Phương trình tham số và phương trình xấp xỉ của đường cong đại số hữu tỷ phẳng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ———————o0o——————– NGUYỄN THỊ THU TRANG PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH XẤP XỈ CỦA ĐƯỜNG CONG ĐẠI SỐ HỮU TỈ PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 Huế, tháng 11 năm 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ———————o0o——————– NGUYỄN THỊ THU TRANG PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH XẤP XỈ CỦA ĐƯỜNG CONG ĐẠI SỐ HỮU TỈ PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 Cán hướng dẫn khoa học: TS TRẦN QUANG HÓA Huế, tháng 11 năm 2019 Mục lục Mục lục Bảng ký hiệu Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 11 Vành đa thức nhiều biến 12 1.1.1 Vành đa thức nhiều biến 12 1.1.2 Iđêan vành đa thức 14 1.2 Phép chia Euclid vành đa thức biến 15 1.3 Đa thức bất khả quy phân tích đa thức thành nhân tử 17 1.4 Kết thức hai đa thức 17 1.5 1.4.1 Định nghĩa kết thức hai đa thức 18 1.4.2 Tính chất kết thức 19 Đường cong đại số mặt phẳng 21 1.5.1 Không gian affine đường cong đại số mặt phẳng affine 21 1.5.2 Không gian xạ ảnh đường cong đại số mặt phẳng xạ ảnh 22 1.5.3 Mầm đường cong đại số 23 Đường cong đại số hữu tỉ phẳng phương trình tham số 25 2.1 Đường cong đại số hữu tỉ phẳng 26 2.2 Tham số hóa số họ đường cong 28 2.2.1 Tham số hóa đường cong bậc hai 28 2.2.2 Tham số hóa đường cong bậc bậc ba 29 2.2.3 Tham số hóa đường cong bậc d có điểm bội d − 30 Phương trình xấp xỉ đường cong đại số hữu tỉ phẳng 3.1 32 Tìm phương trình xấp xỉ đường cong đại số hữu tỉ kết thức 33 3.2 Tìm phương trình xấp xỉ đường cong đại số hữu tỷ µ-cơ sở đường cong phẳng 34 3.2.1 µ-cơ sở đường cong phẳng 35 3.2.2 Phương trình xấp xỉ đường cong phẳng 37 3.2.3 Thuật tốn tìm µ-cơ sở phương trình xấp xỉ đường cong đại số hữu tỉ phẳng 37 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 45 BẢNG CÁC KÝ HIỆU Ký hiệu Nghĩa ký hiệu N Tập hợp số tự nhiên N∗ Tập hợp số tự nhiên khác Z Tập số nguyên Q Tập hợp số hữu tỉ R Tập hợp số thực C Tập hợp số phức k Trường k Ank Không gian affine n-chiều k Pnk Không gian xạ ảnh n-chiều k C đường cong đại số k[x] Vành đa thức biến x k[x1 , , xn ] Vành đa thức n biến x1 , , xn k(x1 , , xn ) Trường hàm hữu tỉ theo biến x1 , , xn f1 , , f s Iđêan sinh f1 , , fs ∂f ∂x Đạo hàm riêng hàm f theo biến x deg(f ) Bậc đa thức f deg(C) Bậc đường cong đại số C gcd(f, g) Ước chung lớn f g det(M ) Định thức ma trận vuông M genus(C) Mầm đường cong đại số C LT(f ) Phần tử dẫn đầu đa thức f LV(v) Vectơ hệ số dẫn đầu vectơ đa thức v multP (C) Bội điểm P C Res(f, g, x) Kết thức hai đa thức f g ứng với biến x Sing(C) Tập điểm kỳ dị đường cong C Syl(f, g, x) Ma trận Sylvester hai đa thức f g ứng với biến Syz(I) Môđun syzygy iđean I Chương Phương trình xấp xỉ đường cong đại số hữu tỉ phẳng Trong chương này, trình bày hai phương pháp hiệu để tìm phương trình xấp xỉ F (x, y) C Phương pháp sử dụng kết thức hai đa thức phương pháp thứ hai sử dụng µ-cơ sở 32 3.1 Tìm phương trình xấp xỉ đường cong đại