D06 toán max min liên quan khối nón muc do 3

Câu 470: [2H2-1.6-3] Với đĩa tròn thép tráng có bán kính R 6m phải làm phễu cách cắt hình quạt đĩa gấp phần cịn lại thành hình trịn Cung trịn hình quạt bị cắt phải độ để hình nón tích cực đại? A 66 B 294 C 12, 56 D 2, Lời giải Chọn A Ta nhận thấy đường sinh hình nón bán kính đĩa trịn Cịn chu vi đáy hình nón chu vi đĩa trừ độ dài cung tròn cắt Như ta tiến hành giải chi tiết sau: Gọi x (m) độ dài đáy hình nón (phần cịn lại sau cắt cung hình quạt dĩa) Khi x r x r R2 Chiều cao hình nón tính theo định lí PITAGO h r2 R2 x2 2 x2 x2 rh R 3 4 Đến em đạo hàm hàm V (x ) tìm GTLN V (x ) đạt Thể tích khối nón là:V R x Suy độ dài cung tròn bị cắt là: R 4 3600 660 Câu 486: [2H2-1.6-3] Một công ty sản xuất loại cốc giấy hình nón tích 27cm với chiều cao h bán kính đáy r để lượng giấy tiêu thụ giá trị r là: A r 36 2 B r 38 2 C r 38 2 Lời giải Chọn B Thể tích cốc: V r 2h r 2h 27 81 h 81 r Lượng giấy tiêu thụ diện tích xung quanh nhỏ Sxq rl 2 r r r2 812 2 r2 h2 812 2 r2 812 r4 r r2 814 (theo BĐT Cauchy) 4 r4 812 812 r 2 2 r r 812 r2 D r 36 2 S xq nhỏ r4 812 2 r2 r6 38 2 r 38 2 Câu 501: [2H2-1.6-3] (NGUYỄN TRÃI – HD) Có cốc làm giấy, úp ngược hình vẽ Chiều cao cốc 20cm , bán kính đáy cốc 4cm , bán kính miệng cốc 5cm Một kiến đứng điểm A miệng cốc dự định bò hai vòng quanh than cốc để lên đến đáy cốc điểm B Quãng đường ngắn để kiến thực dự định gần với kết dước đây? A 59,98cm B 59,93cm C 58,67 cm D 58,80cm Lời giải Chọn D Đặt b, a, h bán kính đáy cốc, miệng cốc chiều cao cốc,  góc kí hiệu hình vẽ Ta “trải” hai lần mặt xung quanh cốc lên mặt phẳng hình quạt khuyên với cung nhỏ BB "  4 b cung lớn AA"  4 a Độ dài ngắn đường kiến độ dài đoạn thẳng BA” Áp dụng định lí hàm số cosin ta được: l  BO2  OA2  2BO.OA.cos 2 (1) BA  AB  (a  b)2  h2 a 4 a l ( BB) OA OB  AB AB AB.      1  1 2 b b 4 b l (AA) OB OB 2 b    b ( a  b)  h AB a a b 2 (a  b) 2 (a  b)  1   OB  (b)  (a) OB b b a b AB ( a  b)  h b ( a  b)  h  (a  b)2  h2 (c) a b Thay (a), (b), (c) vào (1) ta tìm l l  58,79609cm  58,80 OA  OB  BA  Ghi Để tồn Lời giải đoạn BA” phải khơng cắt cung BB điểm khác B, b tức BA” nằm tiếp tuyến BB B Điều tương đương với 2  cos 1   a Tuy nhiên, Lời giải thí sinh khơng u cầu phải trình bày điều kiện (và đề cho thỏa mãn yêu cầu đó) Câu 470: [HH12.C2.1.D06.c] Với đĩa trịn thép tráng có bán kính R 6m phải làm phễu cách cắt hình quạt đĩa gấp phần cịn lại thành hình trịn Cung trịn hình quạt bị cắt phải độ để hình nón tích cực đại? A 66 B 294 C 12, 56 D 2, Lời giải Chọn A Ta nhận thấy đường sinh hình nón bán kính đĩa trịn Cịn