Chặn cho hệ số hilbert và tính hữu hạn của hàm hilbert

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ THỊ LỆ HUYỀN CHẶN CHO HỆ SỐ HILBERT VÀ TÍNH HỮU HẠN CỦA HÀM HILBERT Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS CAO HUY LINH Thừa Thiên Huế, năm 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu kết nghiên cứu ghi luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Các kết sử dụng luận văn đồng tác giả cho phép sử dụng trích dẫn rõ ràng Lê Thị Lệ Huyền ii LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS TS Cao Huy Linh Qua đây, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc chân thành cảm ơn đến Thầy, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn đến quý Thầy Cô Khoa Toán trường ĐHSP Huế, Đại học Huế Viện Toán học dạy dỗ truyền đạt kiến thức cho tơi suốt q trình học tập, đồng thời tạo điều kiện cho tài liệu giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu trường ĐHSP Huế, phịng Đào tạo Sau Đại học, khoa Tốn trường ĐHSP Huế tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập nghiên cứu Cuối cùng, xin cảm ơn động viên giúp đỡ bạn bè, anh chị học tập nghiên cứu Cao học Tốn khóa XXIV trường ĐHSP Huế chuyên ngành Đại số Lý thuyết số Huế, tháng năm 2017 Tác giả Lê Thị Lệ Huyền iii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Lời nói đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Vành thương địa phương hóa 1.2 Dãy quy độ sâu 1.3 Chiều vành môđun 10 1.4 Iđêan m-nguyên sơ iđêan tham số 12 1.5 Vành môđun phân bậc 14 1.6 Hàm Hilbert hệ số Hilbert môđun phân bậc 16 1.7 Đối đồng điều địa phương 18 1.8 Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford 22 Chặn cho hệ số Hilbert tính hữu hạn hàm Hilbert 27 2.1 Hàm Hilbert-Samuel hệ số Hilbert-Samuel 27 2.2 Mối quan hệ hệ số Hilbert-Samuel hệ số Hilbert vành phân bậc liên kết 29 2.3 Dãy phần tử siêu bề mặt 32 2.4 Bậc mở rộng 34 2.5 Chặn cho hệ số Hilbert iđêan m-nguyên sơ theo bậc mở rộng 2.6 Chứng minh tính hữu hạn hàm Hilbert cho trước chiều 38 bậc mở rộng 43 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 LỜI NÓI ĐẦU Cho (A, m) vành Noether địa phương, I iđêan m-nguyên sơ A M A-môđun hữu hạn sinh có chiều d Khi hàm HM (n) := (M/I n+1 M ), n ∈ N gọi hàm Hilbert-Samuel M ứng với iđêan I Samuel chứng tỏ n đủ lớn tồn đa thức PM (x) ∈ Q[x] có bậc d cho HM (i) = PM (i) với i ≥ n Đa thức PM (n) gọi đa thức Hilbert-Samuel M ứng với I ta biểu diễn dạng d (−1)i ei (I, M ) PM (n) = i=0 n+d−i , d−i ei (I, M ) gọi hệ số Hilbert M ứng với I Ta đặt e(I, M ) := e0 (I, M ) gọi số bội M ứng với I e(M ) := e(m, M ) Mục đích luận văn tổng quan lại kết liên quan đến chặn cho hệ số Hilbert theo số bất biến quen thuộc Từ đó, chứng minh tính hữu hạn hàm Hilbert cho trước bất biến Do tính chất hệ số Hilbert phản ánh cấu trúc mơđun M xét nên trở thành chủ đề thú vị, thu hút nhiều