Bài giảng Xử lý tín hiệu số nâng cao Chương 3

Chương 3: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC Bài 1 BIẾN ĐỔI FOURIER Bài 2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER Bài 3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI Z & F Bài 4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ Bài 5 LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆUKý hiệu: X( BÀI 1 BIẾN ĐỔI FOURIER 1. ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI FOURIER: x n X e ( ) ( )  FT j Trong đó:  - tần số chuẩn hóa,  =  Ts  - tần số tuyệt đối (rad/s) Ts - chu kỳ lấy mẫu Biến đổi Fourier của x(n): ( ) ( ) j j n n X e x n e        X e FT x n ( ) { ( )} j Biểu diễn dưới dạng modun & argument: X e X e e ( ) ( ) j j j      ( ) Trong đó: X e ( ) j - phổ biên độ của x(n)   ( ) arg[ ( )]  X ej - phổ pha của x(n) ( ) ( ) j k j k n ( .2 ) ( .2 ) n X e x n e            ( ) ( ) j n j n x n e X e        Biến đổi ngược Fourier ( ) ( ) (*) j j n n X e x n e        Nhân 2 vế của (*) với ej l  Và lấy tích phân từ - π đến π: j l j j l n j l n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n e X e d x n e d x n e d                              ( ) 2 : 0: còn e d j l n l n lai              x n X e e d ( ) ( )  21  j j n    Ký hiệu: 1 X e x n ( ) ( ) j  FT x n FT X e ( ) { ( )}  1 j Biến đổi thuận:Ví dụ 1: Tìm biến đổi FT của các dãy: x1(n)  anu(n) : a  1 Giải: 1( ) ( ) j n j n n X e a u n e              n 0 j n ae  j  ae  1 1 x2(n)  anu(n 1) : a  1 j n n n X  a u n e    2( )    (  1)        1 1 n j n a e         1 1 m j m a e    1 0 1       m j m a e  j 1 a 1e 1 1     1  1 a e j1( ) ( ) j j n n X e x n e        2. ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI BIẾN ĐỔI FOURIER     n j n x(n) e      n x(n) Vậy, để hội tụ thì điều kiện cần là:     n x(n) Các tín hiệu thỏa mãn điều kiện hội tụ là tín hiệu năng lượng, thật vậy:    n Ex x(n) 2 2 ( )        n x n Nếu:     n x(n)      n Ex x(n) 2Ví dụ 2: Xét sự tồn tại biến đổi FT của các dãy: x1(n)  (0.5)nu(n) Giải:  n x1(n) x2(n)  2nu(n) x3(n)  u(n) x4(n)  rectN (n)    n n (0.5) u(n)     0 (0.5) n n 2 1 0.5 1     n x2(n)     n n 2 u(n)       0 2 n n  n x3(n)     n u(n)  n x4(n)     n rectN (n)       0 ( ) n u n   1 0 ( ) N n rectN n  N không tồn tại không tồn tạiBÀI 2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER a) Tuyến tính x n X e 1 1 ( ) ( )  F j a x n a x n a X e a X e 1 1 2 2 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( )    F j j   Nếu: Thì: x n X e 2 2 ( ) ( )  F j b) Dịch theo thời gian Nếu: x n X e ( ) ( )  F j Thì: x n n e X e ( ) ( )   0 F -j n  0 jVí dụ 1: Tìm biến đổi F của dãy:  (n); (n  2) Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 F j j n n x n n X e n e             c) Đối xứng (Liên hiệp phức) Nếu: x n X e ( ) ( )  F j Thì: x n X e *( ) *( )  F  j Áp dụng tính chất dịch theo thời gian:  ( 2) ( 2) ( ) 1 n x n e X e e      F   j j j 2 2   d) Đảo biến số x n X e ( ) ( )  F j x n X e ( ) ( )   F  j Giải: Nếu: Thì: Ví dụ 2: Tìm biến đổi F của dãy: y(n)  2n u(n) ( ) 1 2 x(n) u n n    y(n)  x(n)  2n u(n) Theo ví dụ 1 Bài 1, có kết quả: suy ra: 1 ( ) 1 (1/ 2) F j X e j e       1 ( ) 1 (1/ 2) F j X e j e      e) Vi phân trong miền tần số g(n)  nanu(n); a  1 ; a 1 1 1 ( ) ( ) ( )         j n F ae x n a u n X x n X e ( ) ( )  F j ( ) ( ) j F dX e nx n j d    g(n)  nx(n) FG()  j dXd()  1 ae ae jj 2 ; a  1 Giải: Theo ví dụ 1 Bài 1: Nếu: Ví dụ 3: Tìm biến đổi F của: Suy ra: Thì:f) Dịch theo tần số y(n)  an cos(0n)u(n); a  1 1 ( ) ( ) ( ) ; a 1 1 n j F x n a u n X e j ae         x n X e ( ) ( )  F j e x n X e j n j    0 0 ( ) ( )  F ( )  Giải: Theo ví dụ 1 Bài 1: Nếu: Ví dụ 4: Tìm biến đổi F của: Thì: y(n)  anu(n)cos(0n) anu n e j 0n e j 0n 1 2  ( )     x(n)e j 0n e j 0n 1 2     g) Tích 2 dãy x n X e 1 1 ( ) ( )  F j ( 1 2 1 2 1 ( ). ( ) ( ) ( ) '''' 2 x n x n X e X e d F  j j           Thì:   Nếu:  ( ) ( ) 1 2 Y()  X  0  X  0         (1   ) 1 (1 ) 1 1 2 () j( 0 ) j( 0 ) ae ae Y x n X e 2 2 ( ) ( )  F j ( '''' 2 1 1 ( ) ( ) '''' 2  X e X e d j j            Fg) Tích chập 2 dãy x1(n)F X1() Thì: x1(n)* x2(n)F X1()X2() Nếu: x2(n)F X2() Ví dụ 5: Tìm y(n)=x(n)*h(n), biết: x(n)=h(n)=(n+2)+(n-2) Giải:     2 2 X( )  H( ) e j  e j Theo ví dụ 1, có kết quả: Y()  X()H() (e j2  e j2 )2  e j4  2 e j4 y(n)  x(n)* h(n)  F1[Y()] y(n) (n 4) 2(n)(n4)- gọi là phổ mật độ năng lượng g) Quan hệ Parseval x1(n)F X1()       x n x n X X d n      ( ) ( ) 1 2 Thì: 1( ) 2*( ) 1 2* Nếu: x2(n)F X2() (*) Biểu thức (*) còn gọi là quan hệ Parseval Nhận xét: Nếu: x1(n)  x2(n)  x(n) Theo quan hệ Parseval, ta có:      x n X d n      2 2 ( ) 1 2 ( ) Với: Sxx()  X ()2TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI F x(n) X() a1x1(n)+a2x2(n) a1X1()+a2X2() x(n-n0) e-jn0 X() ej0n x(n) X(- 0) nx(n) jdX()/d x(-n) X(- ) x*(n) X*(- ) x 1(n)x2(n) x 1(n)*x2(n) X1()X2() 1( '''' ) 2 '''' '''' 2 1      X X d j C         x n x n X X d n      ( ) ( ) 1 2 1( ) 2*( ) 1 2*BÀI 3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI FOURIER & Z Hay biến đổi Fourier chính là biến đổi Z được lấy trên vòng tròn đơn vị theo biến số         n F j n x(n) X( ) x(n)e      n Z n x(n) X(z) x(n)z  j z e X X z  ( )  ( ) /z/=1 Re(z) ROC X(z) Im(z) /z/=1  • Nếu ROC[X(z)] có chứa /z/=1 X()=X(z) với z=ej • Nếu ROC[X(z)] không chứa /z/=1 X() không hội tụVí dụ 1: Tìm biến đổi Z & F của các dãy: Giải: x2(n)  2nu(n) ; 0.5 1 0.5 1 1( ) 1     z z X z x1(n)  (0.5)nu(n) Do ROC[X1(z)] có chứa /z/=1, nên:  z e  j e X X z j      1 0.5 1 1( ) 1( ) ; 2 1 2 1 2( ) 1     z z X z Do ROC[X2(z)] không chứa /z/=1, nên X2() không tồn tạiBÀI 4. BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TTBB RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ 1. Định nghĩa đáp ứng tần số Miền n: x(n) h(n) y(n)=x(n)*h(n) Miền : X() H() Y()=X()H() F h(n) F H()=Y()/X(): gọi là đáp ứng tần số hệ thống j ( ) H()  H()e   Nếu H() biểu diễn dạng môdun và pha: H() () - Đáp