Điều kiện trên số lá trong trường hợp tới hạn

2 Giới hạn địa phương của cây Galton Watson

2.3.5Điều kiện trên số lá trong trường hợp tới hạn

Nhắc lại rằngL0(t)là tập các lá của cây t. ĐặtL0(t) = Card(L0(t))là số lá của câyt. Ta xétτlà cây GW tới hạn với điều kiện trên tập{L0(t) =n}.

Xét hàmA(t) = L0(t)thỏa mãn tính cộng tính, thật vậy, với mọi câyt, t0 ∈ T0 và mọi láx∈ L0(t),

L0(t~xt0) =L0(t0) +L0(t)−1.

Bổ đề dưới đưa ra một song ánh giữa các lá của một cây hữu hạntvà các đỉnh của câyt{0}.

Bổ đề 2.3.9. Giả sửτlà một cây GW tới hạn với phân phốipthỏa mãn(1.1). Khi đó

L0(t)có phân phối giống với|τ{0}|, ở đâyτ{0}là một cây GW với phân phốip{0}thỏa mãn(1.1).

Hệ quả dưới là kết quả trực tiếp của Bổ đề 2.3.5 và phần(ii)trong Định lý 2.2.1.

Hệ quả 2.3.10. Vớiτ là một cây GW tới hạn có phân phối số conpthỏa mãn(1.1),τ∗

là một cây Kesten liên kết vớip. Chod{0}là chu kỳ của phân phốip{0},τnlà cây ngẫu nhiên có cùng phân phốip trên tập {L0(τ) ∈

n, n+d{0}}(tương ứng {L0(τ) ≥ n}). Khi đó ta có: τn (→d) n→∞τ∗. Chứng minh Bổ đề 2.3.9. Để xem xét tỉ số P(L0(τ) = n+ 1) P(L0(τ) = n) , ta xây dựng một ánh xạψ :t7→t0 thỏa mãnL0(t) =|t0|.

Ta xem xét lá bên trái nhất củatlà gốc củat0. Trong hình dưới, các lá củatđược đánh nhãn từ 1 đến 9, và lá bên trái nhất được đánh số 1 chính là gốc củat0.

Hình 4: Một cây hữu hạn t với các lá được dán nhãn 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Sau đó, xét tất cả các cây con được gắn vào nhánh giữa gốc và lá ngoài cùng. Tất cả các lá ngoài cùng của những cây con này là thế hệ thứ nhất củat{0}. Bằng cách thức tương tự, ta xây dựng được câyt{0}. Trong hình dưới, ta có câyt{0}liên kết với câyt. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Hình 5: Câyt{0} liên kết với cây t

Nhận xét 2.3.11. Nếuτ là cây GW với phân phốip, thìτ{0}cũng là cây GW.

Tiếp đến, ta tính toán phân phối số con p{0}, của τ{0}. Ký hiệu N là thế hệ lá ngoài cùng củaτ. Dễ thấy,N có phân phối hình học với tham sốp(0). Tức với mọi

n≥1 :

P(N =n) = (1−p(0))n−1p(0).

Lấyζlà một biến ngẫu nhiên với phân phốipvà giá trị trung bìnhm.(X1, X2, ..., XN−1)

lập. Thật vậy:

P(N =n, X1 =a1, ..., Xn−1 =an−1) =P(X1 =a1, , ..., Xn−1 =an−1, Xn = 0) =p(a1)...p(an−1).p(0) = p(a1)...p(an−1)

(1−p(0))n−1 .p(0).(1−p(0))n−1.

Mà:

P(N =n) = (1−p(0))n−1.p(0).

Suy raN vàXkđộc lập.

Sử dụng thuộc tính phân nhánh, phân phối củaζvới điều kiện trên(ζ >0) :

P(Xk=n) = p(n) 1−p(0), n ≥1. Hơn nữa, ta có: E[Xk] = +∞ X n=1 np(n) 1−p(0) = m 1−p(0), m= 1.

