File400 - PHUONG TRINH LUONG GIAC

Page 44 Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn 8/14/2020  π  π m (1) ⇔ sin t + cos t = m ⇔ cos  t − ÷ = m ⇔ cos  t − ÷ =  4  4 Phương trình có nghiệm : − ≤ m ≤ Do điều kiện m > ta có : < m ≤ Ví dụ : Trên đoạn [ 0;1] phương trình sau có nghiệm x ( − x ) ( x − x + 1) = Lời giải  π Vì x ∈ [ 0;1] nên tồn góc α ∈ 0;  cho x = sin α  2 Ta có phương trình : 8sin α ( − 2sin α ) ( 8sin α − 8sin α + 1) = ⇔ 8sin α cos 2α cos 4α = (*) Nhận thấy cos α = không nghiệm phương trình (*)nên nhân hai vế phương trình cho  π cos α ≠ ⇒ α ∈ 0; ÷ ta :  2 π  8sin α cos α cos 2α cos 4α = cos α ⇔ sin 8α = cos α ⇔ sin 8α = sin  − α ÷ 2  π  α = − α + k 2π  ⇔ 8α = π −  π − α  + m2π  ÷  2  π k 2π  α = 18 + ⇔ ( k; m ∈ ¢ ) α = π + m2π  14 π 5π π 5π  π Vì α ∈ 0; ÷ suy nghiệm : x = sin ; x = sin ; x = sin ; x = sin 18 18 14 14  2 Ví dụ : Cho hai phương trình ( 3+ 2) = ( x ) x − + ( 1) ( ) +1 x = cos π ( 2) Giả sử x nghiệm ph.trình (1) Ch minh rằng, x nghiệm phương trình (2) Page 45 Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn 8/14/2020 Lời giải ( 3+ 2) = ( x Đặt ( ) ) x −1 + ⇔ ( ) +1 2x = ( x ) +1 2 + = 2t với t > Khi phương trình (1) trở thành : 4t = x +3 1 + ⇔ 4t − 3t = 2t Xét t ∈ ( −1;1) , đặt t = cos α , α ∈ ( 0; π ) ta cos3 α − 3cos α = 1 π k 2π ⇔ cos 3α = ⇔ α = ± + 2 π 5π 7π  π 5π 7π  Vì α ∈ ( 0; π ) nên α ∈  ; ;  suy t1 = cos ; t2 = cos ; t3 = cos 9 9 9  Vì phương trình bậc ba có đủ ba nghiệm nên ta không xét nghiệm t ∉ ( −1;1) Mặt khác t2 = cos 5π 7π < t3 = cos < nghiệm phương trình (1) : 9 t1 = cos π ⇒ ( ) x + = cos π Vậy x nghiệm phương trình (1) x nghiệm phương trình (2) Ví dụ : Giải phương trình x+ x x −1 =2 Lời giải Điều kiện : x > Đặt x = π ; α ∈ (0; ) Thu phương trình có dạng lượng giác sau : cos α 1 + = 2 ⇔ sin α + cos α = 2 sin α cos α cos α sin α π  Đặt : t = sin α + cos α = cos  α − ÷ 4  Điều kiện : ≤ t ≤ ⇒ sin α cos α = t −1 Ta có phương trình : t = 2t − t − t = ⇔ 2t − t − = ⇔  −1 ⇒ t = t=  2 Page 46 Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn t = ⇒α = 8/14/2020 π  π ∈  0; ÷⇒ x =  2 Ví dụ : Giải phương trình sau 1+ 1− x  (1+ x) −  2 − x2  (1− x)  = +  3 Lời giải Điều kiện : x ≤ Với x ∈ [ −1;0] : ( 1+ x) − ( 1− x) ≤ (ptvn)  π x ∈ [0;1] ta đặt : x = cos t , t ∈ 0;  Khi phương trình trở thành:  2   cos x 1 + sin t ÷ = + sin t ⇔ cos t =   Vậy phương trình có nghiệm : x = Ví dụ 10 : Giải phương trình sau 6x + = 2x Lời giải 3 Lập phương vế ta được: x − x = ⇔ x − x =   Xét : x ≤ , đặt x = cos t , t ∈ [ 0; π ] Khi ta S = cos π 5π 7π  ;cos ;cos  mà 9  phương trình bậc có tối đa nghiệm tập nghiệm phương trình Ví dụ 11 : Giải phương trình   x 1 + ÷ =1 x −   Page 47 Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn 8/14/2020 Lời giải Điều kiện : x > Ta đặt x =  π π , t ∈ − ; ÷ sin t  2  cos t = 1 + cot t ) = ⇔  Khi ( sin 2t = − sin t  Phương trình có nghiệm : x = − ( ) +1 Ví dụ 12 : Giải phương trình x + ( x + 1) x +1 = + 2x x ( − x2 ) Lời giải Điều kiện : x ≠ 0, x ≠ ±1  π π ; ÷  2 Ta đặt : x = tan t , t ∈  − ( ) Khi ta có phương trình: 2sin t cos 2t + cos 2t − = ⇔ sin t − sin t − 2sin t = Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm x = Sau xét mở rộng thêm ví dụ lượng giác hóa để giải hệ phương trình 2 x + x y = y  Ví dụ : Xác định hệ số (x,y,z) thõa mãn hệ phương trình : 2 y + y z = z 2 z + z x = x  Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn Page 48 8/14/2020 Lời giải ( 0,0,0 ) nghiệm hệ ; nhận xét x, y , z ≠ ±1  2x y = 1− x2  2y  ⇒Hệ tương đương với  z = 1− y2   2z x = 1− z2  Sự có mặt vế phải phương trình ⇒ liên hệ đến cơng thức lượng giác tan 2α = π kπ tan α x ≠ ±1 ⇒ Đặt x = tan α  → α ≠ + − tan α  y = tan 2α nπ  ⇒  z = tan 4α ⇒ tan α = tan8α ⇔ α = ( n∈ Z / tan α ≠ ±1)  x = tan8α  ⇒ Ngiệm hệ x = tan nπ n2π n4π , y = tan , z = tan 7    1 1 1  3 x +  = 4 y +  = 5 z +  x y z Ví dụ : Giải hệ phương trình      xy + yz + zx =  Lời giải  x, y , z ≠ Lưu ý :  x,y,z nghiệm (-x,-y,-z) nghiệm (do tính chất đối  x, y, z d xứng ) ⇒ xét x, y, z > 1 1 Sự xuất biểu thức x + , y + , z + dạng chung u + ⇒ Đặt x y z u π  x = tan α , y = tan β , z = tan γ ,  đk : < α , β , γ <  2  Sử dụng định lý hàm số sin Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn Page 49 8/14/2020 Ví dụ : Tìm giá trị tham số m dể hệ phương trình sau có nghiệm  − x − y =   y − mx + 3m = m Lời giải  y = sin ϕ Điều kiện : x ≤ → đặt x = cos ϕ → hệ pht :  sin ϕ − m cos ϕ = ( Điều kiện hệ cho có nghiệm ⇔ (*) có nghiệm t/m đkiện sin ϕ > Bài tập tự rèn luyện Bài : Giải phương trình + 2x − x = − 2x Bài : Giải phương trình sau x + (1 − x )3 = x 2(1 − x ) Bài : Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm 1 + =m x − x2 Bài : Giải biện luận phương trình theo tham số a ( a > ) 2x + a2 − 4x = a Bài : Phương trình sau có nghiệm x3 − x = − x Bài : Giải phương trình sau x = 2+ 2− 2+ x Bài : Giải phương trình x2 + = x2 + + x ) − m (*) Page 50 Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn 8/14/2020 Bài : Tìm m để phương trìnhsau có nghiệm (4m − 3) x + + (3m − 4) − x + m − = Bài : Cho đường trịn có phương trình ( C ) : ( x − 1) + ( y − ) = Tìm M ( x0 ; y0 ) thuộc 2 đường tròn cho x0 + y0 nhỏ Bài 10 : Cho phương trình x − x + = Chứng minh phương trình có ba nghiệm x1 ; x2 ; x3 2 thỏa điều kiện x1 = + x2 ; x2 = + x3 Bài 11 : Giải phương trình x x  + a2   − a2   ÷ − ÷ = với tham số a ∈ ( 0;1)  2a   2a  Bài 12 : Giải phương trình 1+ x(1 − x) = x + − x  x = y − yx  Bài 13 : Giải hệ phương trình sau  y = z − zy  z = x − xz   x2 + y2 =  Bài 14 : Giải hệ phương trình sau  ( x − y )(1 + xy ) =  Bài 15 : Giải phương trình sau 1− 2x + 2x + + 2x − 2x 1) − 2x + + 2x = 2) + − x2 = x + − x2 ( ) 3) x − x = x + I Hệ phương trình lượng giác : Hệ phương trình lượng giác ẩn : Hệ phương trình thường xuất giải phương trình lượng giác đặc biệt Với phương trình