10 + 18 – = 27 chia hết cho 27 Vậy mệnh đề với n =
+ Giả sử mệnh đề với n = k tức Ak = 10k + 18k 1 ⋮ 27
Ta cần chứng minh mệnh đề với n = k +
Thaät vaäy Ak+1 = 10k+1 + 18(k + 1) – = 10k.10 + 18k + 18 – Ak+1 = 10 (10k + 18k 1) – 9.18k + 27
Ak+1 = 10 (10k +18k 1) – 27.6k + 27 Maø 10(10k + 18k 1) ⋮ 27 A
k+1 ⋮ 27 vaø 27.6k ⋮ 27 ; 27
(31)Bài toán 4: Chứng minh: B = 7n +3n 1⋮ 9, n Z+
Cách 1: (Dùng phương pháp chứng minh quy nạp) + Nếu n = B = + = ⋮
Giả sử mệnh đề với n = k tức Bk = 7k +3k 1 ⋮
Ta cần chứng minh mệnh đề với n = k +1 Thật vậy: Bk+1 = 7k+1 = ( k+1) 1
Bk+1 = 7.7k + 3k + 1
Bk+1 = 7.(7k + 3k 1) – 6.3k –
Bk+1 = 7.(7k + 3k 1) – 9.2k
Bk+1 ⋮
(32)Bài toán 4: Chứng minh: B = 7n +3n ⋮ 9, n Z+
Caùch 2: Ta coù : 7n + 3n = (6 + 1)n + 3n
Vaäy 7n + 3n 1 n nguyên dương
n n n n n
n n n n
n n n n 2 n n
n n n n n
n n n n 2 n n
n n n n n
n n n n n n
n n
6 C C C C 3n
6 C C C C C 3n
(3.2) C (3.2) C (3.2) C (3.2) C (3.2) C 3n C C
n 2 n
2 n n n n n n n 2
n n n
n n n n n n n 2
n n n
C 6n 3n C C C 9n
9 C C C 9n 9; n Z
(33)Bài toán 5: Chứng minh rằng122n + + 11n + ⋮133; n N
Cách 1: Vì n nên ta phân tích đưa dạng bội 133
Ta coù: 122n+1 + 11n+2 = (122)n.12 + 11n.112
= 144n.12+ 11n.121
= 12.(144n – nn) + 12.nn + 121.nn
= 12.133.M + 133.11n
Mỗi số hạng chia hết cho 133 nên 122n+1 + 11n+2
(34)Bài toán 5: Chứng minh rằng122n + + 11n + ⋮133; n N
Cách 2: (Dùng phương pháp quy nạp)
Với n =1 tổng 123 + 113 = (12 + 11).(122 12 11 + 112)
= 22.133 chia hết cho 133 Vậy mệnh đề với n =
Giả sử mệnh đề với n = k Tức 122k+1 + 11k+2 ⋮ 133
Ta cần chứng minh mệnh đề với n = k + Thật vậy: 122k+3 + 11k+3 =144.122k+1 + 11k+3
= 133 122k+1 +11.122k+1 + 11k+3
=133 122k+1 +11.(122k+1 + 11k+2 )
Vì 133.122k+1 ⋮ 133; 11.(122k+1 + 11k+2) ⋮ 133
(35)Bài toán 5: Chứng minh rằng122n + + 11n + ⋮133; n N
Caùch 3:
Ta coù: 122n+1 + 11n+2 =122n+1 + 11n+2 + 112(2n+1) 112(2n+1)
= [122n+1 + 112(2n+1)] [112(2n+1) 11n+2]
= 122n+1 + (112)2n+1 – (114n+2 11n+2)
= [122n + + (112)2n + 1] 11n+2(113n 1)
Vì 122n+1 + (112)2n+1 = (12 +112).P
⋮ 133
Vaø 113n 1 = (113 1).Q = (n 1)(n2 + 11 + 1).Q
= 10.133.Q ⋮ 133
(36)Bài toán 5: Chứng minh rằng122n + + 11n + ⋮133; n N
Caùch 4: Ta có 122n+1 + 12 + 122n + 12.144n
Vì 144 = 11 (mod 133) neân 144n 11n (mod 133) 12.1442n 12.11n (mod 133)
Hay 122n+1 = 12.11n (mod 133)
Mặt khác: 121 = 12 (mod 133)
neân 121.11n = 12.11n (mod 133)
Từ đẳng thức: 122n+1 =12.11n (mod 133)
11n+2 = 12.11n (mod 133) 122n+1 + 11n+2 (mod 133)
(37)Bài toán 5: Chứng minh rằng122n + + 11n + ⋮133; n N
Cách 5 : Với n =1 mệnh đề
Giả sử mệnh đề với n = k tức 122n+1 + 11n+2
= 133m (m N)
Ta cần chứng minh mệnh đề với n = k + tức là: 12(2k+1)+1 + 11k+1+2 = 133p ( p N) (2*)
Thật : Từ (*) suy ra: 122k+1 =133m – 11k+2