nhà toán học quan tâm Đặc biệt, Srinivas Trivedi đưa chặn cho hệ số Hilbert số chiều, số bội độ dài đối đồng điều địa phương cho vành Cohen-Macaulay môđun Cohen-Macaulay suy rộng Năm 2003, Rossi, Trung Valla [10] đưa chặn cho hệ số Hilbert A ứng với m cho bậc mở rộng D(A) Năm 2007, Linh [7] thiết lập chặn cho hệ số Hilbert iđêan nguyên sơ theo bậc mở rộng D(I, M ) Kết mở rộng kết Rossi-Trung-Valla Năm 2013, Goto-Ozeki đưa chặn phổ dụng cho hệ số Hilbert iđêan tham số vành Cohen-Macaulay suy rộng Kết luận văn mà đạt tổng quan số kết liên quan đến chặn cho hệ số Hilbert theo bậc mở rộng D(I, M ) M ứng với I Định lý: Cho (A, m) vành Noether địa phương I iđêan m-nguyên sơ Cho M A-môđun hữu hạn sinh với d = dim M ≥ D(I, M ) bậc mở rộng tùy ý M ứng với I Khi đó, (i) |e1 (I, M )| ≤ D(I, M ) [D(I, M ) − 1]; (ii) |ei (I, M )| ≤ (i + 1)2i!+2 D(I, M )3i!−i+1 − i ≥ Từ kết chúng tơi thu có hữu hạn số hàm HilbertSamuel cho trước chiều bậc mở rộng Đây kết Linh báo [7] mà chúng tơi trình bày lại Mặc dù kết không để đạt kết phải chứng minh cách chi tiết rõ ràng Nội chung luận văn chia làm hai chương Chương 1: Chúng tơi trình bày số kiến thức đại số giao hốn nhằm mục đích tham khảo cho chương hai Chương 2: Chương hai chương luận văn Chúng tơi trình bày định nghĩa, số tính chất liên quan đến hệ số Hilbert bậc mở rộng Tổng quan số kết liên quan đến chặn cho hệ số Hilbert theo bậc mở rộng Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức liên quan đến nội dung luận văn Các kiến thức trình bày với mục đích làm tham khảo, hỗ trợ cho nội dung chương hai Một số kết chương chúng tơi trình bày nội dung cịn phần chứng minh tham khảo tài liệu [1], [2], [3], [4], [6] Trong suốt luận văn này, ln giả sử R vành giao hốn, có đơn vị = 1.1 Vành thương địa phương hóa Định nghĩa 1.1.1 Một tập hợp S vành R gọi tập nhân đóng ∈ S xy ∈ S , ∀x, y ∈ S Bây ta xây dựng vành giao hoán S −1 R gọi vành thương sau: Trên tích Descartes S ×R ta xét quan hệ ∼ xác định bởi: với s, t ∈ S, a, b ∈ R, (s, a) ∼ (t, b) ⇐⇒ ∃u ∈ S cho u(at − sb) = Rõ ràng quan hệ ∼ quan hệ tương đương Ta kí hiệu a/s lớp tương đương phần tử (a, s) S −1 R tập hợp tất lớp tương đương Trên tập thương S −1 R ta định nghĩa hai phép toán sau: ∀s, t ∈ S, a, b ∈ R (a/s) + (b/t) = (at + bs)/st, (a/s)(b/t) = ab/st Định lý 1.1.2 [1, Mệnh đề 4.2] Tập S −1 R với hai phép toán trở thành vành giao hoán có phần tử đơn vị 1S −1 R = 1/1 = s/s với s ∈ S phần tử 0S −1 R 0/s với s ∈ S Vành S −1 R gọi vành thương R xác định S Cho I iđêan vành giao hoán R S tập nhân đóng R Khi đó, tập hợp S −1 I = {a/s | a ∈ I, s ∈ S} iđêan S −1 R Mệnh đề 1.1.3 [1, Mệnh đề 4.5] Cho S tập nhân đóng I iđêan R Khi đó, S −1 I = S −1 R I ∩ S = ∅ Chứng minh Giả sử S −1 I = S −1 R Khi đó, S −1 I chứa phần tử đơn vị 1/1 S −1 R, tức tồn phần tử a ∈ I s ∈ S cho 1/1 = a/s Suy tồn t ∈ S để t(a − s) = Điều