đường cong đại số hữu tỉ phẳng
Trong chương này, chúng ta trình bày hai phương pháp hiệu quả hơn để tìm phương trình xấp xỉ F(x, y) của C. Phương pháp đầu tiên là sử dụng kết thức của hai đa thức và phương pháp thứ hai là sử dụng µ-cơ sở.
3.1 Tìm phương trình xấp xỉ củađường cong đại số hữu tỉ bằng đường cong đại số hữu tỉ bằng kết thức
Trong mục này, ta sẽ ứng dụng của kết thức để tìm phương trình xấp xỉ của một đường cong hữu tỉC trong mặt phẳng affine cho bởi tham số
x =χ1(t) = ab((tt)), y =χ2(t) = dc((tt)), (3.1) ở đâya(t), b(t), c(t), d(t)∈k[t]thỏa mãngcd(a, b) = gcd(c, d) = 1. Ta viếtf(t, x) =xb(t)−a(t) vàg(t, y) =yd(t)−c(t), thì f, g ∈k[t, x, y].
Định lý 3.1.1. Cho C là một đường cong hữu tỉ affine cho bởi tham số (3.1). Khi đó, tồn tại số nguyên dương r và đa thức bất khả quy F(x, y)∈k[x, y] sao cho
F(x, y)r = Res(f, g, t).
Hơn nữa, F(x, y) là phương trình xấp xỉ của C.
Ví dụ 3.1.2. Tìm phương trình xấp xỉ của đường cong folium của Descartes cho bởi tham số
x= 3t
1 +t3 và y= 3t
2
Theo định nghĩa, f =xt3−3t+xvà g =yt3−3t2+y. Khi đó ta có:
Res(f, g, t) = 6x3y2+ 27x2y−27x3−3x2y3+ 9x2y2−9xy3. Vậy phương trình xấp xỉ của đường cong C là:
2x3y2+ 9x2y−9x3−x2y3 + 3x2y2−3xy3 = 0.
Nhận xét 3.1.3. Giả sử đường cong C được cho bởi tham số 3.1. Đặt
n= max{deg(a),deg(b)} và m= max{deg(c),deg(d)}. Khi đó, phương trình xấp xỉ củaC được xác định như là định thức của một ma trận vuông cấp n+m.
3.2 Tìm phương trình xấp xỉ của