chu vi đáy hình nón chu vi đĩa trừ độ dài cung tròn cắt Như ta tiến hành giải chi tiết sau: Gọi x (m) độ dài đáy hình nón (phần cịn lại sau cắt cung hình quạt dĩa) Khi x r x r R2 Chiều cao hình nón tính theo định lí PITAGO h r2 R2 x2 2 x2 x2 Thể tích khối nón là:V rh R 3 4 Đến em đạo hàm hàm V (x ) tìm GTLN V (x ) đạt R x Suy độ dài cung tròn bị cắt là: R 4 3600 660 Câu 486: [HH12.C2.1.D06.c] Một công ty sản xuất loại cốc giấy hình nón tích 27cm với chiều cao h bán kính đáy r để lượng giấy tiêu thụ giá trị r là: A r 36 2 B r 38 2 C r 38 2 Lời giải Chọn B Thể tích cốc: V r 2h r 2h 27 81 h 81 r Lượng giấy tiêu thụ diện tích xung quanh nhỏ Sxq rl 2 r4 r r2 812 2 r2 h2 812 2 r2 r r2 814 (theo BĐT Cauchy) 4 812 r4 3 r r4 812 812 2 r2 2 r2 812 r2 D r 36 2 S xq nhỏ r4 812 2 r2 r6 38 2 r 38 2 Câu 501: [HH12.C2.1.D06.c] (NGUYỄN TRÃI – HD) Có cốc làm giấy, úp ngược hình vẽ Chiều cao cốc 20cm , bán kính đáy cốc 4cm , bán kính miệng cốc 5cm Một kiến đứng điểm A miệng cốc dự định bò hai vòng quanh than cốc để lên đến đáy cốc điểm B Quãng đường ngắn để kiến thực dự định gần với kết dước đây? A 59,98cm B 59,93cm C 58,67 cm D 58,80cm Lời giải Chọn D Đặt b, a, h bán kính đáy cốc, miệng cốc chiều cao cốc,  góc kí hiệu hình vẽ Ta “trải” hai lần mặt xung quanh cốc lên mặt phẳng hình quạt khuyên với cung nhỏ BB "  4 b cung lớn AA"  4 a Độ dài ngắn đường kiến độ dài đoạn thẳng BA” Áp dụng định lí hàm số cosin ta được: l  BO2  OA2  2BO.OA.cos 2 (1) BA  AB  (a  b)2  h2 a 4 a l ( BB) OA OB  AB AB AB.      1  1 2 b b 4 b l (AA) OB OB 2 b    b ( a  b)  h AB a a b 2 (a  b) 2 (a  b)  1   OB  (b)  (a) OB b b a b AB ( a  b)  h b ( a  b)  h  (a  b)2  h2 (c) a b Thay (a), (b), (c) vào (1) ta tìm l l  58,79609cm  58,80 OA  OB  BA  Ghi Để tồn Lời giải đoạn BA” phải khơng cắt cung BB điểm khác B, b tức BA” nằm tiếp tuyến BB B Điều tương đương với 2  cos 1   a Tuy nhiên, Lời giải thí sinh khơng yêu cầu phải trình bày điều kiện (và đề cho thỏa mãn yêu cầu đó) Câu 43: [2H2-1.6-3] (Toán học Tuổi trẻ - Tháng - 2018 - BTN) Cho mặt nón trịn xoay đỉnh S đáy đường trịn tâm O có thiết diện qua trục tam giác cạnh a A , B hai điểm  O  Thể tích khối chóp S.OAB đạt giá trị lớn A a3 96 B a3 48 C a3 96 D a3 24 Lời giải Chọn B S h B a/2 O A 1 Ta có VS OAB  SAOB SO Lại có SAOB  OA.OB.sin AOB Mặt khác OA  OB  a a , SO  h  2 Do thể tích khối chóp S.OAB đạt giá trị lớn sin AOB   OA  OB 1 a a a a3 Khi Vmax       2 2 48 Câu 42 [2H2-1.6-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc- Lần 3-2018) Với đĩa phẳng hình trịn thép bán kính R , phải làm phễu cách cắt hình quạt đĩa