số hữu tỉ kết thức Trong mục này, ta ứng dụng kết thức để tìm phương trình xấp xỉ đường cong hữu tỉ C mặt phẳng affine cho tham số x = χ1 (t) = y = χ2 (t) = a(t) , b(t) c(t) , d(t) (3.1) a(t), b(t), c(t), d(t) ∈ k[t] thỏa mãn gcd(a, b) = gcd(c, d) = Ta viết f (t, x) = xb(t) − a(t) g(t, y) = yd(t) − c(t), f, g ∈ k[t, x, y] Định lý 3.1.1 Cho C đường cong hữu tỉ affine cho tham số (3.1) Khi đó, tồn số nguyên dương r đa thức bất khả quy F (x, y) ∈ k[x, y] cho F (x, y)r = Res(f, g, t) Hơn nữa, F (x, y) phương trình xấp xỉ C Ví dụ 3.1.2 Tìm phương trình xấp xỉ đường cong folium Descartes cho tham số x= 3t + t3 y = 33 3t2 + t3 Theo định nghĩa, f = xt3 − 3t + x g = yt3 − 3t2 + y Khi ta có: Res(f, g, t) = 6x3 y + 27x2 y − 27x3 − 3x2 y + 9x2 y − 9xy Vậy phương trình xấp xỉ đường cong C là: 2x3 y + 9x2 y − 9x3 − x2 y + 3x2 y − 3xy = Nhận xét 3.1.3 Giả sử đường cong C cho tham số 3.1 Đặt n = max{deg(a), deg(b)} m = max{deg(c), deg(d)} Khi đó, phương trình xấp xỉ C xác định định thức ma trận vng cấp n + m 3.2 Tìm phương trình xấp xỉ đường cong đại số hữu tỷ µ-cơ sở đường cong phẳng Trong mục này, xét đường cong phẳng C ⊂ A2k cho dạng tham số (x, y) = a(t) b(t) , c(t) c(t) 34 (3.2) a, b, c ∈ k[t] cho gcd(a, b, c) = Ta viết f (t, x) = xc(t) − a(t), g(t, y) = yc(t) − b(t) ∈ k[t, x, y] Gọi F (x, y) phương trình xấp xỉ C 3.2.1 µ-cơ sở đường cong phẳng Xét iđêan I = f, g = cx−a, cy−b = {p1 f +p2 g | p1 , p2 ∈ k[x, y, t]} ⊂ k[x, y, t] Đầu tiên, cần số bổ đề sau: Bổ đề 3.2.1 Một đa thức A(t)x + B(t)y + C(t) ∈ I = cx − a, cy − b a(t)A(t) + b(t)B(t) + c(t)C(t) = Bây ta định nghĩa Định nghĩa 3.2.2 Môđun syzygy tham số (3.2) Syz(I) := {L = Ax + By + C | A, B, C ∈ k[t], L ∈ I} = {L = Ax + By + C | A, B, C ∈ k[t], Aa + Bb + Cc = 0} Bậc đa thức L = Ax+By+C ∈ Syz định nghĩa deg(L) = max{deg(A), deg(B), deg(C)} 35 Với số tự nhiên m, ta định nghĩa Syz(I)m = {L = Ax+By+C ∈ Syz(I) | deg(L) ≤ m} ⊂ Syz(I) µ số nguyên dương nhỏ cho Syz(I)µ = Bổ đề 3.2.3 Nếu p ∈ Syz(I)µ đa thức khác khơng, (1) p bất khả quy k[x, y, t] (2) Tồn đa thức q ∈ Syz(I)n−µ cho q ∈ / p Định nghĩa 3.2.4 Hai đa thức p q Bổ đề 3.2.3 gọi µ-cơ sở iđêan I = f, g Định lý 3.2.5 Nếu p q µ-cơ sở iđêan f, g p, q = f, g Định lý 3.2.6 Giả sử p, q µ-cơ sở I = f, g Khi đó, đa thức L = Ax + By + C ∈ Syz(I) biểu diễn dạng Ax + By + C = h1 p + h2 q, h1 , h2 ∈ k[t] cho deg(h1 p) ≤ deg(L) deg(h2 q) ≤ deg(L) 36 3.2.2 Phương trình xấp xỉ đường cong phẳng Định lý 3.2.7 Giả sử p, q µ-cơ sở I = cx − a, cy − b Khi đó, phương trình xấp xỉ F (x, y) C cho tham số 3.2 xác định Res(p, q, t) = λF m , λ ∈ k m số ngun dương 3.2.3 Thuật tốn tìm µ-cơ sở phương trình xấp xỉ đường cong đại số hữu tỉ phẳng Định lý 3.2.8 Xét đường cong C tham số hóa (3.2) Giả sử p = p1 x + p2 y + p3 , q = q1 x + q2 y + q3 ∈ Syz(I) Khi p, q lập thành µ-cơ sở C hai điều kiện sau thỏa mãn: (1) Với đa thức L = Ax + By + C ∈ Syz(I) biểu diễn dạng L = Ax + By + C = h1 p + h2 q h1 , h2 ∈ k[t] deg(p) + deg(q) = n 37 (2) Với đa thức L = Ax + By + C ∈ Syz(I) biểu diễn dạng L = Ax + By + C = h1 p + h2 