GIỚI HẠN ĐỊA PHƯƠNG CỦA CÂY GALTON WATSON

Cây GaltonWatson được đưa ra lần đầu tiên bởi hai nhà khoa học người Anh Francis Galton và Henry Watson và nhà toán học người Pháp IrénéeJules Bienaymé vào khoảng nửa cuối thế kỉ XIX. Trong nghiên cứu của mình, Galton và Watson muốn xác định xác suất tuyệt chủng của một dòng họ nào đó thông qua việc nghiên cứu cây phả hệ của dòng họ. Đây có thể coi là mô hình ngẫu nhiên đầu tiên về sự phát triển dân số. Từ đó đến nay đã có rất nhiều nghiên cứu về các tính chất của cây GaltonWatson và các ứng dụng của nó. Một trong những vấn đề quan trọng là bài toán xác định phân phối tiệm cận của cây GaltonWatson trong các trường hợp tới hạn và trên tới hạn. Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu tính chất tiệm cận của cây GaltonWatson theo nghĩa giới hạn địa phương. Đây là cách tiếp cận khá mới, được đề xuất bởi hai nhà toán học người Pháp là Romain Abraham và JeanFracois Delmas.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM HÀ NỘI —————————————————- ĐẮC THỊ THỦY GIỚI HẠN ĐỊA PHƯƠNG CỦA CÂY GALTON-WATSON LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGƠ HỒNG LONG HÀ NỘI, NĂM 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM HÀ NỘI —————————————————- ĐẮC THỊ THỦY GIỚI HẠN ĐỊA PHƯƠNG CỦA CÂY GALTON-WATSON Chuyên ngành : Lý thuyết Xác suất Thống kê Toán học Mã số : 8.46.01.06 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGƠ HỒNG LONG HÀ NỘI, NĂM 2019 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan luận văn "Giới hạn địa phương Galton-Watson" chuyên ngành Lý thyết xác suất thống kê Tốn học hồn thiện từ nghiên cứu, tìm hiểu thân với hộ trợ trừ giảng viên hướng dẫn PGS.TS Ngô Hồng Long Trong q trình nghiên cứu, tơi thu thập, kế thừa kết từ nhiều nguồn khác có ghi rõ tài liệu tham khảo, tơi xin bày tỏ lịng trân trọng biết ơn tới nhà khoa học Hà Nội, tháng 10 năm 2019 Tác giả Đắc Thị Thủy Lời cảm ơn Với tất lịng, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy khoa Toán- Tin trường Đại học Sư phạm Hà Nội tham gia giảng dạy, hướng dẫn hai năm vừa qua Các kiến thức học thời gian tảng bản, thiết thực giúp nhiều trình tìm hiểu tiến hành làm luận văn Đặc biệt, nhờ giúp đỡ tận tình, chu đáo PGS.TS Ngơ Hồng Long, tơi hồn thành luận văn Do đó, tơi xin bày tỏ kính trọng biết ơn sâu sác tới PGS.TS Ngơ Hồng Long Kính chúc thầy có nhiều sức khỏe thành cơng Trong q trình thực luận văn khó tránh khỏi sai sót, kính mong nhận góp ý, xây dựng từ thầy cô bạn bè đồng nghiệp Hà Nội, tháng 10 năm 2019 Tác giả Đắc Thị Thủy Mục lục Lời nói đầu Cây Galton Watson 1.1 Cây rời rạc 1.1.1 Quá trình Galton Watson 1.1.2 6 Cây rời rạc 1.2 Cây Galton Watson 1.2.1 1.2.2 Định nghĩa Xác suất tuyệt chủng 10 1.2.3 Phân phối Galton Watson tới hạn với điều kiện không tuyệt chủng 13 1.3 Cây Kesten 15 1.3.1 Định nghĩa 15 1.3.2 Tương đương tiệm cận trình Galton Watson trường hợp tới hạn 17 Giới hạn địa phương Galton Watson 20 2.1 Sự hội tụ địa phương 20 2.1.1 2.1.2 Định lý Kesten 20 Tính chất hội tụ theo phân phối 21 2.2 Tiêu chuẩn hội tụ đến Kesten 23 2.3 Một số ứng dụng 26 2.3.1 2.3.2 Điều kiện chiều cao 26 Điều kiện bậc cực đại (maximal out-degree) trường hợp tới hạn 28 2.3.3 Điều kiện hệ có kích thước lớn trường hợp 2.3.4 tới hạn 28 Điều kiện tổng số phần tử trường hợp tới hạn 29 2.3.5 Điều kiện số trường hợp tới hạn 30 2.3.6 Điều kiện số đỉnh với bậc cho trước trường hợp tới hạn 32 2.3.7 Điều kiện số đỉnh với bậc cho trước trường hợp tới hạn 33 Tài liệu tham khảo 35 Lời nói đầu Cây Galton-Watson đưa lần hai nhà khoa học người Anh Francis Galton Henry Watson nhà toán học người Pháp Irénée-Jules Bienaymé vào khoảng nửa cuối kỉ XIX Trong nghiên cứu mình, Galton Watson muốn xác định xác suất tuyệt chủng dòng họ thơng qua việc nghiên cứu phả hệ dịng họ Đây coi mơ hình ngẫu nhiên phát triển dân số Từ đến có nhiều nghiên cứu tính chất Galton-Watson ứng dụng Một vấn đề quan trọng toán xác định phân phối tiệm cận Galton-Watson trường hợp tới hạn tới hạn Với mong muốn tìm hiểu kĩ Galton-Watson, định chọn đề tài “Giới hạn địa phương Galton-Watson” cho luận văn thạc sĩ Trong luận văn chúng tơi nghiên cứu tính chất tiệm cận GaltonWatson theo nghĩa giới hạn địa phương Đây cách tiếp cận mới, đề xuất hai nhà toán học người Pháp Romain Abraham Jean-Fracois Delmas Chương Cây Galton Watson 1.1 1.1.1 Cây rời rạc Quá trình Galton Watson Q trình Galton Watson (GW) mơ tả phát triển kích thước quần thể phân nhánh Mỗi cá nhân hệ sinh số lượng ngẫu nhiên trẻ em hệ Xác suất phân phối số lượng ngẫu nhiên trẻ em gọi phân phối số Quá trình GW cụ thể sau: Định nghĩa 1.1.1 Quá trình Galton Watson Z = (Zn , n ∈ N) với phân phối số p = (pk , k ∈ N) mô tả phát triển quy mô dân số với giả thiết sau: + Zn quy mô dân số hệ n, Z0 = + Mỗi cá nhân hệ thứ n sinh số ngẫu nhiên phần tử hệ thứ n + 1, độc lập với cá cá nhân khác phân phối p Do đó, số lượng cá thể hệ thứ Z1 tổng Z0 biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối pk Tương tự, hệ thứ 2,3, sinh Một cách tổng quát, số lượng cá thể hệ thứ n + là: Zn Xi,n+1 , ∀n ∈ N, Zn+1 = i=1 với Xi,n+1 số hệ thứ n+1 cá nhân thứ i hệ n (Xi,n , i ∈ N∗ ) độc lập phân phối p, tức P(Xi,n = k) = pk , k ∈ N Nhận xét 1.1.2 Một quần thể gọi tuyệt chủng hệ thứ n Zn = +∞ Biến cố tuyệt chủng E = {∃n ∈ N : Zn = 0} = { lim Zn = 0} = n→∞ {Zn = 0} n=0 Chú ý Zn = Zm = với m ≥ n 1.1.2 Cây rời rạc (N∗ )n tập dãy hữu hạn số nguyên dương với quy ước Xét tập U = n≥0 (N∗ )0 = ∅ Với n ≥ x = (x1 , , xn ) ∈ U, ta đặt |x| = n chiều dài x với quy ước |∅| = Nếu x = (x1 , , xn ) y = (y1 , , ym ) hai phần tử U, ta xác định xy việc ghép hai dãy với xy = (x1 , , xn , y1 , , ym ), với quy ước xy = x y = ∅ xy = y x = ∅ Với x, y ∈ U, ta nói y tổ tiên x viết y ≺ x có z ∈ U, z = ∅ cho x = yz Tập tổ tiên x Ax = {y ∈ U; y ≺ x} Ta đặt Ax = Ax ∪ {x} Với tập s ⊂ U, ký hiệu: M RCA(s) = {y ∈ Ax ||y| = sup{|x | : x ∈ Ax }} x∈s tổ tiên chung gần phần tử tập s Ở M RCA viết tắt cụm từ most recent common ancestor Xét quan hệ thứ tự U: với x, y ∈ U, đặt y < x y ≺ x y = zjy , x = zix z = M RCA({x, y}) j < i với i, j ∈ N∗ Định nghĩa 1.1.3 Một tập t U gọi thỏa mãn: i) ∅ ∈ t, ii) Nếu x ∈ t Ax ⊂ t, iii) Mỗi u ∈ t tồn ku (t) ∈ N ∪ {−∞} cho với i ∈ N∗ , ui ∈ t ≤ i ≤ ku (t) Ta gọi ku (t) số phần tử sinh từ đỉnh u t Phần tử u ∈ t gọi ku (t) = 0, gọi vơ hạn ku (t) = +∞ Ta quy ước ku (t) = −1 u ∈ / t Đỉnh ∅ gọi gốc t Ta đặt T∞ tập cây, T tập T∞ với phần tử khơng có đỉnh vơ hạn: T = {t ∈ T∞ : ku (t) < +∞, ∀u ∈ t} Với t ∈ T∞ , đặt |t| = Card(t) số đỉnh t Dễ thấy, với t ∈ T∞ thì: kx (t) = |t| − x∈t (3,1,1) (1,1) (3,1,2) (1,2) (1,3) (3,1) Hình Một hữu hạn t Đặt T0 tập hữu hạn: T0 = {t ∈ T; |t| < +∞} Với t ∈ T∞ Ta ký hiệu tập L0 (t) = {x ∈ t; kx (t) = 0} Chiều cao bề rộng (tán cây) độ cao h ∈ N xác định bởi: H(t) = sup{|x|, x ∈ t} zh (t) = Card({x ∈ t; |x| = h}) Với h ∈ N, ta định nghĩa T(h) tập tập có chiều cao không vượt h: T(h) = {t ∈ T; H(t) ≤ h} Với x ∈ t, ta xác định Sx (t) t với gốc x sau: Sx (t) = {y ∈ U, xy ∈ t} Với v = (vk , k ∈ N∗ ) ∈ (N∗ )N , ta đặt v n = (v1 , v2 , , ) với n ∈ N quy ước v = ∅ Khi v = {v n , n ∈ N} nhánh vô hạn Ta định nghĩa T1 tập với nhánh vô hạn: T1 = {t ∈ T : tồn v ∈ (N∗ )N cho v ∈ t} Với T với h ∈ N, ta xét hàm rh hạn chế từ T vào T(h) xác định bởi: ∀t ∈ T, rh (t) = {x ∈ t, |x| ≤ h} rh (t) t có cách cắt t độ cao h Nhận xét: rh (T) = T(h) Bổ đề 1.1.4 Với δ xác định bởi: δ(t, t ) = 2− sup{h∈N,rh (t)=rh (t )} Khi δ khoảng cách T Hơn nữa, hoảng cách ultra-metric, • • Cộng tính A(t Đồng A(t t ) = A(t ) + D(t, x); x t ) = A(t ) x Tính chất đồng