gấp phần cịn lại thành hình nón Gọi độ dài cung trịn hình quạt cịn lại x Tìm x để thể tích khối nón tạo thành nhận giá trị lớn A x  2 R B x  2 R C x  Lời giải Chọn A R r Chu vi đường tròn đĩa là: C  2 R Chu vi đường tròn đáy hình nón là: C  x x Bán kính đường trịn đáy hình nón là: r  2 2 R D x  R Chiều cao hình nón là: h  R  r  R  x2 4 x2 x2 Thể tích khối nón là: V   r h   R  4 4 x 2 1 x x 4  x 4 R  x  V  x R2    2 12 24 6 4 4 x2 R  4 V   x3 4 R  x 1 8 R 2 R 2 2 2 2  x  x   R  x  x x  R  x  x     2 3 12 24 Câu 43: [2H2-1.6-3](THPT Năng Khiếu - TP HCM - Lần - 2018) Hình nón gọi nội tiếp mặt cầu đỉnh đường trịn đáy hình nón nằm mặt cầu Tìm chiều cao h hình nón tích lớn nội tiếp mặt cầu có bán kính R cho trước 3R 5R 5R 4R A h  B h  C h  D 2 Lời giải Chọn D S O M H Gọi chiều cao hình nón x ,   x  R  Gọi bán kính đáy hình nón r ta có r  OM  OH  R   x  R   2Rx  x2  x  2R  x  1 Thể tích hình nón V   r x   x  R  x  3 x x    R  x   x2 8R x x Mặt khác ta lại có  R  x    2    2R  x   27 2     32 R3 32 R  V   x2  2R  x   Vậy max V  Dấu "  " xảy 27 27 x 4R  2R  x  x  Câu 40: [2H2-1.6-3] (THPT Lê Quý Đôn - Quảng Trị - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Bạn Hồn có bìa hình trịn hình vẽ, Hồn muốn biến hình trịn thành hình phễu hình nón Khi Hồn phải cắt bỏ hình quạt trịn AOB dán hai bán kính OA OB lại với (diện tích chỗ dán nhỏ khơng đáng kể) Gọi x góc tâm hình quạt trịn dùng làm phễu Tìm x để thể tích phễu lớn nhất? A  B  C  D  Lời giải Chọn C Dựa vào hình vẽ, độ dài cung AB lớn Rx , bán kính hình nón r  Đường cao hình nón h  R  r  R  R2 x2 R  4 2 R2 x2 R Thể tích khối nón (phễu) V   r h   4 2 Rx 2 4  x 4  x  R3 24 x  4  x  4   x2 x2 3 R3 2 Theo Cauchy ta có  4  x   V  2 27 27 x2 6  4  x  x  Dấu xảy   Vậy thể tích phễu lớn x  3 Câu 1373: [2H2-1.6-3] [BTN 163 - 2017] Một công ty sản xuất loại cốc giấy hình nón tích 27cm3 với chiều cao h bán kính đáy r để lượng giấy tiêu thụ giá trị r là: A r  38 2 B r  36 2 C r  36 2 D r  38 2 Lời giải Chọn A 81 81 Thể tích cốc: V   r h  27  r h   h     r Lượng giấy tiêu thụ diện tích xung quanh nhỏ 812 812 S xq  2 rl  2 r r  h  2 r r   2 r  2  r  r  2 r  2 812 812 812 812 r    2 r 2 r 2 r 2 r 814  3 (theo BĐT Cauchy) 4 S xq 812 38 38 6 nhỏ  r  2  r   r  2 r 2 2 Câu 2150 [2H2-1.6-3] [THPT Hoàng Văn Thụ (Hịa Bình) -2017] Bạn A có bìa hình trịn (như hình vẽ), bạn muốn dùng bìa tạo thành phễu hình nón, bạn phải cắt bỏ phần quạt trịn AOB dán hai bán kính OA OB lại với Gọi x góc tâm hình quạt tròn dùng làm phễu Giá trị x để thể tích phễu lớn A 6   B  C  D 6 Lời giải Chọn D Khơng tính tổng qt ta