q h1 , h2 ∈ k[t] cho deg(h1 p) ≤ deg(L) deg(h2 q) ≤ deg(L) (3) Với đa thức L = Ax + By + C ∈ Syz(I) biểu diễn dạng L = Ax + By + C = h1 p + h2 q h1 , h2 ∈ k[t] LV(p), LV(q) độc lập tuyến tính Thuật tốn tìm µ - sở đường cong tham số hữu tỉ phẳng: Input: Các đa thức a, b, c ∈ k[t] Output: Hai đa thức p, q ∈ k[x, y, t] µ-cơ sở đường cong tham số hữu tỉ phẳng Bước 1: Đặt u1 := (−b, a, 0), u2 := (−c, 0, a), u3 := (0, c, −b); m1 := LV(u1 ), m2 := LV(u2 ), m3 := LV(u3 ) 38 Bước 2: Đặt ni := deg(ui ), i = 1, 2, Không tính tổng quát, ta giả sử n1 ≥ n2 ≥ n3 (nếu cần thiết, ta đánh lại số u1 , u2 , u3 ) Bước 3: Tìm số thực α1 , α2 , α3 (có số khác không) cho α1 m1 + α2 m2 + α3 m3 = Bước 4: Nếu α1 = đặt u1 := α1 u1 + α2 tn1 −n2 u2 + α3 tn1 −n3 u3 ; m1 := LV(u1 ); n1 := deg(u1 ) Nếu α1 = α2 , α3 = Đặt u2 := α2 u2 + α3 tn2 −n3 u3 ; m2 := LV(u2 ); n2 := deg(u2 ) Bước 5: Nếu ui = 0, giả sử u1 = 0, đặt p := u2 q := u3 Thuật toán kết thúc Ngược lại, quay Bước 39 Định lý 3.2.9 Giả sử p q hai đa thức thu thuật tốn kết thúc Khi (1) Thuật tốn dừng sau số hữu hạn bước (2) p q lập thành µ-cơ sở Syz(I) Thuật tốn tìm phương trình xấp xỉ đường cong đại số hữu tỉ phẳng với µ-cơ sở: Input: Các đa thức a, b, c ∈ k[t] Output: Phương trình xấp xỉ F (x, y) = Bước 1: Xác định µ-cơ sở đường cong tham số hữu tỉ xác định a, b, c Giả sử hai đa thức p, q ∈ k[x, y, t] Bước 2: Phương trình xấp xỉ F (x, y) = Res(p, q, t), với Res kết thức Sylvester hai đa thức p q Ví dụ 3.2.10 Cho đường cong đại số hữu tỉ phẳng C cho dạng tham số (x, y) = ( 6t2 − 4t3 − 4t , ) t4 t4 Hãy tìm phương trình xấp xỉ C phương pháp µ-cơ sở 40 Áp dụng thuật tốn trên, ta tìm hai đa thức p, q µ-cơ sở C là: p = t2 x − ty − = xt2 − yt − q = 2tx + (t2 − 2)y − 4t = yt2 + (2x − 4)t − 2y Do đó, phương trình xấp xỉ C là: F (x, y) = y + 4x3 + 2xy − 16x2 − 6y + 16x Hình 3.1: Với giá trị t tham số, p(t) q(t) cắt điểm M (t) Đường cong C quỹ tích điểm M (t) 41 KẾT LUẬN Với nội dung nghiên cứu trình bày, luận văn "Phương trình tham số phương trình xấp xỉ đường cong đại số hữu tỉ phẳng" giải vấn đề đặt ban đầu Bài tốn "Tìm phương trình tham số đường cong đại số" tốn khó Do hạn chế mặt thời gian nghiên cứu kiến thức hình học đại số tác giả chưa đủ rộng nên chúng tơi trình bày cách giải cho số đường cong đặc biệt Mục 2.2 Tuy nhiên, tốn "Tìm phương trình xấp xỉ đường cong đại số cho dạng tham số" chúng tơi trình bày trọn vẹn Mọi đường cong đại số hữu tỉ biểu diễn dạng tham số: (x, y) = a(t) b(t) , c(t) c(t) (3.3) a, b, c ∈ k[t] bậc đường cong C n = max{deg(a), deg(b), deg(c)} Chúng tơi trình bày hai phương pháp bản: phương pháp kết thức phương pháp µ-cơ sở Thực tế, hai phương pháp này, phương trình xấp xỉ kết thức hai 42 đa thức Trong Mục 3.1, phương trình xấp xỉ kết thức hai đa thức xác định từ phương trình tham số Chính xác ta viết f (t, x) = xc(t) − a(t), g(t, y) = yc(t) − b(t) ∈ k[t, x, y] Gọi F (x, y) phương trình xấp xỉ C Theo Định lý 3.1.1, tồn số nguyên dương r cho F (x, y)r = Res(f, g, t) Định lý 3.1.1 nói phương trình xấp xỉ C ⊂ A2k xác định