chứng tỏ phần tử ta = ts thuộc vào I ∩ S Hay I ∩ S = ∅ Ngược lại, giả sử tồn s ∈ I ∩ S Khi đó, s/s = 1/1 ∈ S −1 I , suy S −1 I = S −1 R Định nghĩa 1.1.4 Cho I iđêan thực vành R (i) Iđêan I gọi iđêan nguyên tố ∀a, b ∈ R, ab ∈ I ⇒ a ∈ I b ∈ I (ii) Iđêan I gọi iđêan cực đại I J , với J iđêan R ⇒ J = R Định nghĩa 1.1.5 Cho R vành giao hoán Tập hợp Spec(R) = {p ∈ R | p iđêan nguyên tố R} gọi phổ nguyên tố vành R Định nghĩa 1.1.6 Cho I iđêan vành R Tập hợp tất iđêan nguyên tố vành R mà chứa I gọi tập đại số xác định I Kí hiệu V (I) Như vậy, V(I) = {p ∈ Spec(R) | p ⊇ I} Ví dụ 1.1.7 [1, Ví dụ 4.6] Ta xét số tập nhân đóng quen thuộc quan trọng (i) Cho R miền nguyên S = R \ {0} tập nhân đóng vành R Khi S −1 R trường gọi trường thương miền nguyên R (ii) Xét S tập tất phần tử không ước không vành R Vì tích hai phần tử khơng ước không lại phần tử không ước không nên S tập nhân đóng Khi đó, vành S −1 R gọi vành thương toàn phần R (iii) Cho p iđêan nguyên tố vành R Dựa vào tính nguyên tố p, ta thấy tập hợp S = R \ p tập nhân đóng vành R Trong trường hợp này, vành thương R S kí hiệu Rp gọi vành địa phương hóa R iđêan p Định nghĩa 1.1.8 Vành R gọi vành địa phương có iđêan cực đại m, ta thường kí hiệu (R, m) Mệnh đề 1.1.9 Cho dãy khớp ngắn R-môđun −→ M −→ N −→ L −→ Khi đó, với iđêan nguyên tố p R, ta có dãy khớp ngắn mơđun địa phương hóa −→ Mp −→ Np −→ Lp −→ 1.2 Dãy quy độ sâu Định nghĩa 1.2.1 Cho M R-môđun Một phần tử x R gọi phần tử M -chính quy ∀m ∈ M : xm = ⇒ m = 0, hay nói cách khác x không ước không M N1 ∪ N2 ∪ ∪ Nt M Định lý 2.3.4 [14, Định lý 5.5] Cho (A, m) vành địa phương với trường A/m vô hạn Cho I, J1 , , Jt iđêan A với I J1 ∪ ∪ Jt Khi tồn a ∈ I\(J1 ∪ Jt ) cho a phần tử siêu bề mặt I Định nghĩa 2.3.5 [14, Định nghĩa 5.6] Cho (A, m) vành địa phương I iđêan A Một dãy x1 , x2 , , xs thuộc I gọi dãy siêu bề mặt I (hay I -dãy siêu bề mặt) xi phần tử siêu bề mặt I\(x1 , , xi−1 ) với i = 1, 2, , s Bổ đề 2.3.6 [14, Bổ đề 5.7] Cho x1 , , xs dãy siêu bề mặt I Khi I n ∩ (x1 , , xs ) = (x1 , , xs )n−1 , ∀n Mệnh đề 2.3.7 [14, Mệnh đề 5.15] Cho (A, m) vành địa phương I iđêan m-nguyên sơ Cho x1 , , xr dãy siêu bề mặt I Giả sử depth A ≥ r Khi x1 , , xr A-dãy quy Chứng minh Chứng minh quy nạp theo r Với r = Vì x1 phần tử siêu bề mặt I nên tồn c ≥ cho (I n : x1 ) ∩ I c = I n−1 , ∀n > c Suy (0 : x1 ) ∩ I c ⊆ I n−1 , ∀n > c Theo định lý Krull ta có (0 : x1 ) ∩ I c = Vì depth A = depth I > nên ∃a ∈ I c phần tử quy A Khi đó, (0 : x1 )a ⊆ (0 : x1 ) ∩ I c = ⇒ (0 : x1 ) = Vậy x1 phần tử quy A Với r ≥ Vì x2 , x3 , , xr dãy siêu bề mặt I\(x1 ) depth A\(x1 ) = depth A − ≥ r − nên theo giả thiết quy nạp x2 , x3 , , xr dãy quy A\(x1 ) Vì x1 , x2 , , xr A-dãy quy Định lý 2.3.8 [14, Định lý 5.16] Cho (A, m) vành địa phương I iđêan A Cho x1 , x2 , , xs ∈ I\I Khi x∗1 , x∗2 , , x∗s GI (A)-dãy quy x1 , x2 , , xs A-dãy