trường hợp đặc biệt tính cộng tính với D(t, x) = tính cộng tính trường hợp tính đơn điệu Ta có vài ví dụ sau: • Bậc lớn M (t) = max{ku , u ∈ t} có tính đồng với n0 = M (t) + • Lực lượng |t| = Card(t) có tính đơn điệu với n0 = có tính cộng tính với n0 = D(t, x) = |t| − ≥ • Chiều cao H(t) = max{|u|, u ∈ t} có tính cộng tính với n0 = H(t) D(t, x) = |x| ≥ Định lí 2.2.1 Cho τ GW tới hạn với phân phối số p τ ∗ Kesten liên kết với p Cho τn ngẫu nhiên có phân phối với τ tập An = {A(τ ) ∈ [n, n + n1 )} với giả thiết P(An ) > với n đủ lớn Nếu điều kiện sau thỏa mãn: (i) n1 ∈ N∗ ∪ {+∞} A thỏa mãn tính đồng nhất; (ii) n1 ∈ N∗ ∪ {+∞}, A thỏa mãn tính cộng tính lim sup n→+∞ (iii) P(An+1 ) ≤ 1; P(An ) (2.5) n1 = +∞ A thỏa mãn tính đơn điệu Khi đó, ta có: (d) τn → τ ∗ n→∞ Mở rộng định lý trường hợp tới hạn, ta có định lý sau: Định lí 2.2.2 Cho τ GW tới hạn với phân phối số p τ ∗ Kesten liên kết với p Cho τn ngẫu nhiên có phân phối với τ tập An = {A(τ ) = n} An = {A(τ ) ≥ n} với giả thiết P(An ) > với n đủ lớn Nếu A thỏa mãn tính cộng tính với D(t, x) = |x|và lim sup n→+∞ P(An+1 ) ≤ m, P(An ) ta có: (d) τn → τ ∗ n→∞ 27 (2.6) Ta chứng minh hai định lý Chứng minh Trước tiên, giả sử A thỏa mãn tính cộng tính tính đồng Ta xem xét trường hợp tới hạn (đối với Định lý 2.2.1) tới hạn (đối với Định lý 2.2.2) Khi τn ∈ T0 τ ∗ ∈ T1 hầu chắn Với n1 ∈ {1, +∞} An = {A(τ ) ∈ [n, n + n1 )}, lấy t ∈ T0 , ta có: P(τn = t) = P(τ = t|An ) = P(τ = t, An ) ≤ I{A(τ )∈[n,n+n1 )} P(An ) P(An ) Khi A(t) hữu hạn với t ∈ T0 , ta có I{A(τ )∈[n,n+n1 )} = với n ≥ A(t) Từ ta suy rằng: lim P(τn = t) = = P(τ ∗ = t), (2.7) n→+∞ τ ∗ vơ hạn hầu chắn Điều thỏa mãn điều kiện (i) Mệnh đề 2.1.3 Tiếp theo, ta kiểm tra điều kiện (ii) Mệnh đề 2.1.3 Với t ∈ T0 x ∈ L0 (t) t Từ τ hữu hạn hầu chắn, ta có: P(τ ∈ T(t, x), An ) = P(τ = t x t )I{n≤A(t xt ) Khi đó, với điều kiện tập {LA (τ ) > 0}, LA (τ ) có phân phối với |τA |, τA GW với phân phối số p(A) thỏa mãn (1.1) Ta có kết sau hệ trực tiếp Bổ đề 2.3.5 Định lý 2.2.1 Hệ 2.3.13 Với τ GW có phân phối số p thỏa mãn (1.1) τ ∗ Kesten liên kết với p, dA chu kỳ phân phối số pA xác định Bổ đề 2.3.12 Cho τn ngẫu nhiên có phân phối với τ tập {LA (τ ) ∈ [n, n + dA )}(tương ứng{LA (τ ) ≥ n}) Khi ta có: (d) τn → τ ∗ n→∞ 37 2.3.7 Điều kiện số đỉnh với bậc cho trước trường hợp tới hạn Cho p phân phối số A ⊂ N cho p(A) = p(n) > Ta định nghĩa n∈A tập: θk−1 p(k) < +∞ IA = {θ > 0, θk−1 p(k) ≤ 1} k∈A / k∈A Với θ ∈ IA , với k ∈ N, ta đặt: pA θ (k) = θk−1 p(k) k ∈ / A, cA (θ)θk−1 p(k) k ∈ A, cA (θ) số để pA θ trở thành độ đo xác suất N, tức θk−1 p(k) 1− cA (θ) = k∈A / θk−1 p(k) k∈A Nhận xét 2.3.14 IA khoảng chứa 1, pk1 = p Mệnh đề đưa mối liên hệ pA θ p Mệnh đề 2.3.15 Cho τ GW với phân phối p Cho A ⊂ N cho p(A) > θ ∈ IA , τθ GW với phân phối pA θ Khi đó: P(τ0 = t|LA (τ0 ) = n) = P(τ = t|LA (τ ) = n) Chứng minh Với t ∈ T0 , ta có: pA θ (ku (t)) P(τ0 = t) = u∈t cA (θ)θku (t)−1 p(ku (t)) = θku (t)−1 p(ku (t)) ku (t)∈A / ku (t)∈A = cA (θ)LA (t) θku (t)−1 p(ku (t)) u∈t (ku (t) − 1) = cA (θ) LA (t) θ u∈t p(ku (t)) u∈t 38 (ku (t) − 1) = Do u∈t ku (t) − |t| = |t| − − |t| = −1 nên suy ra: u∈t P(τ0 = t) = cA (θ)LA (t) θ−1 P(τ = t) (2.12) Lấy tổng (2.12) {t ∈ T0 , LA (t) = n}, ta được: P(LA (τ0 ) = n) = cA (θ)n θ−1 P(LA (τ ) = n) Suy ra: P(τ0 = t|LA (τ0 ) = n) = P(τ = t|LA (τ ) = n) Cho p phân phối số A ⊂ N cho p(A) > Với θ ∈ IA , ta ký hiệu A m (θ) giá trị trung bình phân phối pA θ Bổ đề 2.3.16 Cho p phân phối tới hạn thỏa mãn < p(0) < p(0) + p(1) < 1, A ⊂ N cho p(A) > Khi tồn nhiều θ ∈ IA cho mA (θ) = Chứng minh Bổ đề trình bày Mệnh đề 5.2 tài liệu [4] Khi c mA (θ) = IA ta xem xét θ tồn tại, ta xác định nghiệm θA phân phối tới hạn: p(∗) = pA c θA (2.13) c Định nghĩa 2.3.17 Phân phối p gọi loài (generic) cho tập A θA tồn Sử dụng Mệnh đề 2.3.15 Hệ 2.3.13, ta suy kết bên trường hợp tới hạn loài Mệnh đề 2.3.18 Cho p phân phối số tới hạn thỏa mãn (1.1) A ⊂ N cho p(A) > Giả sử phân phối p loài A Cho τ GW với phân phối số p τ ∗ Kesten liên kết với phân phối số p(∗) cho (∗) (2.13) Cho d∗ chu kỳ phân phối số pA định nghĩa Bổ đề 39 2.3.12 Cho τn ngẫu nhiên có phân phối theo τ với điều kiện tập {LA (τ ) ∈ [n, n + d∗ )} (tương ứng tập {LA (τ ) ≥ n}) Khi đó: (d) τn → τA∗ 40 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Hắc Hải, Ngơ Hồng Long, Lý thuyết Martingale Martingale tiệm cận NXB Đại học Sư Phạm, 2016 [2] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên, Lý thuyết xác suất NXB Giáo dục 2006 [3] R Abraham and J-F Delmas, An introduction to Galton-Watson trees and their local limits arXiv:1506.05571v1, 2015 [4] R Abraham, A Bouaziz, and J-F Delmas, Local limits of Galton-Watson trees conditioned on the number of protected nodes, J Appl Probab 54(1), 55–66, 2017 [5] R Abraham, J-F Delmas, Local limits of conditioned Galton-Watson trees: the condensation case, Elec J Probab 19:Article 56, 1–29, 2014 [6] D Aldous, The continuum random tree III, Ann Probab., 21, 248–289, 1993 [7] T Harris, The Theory of Branching Processes Springer, Berlin, 1963 41