chọn R  Khi đó, hình nón có đường sinh chu vi đáy 1.x (rad) nên có bán kính đáy x2 x 2 chiều cao h  l  r   r 4 2 1 x2 x2 x2 x  Thế tích phễu V   r h     3 4 4 12 4 Xét hàm số f  x   x2 x  với x  0; 2  12 4    x2 x3 Ta có: f   x   2x 1  12  4 x2 4   4      x2  48  4    x2    x   x           x   2 Cho f   x    3x  8 x    x   2  x     0; 2    2  2 Tính f    , f   , f  2   nên thể tích phễu lớn x      27 Câu 273 [2H2-1.6-3] [CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH-2017] Cho hình nón đỉnh S , đáy hình trịn tâm O , góc đỉnh 120 Trên đường tròn đáy, lấy điểm A cố định điểm M di động Có vị trí điểm điểm M để diện tích tam giác SAM đạt giá trị lớn nhất? A B C D vô số Lời giải Chọn A Gọi r bán kính đáy hình nón Vì góc đỉnh ASA  120  ASO  60 r Suy SO  OA.cot ASO  Gọi H trung điểm AM đặt x  OH Ta có: SH  SO  OH  r2  x , AM  AH  OA2  OH  r  x Diện tích tam giác SAM s  r2 SH AM   x2 r  x2  r 3 r2 r2 r 2  x2  r  x2  x2   x  Tức OH  SO r đạt 3 3 Theo tính chất đối xứng của đường trịn ta có hai vị trí M thỏa yêu cầu smax  Câu 274 [2H2-1.6-3] [2H2-4.1-3] [PHAN ĐÌNH PHÙNG – HN-2017] Trong hình nón nội tiếp hình cầu có bán kính 3, tính bán kính mặt đáy hình nón tích lớn A Đáp án khác B R  C R  D R  2 Lời giải Chọn D Giả sử chóp đỉnh A hình vẽ hình chóp tích lớn AKM vuông K Ta thấy IK  r bán kính đáy chóp, AI  h chiều cao chóp IK  AI IM  r  h   h  1 V   r h   h2   h    h   3 Vmax   h2   h  max  y  h3  6h2 max  0;6  Câu 275 [2H2-1.6-3] [CHUYÊN ĐH VINH-2017] Cho nửa đường tròn đường kính AB  2R điểm C thay đổi nửa đường trịn đó, đặt   CAB gọi H hình chiếu vng góc C lên AB Tìm  cho thể tích vật thể tròn xoay tạo thành quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn A   60 B   45 C arctan D   30 Lời giải Chọn C AC  AB cos   R.cos  CH  AC.sin   R.cos  sin  ; AH  AC.cos   R.cos  Thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay tam giác ACH quanh trục AB V  AH  CH  R3 cos  sin  3 Đặt t  cos    t  1  V  R3t 1  t  8  t  t   2t   R3 t.t   2t   R3   6   Vậy V lớn t    arctan Chú ý: dùng PP hàm số để tìm GTNN hàm f  t   t 1  t  Câu 276 [2H2-1.6-3] [SỞ GD BẮC NINH-2017] Cho hình nón  N  có đáy hình trịn tâm O Đường kính 2a đường cao SO  a Cho điểm H thay đổi đoạn thẳng SO Mặt phẳng  P  vng góc với SO H cắt hình nón theo đường trịn  C  Khối nón có đỉnh O đáy hình trịn  C  tích lớn bao nhiêu? A 2 a 81 B 4 a 81 C 7 a 81 D 8 a 81 Lời giải Chọn B Gọi   mặt phẳng qua trục hình nón  N  cắt hình nón  N  theo thiết tam giác SAB , cắt hình nón đỉnh S có đáy đường trịn  C  theo thiết diện tam giác SCD , gọi I giao điểm SO CD Ta có: AB  2a  OA  a  SO Do tam giác SOA vng cân S Suy tam giác SIC vuông cân I Đặt SI  AC  x (0  x  a)  OI  a  x Thể tích khối nón có đỉnh O đáy hình trịn  C  là:    1 1 V   IC OI   x (a  x)    x3  ax V '  x    3x  2ax 3 3  x  V ' x    Bảng biến thiên:  x  2a  Câu 291 [2H2-1.6-3] Cho hình nón đỉnh O , chiều cao h Một khối nón khác có đỉnh tâm đáy có đáy là thiết diện song song với đáy hình nón đỉnh O cho (hình vẽ) Tính chiều cao x khối nón để thể tích lớn nhất, biết  x  h A x  h C x  B x  h Lời giải Chọn A Từ hình vẽ ta có JB OJ h  x R(h  x )    JB  IA OI h h R2 Thể tích khối nón cần tìm là: V   (h  x )2 x h R2 Xét hàm số V ( x )   (h  x )2 x ,  x  h h 2h D x  h R2 h Ta có V '( x )   (h  x )(h  3x )   x  h hay x  h Bảng biến thiên: Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối nón cần tìm lớn chiều cao x  Vmax  h ; 4 R h 81 Câu 470: [2H2-1.6-3] Với đĩa tròn thép tráng có bán kính R 6m phải làm phễu cách cắt hình quạt đĩa gấp phần cịn lại thành hình trịn Cung trịn hình quạt bị cắt phải độ để hình nón tích cực đại? A 66 B 294 C 12, 56 D 2, Lời giải Chọn A Ta nhận thấy đường sinh hình nón bán kính đĩa trịn Cịn chu vi đáy hình nón chu vi đĩa trừ độ dài cung tròn cắt Như ta tiến hành giải chi tiết sau: Gọi x (m) độ dài đáy hình nón (phần cịn lại sau cắt cung hình quạt dĩa) Khi x r r x R2 Chiều cao hình nón tính theo định lí PITAGO h r2 R2 x2 2 x2 x2 rh R 3 4 Đến em đạo hàm hàm V (x ) tìm GTLN V (x ) đạt Thể tích khối nón là:V x R Suy độ dài cung tròn bị cắt là: R 4 3600 660 Câu 486: [2H2-1.6-3] Một công ty sản xuất loại cốc giấy hình nón tích 27cm với chiều cao h bán kính đáy r để lượng giấy tiêu thụ giá trị r là: A r 36 2 B r 38 2 C r 38 2 D r 36 2 Lời giải Chọn B Thể tích cốc: V r 2h r 2h 27 81 h 81 r Lượng giấy tiêu thụ diện tích xung quanh nhỏ Sxq r r2 rl 2 r4 812 2 r2 h2 812 2 r2 r r2 812 r4 3 r 2 r4 812 r2 812 812 2 r2 2 r2 814 (theo BĐT Cauchy) 4 S xq nhỏ r 812 2 r2 r 38 2 r 38 2 Câu 501: [2H2-1.6-3] (NGUYỄN TRÃI – HD) Có cốc làm giấy, úp ngược hình vẽ Chiều cao cốc 20cm , bán kính đáy cốc 4cm , bán kính miệng cốc 5cm Một kiến đứng điểm A miệng cốc dự định bò hai vòng quanh than cốc để lên đến đáy cốc điểm B Quãng đường ngắn để kiến thực dự định gần với kết dước đây? A 59,98cm B 59,93cm C 58,67 cm D 58,80cm Lời giải Chọn D Đặt b, a, h bán kính đáy cốc, miệng cốc chiều cao cốc,  góc kí hiệu hình vẽ Ta “trải” hai lần mặt xung quanh cốc lên mặt phẳng hình quạt khuyên với cung nhỏ BB "  4 b cung lớn AA"  4 a Độ dài ngắn đường kiến độ dài đoạn thẳng BA” Áp dụng định lí hàm số cosin ta được: l  BO2  OA2  2BO.OA.cos 2 (1) BA  