quy với n ≥ 1, (x1 , x2 , , xs ) ∩ I n = (x1 , x2 , , xs )n−1 33 2.4 Bậc mở rộng Định nghĩa 2.4.1 Cho (A, m) vành Noether địa phương I iđêan m-nguyên sơ A Ta kí hiệu M(A) tập hợp A-môđun hữu hạn sinh Một khái niệm có tính tổng qt M(A) ứng với I hàm U (−): lớp đẳng cấu M(A) −→ tập khác rỗng I\mI thỏa mãn tính chất sau với môđun M : (i) Nếu x − y ∈ mI x ∈ U (M ) y ∈ U (M ); (ii) Tập hợp U (M ) ⊆ I\mI chứa tập mở khác rỗng; (iii) Nếu depth(M ) > x ∈ U (M ) x phần tử quy M Với x ∈ U (M ) ta nói x phần tử tổng quát M ứng với I Tương tự hệ tham số tổng quát x1 , x2 , , xd ứng với I hệ tham số M cho x1 ∈ U (M ) xi ∈ U (M/(x1 , , xi−1 )M ), với i = 2, 3, , d Định nghĩa 2.4.2 Một bậc mở rộng M(A) ứng với I hàm số D(I, ) M(A) cho thỏa mãn điều kiện sau với môđun M ∈ M(A) (i) D(I, M ) = D(I, M/L) + (L), L mơđun cực đại M có độ dài hữu hạn; (ii) D(I, M ) ≥ D(I, M/xM ) với x phần tử tổng quát M ứng với I ; (iii) D(I, M ) = e(I, M ) M A-mơđun Cohen-Macaulay, e(I, M ) số bội M ứng với I Chú ý 2.4.3 (i) D(I, M ) ≥ e(I, M ), dấu ” = ” xảy M môđun Cohen-Macaulay (ii) Bậc mở rộng D(I, M ) mở rộng từ khái niệm bậc mở rộng D(M ) xây dựng [13] Đặc biệt, I = m D(I, M ) = D(M ) Ví dụ 2.4.4 Cho A ảnh đồng cấu vành Gorenstein S với dim S = n M ∈ M(A) với dim M = d Ta định nghĩa bậc đồng điều M ứng với I sau: 34 Khi d > 0, dim Extn−i S (M, S) ≤ i, ∀i = 0, , d − nên ta đặt d−1 d−1 hdeg(I, Extn−i S (M, S)) i hdeg(I, M ) := e(I, M ) + i=0 Khi d = hdeg(I, M ) = (M ) Nếu A khơng ảnh đồng cấu vành Gorenstein ta đặt hdeg(I, M ) := hdeg(I, M ⊗A A), A kí hiệu m-adic đầy đủ A Khi hdeg(I, M ) bậc mở rộng M ứng với I Chú ý 2.4.5 Nếu M mơđun Cohen-Macaulay suy rộng, d−1 hdeg(I, M ) = e(I, M ) + i=0 d−1 i i (Hm (M )) Đặt hdeg(M ) := hdeg(m, M ) Tương tự Bổ đề 2.1.5, ta thiết lập bất đẳng thức mối quan hệ hdeg(M ) hdeg(I, M ) thể bổ đề sau Bổ đề 2.4.6 [7, Bổ đề 2.3] Cho (A, m) vành địa phương Noether I iđêan m-nguyên sơ A Cho M A-môđun hữu hạn sinh với dim(M ) = d Khi đó: hdeg(M ) ≤ hdeg(I, M ) ≤ n(I)d hdeg(M ) Chứng minh Điều kiện đủ để chứng minh A ảnh đồng cấu vành Gorenstein S Nếu d = 0, ta có: hdeg(M ) ≤ hdeg(I, M ) ≤ hdeg(M ) Suy hdeg(M ) = hdeg(I, M ) = (M ) Nếu d ≥ 1, ta đặt Mi := Extn−i S (M, S) với i = 0, , d − 1, n = dim S ln có dim(Mi ) ≤ i Bằng quy nạp d, ta giả sử hdeg(Mi ) ≤ hdeg(I, Mi ) ≤ n(I)i hdeg(Mi ), 35 với i = 0, , d − Khi d−1 hdeg(M ) = e(M ) + i=0 d−1 d−1 hdeg(Mi ) i d−1 hdeg(I, Mi ) i ≤ e(I, M ) + i=0 = hdeg(I, M ) Mặt khác theo Bổ đề 2.1.5 ta có e(I, M ) ≤ n(I)d e(M ) Do d−1 d−1 hdeg(I, Mi ) i hdeg(I, M ) = e(I, M ) + i=0 d−1 d ≤ n(I) e(M ) + i=0 d−1 d−1 n(I)i hdeg(Mi ) i ≤ n(I)d e(M ) + i=0 d−1 hdeg(Mi ) i = n(I)d hdeg(I, M ) Định lý 2.4.7 [6, Định lý 3.6] Cho (A, m) vành Noether địa phương, I iđêan m-nguyên sơ M A-môđun hữu hạn sinh Nếu dim M = d ≥ (M/I n+1 M ) ≤ D(I, M ) n+d d Chúng ta có định lý chặn cho số quy reg(GI (M )) theo bậc mở rộng M ứng với I sau Định lý 2.4.8 [6, Định lý 4.4] Cho (A, m) vành Noether địa phương I iđêan m-nguyên sơ Cho M A-môđun hữu hạn sinh với d = dim M ≥ Cho D(I, M ) bậc mở rộng tùy ý M ứng với I Khi đó: (i) reg(GI (M )) ≤ D(I, M ) − d = 1; (ii) reg(GI (M )) ≤ 2(d−1)! D(I, M )3(d−1)!