Xấp xỉ không gian sobolev wm,p (ω) bằng các hàm trơn trên ω

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN CÔNG HỮU XẤP XỈ KHÔNG GIAN SOBOLEV Wm,p (Ω) BẰNG CÁC HÀM TRƠN TRÊN Ω Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS LÊ VIẾT NGƯ Huế, 2016 LỜI CẢM ƠN Luận văn hồnh thành khơng kết cố gắng, nổ lực thân mà trước hết nhờ giúp đỡ hướng dẫn tận tình, chu đáo thầy giáo PGS.TS Lê Viết Ngư Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy Em xin chân thành cảm ơn q thầy hết lịng dạy dỗ, giúp đỡ em suốt năm qua Em xin gửi đến gia đình, người thân yêu người bạn em lời biết ơn chân thành sâu lắng, người sát cánh bên em, động viên tạo điều kiện cho em học tập suốt q trình hồn thành luận văn Huế, tháng 10 năm 2016 Học viên Nguyễn Công Hữu i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực, đồng ý sử dụng đồng tác giả chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận văn Nguyễn Cơng Hữu ii MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Mục lục Lời mở đầu Các kiến thức liên quan 1.1 Không gian Lp (Ω) 1.2 Hàm suy rộng 1.2.1 Các không gian D(Ω), D (Ω), E (Ω), S (Rn ) S (Rn ) 1.2.2 Đạo hàm hàm suy rộng 1.2.3 Tích chập hàm suy rộng 1.3 Phép biến đổi Fourier không gian hàm suy rộng 1.3.1 Biến đổi Fourier S(Rn ) 1.3.2 Biến đổi Fourier S (Rn ) 1.3.3 Biến đổi Fourier tích chập Không gian Sobolev Wm,p (Ω) 2.1 Định nghĩa số tính chất 2.1.1 Không gian Sobolev cấp nguyên dương 2.1.2 Không gian Sobolev cấp thực 2.1.3 Định lý nhúng 2.1.4 Đối ngẫu không gian Wl (Rn ) 2.2 Không gian Sobolev Wm,p (Ω) 2.2.1 Một số kí hiệu khái niệm 5 6 15 18 21 21 25 25 27 27 27 30 31 33 37 37 2.2.2 Đối ngẫu không gian Sobolev Wm,p (Ω) 39 Xấp xỉ không gian Sobolev Wm,p (Ω) 3.1 Xấp xỉ hàm C m (Ω) 3.1.1 Định lý phân hoạch đơn vị 3.1.2 Định lý Meyers-Serrin 3.2 Xấp xỉ hàm C m Ω 3.3 Xấp xỉ hàm C0∞ (Ω) hàm trơn Ω 46 46 46 47 49 52 Kết luận 60 Tài liệu tham khảo 61 LỜI MỞ ĐẦU Không gian Sobolev không gian vectơ hàm số với chuẩn tổng chuẩn Lp hàm số với đạo hàm bậc Các đạo hàm hiểu theo nghĩa yếu thích hợp để làm khơng gian trở thành đầy đủ không gian Banach Nó đặt theo tên nhà tốn học Nga L Sobolev Sự quan trọng không gian Sobolev nằm kiện nghiệm phương trình vi phân thường nằm không gian Sobolev không gian thông thường hàm số liên tục với đạo hàm hiểu theo nghĩa thơng thường Hàm suy rộng (hay cịn gọi phân bố), giới thiệu Sobolev lần vào năm 1935 cho nghiệm yếu phát triển thêm Laurent Schwartz, cách định nghĩa lại khái niệm đạo hàm Cả hai phát triển phát sinh trực tiếp từ cơng trình Sobolev phương trình đạo hàm riêng Hiện số tài liệu trình bày khơng gian Sobolev chủ yếu sử dụng phép biến đổi Fourier công cụ nên thường dừng lại khơng gian L2 Tuy nhiên khơng gian Sobolev định nghĩa thơng qua đạo hàm suy rộng Khi đó, có khơng gian Sobolev tổng qt hơn, khơng gian Wm,p (Ω) Ngồi việc nghiên cứu tính chất khơng gian Wm,p (Ω), nhà tốn học quan tâm đến xấp xỉ không gian Wm,p (Ω) hàm trơn Ω Nó góp phần hổ trợ đắc lực cho ngành toán học vật lý, mở rộng khả phân tích tốn học cổ điển Tìm hiểu nội dung vấn đề thú vị bổ ích Đó lý chọn đề tài: "Xấp xỉ không gian Sobolev Wm,p (Ω) hàm trơn Ω" làm đề tài nghiên cứu cho luận văn Mục tiêu luận văn tìm hiểu trình bày cách tổng hợp không gian Sobolev Wm,p (Ω) xấp xỉ không gian Sobolev Wm,p (Ω) hàm trơn Ω Nội dung luận văn bao gồm ba chương: • Chương 1: Trình bày không gian Lp (Ω), hàm suy rộng, phép biến đổi Fourier không gian hàm suy rộng Trong chương tác giả trích dẫn số kết đạt từ tài liệu [1], [2], [3], [4], [5] • Chương 2: Trình bày khơng gian Sobolev cấp thực, định lý nhúng, đối ngẫu không gian Wl (Rn ) đối ngẫu không gian Sobolev Wm,p (Ω) Trong chương này, chủ yếu dựa sở tài liệu tham khảo [1], [4], [5] • Chương 3: Trong chương trình bày xấp xỉ không gian Sobolev Wm,p (Ω) hàm trơn Ω, bao gồm xấp xỉ hàm C m (Ω) , C m Ω , C0∞ (Ω) Trong chương này, chủ yếu dựa sở tài liệu tham khảo [4], [5], [6], [7] Tuy có nhiều cố gắng, song hạn chế thời gian lực thân nên luận văn không tránh khỏi sai sót, mong quan tâm góp ý thầy bạn Em xin chân thành cảm ơn! Huế, tháng 10 năm 2016 Học viên Nguyễn Công Hữu Chương Các kiến thức liên quan 1.1 Không gian Lp (Ω) Trong mục ta xét (Ω, A, µ) khơng gian độ đo, Ω tập mở Rn , A σ−đại số tập đo Lebesgue µ độ đo Lebesgue Với ≤ p < ∞, kí hiệu Lp (Ω) := {f : Ω → R| f đo Ω |f |p dµ < ∞ Định lý 1.1.1 Tập hợp Lp (Ω) không gian vectơ Định lý 1.1.2 ([1]) Lp (Ω) không gian định chuẩn, với chuẩn phần tử f ∈ Lp (Ω) cho f Lp (Ω) p p |f | dµ = Ω Định lý 1.1.3 ([1]) Lp (Ω) không gian Banach Định lý 1.1.4 ([8]) Tập Co∞ (Ω) trù mật Lp (Ω) với ≤ p < ∞ Nhận xét 1.1.1 Xét không gian vectơ L2 (Ω) Với f, g ∈ L2 (Ω) , đặt f, g L2 (Ω) = f.gdµ Ω dễ dàng kiểm chứng , xác định tích vơ hướng L2 (Ω), ta có f, f L2 (Ω) |f |2 dµ = Ω = f L2 (Ω) Theo ta có L2 (Ω) khơng gian Banach với chuẩn f |f |2 dµ = L2 (Ω) , f ∈ L2 (Ω) Ω nên ta có kết luận sau: Định lý 1.1.5 Khơng gian L2 (Ω) với tích vơ hướng cho f, g L2 (Ω) f.gdµ với f, g ∈ L2 (Ω) = Ω không gian Hilbert 1.2 1.2.1 Hàm suy rộng Các không gian D(Ω), D (Ω), E (Ω), S (Rn ) S (Rn ) Với n ∈ N, ta kí hiệu tập Nn = {α = (α1 , , αn )| αi ∈ N, i = 1, , n} , α = (α1 , , αn ) ∈ Nn gọi đa số, kí hiệu |α| = α1 + + αn Nếu khơng có đặc biệt, ta kí hiệu Ω tập mở Rn f : Ω → C Khi đó, ta gọi giá f , tập suppf := {x ∈ Rn | f (x) = 0} Với k ∈ N, ta kí hiệu tập sau: C k (Ω) = {f : Ω → C| f khả vi liên tục đến cấp k}, C (Ω) = C o (Ω) = {f : Ω → C| f liên tục } , C ∞ (Ω) = ∞ C k (Ω), k=1 C0k (Ω) = {f : Ω → R| f ∈ C k (Ω) , supp f tập compact } , ∞ C0 (Ω) = C0∞ (Ω) , C0∞ C0k (Ω) = k=1 Với đa số α = (α1 , , αn ) , f ∈ C k (Ω) , ta kí hiệu ∂ α f = ∂ α f (x) = ∂ |α| α, ∂xα ∂xn với x = (x1 , , xn ) ∈ Ω Nếu ϕ, ψ ∈ C ∞ (Ω) , α = (α1 , , αn ) ∈ Nn , theo cơng thức Leibnitz ta có ∂ α (ϕψ) (x) = β≤α α! ∂ β ϕ (x) ∂ α−β ψ (x) β! (α − β)! β = (β1 , , βn ) ∈ Nn , β ≤ α nghĩa βi ≤ αi với i = 1, , n α! β!