định thức ma trận vuông cấp max{na , nc } + max{nb , nc } Trong Mục 3.2, phương trình xấp xỉ kết thức hai đa thức lập thành µ-cơ sở C Một µ-cơ sở C gồm hai đa thức p = p1 x + p2 y + p3 q = q1 x + q2 y + q3 p1 , p2 , p3 , q1 , q2 , q3 ∈ k[t] cho p1 a + p2 b + p3 c = q1 a + q2 b + q3 c = với bậc theo t, deg(p) + deg(q) = n p đa thức khác có bậc µ nhỏ thỏa mãn p1 a + p2 b + p3 c = Đối với phương pháp này, kết thức định thức ma trận vng cấp n × n Trong trường hợp đường cong đại số hữu tỉ, hai phương pháp hiệu thực nhờ chương trình tính tốn sử dụng máy tính Với nhiều ứng dụng hình học mơ hình, nhà Tốn học tiếp tục nghiên cứu giải tốn tìm phương 43 trình tham số phương trình xấp xỉ cho đa tạp đại số phức tạp hơn, đặc biệt mặt khơng gian ba chiều Cả hai phương pháp tìm phương trình xấp xỉ trình bày Luận văn sử dụng cho mặt đại số không gian ba chiều Tuy nhiên, độ phức tạp nhiều khơng áp dụng biểu diễn tham số có điểm "kỳ dị" Việc xác định µ-cơ sở cho mặt phức tạp cịn tốn mở cộng đồng tốn học quan tâm giải Chúng hy vọng tương lai, tiếp cận mở rộng Luận văn cho trường hợp mặt đại số không gian 3-chiều 44 Tài liệu tham khảo [1] Ngô Việt Trung (2012), Nhập mơn đại số giao hốn hình học đại số, Bộ sách Toán cao cấp - Viện Toán học, Nhà Xuất Bản Khoa học Tự Nhiên [2] Nguyễn Thị Cẩm Tú (2017), Kết thức hai đa thức số ứng dụng nó, Khóa Luận Tốt Nghiệp, Trường Đại học Khoa học Huế Tiếng Anh [3] Falai Chen and Wenping Wang (2003), The µ-basis of a planar rational curve–properties and computation, Graphical Models 64: 368–381 [4] David A Cox and John Little and Donal O’Shea (2005), Using algebraic geometry, Second edition, volume 185 of Graduate Texts in Mathematics, Springer 45 [5] David A Cox and John Little and Donal O’Shea (2007), Ideals, varieties, and algorithm, An introduction to computational algebraic geometry and commutative algebra, Third edition, undergraduate Texts in Mathematics, Springer [6] David A Cox and Thomas W Sederberg and Falai Chen (1998), The moving line ideal basis of planar rational curves, Computer Aided Geometric Design 15: 803–827 [7] Xiaohong Jia and Xiaoran Shi and Falai Chen (2018), Survey on the theory and applications of µ-bases for rational curves and surfaces, Journal of Computational and Applied Mathematics 329: 2–23 [8] Juan R Sendra and Franz Winkler and Sonia Pérez-Díaz (2008), Rational Algebraic Curves, A computer algebra approach, Algorithms and Computation in Mathematics 22, Springer, Berlin 46 ... đường cong đại số 23 Đường cong đại số hữu tỉ phẳng phương trình tham số 25 2.1 Đường cong đại số hữu tỉ phẳng 26 2.2 Tham số hóa số họ đường cong 28 2.2.1 Tham số hóa đường cong. .. cong đại số hữu tỉ kết thức 33 3.2 Tìm phương trình xấp xỉ đường cong đại số hữu tỷ µ-cơ sở đường cong phẳng 34 3.2.1 µ-cơ sở đường cong phẳng 35 3.2.2 Phương trình xấp xỉ đường. .. tham số hóa số họ đường cong đặc biệt Chương 3: Phương trình xấp xỉ đường cong đại số hữu tỉ phẳng Chương trình bày số phương pháp tìm phương trình xấp xỉ đường cong đại số hữu tỉ phẳng: sử dụng