2 Giới hạn địa phương của cây Galton Watson
2.3.1 Điều kiện trên chiều cao
Ta xét hàmA :T0 → NvớiA(t) = H(t). Khi đóA(t)thỏa mãn tính cộng tính. Thật vậy, vớit ∈T0, mọix∈ L0(t)vàt0 ∈T0, đặtn0 =H(t)vàD(t, x) =|x| ≥0.Khi đó ta cóH(t~xt0)≥H(t) = n0và:
H(t~xt0) = H(t0) +|x|=H(t0) +D(t, x).
Ta có kết quả sau:
Bổ đề 2.3.1. Giả sửτ là một cây tới hạn hoặc dưới tới hạn với phân phối số conp
thỏa mãn(1.1)với giá trị trung bìnhm ≤ 1.Chon1 ∈ {1; +∞}, tậpAn = {A(τ) ∈
[n, n+n1)}vớin ∈N∗. Ta có:
lim
n→+∞
P(An+1)
P(An) =m.
Chứng minh. Ta xét n1 = 1, trường hợp n1 = +∞ được thực hiện tương tự. Có
An={H(τ) =n}.Nhắc lại rằng với câytbất kỳ,zn(t) =Card{u∈t,|u|=n}là kích cỡ của cây tại thế hệ thứn. Xét tậpZn =zn(τ), khi đó(Zn, n ≥ 0)là một quá trình GW. Ta có:
An ={Zn+1 = 0} ∩ {Zn = 0}c.
Ta cóglà hàm sinh của phân phốip. Đặtgnlà hàm sinh ứng với dãy hàmZn. Hơn nữa, ta cóg = g1. Sử dụng thuộc tính phân nhánh của cây GW, ta có Zn+1 được
phân phối cùng với k0(τ)
P
i=1
zn(τi),ở đây(τi, i∈ N∗)là cây GW độc lập với phân phốip
và độc lập vớiZ1 =k0(τ). Từ đó: gn+1(s) =E "Z1 Y i=1 szn(τi) # =E gn(s)Z1 =g(gn(s)).
Ta cóP(An) =P(Zn+1 = 0)−P(Zn = 0) =g(gn(0))−gn(0).Từτlà tới hạn hoặc dưới tới hạn, ta suy ra nó hữu hạn hầu chắc chắn và lim
n→+∞gn(0) = lim n→+∞P(zn(τ) = 0) = 1. Từg0(1) =m, ta có: P(An) = (1−gn(0))(1−m+◦(1)) = (g(1)−g(gn−1(0)))(1−m+◦(0)). Do đó: P(An+1 P(An ) = g(1)−g(gn(0)) 1−gn(0) 1−m+◦(1) 1−m+◦(1) =m+◦(1).
Kết quả bên dưới là một hệ quả trực tiếp của Định lý 2.2.1 trong trường hợp tới hạn hoặc của Định lý 2.2.2 trong trường hợp dưới tới hạn:
Hệ quả 2.3.2. Choτ là một cây GW tới hạn hoặc dưới tới hạn với phân phối số con
pthỏa mãn(1.1)vàτ∗là cây Kesten liên kết vớip. Choτnlà cây ngẫu nhiên có cùng phân phối vớiτtrên tập{H(τ) =n}(tương ứng {H(τ)≥n}).Khi đó:
τn (→d)
n→∞τ∗.