(α−β)! n = i=1 αi ! βi !(αi −β1 )! Kí hiệu ω ⊂⊂ Ω nghĩa ω ⊂ Ω ω tập compact Ω Với ≤ p < ∞, kí hiệu Lploc (Ω) = {f : Ω → C| f ∈ Lp (ω) với ω ⊂⊂ Ω} Đặt biệt hàm f ∈ L1loc (Ω) gọi hàm khả tích địa phương Ω Ta có Lqloc (Ω) ⊂ Lploc (Ω) ⊂ L1loc (Ω) với ≤ p ≤ q Trước hết, nhờ vào tính chất hàm thuộc khơng gian C0∞ (Ω) ta hồn toàn xác định C0∞ (Ω) cấu trúc tuyến tính Mệnh đề 1.2.1 Cho ϕ, ψ ∈ C0∞ (Ω) α số phức Khi ϕ + ψ ∈ C0∞ (Ω) αϕ ∈ C0∞ (Ω) Chứng minh Giả sử ϕ, ψ ∈ C0∞ (Ω) α số phức Khi supp (ϕ + ψ) = {x ∈ Ω| ϕ (x) + ψ (x) = 0} ⊂ suppϕ ∪ suppψ Vì suppϕ, suppψ tập compact nên suppϕ ∪ suppψ tập compact, supp (ϕ + ψ) tập đóng tập compact nên tập compact Tất nhiên ϕ + ψ ∈ C k (Ω) , ϕ + ψ ∈ C0∞ (Ω) Nếu α ∈ C ϕ ∈ C0∞ (Ω) supp (αϕ) = {x ∈ Ω| αϕ (x) = 0} ⊂ suppϕ, suy supp (αϕ) tập compact Hiển nhiên αϕ ∈ C0∞ (Ω) , αϕ ∈ C0∞ (Ω) Hệ 1.2.1 C0∞ (Ω) khơng gian tuyến tính C Do C0∞ (Ω) không gian định chuẩn không gian C0 (Ω) với chuẩn ϕ = sup |ϕ (x)| , với ϕ ∈ C0∞ (Ω) x∈Ω Định nghĩa 1.2.1 C0∞ (Ω) gọi không gian hàm bản, hàm ϕ ∈ C0∞ (Ω) gọi hàm bản, hay hàm sở, hàm thử (trên Ω) Đặt Jε (x) = ε−n J x/ε , Jε ∗ u (x) = Jε (x − y) u˜ (y) dy, với < ε, u ∈ L1loc (Ω) u (x) , x ∈ Ω u˜ (y) = 3.1.2 Rn x∈ /Ω 0, Định lý Meyers-Serrin Trước đưa định lý, ta có Bổ đề sau Bổ đề 3.1.1 ([4]) Với ≤ p < ∞, < ε, u ∈ Lp (Ω) (i) Jε ∗ u ∈ Lp (Ω) ∩ C ∞ (Ω) , Jε ∗ u → u, (ii) Nếu, suppu ⊂⊂ Ω, ε < d (suppu,∂Ω) Jε ∗ u ∈ C0∞ (Ω) Bổ đề 3.1.2 ([4]) Cho ≤ p < ∞, u ∈ Wm,p (Ω) Nếu Ω ⊂⊂ Ω lim+ Jε ∗u = u ε→0 Wm,p (Ω ) Chứng minh Lấy < ε < d (Ω , ∂Ω) , ϕ ∈ C0∞ (Ω) Theo định lý Fubini Dα ϕ (x) (Jε ∗ u) (x) Dα ϕ (x) dx = u˜ (x − y) Jε (y) dy Ω u˜ (x − y) Dα ϕ (x) dx dy Jε (y) = dx Rn Rn Rn Rn = (−1)|α| Dα u˜ (x − y) ϕ (x) dx dy Jε (y) Rn Rn = (−1)|α| Dα u˜ (x − y) Jε (y) dy dx ϕ (x) Rn = (−1)|α| Rn (Jε ∗ Dα u) (x) ϕ (x) dx Ω nên Dα (Jε ∗ u) = Jε ∗ Dα u (theo nghĩa suy rộng Ω ) Mà u ∈ Wm,p (Ω) nên Dα u ∈ Lp (Ω) , ≤ |α| ≤ m Do đó, theo Bổ đề 3.1.1 có Jε ∗ Dα u = Dα (Jε ∗ u) ∈ Lp (Ω ) , lim Jε ∗ Dα u − Dα u ε→0+ 47 p,Ω = Như Jε ∗ u ∈ Wm,p (Ω ) lim Jε ∗ u − u ε→0+ m,p,Ω = Định lý 3.1.2 (Meyers-Serrin [4]) Với ≤ p < ∞, H m,p (Ω) = Wm,p (Ω) Trước chứng minh, ý p = ∞, nói chung, H m,∞ (Ω) = Wm,∞ (Ω) Chẳng hạn, lấy Ω = {x ∈ R : −1 < x < 1} , u (x) = |x| Có Du (x) = signx, nên u ∈ W1,∞ (Ω) Nhưng ϕ − Du ∞ ≥ 1/2, ∀ϕ ∈C (Ω) Chứng minh Đặt Ωk = {x ∈ Ω : |x| < k, d (x, ∂Ω) > 1/k} , Ω0 = Ω1 = ∅, c Uk = Ωk+1 ∩ Ωk−1 Có Uk ⊂⊂ Ω {Uk }∞ k=1 phủ mở Ω nên từ ý ta chọn họ {ψk }∞ k=1 thỏa mãn (i) ψk ∈ C0∞ (Rn ) , ≤ ψk (x) ≤ 1, ∀x ∈ Rn , k = 1, 2, , (ii) suppψk ⊂ Uk , k = 1, 2, , (iii) ∀K ⊂⊂ Ω có hữu hạn k cho ψk |K = 0, (iv) ∞ k=1 ψk (x) = 1, ∀x ∈ Ω Lấy ε > Với εk (chọn sau), < εk < (k+1)(k+2) có supp(Jεk ∗ (ψk u)) ⊂ Vk = Ωk+2 ∩ (Ωk−2 )c , supp(ψk u) ⊂ Uk ⊂ Vk ⊂⊂ Ω, nên theo Bổ đề 3.1.2 ta chọn εk cho Jεk ∗ (ψk u) − ψk u m,p,Ω = Jεk ∗ (ψk u) − ψk u m,p,Vk < ε 2k Đặt ϕ = ∞ k=1 Jεk ∗ (ψk u) Với Ω ⊂⊂ Ω, ϕ tổng hữu hạn Jεk ∗ (ψk u) nên từ Bổ đề 3.1.1 có ϕ ∈ C ∞ (Ω) Khi x ∈ Ωk có ϕ (x) = k+2 j=1 (Jεk ∗ (ψj u)) (x) Do k+2 u−ϕ m,p,Ωk ≤ Jεj ∗ (ψj u) j=1 48 m,p,Ωj x hay (x, y) ∈ Ω3 , − 13 ≥ x, 0,   x+ , (x, y) ∈ Ω3 , |x| ≤ 31 Có u ∈ W1,p (Ω) , Dy u = Dx u (x, y) = 0, (x, y) ∈ Ω1 ∪ Ω2 , < x hay (x, y) ∈ Ω3 , 31 < |x| , 2, (x, y) ∈ Ω3 , |x| < 31 Nhưng ta chọn ε > đủ nhỏ để u−ϕ 1,p p ≥ u (x) − ϕ(x) dx 1/ p > ε, ∀ϕ ∈ C Ω Ω Điều qua x = 0, < y < 31 hàm u có gián đoạn, cịn hàm ϕ ∈ C Ω liên tục Hay Ω nằm hai phía phần biên x = 0, < y < 31 Như để xấp xỉ khơng gian Wm,p (Ω) C m Ω , Ω nằm phía phần biên Cụ thể ta cần đến khái niện sau Định nghĩa 3.2.1 Tập mở Ω ⊂ Rn gọi có tính chất "segment" với x ∈ ∂Ω có tập mở Ux chứa x, vectơ yx khác cho 49 z ∈ Ω ∩ Ux z + tyx ∈ Ω, ∀0 < t < Nhận xét 3.2.1 Tập mở Ω có tính chất "segment" phải có biên (n − 1) − chiều nằm hai phía phần biên ∂Ω Định lý sau khẳng định tính chất "segment" điều kiện đủ để C0∞ (Rn ) trù mật Wm,p (Ω) , C m Ω trù mật Wm,p (Ω) Định lý 3.2.1 ([4]) Nếu Ω có tính chất "segment" tập hạn chế xuống Ω hàm thuộc không gian C0∞ (Rn ) trù mật Wm,p (Ω) với ≤ p < ∞ Chứng minh Với u ∈ Wm,p (Ω) đặt Ku = {x ∈ Ω : u (x) = 0} , u˜ (x) = u (x) , x ∈ Ω, 0, x ∈ Ωc Trước hết ta chứng minh tập hàm u ∈ Wm,p (Ω) có Ku bị chạn trù mật Wm,p (Ω) Lấy f ∈ C0∞ (Rn ) cố định thỏa mãn (i) f (x) = 1, |x| ≤ 1, (ii) f (x) = 0, |x| ≥ 2, (iii) f (x) ≤ 0, < |x| < Khi đó, có M > cho |Dα f (x)| ≤ M, ∀x ∈ Rn , ∀0 ≤ |α| ≤ m Với > ε > đặt fε (x) = f (εx) có (i) fε (x) = 1, |x| ≤ 1/ε, (ii) fε (x) = 2, |x| ≥ 2/ε, (iii) |Dα fε (x)| ≤ M ε|α| ≤ M, ∀x ∈ Rn , ∀0 ≤ |α| ≤ m Khi đó, theo cơng thức Leibnitz α |Dα (fε (x) u (x))| ≤ β≤α β α Dβ u (x) Dα−β fε (x) ≤ M β≤α 50 β Dβ u (x) nên fε u ∈ Wm,p (Ω) Đặt Ωε = {x ∈ Ω : |x| > ε} có fε u − u mà lim+ u ε→0 m,p,Ω m,p,Ωε = fε u − u m,p,Ωε ≤ u m,p,Ωε + fε u m,p,Ωε ≤C u m,p,Ωε = 0, u ∈ Wm,p (Ω) , nên lim fε u − u ε→0+ m,p,Ωε = 0, Kfε u ∈ |x| < ε/2 tập bị chặn Bây ta chứng minh tập hạn chế xuống Ω hàm thuộc C0∞ (Rn ) trù mật tập hàm u ∈ Wm,p (Ω) có Ku bị chặn Đặt F = K ∩ (∪x∈∂Ω Ux )c tập compact Ω, Ux tập mở xác định từ tính chất "segment" Ω Khi đó, có tập mở U0 mà F ⊂⊂ U0 ⊂⊂ Ω Có K tập compact mà K ⊂ U0 ∪ (∪x∈∂Ω Ux ) nên có hữu hạn điểm x1 , , xk ∈ ∂Ω cho K ⊂ U0 ∪ ∪kj=1 Uxj Ta chọn U˜0 = U0 tập mở, compact tương đối c Lại có V1 = K ∩ U0 ∪ ∪kj=2 Uxj tập compact Ux1 Nên có tập mở U˜1 cho V1 ⊂⊂ U˜1 ⊂⊂ Ux1 Cứ ta xây dựng họ tập mở U˜j k j=0 cho U˜0 = U0 , U˜j ⊂⊂ Uxj , ≤ j ≤ k, K ⊂ ∪kj=0 U˜j Khi ta xây dựng họ {ψj }kj=0 thỏa mãn (i) ψj ∈ C0∞ (Rn ) , ≤ ψj (x) ≤ 1, ∀x ∈ Rn , j = 0, 1, , k, (ii) suppψj ⊂ Uj , j = 0, 1, , k, (iii) ∀A ⊂⊂ Ω có hữu hạn k cho ψj |A = 0, (iv) k j=0 ψj (x) = 1,∀x ∈ K 51 Đặt uj = ψj u, j = 0, 1, , k Lấy ε > Nếu với j , ta chọn hàm ϕ ∈ C0∞ (Rn ) cho uj − ϕj hàm ϕ = k j=0 ϕj m,p,Ω < ε/(k + 1) thỏa mãn k u−ϕ m,p,Ω uj − ϕj = m,p,Ω ≤ ε j=0 Có suppu0 ⊂ U˜0 ⊂⊂ Ω