Trong phần này, nếu không nói gì khác ta luôn xét R = L
n≥0Rn là vành phân bậc chuẩn trên một vành địa phương Artin R0. Kí hiệu R+ =L
n≥0Rn là iđêan thuần nhất cực đại của R. Cho M là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh. Ta kí hiệu HRi
+(M) là đối đồng điều địa phương của M với giá R+.
Định nghĩa 1.8.1. Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của M là số reg(M) := max{ai(M) +i|i≥0}, trong đó ai(M) = max{n|HRi +(M)n 6= 0} nếu HRi +(M)6= 0, −∞ nếu HRi +(M) = 0. Một cách tổng quát hơn, ta đặt regk(M) := max{ai(M) +i|i≥k} và nó được gọi là chỉ số chính quy bậc k của M.
Nhận xét 1.8.2. (i) reg(M) = reg0(M).
(ii) reg0(M)≥reg1(M)≥reg2(M)≥. . .
(iii) Nếu d = dim(M) thì với k ≤d, ta có regk(M) = max{ai(M) +i|i=k, . . . , d}. Nếu k > d thì regk(M) =−∞.
(iv) Nếu reg(M)≤m thì ta nói M là m-chính quy; tức là HRi
+(M)n = 0 với mọi n ≥m−i+ 1 và i≥0.
Định nghĩa 1.8.3. [2, Định nghĩa 1.1.1]. Nếu HRi
+(M)m−i+1 = 0 với mọi i≥ 0 thì ta nói M là m-chính quy yếu.
Nhận xét 1.8.4. (1) reg(M) = min{m|M là m-chính quy}.
(2) Nếu M là m-chính quy thì M là m-chính quy yếu. Tuy nhiên điều ngược lại không đúng.
Ví dụ 1.8.5. Giả sử M = R = k là một trường. Khi đó, HR0
+(M) = M và HRi
+(M) = 0 với i ≥ 1. Giả sử m ≤ −2, lúc đó HRi
+(M)m−i+1 = 0 với mọi i ≥ 0. Suy ra M là m-chính quy yếu nhưng không là m-chính quy.
Bổ đề 1.8.6. [6, Bổ đề 2.3]. Giả sử
0−→L−→M −→N −→0
là một dãy khớp ngắn các R-môđun hữu hạn sinh và các đồng cấu thuần nhất. Khi đó
reg(M)≤max{reg(L),reg(N)}.
Chứng minh. Từ dãy khớp ngắn trên ta thu được dãy khớp dài sau: · · · −→HRi
+(L)n −→HRi
+(M)n −→HRi
+(N)n −→HRi+1
+ (L)n −→ · · · Đặt m= max{reg(L),reg(N)}. Suy ra ai(L) +i≤m và ai(N) +i≤m,∀i≥0. Dẫn đếnai(L)≤m−ivàai(N)≤m−i,∀i≥0. Vớin≥m−i+1, ta có:HRi
+(L)n = 0 và HRi
+(N)n = 0,∀i≥0. Suy ra HRi
+(M)n = 0, ∀i≥0 và n≥ m−i+ 1. Do đó M là m-chính quy nên reg(M)≤m.
Nếu z ∈R1 là phần tử M-chính quy thì ta có dãy khớp 0−→M(−1)−→z M −→M/zM −→0. Áp dụng Bổ đề 1.8.6 ta thu được hệ quả sau:
Hệ quả 1.8.7. [2, Hệ quả 1.1.5]. Nếu z ∈R1 là phần tử M-chính quy thì
reg(M) = reg(M/zM).
Liên quan đến chỉ số chính quy, ta thường quan tâm đến khái niệm m-chính quy hình học.
Định nghĩa 1.8.8. [2, Định nghĩa 1.1.7]. Số reg1(M) được gọi là chỉ số chính quy hình học của M. Nếu reg1(M) ≤ m thì ta nói M là m-chính quy hình học. Chỉ số chính quy hình học g-reg(M) của M là số nguyên nhỏ nhất m sao cho M là m-chính quy hình học.