ứng biên độ - Đáp ứng pha2. Đáp ứng tấn số của các hệ thống ghép nối a. Ghép nối tiếp  Miền  : h x(n) h1(n) 2(n) y(n) x(n) h(n)=h1(n)*h2(n) y(n)  Miền n:  H2 X() H1() () Y() X() H()=H1()H2() Y()  Theo tính chất tích chập: h1(n)*h2(n) F H1()H2()b. Ghép song song  Miền :  h 2(n) x(n) y(n) h 1(n) + x(n) h1(n)+h2(n) y(n)  Miền n:  H 2() X() Y() H 1() + X() H1()+H2() Y()3. Đáp ứng ra hệ thống với tín hiệu vào hàm mũ phức y(n) x(n)* h(n) h(n)* x(n) h(m)x(n m) m        ( ) ( ) j (n m) m y n h m Ae       Ae h( m )e j m x( n )H( ) m j n          Ví dụ: 2: Tìm y(n) biết: x(n)  2e j3 n h(n)     12   n u(n) 2 3 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 3             j j n e y n x n H e 3 3 1 2 1 2   j j n e e    Xét tín hiệu vào có dạng mũ phức: x(n)=Aejn4. Đáp ứng ra hệ thống với tín hiệu vào hàm cos, sin x(n) Acos( n) A ej 0n e j 0n 0 2        y(n) x(n)H( 0 ) A H( 0 )ej 0n H( 0 )e j 0n  2          y(n) A H( 0 )ej 0n H * ( 0 )e j 0n A.ReH( 0 )ej 0n 2           Xét tín hiệu vào có dạng hàm cos: Biểu diễn đáp ứng tần số dưới dạng môđun & pha: j ( ) H()  H()e  y(n)  A.ReH(0)ej0n A H(0) cos0n  (0 ) ej n e j n  A j x(n) Asin( n) 0 0 0 2        Tương tự với tín hiệu vào có dạng hàm sin: Ta cũng được kết quả: y(n)  A.ImH(0)ej0n A H(0) sin0n  (0 )BÀI 5. LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU 1. Khái niệm lấy mẫu tín hiệu Rời rạc Mã hóa xd(n) xa(t) hóa x(n) Lượng tử hóa xq (n) Chuyển xung --> mẫu xa (nTs) xa(t) X = x(n) s a(t) xs (t) Quá trình lấy mẫu tín hiệuTín hiệu tương tự xa (t) t 0 xa (nTs) n 0 T s 2Ts … Tín hiệu được lấy mẫu Tín hiệu rời rạc xs (t) n 0 T s 2Ts … t 0 Chuỗi xung lấy mẫu Ts 2T s …     n sa(t)  (t nTs ) Tốc độ lấy mẫu càng lớn -> khôi phục tín hiệu càng chính xác2. Quan hệ giữa tần số tín hiệu rời rạc và tương tự xat Acost Lấy mẫu xanTs Acos(nTs) t = nT s x(n)  xanTs Acos(nTs)  Acos(n)    Ts Trong đó:  - tần số của tín hiệu rời rạc  - tần số của tín hiệu tương tự Ts - chu kỳ lấy mẫu3. Quan hệ giữa phổ tín hiệu rời rạc và phổ tín hiệu tương tự            X f  X    FFs Fs m Xa( F mFs ) Ví dụ 1: Hãy vẽ phổ biên độ tín hiệu rời rạc, biết phổ biên độ tín hiệu tương tự cho như hình vẽ, với các tốc độ lấy mẫu: a)Fs>2FM b) Fs=2FM c) Fs mẫu xa(nTs) = x(n) xa(t) sa ( t )     (t  nTs ) n   t t 0 Tín hiệu tương tự Ts 2Ts … Chuỗi xung lấy mẫu xs(t) xa(nTs) n Ts 2Ts … Tín hiệu lấy mẫu n Ts 2Ts … Tín hiệu rời rạc Tốc độ lấy mẫu lớn -> khơi phục tín hiệu xác Quan hệ tần số tín hiệu rời rạc tương tự xa t   A cos t Lấy mẫu t = nTs xa nTs   A cos(nTs ) x(n)  xa nTs   A cos(nTs )  A cos(n)    Ts Trong đó:  - tần số tín hiệu rời rạc  - tần số tín hiệu tương tự Ts - chu kỳ lấy mẫu Quan hệ phổ tín hiệu rời rạc phổ tín hiệu tương tự  F X  f   X    Fs  X a ( F  mF s ) m    Fs  Trong đó: X(f) – phổ tín hiệu rời rạc Xa(F) – phổ tín hiệu tương tự Ví dụ 1: Hãy vẽ phổ biên độ tín hiệu rời rạc, biết phổ biên độ tín hiệu tương tự cho hình vẽ, với tốc độ lấy mẫu: a)Fs>2FM b) Fs=2FM c) Fs