−1 − d ≥ Nếu M A-mơđun Cohen-Macaulay D(I, M ) = e(I, M ) Áp dụng Định lý 2.4.8 ta thu hệ sau 36 Hệ 2.4.9 Cho (A, m) vành Noether địa phương I iđêan mnguyên sơ Cho M A-môđun Cohen-Macaulay với d = dim M ≥ Khi đó, (i) reg(GI (M )) ≤ e(I, M ) − d = 1; (ii) reg(GI (M )) ≤ 2(d−1)! e(I, M )3(d−1)!−1 − d ≥ Từ Bổ đề 2.2.5 Định lý 2.4.8 ta có hệ Hệ 2.4.10 Giả sử (A, m) vành Noether địa phương I iđêan m-nguyên sơ Cho M A-môđun hữu hạn sinh với d = dim M ≥ Cho D(I, M ) bậc mở rộng tùy ý M ứng với I Khi đó, (i) ρM (I) ≤ D(I, M ) − d = 1; (ii) ρM (I) ≤ 2(d−1)! D(I, M )3(d−1)!−1 − d ≥ Đặc biệt, M A-mơđun Cohen-Macaulay ta thu hệ sau Hệ 2.4.11 Cho M A-môđun Cohen-Macaulay với dim M = d ≥ Khi đó, (i) ρM (I) ≤ e(I, M ) − d = 1; (ii) ρM (I) ≤ 2(d−1)! e(I, M )3(d−1)!−1 − d ≥ Chúng ta có định lý chặn cho số quy Castelnuovo-Mumford reg(GI (M )) theo bậc lũy linh n(I) sau Định lý 2.4.12 [7, Định lý 2.4] Cho (A, m) vành Noether địa phương I iđêan m-nguyên sơ A Cho M A-môđun hữu hạn sinh với d = dim M ≥ Khi đó, (i) reg(GI (M )) ≤ n(I) hdeg(M ) − d = 1; (ii) reg(GI (M )) ≤ 2(d−1)! hdeg(M )3(d−1)!−1 n(I)3d!−d − d ≥ Chứng minh Do bậc đồng điều hdeg(I, M ) bậc mở rộng nên áp dụng Định lý 2.4.8 ta có 37 (i) reg(GI (M )) ≤ hdeg(I, M ) − d = 1; (ii) reg(GI (M )) ≤ 2(d−1)! hdeg(I, M )3(d−1)!−1 − d ≥ Từ Bổ đề 2.4.6 ta suy (i) reg(GI (M )) ≤ n(I) hdeg(M ) − d = 1; (ii) reg(GI (M )) ≤ 2(d−1)! hdeg(M )3(d−1)!−1 n(I)3d!−d − d ≥ Từ Định lý 2.4.12 Bổ đề 2.2.5 ta thu hệ Hệ 2.4.13 Cho M A-môđun hữu hạn sinh với d = dim M ≥ Khi đó, (i) ρM (I) ≤ n(I) hdeg(M ) − d = 1, (ii) ρM (I) ≤ 2(d−1)! hdeg(M )3(d−1)!−1 n(I)3d!−d − d ≥ 2.5 Chặn cho hệ số Hilbert iđêan m-nguyên sơ theo bậc mở rộng Chỉ số Hilbert M ứng với I có quan hệ mật thiết với hệ số Hilbert tương ứng Một ta chặn số Hilbert ta chặn hệ số Hilbert phương pháp đưa Vasconcelos Năm 2003, Rossi, Trung Valla dùng phương pháp để chặn cho hệ số Hilbert theo bậc mở rộng D(A) trường hợp M = A I = m (Xem [10]) Định lý sau mở rộng kết Rossi, Trung Valla để chặn cho hệ số Hilbert theo bậc mở rộng D(I, M ) Định lý 2.5.1 [7, Định lý 3.1] Cho (A, m) vành Noether địa phương I iđêan m-nguyên sơ Cho M A-môđun hữu hạn sinh với d = dim M ≥ D(I, M ) bậc mở rộng tùy ý M ứng với I Khi đó, (i) |e1 (I, M )| ≤ D(I, M ) [D(I, M ) − 1]; (ii) |ei (I, M )| ≤ (i + 1)2i!+2 D(I, M )3i!