đường cong đại số hữu tỷ bằng
3.2.3 Thuật toán tìm µ-cơ sở và phương trình xấp xỉ của đường cong đại số
trình xấp xỉ của đường cong đại số hữu tỉ phẳng
Định lý 3.2.8. Xét đường cong C được tham số hóa bởi
(3.2). Giả sử p=p1x+p2y+p3, q=q1x+q2y+q3 ∈Syz(I).
Khi đó p, q lập thành một µ-cơ sở của C nếu và chỉ nếu một trong hai điều kiện sau đây thỏa mãn:
(1) Với mọi đa thứcL=Ax+By+C ∈Syz(I) có thể biểu diễn dưới dạng
L=Ax+By+C =h1p+h2q
(2) Với mọi đa thứcL=Ax+By+C ∈Syz(I) có thể biểu diễn dưới dạng
L=Ax+By+C =h1p+h2q
trong đó h1, h2 ∈ k[t] sao cho deg(h1p) ≤ deg(L) và
deg(h2q)≤deg(L).
(3) Với mọi đa thứcL=Ax+By+C ∈Syz(I) có thể biểu diễn dưới dạng
L=Ax+By+C =h1p+h2q
trong đó h1, h2 ∈k[t] và LV(p),LV(q) là độc lập tuyến tính.
Thuật toán tìm µ - cơ sở của đường cong tham số hữu tỉ phẳng:
Input: Các đa thứca, b, c∈k[t].
Output: Hai đa thức p, q ∈ k[x, y, t] là µ-cơ sở của đường cong tham số hữu tỉ phẳng.
Bước 1:Đặt
u1 := (−b, a,0), u2 := (−c,0, a), u3 := (0, c,−b);
Bước 2:Đặtni := deg(ui), i= 1,2,3.Không mất tính tổng quát, ta giả sử n1 ≥ n2 ≥ n3 (nếu cần thiết, ta đánh lại các chỉ số của u1, u2, u3).
Bước 3: Tìm các số thực α1, α2, α3 (có ít nhất 2 số khác không) sao cho
α1m1+α2m2+α3m3 = 0. Bước 4:Nếu α1 6= 0 thì đặt u1 :=α1u1+α2tn1−n2u2+α3tn1−n3u3; m1 := LV(u1); n1 := deg(u1). Nếu α1 = 0 khi đó α2, α3 6= 0. Đặt u2 :=α2u2+α3tn2−n3u3; m2 := LV(u2); n2 := deg(u2).
Bước 5: Nếu một trong các ui = 0, giả sử là u1 = 0, thì đặtp:=u2 và q:=u3. Thuật toán kết thúc. Ngược lại, quay về Bước 2.
Định lý 3.2.9. Giả sử p và q là hai đa thức thu được khi thuật toán trên kết thúc. Khi đó
(1) Thuật toán trên dừng sau một số hữu hạn bước.
(2) p và q lập thành µ-cơ sở của Syz(I).
Thuật toán tìm phương trình xấp xỉ của đường cong đại số hữu tỉ phẳng với µ-cơ sở:
Input: Các đa thứca, b, c∈k[t].
Output: Phương trình xấp xỉF(x, y) = 0.
Bước 1: Xác định µ-cơ sở của đường cong tham số hữu tỉ xác định bởi a, b, c. Giả sử đó là hai đa thức p, q ∈k[x, y, t].
Bước 2:Phương trình xấp xỉ là F(x, y) = Res(p, q, t), với Res là kết thức Sylvester của hai đa thức p và q.
Ví dụ 3.2.10. Cho đường cong đại số hữu tỉ phẳng C cho bởi dạng tham số (x, y) = (6t 2−4 t4 ,4t 3−4t t4 ).
Hãy tìm phương trình xấp xỉ của C bằng phương pháp µ-cơ sở.
Áp dụng thuật toán trên, ta tìm hai đa thứcp, q làµ-cơ sở của C là: p=t2x−ty−2 = xt2−yt−2 q = 2tx+ (t2−2)y−4t=yt2+ (2x−4)t−2y. Do đó, phương trình xấp xỉ củaC là: F(x, y) = y4+ 4x3+ 2xy2−16x2−6y2+ 16x.