Ta coù 122k+3 – 11k+3 = 144.122k+1 + 11.11k+2
= 144.(133 m – 11k+2) + 11.11k+2
= 122 133m + 11k+2(11 144)
= 133.(144m – 11k+2)
(38)Cách 1: Vì 4.32n+2 + 32n 36 = 4.(32n+2 8n 9) nên toán
đưa việc chứng minh: 32n+2 + 8n –
⋮ 16
+ Nếu n chẵn, ta đặt n = 2k (k Z)
Khi đó: 32n+2 + 8n – = 34k+2 + 16k = 34k.32 – + 16k
= 9(34k 1) + 16k = (81k 1) + 16k ;
Vì hiệu (81k 1)
⋮ 80 nên (81k 1) ⋮ 16
Vậy n chẵn 32n+2 + 32n 36 64
+ Neáu n lẻ, ta đặt n =2k + (k Z)
Khi đó: 32n+2 + 8n = 34k+4 + 16k
= (34)k+1 + 16k = 81k+1 + 16k
Vì hiệu (81k+1 1) ⋮ 80 nên (81k+1 1) ⋮ 16
Vậy với n lẻ 4.32n+2 + 32b – 36 ⋮ 64
Kết luận: Vậy với số tự nhiên n; 4(32n+2 + 8n 9) ⋮ 64
Bài toán 6: Chứng minh 4.32n+2 + 32n – 36
(39)Bài toán 6: Chứng minh 4.32n+2 + 32n – 36
⋮ 64; n N
Caùch 2:
+ Với n = tổng 32.4 + 36 = ⋮ 64 Vậy mệnh đề với n =
+ Giả sử mệnh đề với n = k tức 32k+2.4 32k – 36 = 64p Ta cần chứng minh mệnh đề với n = k+1 tức 32k+4 + 32k + 32 – 36 ⋮ 64
Thaät vaäy: 32k+4 + 32k + 32 – 36 =
= 32k+2 36 + 32k + 32 36
= (32k+2 + 32k 36) + 32.(32k+1 +1) (*)
Vì (32k+2 +32k 36) bội 64 Theo giả thiết quy nạp, nên cần chứng minh 32.(32k+1 +1) bội 64
(40)Bài toán 7: Chứng minh tích k số ngun liên tiếp chia hết cho k
Gọi k số nguyên lẻ liên tiếp laø: a; a + 1; a + 2; ; a + k
Tích chúng là: a(a + 1)(a + 2) .( a + k 1)
Ta cần chứng minh: a(a + 1)(a + 2) .(a + 1) ⋮ k
+ Nếu a k tốn giải xong
+ Nếu a khơng chia hết cho k a = qk + r (0 < r < k) Thừa số (a + k + r) có mặt tích xét
và a + k r = qk + r + k r = k(q + 1) ⋮ k
Điều chứng tỏ tích xét ln ln tồn số k
Từ suy ra: a(a + 1)(a + 2) .(a + k 1) ⋮ k
(41)Bài toán 8: Cho a; b Z, chứng minh rằng:
Nếu 2a +3b 17 9a + 5b ⋮ 17 ngược lại Giải:
* Chứng minh: Nếu (2a + 3b) ⋮ 17 9a +5b ⋮ 17 Nếu (2a + 3b) ⋮ 17 8(2a + 3b) ⋮17
Rõ ràng (34a + 34b) ⋮ 17
Vaäy (34a + 34b) – (16a + 24b) = 34a + 34b 16a – 24b
= 18a + 10b = (9a + 5b) ⋮ 17 (2; 17) =1 Nên 9a + 5b ⋮ 17
* Chứng minh: Nếu ( 9a + 5b) ⋮ 17 (2a + 3b ) ⋮ 17 Ta có : (34a + 34b) ⋮ 17
Theo giả thiết ( 9a + 5b) ⋮ 17 ( 9a + 5b) ⋮17
Hay (34a + 34b) – 2( 9a + 5b) = 34a + 34b 18a 10b
(42)Bài toán 9: Chứng minh rằng: Nếu a; b N cho 5a + 3b
và 13a + 8b ⋮ 1995 a b chia hết cho 1995
+ Theo giả thiết 5a + 3b ⋮ 1999 8( 5a + 3b) ⋮ 1995
13a + 8b ⋮ 1995 3(13a +8b) ⋮ 1995
Hay 8(5a + 3b) 3(13a + 8b) = 40a + 24b 39a + 24b
= a ⋮ 1995
+ Theo giả thiết 5a + 3b ⋮ 1995 13(5a + 3b) ⋮ 1995
13a + 8b ⋮ 1995 5(13a + 8b) 1995
Hay 5(13a + 8b) 13(5a + 3b) = 65a + 40b 65a 39b
(43)Bài tập tương tự:
Bài 1: Chứng minh rằng:
a) 10n + 72n 1 91.⋮
b) 22n +15n 1 với n nguyên dương.⋮
Bài 2: Chứng minh với n tự nhiên thì: (n + 19931994)(n + 19941993) ⋮
(44)Dạng 4: Tìm điều kiện để toán chia hết cho số hoặc chia hết cho biểu thức.