Khi đó, số các phần tử con của gốc câyτ{0}là số các cây con đính kèm với nhánh bên trái nhất, tức: ζ0 = N−1 X k=1 (Xk−1) Hơn nữa, ta có: E[ζ0] =E[ N−1 X k=1 (Xk−1)] =E[N−1].E[X1−1] = ( 1 p(0) −1).( m 1−p(0) −1) = 1 p(0)(m−1 +p(0)) = 1.

Vậy nếuτlà cây GW tới hạn(m = 1)thìE[ζ0] = 1, do đóτ{0}cũng là cây GW tới hạn. Bổ đề 2.3.9 được chứng minh xong.

2.3.6 Điều kiện trên số đỉnh với bậc ra cho trước trong trường hợp tới hạn

ChoAlà một tập con củaNvà với một câyt, ta định nghĩa tập con các đỉnh với bậc ra (out-degree) trongAnhư sau: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

LA(t) = {u∈t, ku(t)∈ A},

vàLA(t) = Card(LA(t))là số phần tử của nó. • NếuA=N, LA(t)là tổng của các đỉnh củat. • NếuA= 0, LA(t)là tổng các lá củat.

HàmLA(t)thỏa mãn tính cộng tính vớiD(t, x) =LA(t)−1{0∈A} ≥0,tức là:

LA(t~xt0) =LA(t0) +LA(t)−1{0∈A}.

Hơn nữa, ở đây cũng tồn tại tương ứng một - một, giữa tậpLA(t)và câyτA.Nếu cây ban đầu là một cây GWτ tới hạn, cây liên kếtτAvẫn là một cây GW tới hạn.

Ta định nghĩa:

p(A) =X

n∈A

p(n).

Bổ đề 2.3.12. Choτ là một cây GW với phân phốipthỏa mãn(1.1)vàp(A)>0. Khi

đó, với điều kiện trên tập{LA(τ)>0}, LA(τ)có cùng phân phối với|τA|,ở đâyτAlà một cây GW với phân phối số conp(A)thỏa mãn(1.1).

Ta có kết quả sau là hệ quả trực tiếp của Bổ đề 2.3.5 và Định lý 2.2.1.

Hệ quả 2.3.13. Vớiτ là một cây GW có phân phối số con pthỏa mãn(1.1)vàτ∗là cây Kesten liên kết vớip,dA là chu kỳ của phân phối số conpAđược xác định ở Bổ đề 2.3.12. Choτnlà một cây ngẫu nhiên có cùng phân phối vớiτ trên tập{LA(τ) ∈

[n, n+dA)}(tương ứng{LA(τ)≥n}).Khi đó ta có:

τn (→d)

2.3.7 Điều kiện trên số đỉnh với bậc ra cho trước trong trường hợp dưới tới hạn

Choplà một phân phối số con vàA ⊂Nsao chop(A) = X

n∈A p(n)>0.Ta định nghĩa tập: IA ={θ > 0,X k∈A θk−1p(k)<+∞ và X k /∈A θk−1p(k)≤1}.

Với mỗiθ∈IA,và với mọik ∈N,ta đặt:

pAθ(k) =

(

θk−1p(k) nếu k /∈ A, cA(θ)θk−1p(k) nếu k ∈ A,

trong đócA(θ)là một hằng số đểpAθ trở thành một độ đo xác suất trênN, tức là

cA(θ) = 1−X k /∈A θk−1p(k) X k∈A θk−1p(k) . Nhận xét 2.3.14. IAlà một khoảng chứa 1, vàpk 1 =p.

Mệnh đề dưới đưa ra mối liên hệ giữapAθ vàp.