nên, theo Bổ đề 3.1.1 3.1.2, với ε > đủ nhỏ hàm cần tìm ϕ0 = Jδ ∗ u0 ∈ C0∞ (Rn ) Ta cịn phải tìm hàm ϕj với ≤ j ≤ k Có u˜j ∈ Wm,p (Rn \Γj ) với Γj = U˜0 ∩ ∂Ω Lấy yj vectơ xác định từ tính chất "segment" điểm xj lân cận Uxj Đặt Γtj = Γj − tyj với t chọn cho < t < 1, d U˜j , Rn \Uxj / |yj | Có Γtj ⊂ Uxj Γtj ∩ Ω = ∅ (theo tính chất "segment") Đặt utj (x) = u˜j (x + tyj ) Ta có utj ∈ Wm,p (Rn \Γtj ) , Dα utj → Dα uj Lp (Ω) t → 0+ , ∀0 ≤ |α| ≤ m Nên utj → uj Wm,p (Ω) t → 0+ Lại có Ω ∩ Uxj ⊂⊂ Rn \Γtj nên theo Bổ đề 3.1.2 có Jδ ∗ utj → utj Wm,p Ω ∩ Uxj δ → 0+ Do với t > 0, δ > đủ nhỏ hàm cần tìm ϕj = Jδ ∗ utj Từ định lý trên, với ý Rn thỏa mãn tính chất "segment", ta có Hệ sau Hệ 3.2.1 W0m,p (Rn ) = Wm,p (Rn ) 3.3 Xấp xỉ hàm C0∞ (Ω) Trong mục này, ta giả sử < p < ∞, p số liên hợp p Một tập đóng F Rn gọi chứa giá hàm suy rộng T ∈ D (Ω), ký hiệu suppT ⊂ F, T (ϕ) = với ϕ ∈ C0∞ (Rn ) , ϕ|F = Định nghĩa 3.3.1 Ta nói tập đóng F (m, p )-polar có hàm suy rộng T ∈ W−m,p (Rn ) có giá F T = 52 Chú ý 3.3.1 Nếu F có độ đo dương khơng thể (m, p )-polar Thực vậy, F có độ đo dương chứa tập compact K có độ đo dương Khi đó, hàm đặc trưng 1K tập K thuộc Lp (Rn ) , thuộc W−m,p (Ω) , có supp1K ⊂ F 1K = Nếu mp > n có tập rỗng (m, p )-polar Thật vậy, mp > n ta có phép nhúng liên tục Wm,p (Rn ) → C0∞ (Rn ) , theo nghĩa với u ∈ Wm,p (Ω) có u0 ∈ C0∞ (Rn ) mà u (x) = u0 (x) (a.e.) , |u0 (x)| ≤ C u m,p, ∀x ∈ Rn , đó, số C khơng phụ thuộc vào x u Như vậy, với x ∈ Rn hàm Dirac δx (ϕ) = ϕ (x) thuộc vào (Wm,p (Rn )) = W0m,p (Rn ) ∼ = W−m,p (Rn ) , có suppδx = {x} Có phép nhúng Wm+1,p (Rn ) → Wm,p (Rn ) nên W−m,p (Rn ) ⊂ W−m−1,p (Rn ) , tập (m + 1, p )-polar (m, p )-polar Xét ánh xạ thác triển u → u˜ xác định sau u˜ (x) = u (x) , x ∈ Ω 0, x ∈ Ωc Bổ đề sau ánh xạ thác triển phép nhúng đẳng cự từ W0m,p (Ω) vào Wm,p (Rn ) Bổ đề 3.3.1 ([4]) Cho u ∈ W0m,p (Ω) Khi đó, với ≤ |α| ≤ m có Dα u = Dα u theo nghĩa suy rộng Rn Do đó, u˜ ∈ Wm,p (Rn ) ∞ Chứng minh Từ định nghĩa, có dãy {ϕk }∞ k=1 C0 (Ω) mà ϕk hội tụ đến u W0m,p (Ω), k → ∞ Với ≤ |α| ≤ m, ϕ ∈ C0∞ (Rn ) có u˜ (x)Dα ψ (x) dx = Rn u (x)Dα ψ (x) dx Ω ϕk (x)Dα ψ (x) dx = lim k→∞ Ω = lim (−1)|α| Dα ϕk (x)ψ (x) dx k→∞ Ω |α| α = (−1) D u (x)ψ (x) dx Ω = (−1)|α| Dα u (x)ψ (x) dx Rn nên, Dα u˜ = Dα u theo nghĩa suy rộng Rn Do đó, u˜ 53 m,p,Rn = u m,p,Ω Định lý 3.3.1 ([4]) C0∞ (Ω) trù mật Wm,p (Rn ) Ωc (m, p )-polar Chứng minh Trước hết ta chứng minh điều kiện cần, nghĩa giả sử C0∞ (ω) trù mật Wm,p (Rn ) , T ∈ W−m,p (Rn ) ,suppT ⊂ Ωc , ta phải chứng minh T = ∞ Thật vậy, lấy u ∈ Wm,p (Ω) Từ giả thiết, tồn dãy {ϕk }∞ k=1 C0 (Ω) mà ϕk → u, k → ∞ (theo chuẩn m,p ) Khi đó, suppT ⊂ Ωc nên T (u) = lim T (ϕk ) = k→∞ hay T = Bây ta chứng minh điều kiện đủ Từ hệ Định lý Hahn-Banach, để chứng minh C0∞ (Ω) trù mật Wm,p (Ω) ta cần chứng minh T ∈ W−m,p (Ω) , T |C0∞ (Ω) = T = Đây định nghĩa Ωc (m, p )polar Để chứng minh Định lý 3.3.2 mục ta cần số Bổ đề sau