−i+1 − i ≥ 38 Chứng minh Ta có: HM (n) = (M/I n+1 M ) hàm Hilbert-Samuel d PM (n) = (−1)i ei (I, M ) i=0 n+d−i d−i đa thức Hilbert-Samuel Nếu d = 1, ta có: PM (n) = e0 (I, M )(n+1)−e1 (I, M ) Suy e1 (I, M ) = e0 (I, M )(n+ 1) − PM (n) Vì PM (n) = HM (n) với n ≥ r = reg(GI (M )) Do đó: e1 (I, M ) = e0 (I, M )(r + 1) − HM (r) = e0 (I, M )(r + 1) − (M/I r+1 M ) Vì (M/I r+1 M ) ≥ r + nên ta có: |e1 (I, M )| ≤ |e0 (I, M )(r + 1) − (r + 1)| ≤ |(r + 1) [e0 (I, M ) − 1] | Theo Định lý 2.4.8 ta có r + ≤ D(I, M ) ta lại có e0 (I, M ) ≤ D(I, M ) nên: |e1 (I, M )| ≤ |D(I, M ) [D(I, M ) − 1] | ≤ D(I, M ) [D(I, M ) − 1] Nếu d ≥ 2, gọi x phần tử siêu bề mặt, ta có dim(M/xM ) = d − Bằng quy nạp ta giả sử |e1 (I, M/xM )| ≤ D(I, M/xM ) [D(I, M/xM ) − 1] Nếu d > 2, ta có: |e1 (I, M )| = |e1 (I, M/xM )| ≤ D(I, M ) [D(I, M ) − 1] Nếu d = 2, |e1 (I, M )| = |e1 (I, M/xM ) + (0M : x)| ≤ D(I, M/xM ) [D(I, M/xM ) − 1] + (0M : x) Vì (0M : x) ≤ D(I, M ) D(I, M/xM ) ≤ D(I, M ), ta có: |e1 (I, M )| ≤ D(I, M ) [D(I, M ) − 1] Bằng quy nạp ta giả sử |ei (I, M/xM )| ≤ (i + 1)2i!+2 D(I, M/xM )3i!−i+1 − i = 2, , d − 39 Với i = 2, , d − 2, ta có: |ei (I, M )| = |ei (I, M/xM )| ≤ (i + 1)2i!+2 D(I, M/xM )3i!−i+1 − ≤ (i + 1)2i!+2 D(I, M )3i!−i+1 − Với i = d − 1, ta có |ei−1 (I, M )| = |ei−1 (I, M/xM ) + (−1)d (0M : x)| ≤ (i + 1)2i!+2 D(I, M/xM )3i!−i+1 − + (−1)d (0M : x) ≤ (i + 1)2i!+2 D(I, M )3i!−i+1 − Chặn cho ed (I, M )(tức với i = d) Nếu d = 1, ta có: |e1 (I, M )| ≤ D(I, M ) [D(I, M ) − 1] Nếu d > 1, đặt m := 2(d−1)! D(I, M )3(d−1)!−1 − Với m ≥ 0, ta có: d PM (m) = (−1)i ei (I, M ) m+d−i d−i (−1)i ei (I, M ) m+d−i d−i i=0 d−1 = i=0 + (−1)d ed (I, M ) Suy d−1 d (−1)i ei (I, M ) (−1) ed (I, M ) = PM (m) − i=0 m+d−i d−i Vì m ≥ D(I, M ) − ≥ reg(GI (M )) = r nên HM (m) = PM (m) Do d−1 d (−1)i ei (I, M ) (−1) ed (I, M ) = PM (m) − i=0 m+d−i d−i d−1 (−1)i ei (I, M ) = (M/I m+1 M ) − i=0 m+d−i d−i Theo Định lý 2.4.7, ta có: (M/I m+1 M ) ≤ D(I, M ) m+d d Khi |(−1)d ed (I, M )| = |ed (I, M )| d−1 = (M/I m+1 (−1)i ei (I, M ) M) − i=0 40 m+d−i d−i m+d ≤ D(I, M ) d m+d d = D(I, M ) d−1 |ei (I, M )| + i=1 d−1 m+d−i d−i |ei (I, M )| + i=0 m+d d + |e0 (I, M )| m+d−i d−i m+d = [D(I, M ) + e0 (I, M )] d d−1 m+d−i d−i |ei (I, M )| + i=1 Do e0 (I, M ) ≤ D(I, M ) nên d−1 m+d |ed (I, M )| ≤ 2D(I, M ) d |ei (I, M )| + i=1 m+d−i d−i Với m ≥ 1, ta có m+d−i d−i m+d d ≤ (d − i + 1)md−i − ≤ (d + 1)md − Do |ed (I, M )| ≤ 2D(I, M ) (d + 1)md − d−1 |ei (I, M )| (d − i + 1)md−i − + i=1 d−1 d |ei (I, M )|(d − i + 1)md−i ≤ 2D(I, M )(d + 1)m + i=1 = 2D(I, M )(d + 1)md + |e1 (I, M )|dmd−1 d−1 |ei (I, M )|(d − i + 1)md−i + i=2 Vì ≤ i ≤ d − 1, ta có |e1 (I, M )| ≤ D(I, M ) [D(I, M ) − 1] ≤ m |ei (I, M )| ≤ (i + 1)2i!+2 D(I, M )3i!−i+1 − = 4(i + 1)D(I, M )2i! D(I, M )3i!−i − ≤ 4(i + 1)D(I, M )m 41 Khi |ed (I, M )| ≤ 2D(I, M )(d + 1)md + mdmd−1 d−1 (d − i + 1)md−i 4(i + 1)D(I, M )m + i=2 ≤ 4(d + 1)D(I, M ) (m + 1)d − = 4(d + 1)D(I, M ) 2d! D(I, M )3d!−d − = (d + 1)2d!+2 D(I, M )3d!−d+1 − 4(d + 1)D(I, M ) ≤ (d + 1)2d!+2 D(I, M )3d!