này, ta qui việc giải phương trình lượng giác hệ phương trình lượng giác Ta xét ví dụ sau để minh họa : Ví dụ : Giải phương trình Page 51 Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn 8/14/2020 s in3x + cos x = ( 1) Lời giải sin x = 1( ) s in3x ≤ ∀x ( 1) ⇔  Ta có  cos x ≤ cos x = 1( 3) Từ (2) ta có x = π π 2π + k 2π ⇔ x = + k ( k ∈ ¢) Từ (3) ta có x = k 2π ⇔ x = k Vậy nghiệm (1) x = π −π + k 2π 2 Hệ phương trình nhiều ẩn : Ta xét ví dụ sau để minh họa cho hệ phương trình lượng giác nhiều ẩn bản, đơn giản 2π   x + y = ( 1) Ví dụ : Giải hệ phương trình lượng giác  sin x + sin y = ( )  Lời giải 2π  2π 2π   x+ y = x + y = x+ y =      3 ⇔ ⇔ Ta có : ( 1) ( ) ⇔  2sin x + y cos x − y =  cos x − y = cos x − y =  2   2 π  2π x = + k 2π   x + y =  ⇔ ( k ∈ ¢) ( k ∈ ¢) ⇔  π  x − y = 4kπ  y = − k 2π   sin x cos y = ( 1) Ví dụ : Giải hệ phương trình  3 tan x = tan y ( )  π Điều kiện : x, y ≠ + kπ ( k ∈ ¢ ) Lời giải  sin x cos y =  sin x cos y =   ⇔ ⇔ Ta có : ( ) ( )   3sin x cos y = sin y cos x sin y cos x =  sin ( x + y ) = 4⇔  sin ( y − x ) =  Page 52 Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn 8/14/2020 π   x + y = + k 2π  π  ⇔   y − x = + m2π ( k , m ∈ ¢ )   5π   y − x = + m2π  π  x = π ( k − m)  x + y = + k 2π  ⇔ •  ( k, m ∈ ¢ ) π  y − x = π + m 2π  y = + π ( k + m)   −π π    x = + π ( k − m )  x + y = + k ã ( k, m  )  y − x = 5π + k 2π  y = 2π + π ( k + m )   II Phương trình lượng giác không mẫu mực : Dạng : Tổng hai số hạng không âm A ≥ ∧ B ≥ ⇒ A=B=0 Nếu  A + B = Ví dụ : giải phương trình sau cos x + tan x − cos x + tan x + = ( 1) Lời giải ( 1) ⇔ ( cos x − ) +( ) tan x + =0  cos x =  ⇔  tan x = −1  −π ⇔x= + k 2π ( k ∈ ¢ ) Ví dụ : Giải phương trình 8cos x.cos 2 x + − cos x = −1( 1) Lời giải ( 1) ⇔ cos x ( + cos x ) + + − cos x = Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn Page 53 8/14/2020 ⇔ ( cos x + 1) + − cos x = −1  cos x = ⇔ cos 3x = 2π ⇔x=± + k 2π ( k ∈ ¢ ) Dạng : Phương pháp đối lập A ≤ M ≤ B ⇒ A=B=M Nếu  A = B Ví dụ : giải phương trình sin x − cos x = sin x + cos x ( 1) ( 1) ⇔ sin Lời giải x − cos x = sin x + cos x ⇔ − cos x = sin x + cos x cos x ≤ ⇔ cos x = + sin x cos x cos x ≤ ⇔  − sin x = s in2x cos x ≤ ⇔ sin x = ( cos x = ±1) ⇔ cos x = −1 π ⇔ x = + kπ ( k ∈ ¢ ) Với tốn trên, ta giải cách dùng bất đẳng thức Bạn đoc thử tìm hiểu xem! Ví dụ : giải phương trình ( cos x − cos x ) = + 2sin 3x ( 1) ( 1) ⇔ 4sin Lời giải x sin x = + 2sin x • • Do sin 3x ≤ sin x ≤ nên 4sin 3x sin x ≤ Do sin x ≥ −1 nên + 2sin x ≥ sin x = sin x = −1  π ⇔ x = + k 2π ( k ∈ ¢ ) Nên dấu “=” (1) xảy ⇔ sin x = ⇔  2 sin x = sin 3x = −1  III Bài tập tổng hợp : Bài : giải phương trình sau Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn Page 71 8/14/2020 Aryabhatiya kỷ 6) chuyển tự sang tiếng Ả Rập jiba (‫)جب‬, bị nhầm thành từ khác, jaib (‫"( )جب‬vịnh"), dịch giả châu Âu Robert Chester Gherardo Cremona Toledo (thế kỷ 12) Sự nhầm lẫn