Hình 3.1: Với mỗi giá trịtcủa tham số,p(t)vàq(t)cắt nhau tại một điểm M(t). Đường cong C là quỹ tích của các điểm M(t).
KẾT LUẬN
Với nội dung nghiên cứu đã trình bày, luận văn "Phương trình tham số và phương trình xấp xỉ của đường cong đại số hữu tỉ phẳng" về cơ bản đã giải quyết được những vấn đề đặt ra ban đầu.
Bài toán "Tìm phương trình tham số của một đường cong đại số" là một bài toán khó. Do hạn chế về mặt thời gian nghiên cứu cũng như kiến thức hình học đại số của tác giả chưa đủ rộng nên chúng tôi chỉ trình bày cách giải cho một số đường cong đặc biệt trong Mục 2.2.
Tuy nhiên, bài toán "Tìm phương trình xấp xỉ của một đường cong đại số cho dưới dạng tham số" đã được chúng tôi trình bày trọn vẹn. Mọi đường cong đại số hữu tỉ đều có thể biểu diễn dưới dạng tham số:
(x, y) =a(t) c(t), b(t) c(t) (3.3)
trong đó a, b, c ∈ k[t] và bậc của đường cong C là n = max{deg(a),deg(b),deg(c)}.
Chúng tôi đã trình bày hai phương pháp cơ bản: phương pháp kết thức và phương pháp µ-cơ sở. Thực tế, cả hai phương pháp này, phương trình xấp xỉ đều là kết thức của hai
đa thức. Trong Mục 3.1, phương trình xấp xỉ là kết thức của hai đa thức có thể xác định ngay từ các phương trình tham số. Chính xác nếu ta viết f(t, x) = xc(t)−a(t), g(t, y) =
yc(t)−b(t) ∈ k[t, x, y]. Gọi F(x, y) là phương trình xấp xỉ củaC.Theo Định lý 3.1.1, tồn tại số nguyên dươngrsao cho
F(x, y)r = Res(f, g, t).
Định lý 3.1.1 nói rằng phương trình xấp xỉ củaC ⊂ A2 k có thể được xác định như là định thức của một ma trận vuông cấpmax{na, nc}+ max{nb, nc}.
Trong Mục 3.2, phương trình xấp xỉ là kết thức của hai đa thức lập thành µ-cơ sở của C. Một µ-cơ sở của C gồm hai đa thức p =p1x+p2y+p3 và q = q1x+q2y+q3 trong đó p1, p2, p3, q1, q2, q3 ∈ k[t] sao cho p1a+p2b+p3c = 0 và q1a+q2b+q3c= 0với bậc theot,deg(p) + deg(q) =n vàplà đa thức khác 0 có bậcµnhỏ nhất thỏa mãnp1a+p2b+p3c= 0. Đối với phương pháp này, kết thức là định thức của ma trận vuông cấp n×n. Trong trường hợp đường cong đại số hữu tỉ, cả hai phương pháp trên đều hiệu quả và có thể thực hiện nhờ các chương trình tính toán sử dụng máy tính.
Với nhiều ứng dụng trong hình học mô hình, nhà Toán học tiếp tục nghiên cứu và giải quyết bài toán tìm phương
trình tham số và phương trình xấp xỉ cho các đa tạp đại số phức tạp hơn, đặc biệt là các mặt trong không gian ba chiều. Cả hai phương pháp tìm phương trình xấp xỉ được trình bày trong Luận văn này được sử dụng cho các mặt đại số trong không gian ba chiều. Tuy nhiên, độ phức tạp nhiều hơn và có thể không áp dụng được khi biểu diễn tham số có các điểm "kỳ dị". Việc xác định µ-cơ sở cho các mặt cũng phức tạp hơn và vẫn còn là bài toán mở được cộng đồng toán học quan tâm giải quyết. Chúng tôi hy vọng trong tương lai, có thể tiếp cận và mở rộng Luận văn cho trường hợp các mặt đại số trong không gian 3-chiều.