Toan VCVB

Trường Phổ thơng Vùng cao Việt Bắc LỜI NĨI ĐẦU Dãy số phần kiến thức thiếu chương trình dạy tốn cho trường chun Các tập phần dãy số, giới hạn dãy số, tập số liên quan đến dãy số tập thường gặp kì thi HSG cấp tỉnh, trại hè Hùng Vương, Olimpic 30-4, quốc gia, quốc tế, Olimpic Tốn khu vực Dãy số trình bày chương trình tốn bậc phổ thơng là cầu nối đại số giải tích Lần học sinh làm quen với khái niệm dãy số, giới hạn, tính liên tục mà sử dụng nhiều sau Tuy nhiên, hạn chế thời gian nên thời lượng dành cho việc dạy học dãy số giới hạn dãy số chương trình tốn PT khơng nhiều, học sinh học số khái niệm ban đầu làm quen với số tập đơn giản Vì mà tập dãy số số tốn tương đối khó với em học sinh với thầy giáo quan tâm với tập Trong sách giáo khoa lớp 11 có tập dãy số giới hạn khơng có nhiều tài liệu tham khảo phần Điều gây khơng khó khăn cho việc dạy học đối giáo viên học sinh q trình ơn luyện đội tuyển HSG cấp Trong sáng kiến kinh nghiệm mục đích tổng hợp đưa số dạng toán dãy số, giới hạn toán số liên quan đến dãy số nhằm phục vụ cho q trình ơn luyện nhóm chun, ơn luyện đội tuyển HSG cấp tổ mơn Tốn Vì vậy, việc trang bị kiến thức số dãy số cho học sinh đội tuyển HSG cần thiết, việc bồi dưỡng cho học sinh phương pháp giải có hiệu việc bổ ích Trên quan điểm hoạt động, muốn nghiên cứu cách hướng dẫn học sinh giải số tập dãy số, giới hạn dãy số số toán số liên quan đến dãy số Đối tượng nghiên cứu học sinh lớp chuyên toán, học sinh ôn thi HSG cấp môn Toán Trường PT Vùng cao Việt Bắc Sáng kiến kinh nghiệm Bùi Thị Lan Anh - Bùi Thị Thúy Hà – Phạm Thị Lan Trường Phổ thông Vùng cao Việt Bắc NỘI DUNG I.KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ SỐ VÀ DÃY SỐ: Dãy số 1.1 Các định nghĩa Định nghĩa: + Mỗi giá trị hàm số số hạng dãy số u(1) số hạng thứ (Số hạng đấu): u1 u(2) số hạng thứ (Số hạng đấu): u2 …………………………………………………………………… u(n) số hạng thứ n: un + Khi dãy số u = u(n) (un) ta gọi un số hạng tổng quát Người ta viết dạng khai triển : u1, u2, u3,…., un,…… 1.2 Cách cho dãy số : Cách1: Cho công thức số hạng tổng quát Cách 2: Co dãy số quy nạp Cách 3: Diễn đạt lời cách xác định số hạng 1.3 Dãy số tăng, giảm: 1.4 Dãy bị chặn: 1.5 Dãy số có giới hạn: + Dãy số tăng bị chặn dãy có giới hạn + Dãy số giảm bị chặn dướilà dãy có giới hạn I MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG Sáng kiến kinh nghiệm Bùi Thị Lan Anh - Bùi Thị Thúy Hà – Phạm Thị Lan Trường Phổ thông Vùng cao Việt Bắc Dạng 1: Xác định công thức tổng quát dãy số : Bài 1: Cho ( ) xác định bởi: Xây dựng cơng thức eo n Giải: Ta có: Ta viết: Do đó: • Chú ý: Các bước thực B1: Dự đốn cơng thức B2: Chứng minh cơng thức với n = (n = n0) B3: Giả sử công thức với n = k ta chứng minh công thức với n = k+1 Bài 2: Cho (un) xác định: Ta thấy : Sáng kiến kinh nghiệm Bùi Thị Lan Anh - Bùi Thị Thúy Hà – Phạm Thị Lan Trường Phổ thông Vùng cao Việt Bắc Dự đoán (1) Chứng minh quy nạp : +) Kiểm tra với n=1 ta có +) Giả sử CT ( 1) với n = k ta có : ta phải CM CT (1) với n = k +1 Ta có : Vậy : Bài : Cho Xác định công thức ? Giải: Ta thấy: Dự đoán: (2) Ta chứng minh quy nạp: +) Kiểm tra (2) với n = Sáng kiến kinh nghiệm Bùi Thị Lan Anh - Bùi Thị Thúy Hà – Phạm Thị Lan Trường Phổ thông Vùng cao Việt Bắc +) Giả sử (2) với n = k tức ta phải cm (2) với n = k+ Ta có Vậy : Bài 4: a) Chứng minh rằng: b) chứng minh cấp số cộng Suy biểu thức Giải: a) Suy theo quy nạp b) = Bài 5: , Chứng minh ( ) xác định cấp số cộng Suy biểu thức Sáng kiến kinh nghiệm Bùi Thị Lan Anh - Bùi Thị Thúy Hà – Phạm Thị Lan Trường Phổ thông Vùng cao Việt Bắc Giải: Ta có : Bài : Cho Xác định ? Giải : a) Ta có : Vậy : Sáng kiến kinh nghiệm Bùi Thị Lan Anh - Bùi Thị Thúy Hà – Phạm Thị Lan Trường Phổ thông Vùng cao Việt Bắc Bài : Xác định ? Giải : Ta có : ta chứng minh quy nạp : +) Với n = ta có (*) +)Giả sử (*) với n = k tức ta phải chứng minh (*) với n = k+1 Thật : (Đpcm) Bài : CMR : Tồn cấp số nhân (Vn)và số Giải : Ta có : Sáng kiến kinh nghiệm Bùi Thị Lan Anh - Bùi Thị Thúy Hà – Phạm Thị Lan Trường Phổ thông Vùng cao Việt Bắc Nhân vế với vế đẳng thức giản ước thừa số ta có : Trong đó: Bài : Cho dãy số (un) xác định : Xác định un ? Giải : Ta có Đặt : Sáng kiến kinh nghiệm Bùi Thị Lan Anh - Bùi Thị Thúy Hà – Phạm Thị Lan Trường Phổ thông Vùng cao Việt Bắc Bài 10 : Xác định Giải : Ta có : (2) thay (n+1) n ta có : Lấy (3) – (4) : (5) Phương trình đặc trưng (5) là: Sáng kiến kinh nghiệm Bùi Thị Lan Anh - Bùi Thị Thúy Hà – Phạm Thị Lan Trường Phổ thông Vùng cao Việt Bắc Thay n = 1; n = ta có hệ : Dạng : Tìm giới hạn dãy số Bài 11 : Từ suy lim un = Giải : a, Chứng minh quy nạp b, Sáng kiến kinh nghiệm Bùi Thị Lan Anh - Bùi Thị Thúy Hà – Phạm Thị Lan 10 Trường Phổ thông Vùng cao Việt Bắc Ta có = Thay vào giả thiết, ta : (vì Hay ) Đặt , ta có : Theo cách đặt : Do : Bài 23: Tìm số dư chia chia cho 2011? Giải: Phương trình đặc trưng Sáng kiến kinh nghiệm Bùi Thị Lan Anh - Bùi Thị Thúy Hà – Phạm Thị Lan 18 Trường Phổ thông Vùng cao Việt Bắc Từ giả thiết có : Theo ĐL nhỏ Fecma có: (5, 2011) = Vậy dư phép chia chia cho 2011 1999 Bài 24: Giải : Từ Đặt Sáng kiến kinh nghiệm Bùi Thị Lan Anh - Bùi Thị Thúy Hà – Phạm Thị Lan 19 Trường Phổ thông Vùng cao Việt Bắc Bài 25: Giải : Đặt Bài 26: Tìm phần nguyên tổng Giải : Xét dãy ( thỏa mãn : Xét * Sáng kiến kinh nghiệm Bùi Thị Lan Anh - Bùi Thị Thúy Hà – Phạm Thị Lan 20 Trường Phổ thông Vùng cao Việt Bắc Lại có : Dạng 3:Một số tốnliên hệ dãy số phần nguyên : Bài 1: Dãy số xác định sau : CMR : Giải : (1) Chú ý: Vậy từ (1) suy : số chẵn (2) Rõ ràng : Ta có : Vì số nguyên nên theo ĐN phần nguyên ta có : Sáng kiến kinh nghiệm Bùi Thị Lan Anh - Bùi Thị Thúy Hà – Phạm Thị Lan 21 Trường Phổ thông Vùng cao Việt Bắc Từ (2) suy : số lẻ (Đpcm) Bài : CMR : Giải : Ta có : Vậy : Ta có : >0 : (3) Do (4) : (6) Sáng kiến kinh nghiệm Bùi Thị Lan Anh - Bùi Thị Thúy Hà – Phạm Thị Lan 22 Trường Phổ thông Vùng cao Việt Bắc Thay (7) vào (2) ta có :