jiba (‫ )جب‬và jaib ( ‫ )جب‬được viết giống tiếng Ả Rập (nhiều nguyên âm bị thiếu bảng chữ Ả Rập) Các cơng trình hàm lượng giác phát triển nghiên cứu thiên văn Có lẽ sách tập trung nghiên cứu lượng giác De triangulis omnimodus (1464) Tabulae directionum Regiomontanus (1436–1476) Quyển Tabulae directionum nói hàm tang Quyển Opus palatinum de triangulis Rheticus, học trò Copernicus, sách định nghĩa hàm lượng giác bằngtam giác vng thay dùng vịng trịn đơn vị, kèm theo bảng tính hàm lượng giác Cơng trình hồn thiện học trò Rheticus Valentin Otho năm 1596 Quyển Introductio in analysin infinitorum (1748) Euler tập trung miêu tả cách tiếp cận giải tích đến hàm lượng giác, định nghĩa chúng theo chuỗi vô tận giới thiệu "Công thức Euler" eix = cos(x) + i sin(x) Euler dùng ký hiệu viết tắt sin., cos., tang., cot., sec., vàcosec giống ngày Định nghĩa tam giác vng Có thể định nghĩa hàm lượng giác góc A, việc dựng nên tam giác vng chứa góc A Trong tam giác vuông này, cạnh đặt tên sau: • Cạnh huyền cạnh đối diện với góc vng, cạnh dài tam giác vuông, h hình vẽ • Cạnh đối cạnh đối diện với góc A, a hình vẽ • Cạnh kề cạnh nối góc A góc vng, b hình vẽ Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn Page 72 8/14/2020 Một tam giác vuông chứa góc 90° (π/2 radian), ký hiệu C hình Góc A B thay đổi Các hàm lượng giác thể mối liên hệ chiều dài cạnh độ lớn góc tam giác vng Dùng hình học Ơclit, tổng góc tam giác pi radian (hay 1800) Khi Hàm Định nghĩa Sin Cạnh đối chia cho cạnh huyền Cos Cạnh kề chia cho cạnh huyền Tang Cạnh đối chia cho cạnh kề Cotang Cạnh kề chia cho cạnh đối Sec Cạnh huyền chia cho cạnh kề Cosec Cạnh huyền chia cho cạnh đối Biểu thức Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn Page 73 8/14/2020 Định nghĩa vòng trịn đơn vị Các hàm lượng giác định nghĩa vòng tròn đơn vị, vòng trịn có bán kính tâm trùng với tâm hệ tọa độ Định nghĩa dùng vòng tròn đơn vị thực dựa vào tam giác vuông, chúng định nghĩa cho góc số thực, không giới hạn Pi/2 radian Các góc lớn 2π hay nhỏ −2π quay vòng đường tròn Dùng đại số Vòng tròn đơn vị số điểm đặc biệt ứng với số góc đặc biệt Vịng trịn đơn vị điểm (x, y) mặt phẳng hình học phẳng thỏa mãn: x2 + y2 = Gọi góc θ góc đường thẳng nối tâm hệ tọa độ điểm (x,y) vòng tròn chiều dương trục x hệ tọa độ x-y, hàm lượng giác định nghĩa là: Hàm Định nghĩa sin(θ) y cos(θ) x tan(θ) y/x cot(θ) x/y sec(θ) 1/x csc(θ) 1/y Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn Page 74 8/14/2020 Khi góc quay vòng tròn, hàm sin, cos, sec cosec trở nên hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π radian hay 360 độ: Ở θ góc, số thực bất kỳ; k số nguyên Tang Cotang tuần hoàn với chu kỳ π radian hay 180 độ Dùng hình học Mọi hàm lượng giác dựng lên phương pháp hình học vịng trịn đơn vị có tâm O Hình vẽ bên cho thấy định nghĩa hình học hàm lượng giác cho góc vịng tròn đơn vị tâm O Với θ nửa cung AB Hàm Định nghĩa Chú thích