Bổ đề 1.8.9. [6, Bổ đề 2.3]. Nếu M là m-chính quy yếu thì M là m-chính quy hình học.
Từ bổ đề này, ta có
M là m-chính quy ⇒M là m-chính quy yếu ⇒M là m-chính quy hình học. Ví dụ 1.8.10. Cho R = k[x1, . . . , xd] là vành đa thức d biến trên trường k, R+ = (x1, . . . , xd) và M =R. Khi đó, reg(M) = 0.
Thật vậy, theo Ví dụ 1.7.10, ta đã biết: HRi+(M) = R[x−11, . . . , x−d1]/R nếui=d, 0 nếui6=d. Mỗi phần tử thuộc HRd+(M) có dạng f = axα1 1 . . . xαd d với α1 +. . .+αd ≤ −d. Khi đó, ta có ai(R) = −d nếu i=d, −∞ nếu i6=d. Do đó, reg(M) = max{ai(M) +i|i= 0, . . . , d}=ad(M) +d=−d+d= 0.
Với z ∈R1 là phần tử M-chính quy thì reg(M) = reg(M/zM). Tuy nhiên phần tử M-chính quy không phải bao giờ cũng tồn tại. Do đó người ta quan tâm đến khái niệm sau đây.
Định nghĩa 1.8.11. Phần tử thuần nhấtz ∈R được gọi làphần tử M-lọc chính quy nếu (0M :z)n = 0 với n đủ lớn.
Bổ đề 1.8.12. [6, Bổ đề 2.4]. Cho z ∈ R1 là một phần tử M-lọc chính quy và
dimM ≥2. Khi đó
g-reg(M/zM)≤g-reg(M)≤reg(M/zM)≤reg(M).
Cho M là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh và S = x1, . . . , xn là hệ sinh tối tiểu thuần nhất bất kì của M. Một môđun M có nhiều hệ sinh tối tiểu S, tuy nhiên bậc lớn nhất của S là bất biến và nó được gọi là bậc cực đại của một hệ sinh tối tiểu thuần nhất, kí hiệu d(M). Ta có định lý về một chặn trên của nó. Định lý 1.8.13. [3, Định lý 15.3.1].
d(M)≤reg(M).
Nếu R là đại số phân bậc chuẩn trên trường k và m ≥0 thì Rossi, Trung và Valla đã chứng minh rằng R là m-chính quy khi và chỉ khi R là m-chính quy yếu. Điều này vẫn còn đúng trên môđun phân bậcM bất kì nhưng ta phải thêm điều kiện bậc cực đại của hệ sinh tối tiểu d(M) của M.
Bổ đề 1.8.14. [6, Bổ đề 2.5]. Cho m là một số nguyên. Khi đó M là m-chính quy nếu và chỉ nếu M là m-chính quy yếu và d(M)≤m.
Ta có mối quan hệ giữa số bội e(M) và reg(M) như sau.
Bổ đề 1.8.15. [6, Bổ đề 2.2]. Cho M 6= 0 là một R-môđun phân bậc hữu hạn sinh với dim(M) =d. Nếu d(M)≤0 thì ad(M) +d≤e(M)−1.
Chúng ta thường hay sử dụng công thức Grothendieck-Serre sau đây: Định lý 1.8.16. [6, Bổ đề 2.6]. Với mọi số nguyên n, ta có
hM(n)−pM(n) =
d X
i=0
(−1)i`(HRi+(M)n).
Từ định nghĩa chỉ số Castelnuovo-Mumford và Định lý 1.8.16 ta thu được hệ quả sau đây:
Hệ quả 1.8.17. hM(n) = pM(n) với mọi n≥reg(M) + 1.
Kết quả sau cho ta thấy mối quan hệ giữa chỉ số chính quy hình học của M và M/zM.
Định lý 1.8.18. [6, Định lý 2.7]. ChoM là một R-môđun phân bậc hữu hạn sinh với dim(M)≥1. Cho z ∈R1 là một phần tử M-lọc chính quy và d(M/zM)≤ m. Nếu reg1(M/zM)≤m thì reg1(M)≤m+hM(m)−hM/L(m), trong đó L là môđun con lớn nhất của M có độ dài hữu hạn.