Bài tốn 1: Tìm số tự nhiên n cho n2 + ⋮ n +
Ta coù :
để (n2 + 4) ⋮ (n+1) ⋮ n +1 hay n + Ư(5)
Mà Ư(5) ={1; 5}
* n + = n = (thoả mãn)
* n + = n = (thoả mãn)
Vậy với n = 0; n = n2 + ⋮ n +
2
n n (n 1)(n 1) 5 n
n n n n
(45)Bài tốn 2: Tìm số tự nhiên n để: 32n+3 + 24n +1 ⋮ 25
Hướng dẫn:
Đặt A = 32n+3 + 24n +1 = 27.32n + 24n = 25.32n + 2(32n+ 24n)
= B(25) + 2(9n + 16n)
+ Nếu n lẻ 9n +16n ⋮ 25 A ⋮ 25
+ Nếu n chẵn 9n tận 1, 16n tận
bằng Suy 2( 9n +16n) tận
Vậy A không chia hết cho 25
(46)Bài toán 3: Cho đa thức f(x) = a2x + 3ax2 6x 2a (a Q)
Xác định a cho f(x) ⋮ (x +1) + Cách 1: Đặt phép chia đa thức
a2x3 + 3ax2 6x 2a =
= (x + 1)a2x2 + (3a – a2)x + (a2 3a 6) + (a2 + a + 6)
Để f(x) ⋮ (x+1), ta phải có: a2+ a + = (a + 2)(3 a) = a + = (3 a) = nên a = 2; a =
(47)+ Cách 2: Dùng phương pháp hệ số bất định
Đa thức bị chia có bậc ba, đa thức chia có bậc nên thương đa thức bậc có hạng cao nhất: a2x3 : x = a2x2,
số hạng thấp 2a : = 2a Gọi thương phép chia
là: a2x2 + bx 2a
Ta coù: f(x) = (x + 1)(a2x2 + bx 2a)
a2x3 + 3ax2 6x 2a = a2x3 + (a2 + b)x2 + (b 2a)x 2a a2 + b = 3a vaø b 2a = 6
Giải hpt ta a = 2 b = 10 a = b =
Bài tốn 3: Cho đa thức f(x) = a2x + 3ax2 6x 2a (a Q)
(48)Bài toán 3: Cho đa thức f(x) = a2x + 3ax2 6x 2a (a Q)
Xác định a cho f(x) ⋮ (x +1)
+ Caùch 3: Gọi thương phép chia f(x) cho (x + 1) laø q(x)
a2x3 + 3ax2 6x 2a = (x + 1).q(x)
Vì đẳng thức với x nên cho x = 1 ta a2 + 3a + 2a = ø a2 + a + = a = 2; a =
Với a = 2 f(x) = 4x3 6x2 6x +
q(x) = 4x2 10x +
Với x = f(x) = 9x3 + 9x2 6x
(49)+ Bài tập tượng tự:
Bài 1: Tìm k để k(k2 1) (k2 4) ⋮ 480
Hướng dẫn: Để ý tích năm số ngun liên tiếp chia hết cho 120
Đáp số: k = 8t, k = 4t + 2, k =16t + 1, k =16t
Bài 2: Tìm n để 5n 2n ⋮
Hướng dẫn: Lần lượt xét n = 3k ,n = 3k + 1, n = 3k + Chỉ có n = 3k 5n 2n ⋮
Bài 3: Xác định số a; b để: a) x4 + ax2 + b ⋮ x2 – x +
b) ax3 + bx2 + 5x – 50 ⋮ x2 + 3x 10
Hướng dẫn: Thực phép chia
a) x4 + ax2 + b = (x2 – x + 1) (x2 + x + a) + (a 1) x + b – a
(50)PHẦN THỨ III: KẾT LUẬN, KẾT QUẢ, KIẾN NGHỊ.
(51)Trên số dạng “toán chia hết” thường gặp chương trình tốn THCS Mỗi dạng tốn có đặc điểm khác cịn chia nhỏ dạng dạng Việc phân dạng giúp học sinh dễ tiếp thu thấy toán ta nên áp dụng kiến thức cho phù hợp Mỗi dạng toán tơi chọn số tốn điển hình để học sinh hiểu cách làm từ để làm tập mang tính tương tự dần nâng cao lên
(52)