Mệnh đề 2.3.15. Choτlà một cây GW với phân phốip. ChoA ⊂ Nsao chop(A)>0

vàθ ∈IA, τθlà một cây GW với phân phốipAθ.Khi đó:

P(τ0 =t|LA(τ0) = n) = P(τ =t|LA(τ) = n). Chứng minh. Vớit∈T0,ta có: P(τ0 =t) = Y u∈t pAθ(ku(t)) = Y ku(t)∈A cA(θ)θku(t)−1p(ku(t)). Y ku(t)∈A/ θku(t)−1p(ku(t)) =cA(θ)LA(t).Y u∈t θku(t)−1p(ku(t)) =cA(θ)LA(t)θ X u∈t (ku(t)−1) Y u∈t p(ku(t)).

DoX u∈t

(ku(t)−1) =X (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

u∈t

ku(t)− |t|=|t| −1− |t|=−1nên suy ra:

P(τ0 =t) =cA(θ)LA(t)

θ−1P(τ =t). (2.12) Lấy tổng của (2.12) trên{t∈T0, LA(t) =n},ta được:

P(LA(τ0) = n) = cA(θ)nθ−1P(LA(τ) =n).

Suy ra:

P(τ0 =t|LA(τ0) = n) = P(τ =t|LA(τ) = n).

Choplà một phân phối số con vàA ⊂Nsao chop(A)>0.Vớiθ ∈IA,ta ký hiệu

mA(θ)là giá trị trung bình của phân phốipAθ.

Bổ đề 2.3.16. Choplà phân phối dưới tới hạn thỏa mãn0 < p(0) < 1 và p(0) + p(1) < 1,A ⊂ Nsao cho p(A) > 0.Khi đó tồn tại nhiều nhất mộtθ ∈ IA sao cho

mA(θ) = 1.

Chứng minh Bổ đề này được trình bày trong Mệnh đề 5.2 của tài liệu [4]. Khi

θtồn tại, ta xác định duy nhất nghiệmθAc củamA(θ) = 1trongIA và ta sẽ xem xét phân phối tới hạn:

p(∗)=pAθc

A. (2.13)

Định nghĩa 2.3.17. Phân phốipđược gọi là cùng loài (generic)cho tậpAnếu θcA

tồn tại.

Sử dụng Mệnh đề 2.3.15 và Hệ quả 2.3.13, ta suy ra được kết quả bên dưới trong trường hợp dưới tới hạn cùng loài.

Mệnh đề 2.3.18. Choplà phân phối số con dưới tới hạn thỏa mãn(1.1)vàA ⊂ N

sao chop(A) > 0. Giả sử phân phối plà cùng loài trongA. Choτ là cây GW với phân phối số conpvà τ∗ là cây Kesten liên kết với phân phối số conp(∗) được cho bởi (2.13). Chod∗ là chu kỳ của phân phối số conp(A∗)được định nghĩa trong Bổ đề

2.3.12. Choτn là một cây ngẫu nhiên có phân phối theo τ với điều kiện trên tập

{LA(τ)∈[n, n+d∗)}(tương ứng trên tập{LA(τ)≥n}). Khi đó:

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Hắc Hải, Ngô Hoàng Long, Lý thuyết Martingale và Martingale tiệm cận. NXB Đại học Sư Phạm, 2016.

[2] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên,Lý thuyết xác suất. NXB Giáo dục 2006.

[3] R. Abraham and J-F. Delmas,An introduction to Galton-Watson trees and their local limits.arXiv:1506.05571v1, 2015.

[4] R. Abraham, A. Bouaziz, and J-F. Delmas, Local limits of Galton-Watson trees conditioned on the number of protected nodes,J. Appl. Probab.54(1), 55–66, 2017.

[5] R. Abraham, J-F. Delmas, Local limits of conditioned Galton-Watson trees: the condensation case,Elec. J. Probab.19:Article 56, 1–29, 2014.

[6] D. Aldous, The continuum random tree III, Ann. Probab., 21, 248–289, 1993. [7] T. Harris,The Theory of Branching Processes.Springer, Berlin, 1963.