Chương 2
Chặn cho hệ số Hilbert và tính hữu hạn của hàm Hilbert
Mục đích chính của chương này là tổng quan một số kết quả liên quan đến chặn cho hệ số Hilbert của iđêan m-nguyên sơ theo bậc mở rộng. Trước tiên, chúng tôi sẽ trình bày các định nghĩa, một số tính chất liên quan đến hệ số Hilbert và bậc mở rộng.
2.1 Hàm Hilbert-Samuel và hệ số Hilbert-Samuel
Định nghĩa 2.1.1. Cho (A,m) là vành địa phương Noether và I là iđêan m- nguyên sơ của A. Cho M là một A-môđun hữu hạn sinh khác không. Khi đó hàm HM(n) := `(M/In+1M), n ∈ N được gọi là hàm Hilbert-Samuel của M ứng với iđêan I.
Nhận xét 2.1.2. Samuel đã chứng tỏ rằng khi n đủ lớn tồn tại một đa thức PM(x) ∈ Q[x] có bậc d = dimM sao cho HM(i) = PM(i) với mọi i ≥ n. Đa thức PM(n) được gọi là đa thức Hilbert-Samuel của M ứng với I và ta có thể biểu diễn nó dưới dạng PM(n) = e0(I, M) n+d d −e1(I, M) n+d−1 d−1 +. . .+ (−1)ded(I, M) = d X i=0 (−1)iei(I, M) n+d−i d−i .
(i) Các hệ số ei(I, M), i = 0,1, . . . , d là các số nguyên và được gọi là các hệ số Hilbert-Samuel của M ứng với I.
(ii) Hệ số e0(I, M) gọi là số bội.
(iii) Hệ số e1(I, M) gọi là hệ số Chern.
Định nghĩa 2.1.3. Số nguyên nhỏ nhất n0 sao cho HM(n) = PM(n) với mọi n≥n0 được gọi là chỉ số Hilbert củaM ứng với I và được kí hiệu là ρM(I). Định nghĩa 2.1.4. Cho I là một iđêan m-nguyên sơ của A. Số nguyên n nhỏ nhất sao cho mn ⊆I được gọi là bậc lũy linh của I và được kí hiệu là n(I).
Ta sẽ đặt e(I, M) := e0(I, M) và e(M) :=e(m, M). Lúc đó ta có bổ đề sau Bổ đề 2.1.5. [7, Bổ đề 2.2]. Cho (A,m) là vành địa phương Noether, I là iđêan m-nguyên sơ của A và M là A-môđun hữu hạn sinh với d= dimM ≥1. Khi đó,
e(M)≤e(I, M)≤n(I)de(M).
Định lý 2.1.6. [9, Định lý 14.10]. Cho (A,m) là vành Noether địa phương với
dimM =d. Cho x1, . . . , xd là hệ tham số của A và q= (x1, . . . , xd) là iđêan tham số của A. Khi đó,
`(A/q)≥e(q, A).
Cho q= (x1, . . . , xd) là iđêan tham số của A. Ta đặt I(q, A) :=`(A/q)−e(q, A)≥0,
I(A) := sup(I(q, A)).
Định lý 2.1.7. [9, Định lý 17.11]. Cho (A,m) là vành Noether địa phương. Các điều kiện sau là tương đương:
(i) A là vành Cohen-Macaulay.
(ii) I(q, A) = 0 với mọi iđêan tham số q của A. (iii) I(q, A) = 0 với một số iđêan tham số q của A.
(i) Cho M là A-môđun hữu hạn sinh với dimM =s và q= (x1, . . . , xs) là iđêan tham số của M. Môđun M được gọi là môđun Buchbaum nếu
I(q, M) = `(M/qM)−e(q, M) =c(hằng số), với mọi iđêan tham số q.
Khi đó I(q, M) được gọi là bất biến Buchbaum của M.