Bổ đề 3.3.2 ([4]) Cho B = (a1 , b1 ) × (a2 , b2 ) × · · · × (an , bn ) hộp chữ nhật mở Rn , ϕ ∈ C0∞ (B) Nếu B ϕ (x) dx = ta có phân tích ϕ (x) = n ∞ j=1 ϕj (x) với ϕj (x) ∈ C0 (B) cho bj (3.1) ϕj (x) dxj = aj với xi ∈ R, i = j, i = 1, 2, , n cố định Chứng minh Với ≤ j ≤ m chọn uj ∈ C0∞ (aj , bj ) cho Đặt bj aj uj (t) dt = Bj = (aj , bj ) × (aj+1 , bj+1 ) × · · · × (an , bn ) , b1 ψj (xj , , xn ) = b2 dt1 a1 bj−1 dt2 a2 ϕ (t1 , , tj−1 , xj , , xn ) dtj−1 , aj−1 ωj (x) = u1 (x1 ) uj−1 (xj−1 ) ψj (xj , , xn ) Có ωj ∈ C0∞ (B) ψj (xj , , xn ) dxj dxn = Bj ϕ (x) dx = B 54 Đặt ϕ1 = ϕ − ω2 , ϕj = ωj − ωj+1 (2 ≤ j ≤ n − 1) , ϕn = ωn Có ϕj ∈ C0∞ (B) , ≤ n j ≤ n ϕ = j=1 ϕj Lại có b1 ϕ1 (x) dx1 = a1 b1 b1 ϕ (x) dx1 −ψ2 (x2 , , xn ) = bj u1 (x1 ) dx1 = a1 a1 ϕj (x) dxj = aj = u1 (x1 ) uj−1 (xj−1 ) bj bj ψj (xj , , xn ) dxj −ψj+1 (xj+1 , , xn ) × uj (xj ) dxj =0 aj aj bn bn ψn (x) dxn = ϕn (x) dxn =u1 (x1 ) un−1 (xn−1 ) an an Bổ đề 3.3.3 ([4]) Nếu T ∈ D (B) , Dj (T ) = ∀j = 1, , n, tồn số k cho ϕ (x) dx, ∀ϕ ∈ C0∞ (B) T (ϕ) = k B Chứng minh Trước rằng, B ϕ (x) dx = theo Bổ đề 3.3.2 trước ta có phân tích ϕ = nj=1 ϕj với ϕj ∈ C0∞ (B) , thỏa mãn (3.1) ϕj = Dj θj với θj ∈ C0∞ (B) xác định xj ϕj (x1 , , tj , , xn ) dtj θj (x) = aj Khi đó, T (ϕ) = nj=1 T (ϕj ) = nj=1 T (Dj θj ) = nj=1 Dj T (θj ) =0 Nếu T = hiển nhiên ta có điều phải chứng minh Nếu T = có ϕ0 ∈ C0∞ (B) cho T (ϕ0 ) = k1 = Từ ý trên, có ϕ (x) dx = k2 = T (ϕ0 ) = k B ϕ0 (x) dx với k = k1 /k2 Với ϕ ∈ C0∞ (B) B đặt K (ϕ) = B ϕ (x) dx Có ϕ (x) − K ϕ0 (x) dx = k2 B Từ ý, có T (ϕ) = K T (ϕ0 ) = k k2 ϕ (x) dx B 55 Bổ đề 3.3.4 Nếu u ∈ L1loc (Ω) , Ω Ω u (x) ϕ (x) = 0, ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω) u = (a.e.) Chứng minh Nếu ψ ∈ C0 (Ω) , với ε > đủ nhỏ có Jε ∗ ψ thuộc C0∞ (Ω) Jε ∗ψ hội tụ đến ψ Ω ε → 0+ Do đó, từ giả thiết có Ω u (x) ψ (x) = với ψ ∈ C0 (Ω) Lấy K ⊂⊂ Ω ε > Từ giả thiết có ∞ |u (x)| dx < ∞ = k=0 K∩{k≤|u(x)| cho với tập A K có µ (A) < δ A |u (x)| dx < ε/2 Ta áp dụng Định lý Lusin cho hàm đo 1K sign u˜ tập K có độ đo µ (K) < ∞, có ψ ∈ C0 (Ω) với suppψ ⊂ K |ψ (x)| ≤ 1, ∀x ∈ K cho µ x ∈ Ω : ψ (x) = 1K (x) sign u (x) = µ x ∈ K : ψ (x) = 1K (x) sign u (x) < δ Khi |u (x)| dx = K u (x)1K (x) sign u (x)dx Ω = u (x) 1K (x) sign u (x) − ϕ dx u (x) ϕ (x) dx + Ω Ω ≤2 |u (x)| dx ≤ ε {x∈Ω:ψ(x)=1K (x)sign u(x)} Như u (x) = (a.e.) K , Ω Từ hai Bổ đề ta có Hệ 3.3.1 Nếu u ∈ L1loc (B) , Dj u = 0, ∀j = 1, , n, tồn số k cho u (x) = k (a.e.) B Định lý 3.3.2 ([4]) (1) Nếu Wm,p (Ω) = W0m,p (Ω) Ωc (m, p )-polar (2) Nếu Ωc (1, p)-polar (m, p )-polar Wm,p (Ω) = W0m,p (Ω) 56 Chứng minh (1) Giả sử có Wm,p (Ω) = W0m,p (Ω) Trước hết, ta chứng minh µ (Ωc ) = Vì khơng ta ln chọn hộp chữ nhật mở B ⊂ Rn cho µ (B ∩ Ω) > µ (B ∩ Ωc ) > Lấy u hạn chế xuống Ω hàm v ∈ C0∞ (Rn ) mà v (x) = 1, ∀x ∈ B ∩ Ω Có u ∈ Wm,p (Ω) = W0m,p (Ω) Theo Bổ đề 3.1.1, có u˜ ∈ Wm,p (Ω) Dj u˜ = Dj u theo nghĩa suy rộng Rn , với ≤ j ≤ m Mà Dj u = nên Dj u˜|B = Do đó, theo Hệ trên, u˜ hầu khắp B B Điều trái với giả thiết u˜|B∩Ω = 1, u˜|B∩Ωc = Như Ωc có độ đo Lấy v ∈ Wm,p (Rn ) u = v|Ω có u ∈ Wm,p (Ω) = W0m,p (Ω) Từ Bổ đề 3.1.1 có u˜ ∈ Wm,p (Rn ) xấp xỉ hàm thuộc C0∞ (Ω) Có Dα v = Dα u˜ Ω, với ≤ |α| ≤ m, Dα v = Dα u˜ hầu khắp Rn (vì Ωc có độ đo 0), với ≤ |α| ≤ m Như vậy, v xấp xỉ hàm thuộc C0∞ (Ω) nên theo Định lý 3.1.1 có Ωc (m, p )-polar (2) Giả sử Ωc (1, p)-polar (m, p )-polar Lấy u ∈ Wm,p (Ω) , ta phải chứng minh u ∈ W0m,p (Ω) Vì u˜ ∈ Lp (Ω) nên Dj u˜ ∈ W−1,p (Rn ) theo nghĩa Dj u˜, v = lim Dj u˜, ϕk = lim u˜, Dj ϕk k→∞ k→∞ với ϕk ∈ C0∞ (Rn ) , ϕk → v W1,p (Rn ) k → ∞ Lại có Dj u ∈ Lp (Rn ) ⊂ H −1,p (Rn ) nên Dj u˜ − Dj u ∈ W−1,p (Rn ) Mà Dj u˜ − Dj u = Ωc (1, p)Ω polar nên Dj u˜ = Dj u theo nghĩa suy rộng Rn Bằng phương pháp quy nạp, ta có Dj u˜ = Dj u theo nghĩa suy rộng Rn , với ≤ |α| ≤ m Do đó, u˜ ∈ Wm,p (Rn ) Theo Định lý 3.1.1, Ωc (m, p)-polar, hạn chế u u˜ xuống Ω thuộc W0m,p (Ω) Nếu (m, p )-polar suy (1, p)-polar, từ Định lý trên, (m, p )-polar điều kiện cần đủ để W0m,p (Ω) =Wm,p (Ω) Ta tìm xem điều xảy Trước hết ta cần Bổ đề sau Bổ đề 3.3.5 F ⊂ Rn (m, p)-polar F ∩ K (m, p)-polar với tập compact K ⊂ Rn Chứng minh Rõ ràng F (m, p)-polar F ∩ K (m, p)-polar với tập compact K ⊂ Rn Do ta phải chứng minh điều kiện đủ Giả sử T ∈ W−m,p (Rn ) có suppT ∈ F Theo Định lý 2.2.4 tồn v ∈ LpN (Rn ) cho Dα u, vα , ∀u ∈Wm,p (Rn ) T (u) = 0≤|α|≤m 57 Lấy cố định hàm f ∈ C0∞ (Rn ) thỏa mãn (i) f (x) = 1, |x| ≤ 1, (ii) f (x) = 0, |x| ≥ 2, (iii) f (x) ≤ 0, < |x| < Với ε > đặt fε (x) = f (εx) Có Dα fε (x) = ε|α| Dα f (εx) hội tụ theo x ∈ Rn đến ε → 0+ , ≤ |α| ≤ m Do fε T ∈ W−m,p (Rn ) với ϕ ∈ C0∞ (Rn ) có |T (ϕ) − fε T (ϕ)| = |T (ϕ) − T (fε ϕ)| vα Dα (ϕ (x) (1 − fε (x))) dx = Rn 0≤|α|≤m α = 0≤|α|≤m β≤α vα (x) Dβ ϕ (x) Dα−β (1 − fε (x)) dx β Rn wβ (x) Dβ ϕ (x) dx ≤ ϕ ≤ 0≤|α|≤m Rn m,p w; LpN α wβ (x) = |α|≤m α≥β β vα Dα−β (1 − fε (x)) α = vβ (x) (1 − fε (x)) − |α|≤m α≥β,α=β β vα Dα−β fε (x) , mà supp(1 − fε ) ⊂ {|x| ≥ 1/ε} Dα f (εx) hội tụ theo x ∈ Rn đến ε → 0+ , ≤ |α| ≤ m nên lim wβ p = Do fε T → T W−m,p (Rn ) + ε→0 ε → 0+ Lại có supp(fε T ) ⊂ {|x| ≤ 2/ε} tập compact nên, theo giả thiết (fε T )|F ∩{|x|≤2/ε} = 0, F ∩ {|x| ≤ 2/ε} (m, p )-polar, có fε T = T = hay F (m, p )-polar Bổ đề 3.3.6 Nếu p ≤ q F ⊂ Rn (m, p )-polar F (m, q )-polar Chứng minh Lấy K ⊂ Rn tập compact Theo Bổ đề 3.3.5 ta cần chứng minh K ∩ F (m, q )-polar Lấy G ⊂ Rn tập mở, bị chặn chứa K Dễ có phép 58 nhúng liên tục W0m,p (G) → W0m,q (G) nên W−m,q (G) → W−m,p (G) Với T ∈ W−m,q (Rn ) có suppT ⊂ K ⊂ G T ∈ W−m,q (G) T ∈ W−m,p (G) Mà K ∩ F (m, p )-polar nên T = hay K ∩ F (m, q )-polar Định lý 3.3.3 ([4]) Với p ≥ W0m,p (Ω) =Wm,p (Ω) Ωc (m, p )-polar Chứng minh Do p ≥ nên p ≥ p Theo Bổ đề 3.3.6, Ωc (m, p )-polar Ωc (m, p)-polar (1, p)-polar Như vậy, theo Định lý 3.3.2 ta có điều phải chứng minh Chú ý 3.3.2 Từ Định lý nhúng