AB  (a  b)2  h2 a 4 a l ( BB) OA OB  AB AB AB.      1  1 2 b b 4 b l (AA) OB OB 2 b    b ( a  b)  h AB a a b 2 (a  b) 2 (a  b)  1   OB  (b)  (a) OB b b a b AB ( a  b)  h b ( a  b)  h  (a  b)2  h2 (c) a b Thay (a), (b), (c) vào (1) ta tìm l l  58,79609cm  58,80 OA  OB  BA  Ghi Để tồn Lời giải đoạn BA” phải không cắt cung BB điểm khác B, b tức BA” nằm tiếp tuyến BB B Điều tương đương với 2  cos 1   a Tuy nhiên, Lời giải thí sinh khơng u cầu phải trình bày điều kiện (và đề cho thỏa mãn yêu cầu đó) Câu 7358:[2H2-1.6-3] [THPT LƯƠNG TÀI - 2017] Một sở sản xuất đồ gia dụng đặt hàng làm cốc hình nón khơng nắp nhơm tích V  9a3 Để tiết kiệm sản suất mang lại lợi nhuận cao sở sản suất cốc hình nón có bán kính miệng cốc R cho diện tích nhơm cần sử dụng Tính R ? 3a 3a A R  B R  C R  9a D R  3a 2 Lời giải Chọn B  3a  27a V  9a    R h  h   l  h  R  R S xq   R.l   R  3a   12  3a  R  R6  3a   R 2R  R6 R4  3a    R6  3a   2R  3a   3a   2 6 R 6 2R 2R R 9 a  Dấu xảy  3a  2R  R   3a   2R6  R  3a Câu 7369:[2H2-1.6-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng Lần - 2017] Một cơng ty sản xuất loại cốc giấy hình nón tích 27cm3 Với chiều cao h bán kính đáy r Tìm r để lượng giấy tiêu thụ A r  36 2 B r  38 2 C r  36 2 D r  38 2 Lời giải Chọn D 3V Ta có: V   r h  h  suy độ dài đường sinh là: r 38 3V 2 81 2  r2 l  h r  ( 2) r  ( 2) r   r r r 2 38 38  r4 Diện tích xung quanh hình nịn là: S xq   rl   r  r   2  r  r Áp dụng BDDT Cosi ta giá trị nhỏ r  38 2 Câu 37: [2H2-1.6-3] (THPT Bình Xuyên - Vĩnh Phúc - 2018 - BTN – 6ID – HDG) Một công ty sản xuất loại cốc giấy hình nón tích 27 cm3 , với chiều cao h bán kính đáy r Giá trị r để lượng giấy tiêu thụ nhất: A r  36 2 B r  38 2 C r  38 2 D r  Lời giải Chọn B 81 Ta tích cốc hình nón V   r h  27  h   r 2 38  81   81  2    r4 l S    r   r r Khi Suy xq   2    r   r    r  Để lượng giấy tiêu thụ diện tích xung quanh phải nhỏ 2.38 r  38  r   r Ta xét f  r     f r      r 38 2  r4  r 38 f r    r   r0 2 Vậy để lượng giấy tiêu thụ r  38 2 36 2 ... x  3 Câu 137 3: [2H 2-1 . 6 -3 ] [BTN 1 63 - 2017] Một công ty sản xuất loại cốc giấy hình nón tích 27cm3 với chiều cao h bán kính đáy r để lượng giấy tiêu thụ giá trị r là: A r  38 2 B r  36 ...  27 2     32  R3 32  R  V   x2  2R  x   Vậy max V  Dấu "  " xảy 27 27 x 4R  2R  x  x  Câu 40: [2H 2-1 . 6 -3 ] (THPT Lê Quý Đôn - Quảng Trị - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Bạn Hồn có... R6 R4  3a    R6  3a   2R  3a   3a   2 6 R 6 2R 2R R 9 a  Dấu xảy  3a  2R  R   3a   2R6  R  3a Câu 736 9:[2H 2-1 . 6 -3 ] [Sở GDĐT Lâm Đồng Lần - 2017] Một công ty sản