(ii) Vành A được gọi làvành Buchbaum nếuA là môđun Buchbaum trên chính nó.
Nhận xét 2.1.9. (1) Nếu I(q, A) =c (hằng số), với mọi iđêan tham số q thì A là vành Buchbaum.
(2) Mỗi vành Cohen-Macaulay là một vành Buchbaum.
Định lý sau cho chúng ta một đặc trưng của vành Cohen-Macaulay suy rộng. Định lý 2.1.10. [12, Bổ đề 1.1]. Cho (A,m) là vành Noether địa phương. Ta có các điều kiện sau là tương đương:
(i) A là vành Cohen-Macaulay suy rộng. (ii) I(A)<∞.
Bổ đề 2.1.11. [12, Bổ đề 1.5]. Cho A là vành Cohen-Macaulay suy rộng với
dimA=d. Khi đó, I(A) = d−1 X i=0 d−1 i `(Hmi(A)).
2.2 Mối quan hệ giữa hệ số Hilbert-Samuel và hệ số Hilbert
của vành phân bậc liên kết
Định nghĩa 2.2.1. Cho (A,m) là một vành Noether địa phương, I là iđêan
m-nguyên sơ và M là A-môđun hữu hạn sinh.
(i) Ta kí hiệu GI(A) :=Ln≥0In/In+1 là vành phân bậc liên kết của A ứng với I.
(ii) Ta kí hiệu GI(M) := Ln≥0InM/In+1M là môđun phân bậc liên kết của M ứng với I.
Định lý 2.2.2. [9, Định lý 15.7]. Cho (A,m) là vành Noether địa phương và I
là iđêan m-nguyên sơ của A. Khi đó, dim(GI(A)) = dimA.
Nhận xét 2.2.3. Cho (A,m) là vành Noether địa phương, I là iđêan m-nguyên sơ của A và M là A-môđun hữu hạn sinh. Ta có hàm Hilbert của môđun phân bậc liên kết GI(M) được xác định bởi
hGI(M) :Z−→Z
n 7−→hGI(M)(n) = `(InM/In+1M). Theo tính chất về độ dài của môđun ta có
`(M/In+1M) = `(M/IM) +`(IM/I2M) +. . .+`(InM/In+1M). Với HI(n) là hàm Hilbert-Samuel của M ứng với I, ta suy ra
HI(n) = hGI(M)(0) +hGI(M)(1) +. . .+hGI(M)(n),∀n≥0; HI(n−1) =hGI(M)(0) +hGI(M)(1) +. . .+hGI(M)(n−1),∀n≥1. Suy ra HI(n)−HI(n−1) =hGI(M)(n),∀n ≥1.
Do đó PI(n)−PI(n−1) =pGI(M)(n),∀n ≥1, với pGI(M)(n) là đa thức Hilbert của môđun phân bậc liên kết GI(M).
Ta có: pGI(M)(n) = d−1 X i=0 (−1)iei(GI(M)) n+d−1−i d−1−i =e0(GI(M)) n+d−1 d−1 −e1(GI(M)) n+d−2 d−2 + . . .+ (−1)d−1ed−1(GI(M)),
với ei(GI(M)), i = 0, . . . , d−1 là các hệ số Hilbert của môđun phân bậc liên kết GI(M) và d= dimA= dimGI(A). Ta có: PI(n) =e0(I, M) n+d d −e1(I, M) n+d−1 d−1 +. . . + (−1)d−1ed−1(I, M) n+ 1 1 + (−1)ded(I, M).
PI(n−1) = e0(I, M) n+d−1 d −e1(I, M) n+d−2 d−1 +. . . + (−1)d−1ed−1(I, M) n 1 + (−1)ded(I, M). Do đó PI(n)−PI(n−1) =e0(I, M) n+d−1 d−1 −e1(I, M) n+d−2 d−2 +. . . + (−1)d−1ed−1(I, M). Từ đẳng thức PI(n)−PI(n−1) =pGI(M)(n) ta suy ra được ei(GI(M)) =ei(I, M),∀i= 0,1, . . . , d−1.
