Không gian orlicz sobolev và xấp xỉ bởi các hàm trơn

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, , αn ), αi ∈ N∗ ❧➔ ❜ë ✤❛ ❝❤➾ sè ❧➔ ✈❡❝tì ✈ỵ✐ ❝→❝ tå❛ ✤ë ♥❣✉②➯♥ ❦❤æ♥❣ ➙♠✱ ∂ α1 ∂ αn f |α| = α1 + α2 + + αn ✈➔ D f = x1 xn n ỵ C ∞ (G) = ∩ C m (G) ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐ ✈ỉ ❤↕♥ tr➯♥ m=1 G✳ ❱ỵ✐ ♠é✐ ❤➔♠ f ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ ♠✐➲♥ G ⊂ Rn ỵ supp (f ) := {x G : f (x) = 0} ✈➔ ❣å✐ ❧➔ ❣✐→ ❝õ❛ ❤➔♠ f tr➯♥ G✳ ✣➦t C0m (G) = {f ∈ C m (G) | supp (f ) ❝♦♠♣❛❝t } ✹ ✭✶✳✷✮ ❑❤✐ ✤â ∞ ✭✶✳✸✮ C0∞ (G) = ∩ C0m (G) = D(G) m=1 ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐ ✈æ ❤↕♥ ✈➔ ❝â ❣✐→ ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t ❝❤ù❛ tr♦♥❣ G✳ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ♥➔② t❤÷í♥❣ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❤➔♠ t❤û✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✷✳ ❈❤♦ G R ỵ n CBm (G) = f : G → R Dα f ❜à ❝❤➦♥ tr➯♥ G, |α| ✭✶✳✹✮ m ❧➔ ♠ët ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈ỵ✐ ❝❤✉➞♥ f m (G) CB = m❛① sup |Dα f (x)| |α| m x∈G ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✸✳ ❈❤♦ G ❧➔ ♠ët ♠✐➲♥ ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ R n ✈➔ G õ G ỵ C m (G) = f : G → R Dα f ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ G, |α| m ✭✶✳✺✮ ❱➻ C m (G) ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ✤â♥❣ ❝õ❛ CBm (G)✳ ❉♦ ✤â C m (G) ❝ơ♥❣ ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ợ tữỡ tỹ f C m (G) = m sup |Dα f (x)| |α| m x∈G ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✹✳ ❍➔♠ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ❤â❛ ❜ð✐ ω(x) =   Ce− 1− x ; ♥➳✉ 0; ♥➳✉  ❈❤♦ ω : Rn → R ①→❝ ✤à♥❤ x fh (x) = G ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ❤â❛ ✤è✐ ✈ỵ✐ f (x)✳ ❚ø t➼♥❤ ❝❤➜t ✶ ❝õ❛ ♥❤➙♥ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ❤â❛ ✈➔ f ∈ C(G)✱ t❛ ❝â fh ∈ C ∞ (Rn )✳ ✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✶✳✺✳ ●✐↔ sû f ∈ C m (G) ✈➔ G G✳ ❑❤✐ ✤â fh − f C m (G ) →0 ❦❤✐ h → ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱ỵ✐ h > ✤õ ❜➨✱ h < d(∂G , ∂G)✳ ❑❤✐ ✤â✱ t❤❡♦ t➼♥❤ ❝❤➜t ✶✱ ✷✱ ✸ ❝õ❛ ♥❤➙♥ tr✉♥❣ õ ợ x G t ữủ |fh (x) − f (x)| = | f (y)ωh (x − y)dy − f (x) ωh (x − y)dy| Rn G =| f (y)ωh (x − y)dy − f (x) { x−y