sin(θ) AC định nghĩa lần đầu giới thiệu lịch sử người Ấn Độ cos(θ) OC tan(θ) AE cot(θ) AF sec(θ) OE csc(θ) OF versin(θ) CD đường tiếp tuyến với đường tròn A, ý nghĩa mang lại cho tên "tan" hàm, xuất phát từ tiếng La tinh "tiếp tuyến" đường cắt vòng tròn, ý nghĩa mang lại cho tên "secant" hàm, xuất phát từ tiếng La tinh "đường cắt vòng tròn" versin(θ) = − cos(θ) Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn exsec(θ) DE Page 75 8/14/2020 exsec(θ) = sec(θ) − Theo hình vẽ, dễ thấy sec tang phân kỳ θ tiến tới π/2 (90 độ), cosec cotang phân kỳ θ tiến tới Nhiều cách xây dựng tương tự thực vịng trịn đơn vị, tính chất hàm lượng giác chứng minh hình học Định nghĩa chuỗi Hàm sin (xanh lam) xấp xỉ chuỗi Taylor bậc (màu hồng) Dùng hình học tính chất giới hạn hàm số, chứng minh đạo hàm hàm sin làhàm cos đạo hàm hàm cos trái dấu hàm sin Có thể dùng chuỗi Taylor để phân tích hàm sin cos chuỗi, cho góc x đo giá trị radian thực Từ hai hàm suy chuỗi hàm lượng dạng lại Các đẳng thức bên cho biết chuỗi Taylor hàm lượng giác Chúng dùng làm định nghĩa cho hàm lượng giác Chúng dùng nhiều ứng dụng, chuỗi Fourier), lý thuyết chuỗi vơ hạn xây dựng từ tảng hệ thống số thực, độc lập với hình học Các tính chất khả vi hay liên tục chứng minh từ định nghĩa chuỗi Trong bảng dưới, quy ước: En số Euler thứ n Un số lên/xuống thứ n Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn Hàm Page 76 Định nghĩa 8/14/2020 Cụ thể sin(x) cos(x) tan(x) cot(x) sec(x) csc(x) Trên trường số phức Từ định nghĩa chuỗi, chứng minh hàm sin cos phần ảo phần thực hàm mũ số ảo: Với i đơn vị ảo, bậc hai -1 Liên hệ phát lần đầu Euler công thức gọi cơng thức Euler Trong giải tích phức, vẽ vòng tròn đơn vịtrên mặt phẳng phức, gồm điểm z = eix, mối liên hệ số phức lượng giác trở nên rõ ràng Ví dụ q trình miêu tả hàm mũ phức có tính chất tuần hồn Cơng thức cho phép mở rộng hàm lượng giác cho biến phức z: Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn Page 77 8/14/2020 Trong trường hợp đặc biệt, z = x, số thực Định nghĩa phương trình vi Cả hai hàm sin cos thỏa mãn phương trình vi phân Các hàm hàm trái dấu vi phân bậc hai chúng Trong không gian vectơ hai chiều V chứa tất nghiệm phương trình vi phân trên, sin hàm thỏa mãn điều kiện biên y(0) = y′(0) = 1, cos hàm thỏa mãn điều kiện biên y(0) = y′(0) = Hai hàm lại độc lập tuyến tính V, chúng tạo thành hệ sở cho V Thực tế cách định nghĩa tương đương với việc dùng công thức Euler Phương trình vi phân khơng dùng để định nghĩa sin cos mà dùng để chứng minh đẳng thức lượng giác cho hàm Hàm tan nghiệm phương trình vi phân phi tuyến sau: với điều kiện biên y(0) = Xem [1] cho chứng minh cơng thức Các phương trình biến số hàm lượng giác radian Nếu dùng đơn vị đo góc khác, biến số thay đổi qua nhân tử k Ví dụ, x tính độ, k là: Lúc đó: vi phân hàm sin bị thay đổi nhân tử này: Nghĩa hàm phải thỏa mãn: Ví dụ cho hàm sin, điều tương tự xảy cho hàm lượng