Như vậy các hệ số Hilbert-Samuel và các hệ số Hilbert của môđun phân bậc liên kết GI(M)) là bằng nhau. Do đó, ta cũng gọi hệ số Hilbert-Samuel của M ứng với I là hệ số Hilbert của M ứng với I.
Định lý 2.2.4. [6, Định lý 3.4]. Cho (A,m) là một vành Noether địa phương, I
là iđêan m-nguyên sơ và M là A-môđun hữu hạn sinh. Khi đó,
HM(n) =PM(n),
với n≥reg(GI(M)).
Chứng minh. Đặt r := reg(GI(M)). Ta có: HM(n) = `(M/In+1M)
=`(M/IM) +`(IM/I2M) +. . .+`(InM/In+1M) =hGI(M)(0) +hGI(M)(1) +. . .+hGI(M)(n) = n X i=0 hGI(M)(i),
trong đó hGI(M)(n) là hàm Hilbert của môđun phân bậc liên kết GI(M). Với n≥r, ta có: HM(n) = r P i=0 hGI(M)(i) + n P i=r+1 hGI(M)(i)
Do hGI(M)(n) = pGI(M)(n) với ∀n ≥ r+ 1, trong đó pGI(M)(n) là đa thức Hilbert của GI(M). Do đó ta có: HM(n) = r P i=0 hGI(M)(i) + n P i=r+1 pGI(M)(i).
Bổ đề sau đây cho một chặn trên của ρM(I).
Bổ đề 2.2.5. [2, Bổ đề 1.3.2]. Giả sử (A,m) là vành địa phương Noether, I là iđêan m-nguyên sơ và M là A-môđun hữu hạn sinh. Khi đó,
ρM(I)≤reg(GI(M)).
Bổ đề 2.2.5 nói rằng chỉ số chính quy của GI(M)) cho ta một chặn trên của chỉ số Hilbert ρM(I). Kết quả này đem lại một phương pháp ước lượng ρM(I) thông qua việc ước lượng reg(GI(M)).
2.3 Dãy các phần tử siêu bề mặt
Định nghĩa 2.3.1. [14, Định nghĩa 5.1]. Cho (A,m) là vành địa phương và I là một iđêan của A. Một phần tửa thuộc I được gọi là phần tử siêu bề mặt của I nếu tồn tại c≥0 sao cho (In :a)∩Ic =In−1 với mọi n > c.
Mệnh đề 2.3.2. [14, Mệnh đề 5.2]. Cho I là một iđêan của vành địa phương
(A,m). Khi đó,
(i) Nếu I là lũy linh thì mọi phần tử a thuộc I là phần tử siêu bề mặt của I. (ii) Nếu I không lũy linh thì mọi phần tử siêu bề mặt a của I thỏa a ∈I\I2. Chứng minh. (i) Giả sử I là lũy linh, suy ra tồn tại r sao cho Ir = 0. Khi đó
vớic=r+1, n > r+1và∀a∈I ta có:(In :a)∩Ic = (In :a)∩Ir+1 =In−1= 0. Vì vậy a là phần tử siêu bề mặt của I.
(ii) Giả sử I không lũy linh và a là một phần tử siêu bề mặt của I. Khi đó ∃c≥0 sao cho (In :a)∩Ic =In−1 với mọi n > c.
Giả sử a ∈ I2 và đặt n = c+ 2. Khi đó ta có: (Ic+2 : a)∩Ic = Ic+1. Do aIc ⊆ Ic+2 nên Ic = Ic+1. Theo bổ đề Nakayama’s, suy ra Ic = 0 (mâu thuẫn với I không lũy linh). Do đó a /∈I2. Vậy a∈I\I2.
Mệnh đề 2.3.3. [14, Mệnh đề 5.4]. Cho (A,m) là vành địa phương với trường
sự của M thì
N1∪N2∪. . .∪Nt M.