−d+1 − Hệ 2.5.2 Cho (A, m) vành Noether địa phương I iđêan m-nguyên sơ Cho M A-môđun Cohen-Macaulay với d = dim M ≥ Khi đó, (i) |e1 (I, M )| ≤ e(I, M ) [e(I, M ) − 1]; (ii) |ei (I, M )| ≤ (i + 1)2i!+2 e(I, M )3i!−i+1 − i ≥ Chứng minh Vì M mơđun Cohen-Macaulay nên D(I, M ) = e(I, M ) Do áp dụng Định lý 2.5.1 ta thu kết luận Ta có hdeg(I, M ) bậc mở rộng nên áp dụng Định lý 2.5.1 ta thu hệ sau Hệ 2.5.3 Cho (A, m) vành Noether địa phương I iđêan m-nguyên sơ Cho M A-môđun Cohen-Macaulay với d = dim M ≥ Khi đó, (i) |e1 (I, M )| ≤ hdeg(I, M ) [hdeg(I, M ) − 1]; (ii) |ei (I, M )| ≤ (i + 1)2i!+2 hdeg(I, M )3i!−i+1 − i ≥ Ta chặn cho hệ số Hilbert M ứng với I theo bậc lũy linh n(I) thông qua định lý sau Định lý 2.5.4 [7, Định lý 3.3] Cho (A, m) vành địa phương Noether I iđêan m-nguyên sơ A Cho M A-môđun hữu hạn sinh với dim(M ) ≥ Khi đó, (i) e(I, M ) ≤ e(M )n(I)d ; 42 (ii) |e1 (I, M )| ≤ hdeg(M )n(I)d hdeg(M )n(I)d − ; (iii) |ei (I, M )| ≤ (i + 1)2i!+2 hdeg(M )3i!−i+1 n(I)3di!−di+d − i ≥ Chứng minh Ta cần chứng minh (ii) (iii) Theo Hệ 2.5.3 ta có: |e1 (I, M )| ≤ hdeg(I, M ) [hdeg(I, M ) − 1] , |ei (I, M )| ≤ (i + 1)2i!+2 hdeg(I, M )3i!−i+1 − i ≥ Theo Bổ đề 2.4.6 ta có hdeg(I, M ) ≤ n(I)d hdeg(M ) Do |e1 (I, M )| ≤ n(I)d hdeg(M ) n(I)d hdeg(M ) − |ei (I, M )| ≤ (i + 1)2i!+2 n(I)d hdeg(M ) 3i!−i+1 − i ≥ = (i + 1)2i!+2 hdeg(M )3i!−i+1 n(I)3di!−di+d − i ≥ 2.6 Chứng minh tính hữu hạn hàm Hilbert cho trước chiều bậc mở rộng Từ kết chặn cho số quy Castelnuovo-Mumford chặn cho hệ số Hilbert theo bậc mở rộng D(A) Rossi, Trung Valla chứng minh tính hữu hạn hàm Hilbert-Samuel vành địa phương theo chiều bậc mở rộng D(A) Hệ 2.6.1 [10, Hệ 4.3] Cho hai số nguyên dương d q Khi tồn hữu hạn số hàm Hilbert-Samuel cho vành địa phương A với dim A = d D(A) ≤ q Từ Định lý 2.5.1 ta thu hệ tính hữu hạn hàm HilbertSamuel cho trước chiều bậc mở rộng D(I, M ) sau Hệ 2.6.2 [7, Hệ 3.2] Cho (A, m) vành địa phương I iđêan m-nguyên sơ Cho trước hai số nguyên dương d q Khi tồn số hữu hạn hàm Hilbert-Samuel A-môđun M ứng với I cho dim M = d D(I, M ) ≤ q Chứng minh Với n > reg(GI (M )) ta có: PM (n) = HM (n) = (M/I n+1 M ) Theo Định lý 2.5.1, có số hữu hạn đa thức PM (n) Mặt khác, theo Định 43 lý 2.4.7 ta có: (M/I n+1 M ) ≤ D(I, M ) n+d , d nên có số hữu hạn khả cho (M/I n+1 M ) với n cố định Vì vậy, tính hữu hạn khả cho hàm (M/I n+1 M ) suy từ tính hữu hạn khả cho đa thức PM (n) cho reg(GI (M )) chứng minh Định lý 2.4.8 Hệ 2.6.3 [7, Hệ 3.2] Cho M A-môđun hữu hạn sinh với dim(M ) = d ≥ r số nguyên dương Khi tồn hữu hạn số hàm Hilbert-Samuel môđun M ứng với iđêan m-nguyên sơ I cho n(I) ≤ r Nhận xét 2.6.4 Cho (A, m) vành địa phương Trong [11], Schwartz chứng minh tồn hữu hạn hàm Hilbert-Samuel (A/I n ) vành A ứng với iđêan m-nguyên sơ I cho trước bậc lũy linh n(I) với giả thiết đặc số trường thặng dư A Kết hạn chế Hệ 2.6.3 44 KẾT LUẬN