giác khác Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn Page 78 8/14/2020 Các định nghĩa khác Hàm sin cos, hàm lượng giác khác suy từ hai hàm này, định nghĩa hàm s c định lý sau: Tồn cặp hàm s c trường số thực thỏa mãn: s(x)2 + c(x)2 = s(x+y) = s(x)c(y) + c(x)s(y) c(x+y) = c(x)c(y) - s(x)s(y) < xc(x) < s(x) < x cho < x < Ở Miền xác định miền giá trị Các hàm số lượng giác trường số thực có miền xác định miền giá trị tổng kết bảng sau: Hàm Miền xác định Miền giá trị sin R (toàn trục số thực) [-1, 1] cos R [-1, 1] tang R/{π/2 + kπ|k nguyên} (các số thực khác π/2 + kπ, với k số nguyên) R cotang R/{kπ|k nguyên} (các số thực khác kπ, với k số nguyên) R Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn Page 79 8/14/2020 Phương pháp tính Việc tính giá trị số cho hàm lượng giác toán phức tạp Ngày nay, đa số người dùng máy tính hay máy tính bỏ túi khoa học để tính giá trị hàm Dưới trình bày việc dùng bảng tính lịch sử để tra giá trị hàm lượng giác, kỹ thuật tính ngày máy tính, số giá trị xác dễ nhớ Trước hết, việc tính giá trị hàm lượng giác cần tập trung vào góc nằm, ví dụ, từ đến π/2, giá trị hàm lượng giác góc khác suy tính chất tuần hồn đối xứng hàm Trước có máy tính, người ta thường tìm giá trị hàm lượng giác cách nội suy từ bảng tính sẵn, có độ xác tới nhiều chữ số thập phân Các bảng tính thường xây dựng cách sử dụng công thức lượng giác, cơng thức chia đơi góc, hay cơng thức cộng góc, vài giá trị xác (như sin(π/2)=1) Các máy tính đại dùng nhiều kỹ thuật khác (Kantabutra, 1996) Một phương pháp phổ biến, đặc biệt cho máy tính có tínhsố thập phân, kết hợp xấp xỉ đa thức (ví dụ chuỗi Taylor hữu hạn hàm hữu tỷ) với bảng tính sẵn — đầu tiên, máy tính tìm đến giá trị tính sẵn bảng nhỏ cho góc nằm gần góc cần tính nhất, dùng đa thức để sửa giá trị bảng giá trị xác Trên phần cứng khơng có số học lơ gíc, dùng thuật tốn CORDIC (hoặc kỹ thuật tương tự) để tính hiệu hơn, thuật tốn dùng tốn tử chuyển vị phép cộng Các phương pháp thường lắp sẵn phần cứng máy tính để tăng tốc độ xử lý Đối với góc đặc biệt, giá trị hàm lượng giác tính giấy bút dựa vào định lý Pytago Ví dụ sin, cos tang góc bội π/60 radian (3 độ) tính xác giấy bút Một ví dụ đơn giản tam giác vuông cân với góc nhọn π/4 radian (45 độ) Cạnh kề b cạnh đối a đặt a = b = Sin, cos tang π/4 radian (45 độ) tính định lý Pytago sau: Nên: Page 80 Giáo viên : Thầy Đỗ Kim Sơn 8/14/2020 Một ví dụ khác tìm giá trị hàm lượng giác π/3 radian (60 độ) π/6 radian (30 độ), bắt đầu với tam giác có cạnh Cả góc tam giác π/3 radian (60 độ) Chia đôi tam giác thành hai tam giác vng có góc nhọn π/6 radian (30 độ) π/3 radian (60 độ) Mỗi tam giác vng có cạnh ngắn 1/2, cạnh huyền cạnh lại (√3)/2 Như vậy: Hàm lượng giác nghịch đảo Các hàm lượng giác tuần hồn, để tìm hàm nghịch đảo, cần giới hạn miền hàm Dươi định nghĩa hàm lượng giác nghịch đảo: Giới hạn miền Định nghĩa -π/2 < y < π/2 y = arcsin(x) x = sin(y) 0