Định lý 2.3.4. [14, Định lý 5.5]. Cho (A,m)là vành địa phương với trường A/m là vô hạn. Cho I, J1, . . . , Jt là các iđêan của A với I * J1∪. . .∪Jt. Khi đó tồn tại a ∈I\(J1∪. . . Jt) sao cho a là phần tử siêu bề mặt của I.
Định nghĩa 2.3.5. [14, Định nghĩa 5.6]. Cho (A,m) là vành địa phương và I là một iđêan củaA. Một dãy x1, x2, . . . , xs thuộc I được gọi là dãy siêu bề mặt của I (hay I-dãy siêu bề mặt) nếu xi là phần tử siêu bề mặt của I\(x1, . . . , xi−1) với i= 1,2, . . . , s.
Bổ đề 2.3.6. [14, Bổ đề 5.7]. Cho x1, . . . , xs là dãy siêu bề mặt của I. Khi đó
In∩(x1, . . . , xs) = (x1, . . . , xs)n−1,∀n 0.
Mệnh đề 2.3.7. [14, Mệnh đề 5.15]. Cho(A,m)là vành địa phương vàI là iđêan m-nguyên sơ. Cho x1, . . . , xr là một dãy siêu bề mặt của I. Giả sử depthA ≥ r. Khi đó x1, . . . , xr là A-dãy chính quy.
Chứng minh. Chứng minh quy nạp theo r.
Với r = 1. Vì x1 là phần tử siêu bề mặt của I nên tồn tại c ≥ 0 sao cho (In :x1)∩Ic =In−1,∀n > c. Suy ra (0 : x1)∩Ic ⊆In−1,∀n > c.
Theo định lý Krull ta có (0 :x1)∩Ic = 0. VìdepthA= depthI >0nên ∃a∈Ic là phần tử chính quy trong A. Khi đó, (0 : x1)a ⊆ (0 :x1)∩Ic = 0 ⇒ (0 :x1) = 0. Vậy x1 là phần tử chính quy trong A.
Với r ≥ 2. Vì x2, x3, . . . , xr là dãy siêu bề mặt của I\(x1) và depthA\(x1) = depthA−1≥r−1 nên theo giả thiết quy nạp thì x2, x3, . . . , xr là dãy chính quy trong A\(x1). Vì vậy x1, x2, ..., xr là A-dãy chính quy.
Định lý 2.3.8. [14, Định lý 5.16]. Cho (A,m) là vành địa phương và I là một iđêan của A. Cho x1, x2, . . . , xs ∈ I\I2. Khi đó x∗1, x∗2, . . . , x∗s là một GI(A)-dãy chính quy khi và chỉ khi x1, x2, . . . , xs là A-dãy chính quy và với mọi n≥1,
2.4 Bậc mở rộng
Định nghĩa 2.4.1. Cho (A,m) là vành Noether địa phương và I là một iđêan
m-nguyên sơ của A. Ta kí hiệu M(A) là tập hợp các A-môđun hữu hạn sinh. Một khái niệm có tính tổng quát trên M(A) ứng với I là một hàm
U(−): lớp đẳng cấu của M(A) −→ tập con khác rỗng củaI\mI thỏa mãn các tính chất sau với mỗi môđun M:
(i) Nếu x−y∈mI thì x∈U(M) khi và chỉ khi y∈U(M);
(ii) Tập hợp U(M)⊆I\mI chứa một tập con mở khác rỗng;
(iii) Nếu depth(M)>0 và x∈U(M) thì x là phần tử chính quy trên M.
Với mỗix∈U(M) ta nóix là phần tử tổng quát củaM ứng vớiI. Tương tự một hệ tham số tổng quát x1, x2, . . . , xd ứng với I là một hệ tham số của M sao cho x1∈U(M) và xi∈U(M/(x1, . . . , xi−1)M), với i= 2,3, . . . , d.
Định nghĩa 2.4.2. Mộtbậc mở rộng trênM(A)ứng vớiI là một hàm sốD(I, .) trên M(A) sao cho thỏa mãn các điều kiện sau với mọi môđun M ∈ M(A)
(i) D(I, M) =D(I, M/L) +`(L), trong đó Llà môđun con cực đại của M có độ