Tóm lại, luận văn làm việc đây: - Tổng quan lại kết liên quan đến chặn cho hệ số Hilbert M ứng với iđêan m-nguyên sơ theo chiều bậc mở rộng M - Trình bày lại kết Linh [2] chặn cho hệ số Hilbert theo bậc mở rộng D(I, M ) cách tường minh, chi tiết Từ chặn cho hệ số Hilbert chứng minh tồn hữu hạn số hàm Hilbert-Samuel môđun cho trước chiều bậc mở rộng Một số chứng minh ngắn gọn, chúng tơi trình bày lại chi tiết rõ ràng hơn; số khái niệm chúng tơi dẫn dắt, trình bày lại người đọc dễ tiếp cận 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Tự Cường (2003), Giáo trình đại số đại, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [2] Cao Huy Linh (2006), Chặn cho số quy Castelnuovo-Mumford mơđun phân bậc liên kết, Luận án Tiến sĩ Toán học, Huế Tiếng Anh [3] M Brodmann and R.Y Sharp (1998), Local cohomology-an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press [4] W Bruns and J Herzog (1993), Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press [5] L T Hoa (1996), " Reduction numbers of equimultiple ideals ", J Pure Appl Algebra, 109, 111-126 [6] C H Linh (2005), "Upper bound for Castelnuovo-Mumford regularity of associated graded modules", Comm in Algebra, 33, 1817-1831 [7] C H Linh (2007), "Castelnuovo-Mumford regularity and Degree of nilpotency", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 142(03), 429 - 437 [8] T Marley (1989), "The coefficients of the Hilbert polynomial and the reduction number of an ideal", J London Math Soc, 40(1), 1-8 46 [9] H Matsumura (1986), Commutative Ring Theory, Cambridge University Press, Cambridge [10] M E Rossi, N V Trung and G Valla (2003), "Castelnuovo-Mumford regularity and extended degree", Trans Amer Math Soc, 355(5), 1773-1786 [11] N Schwartz (1997), " Bounds for the postulation numbers of Hilbert functions", J Algebra, 193, 581-615 [12] N V Trung (1986), "Toward a theory of generalized Cohen-Macaulay modules", Nagoya Math J, 102, 1-49 [13] W Vasconcelos (1998), "Cohomological degrees of graded modules Six lectures on commutative algebra (Bellaterra, 1996)", Progr Math, 166, 345392 [14] J K Verma (2008), "Hilbert coefficients and depth of the associated graded ring of an ideal", arXiv:0801.4866v1 [math AC], 31 Jan 47 ... 1.8 Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford 22 Chặn cho hệ số Hilbert tính hữu hạn hàm Hilbert 27 2.1 Hàm Hilbert- Samuel hệ số Hilbert- Samuel 27 2.2 Mối quan hệ hệ số Hilbert- Samuel... minh tính hữu hạn hàm Hilbert cho trước chiều bậc mở rộng Từ kết chặn cho số quy Castelnuovo-Mumford chặn cho hệ số Hilbert theo bậc mở rộng D(A) Rossi, Trung Valla chứng minh tính hữu hạn hàm Hilbert- Samuel... mơđun lớn M có độ dài hữu hạn 26 Chương Chặn cho hệ số Hilbert tính hữu hạn hàm Hilbert Mục đích chương tổng quan số kết liên quan đến chặn cho hệ số Hilbert iđêan m-nguyên sơ theo bậc mở rộng