Sobolev, với (m − 1) p < n có phép nhúng liên tục np Wm,p (Rn ) → W1,q (Rn ) , q = n − (m − 1) p nên W−1,q (Rn ) ⊂ W−m,p (Rn ) Nếu p ≥ 2n/ (n + m − 1) q ≤ p, nên theo Bổ đề 3.3.2, Ωc (m, p )-polar (1, p)-polar Nếu (m − 1) p ≤ n Ω = Rn Ωc (m, p )-polar hiển nhiên (1, p)-polar Như p ≥ {n/ (m − 1) , 2n/ (n + m − 1)} Ωc (1, p)-polar Ωc (m, p )-polar 59 KẾT LUẬN Trên sở tổng quan số kiến thức liên quan không gian hàm suy rộng, phép biến đổi Fourier hàm suy rộng, luận văn luận văn sâu vào tìm hiểu vấn đề sau: Định nghĩa số tính chất khơng gian Sobolev, định lý đối ngẫu không gian Sobolev cấp thực, đối ngẫu không gian V l (Rn ) , Wl (Rn ) Xấp xỉ không gian Sobolev hàm C m (Ω), C m Ω C0∞ (Ω) Do thời gian học tập, nghiên cứu có hạn lực nhiều hạn chế, số kết đạt khiêm tốn Mặc dù thân có nhiều cố gắng khó tránh khỏi thiếu sót chưa có nhiều điều kiện để nghiên cứu sâu vấn đề đặt Hy vọng với nhiều thời gian hơn, thầy cô bạn đồng nghiệp góp ý để tơi tiếp tục nghiên cứu thêm đạt kết tốt Xin chân thành cảm ơn! 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: [1] Nguyễn Hồng (2013), Giải tích hàm (Bài giảng SĐH), Đại học Huế [2] Nguyễn Mạnh Hùng (2010), Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, NXB Đại học sư phạm Hà Nội [3] Lê Viết Ngư (2011), Hàm suy rộng (Bài giảng SĐH), Đại học Huế [4] Đặng Anh Tuấn (2005), Lý thuyết hàm suy rộng không gian Sobolev (Bài giảng SĐH), Hà Nội Tiếng Anh: [5] Gunther Hormann, Roland Steinbauer (2009), Theory of Distributions, Fakultat fur Mathematik [6] L Grafakos (2014), Classical Fourier Analysis, Columbia University of Missouri [7] L Hormander (1954), A new proof and a generalization of an inequality of Bohr, Math Scand [8] R Adams, Sobolev spaces, Academic Press [9] Lighthill (1958), Intoduction to Fourier Analysis and Generalized functions, Cambridge University Press [10] Machael Reiter, Arthur Schuster (2008), Fourier transform and Sobolev Space, Summer Term [11] C Muscalu, W Schlag (2013), Classical and Multilinear Harmonic Analysis, Cambridge University Press [12] Markus Harju (2007), Fourier transform and distribution, Valeriy Serov University of Oulu [13] W Rudin (1973), Funtional Analysis, McGraw-Hill, Inc [14] V S Vladimirov (2002), Methods of the Theory of Genneralized, Steklov Mathematical Institute Moscow, Russia 61 ... Wm,p (Ω), ||u||m,p = 1) 45 Chương Xấp xỉ không gian Sobolev Wm,p (Ω) hàm trơn Ω Trong chương này, ta xem khơng gian Wm,p (Ω) xấp xỉ không gian C m (Ω) , C m Ω , C0∞ (Ω) Xấp xỉ hàm C m (Ω) 3.1... Vậy ϕψ ∈ C0∞ (Ω) Định nghĩa 1.2.2 (Không gian D (Ω)) Không gian D (Ω) không gian hàm ϕ ∈ C0∞ (Ω) với khái niệm hội tụ sau: dãy (ϕn )n hàm C0∞ (Ω) gọi hội tụ hàm ϕ ∈ C0∞ (Ω) D (Ω) (i) Tồn tập... tài: "Xấp xỉ không gian Sobolev Wm,p (Ω) hàm trơn Ω" làm đề tài nghiên cứu cho luận văn Mục tiêu luận văn tìm hiểu trình bày cách tổng hợp khơng gian Sobolev Wm,p (Ω) xấp xỉ không gian Sobolev Wm,p