2 Giới hạn địa phương của cây Galton Watson
2.3.4 Điều kiện trên tổng số phần tử trong trường hợp tới hạn
Ta xét hàm:A(t) = |t|với|t| = Card(t)là tổng kích thước củat. Khi đóA(t)thỏa mãn tính cộng tính, vớit∈T0, mọix∈ L0(t)vàt0 ∈T0thì:
|t~xt0|=|t|+|t0| −1.
Ta định nghĩad = max{k : P(ζ ∈ kN) = 1}được gọi là chu kỳ củap, vớiζ là biến ngẫu nhiên có phân phối xác suấtp, với quy ướcplà không có chu kỳ nếud = 1. Dưới đây là hệ quả trực tiếp của công thức Dwass và định lý giới hạn tỉ lệ mạnh (strong ratio limit theorem).
Bổ đề 2.3.5. Giả sửτ là một cây GW tới hạn với phân phối số conpthỏa mãn(1.1)
và có chu kỳd. Chon1 ∈ {d,+∞}và tậpAn ={|τ| ∈[n, n+n1)}.Khi đó:
lim
n→
P(An+1)
P(An) = 1.
Ta thu được một hệ quả của Định lý 2.2.1 phần(ii).
Hệ quả 2.3.6. Giả sửτlà một cây GW tới hạn với phân phối số conpthỏa mãn(1.1)
và có chu kỳd,τ∗là cây Kesten liên kết vớip. Choτnlà cây ngãu nhiên có cùng phân phối vớiτ trên tập{|τ| ∈[n, n+d)}(tương ứng {|τ| ≥n}).Khi đó ta có:
τn
(d)
→
n→∞τ∗.
Ta chứng minh Bổ đề 2.3.5. Trước hết, nhắc lại về công thức Dwass:
Bổ đề 2.3.7. Giả sử τ là một cây GW với phân phối p tới hạn hoặc dưới tới hạn. Cho(ζk, k ∈ N∗)là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với cùng phân phốip. Đặt
Sn=Pn
k=1ζnvớin ∈N∗.Khi đó, với mọin≥1,ta có:
P(|τ|=n) = 1
nP(Sn =n−1).
Ta cũng nhắc lại định lý giới hạn tỉ lệ mạnh (strong ratio limit theorem).
Bổ đề 2.3.8. Cho(ζk, k ∈N∗)là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân
phốip. Giả sử pcó giá trị trung bình bằng 1 và không có chu kỳ (d = 1). Xét tập Sn=Pn
k=1ζnvớin ∈N∗.Khi đó, với mọil∈Z,ta có:
lim n→+∞ P(Sn=n+l) P(Sn =n) = 1 và lim n→+∞ P(Sn+1 =n+ 1) P(Sn =n) = 1 Ta có chứng minh cho Bổ đề 2.3.5
Chứng minh Bổ đề 2.3.5. Ta giả sử với trường hợp đơn giảnn1 = 1vàpkhông có chu kỳ, tức vớid= 1. Từ công thức Dwass, ta nhận được:
P(|τ|=n+ 1) P(|τ|=n) = n n+ 1 P(Sn+1 =n) P(Sn =n−1).
Sử dụng định lý giới hạn tỉ lệ mạnh, ta được: lim n→+∞ P(|τ|=n+ 1) P(|τ|=n) = limn→+∞ P(Sn+1 =n) P(Sn=n−1) = 1.